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1 Correction-Exercices sur les droites remarquables 1. Construire un triangle ABC tel que AB = 5cm, BC = 6cm et AC= 8 cm et le cercle circonscrit à ce triangle Il suffit de tracer deux médiatrices pour obtenir le centre du cercle circonscrit.. 2. A partir de deux des sommets du triangle et du centre du cercle inscrit, tracer le triangle ABC et son cercle inscrit. Aide :On trace la demi-droite [BO). On reporte l angle ABO de l autre côté de la demi-droite [BO) On trace la demi-droite [AO). On reporte l angle BAO de l autre côté de la demidroite [AO)

2 3. Construire le point A et le triangle ABC à partir du segment [BC] et de l orthocentre H du triangle ABC. Aide :On trace la perpendiculaire à (BH) passant par C et la perpendiculaire à (CH) passant par B

3 4. Construire le point A et le triangle ABC à partir du segment [CB] et du centre de gravité I du triangle ABC. Aide : On prend le milieu M de [CB], puis on utilise le fait que AI =!! AM 5. Construire le triangle ABC à partir du point A et des médiatrices (d) et (d ) relatives respectivement aux segments [AB] et [AC]. Tracer le cercle circonscrit au triangle.

4 6. Tracer un triangle ABC quelconque. Construire la médiatrice du segment [BC] et la hauteur issue de A. Que pouvez-vous dire de ces deux droites?. Par définition ces deux droites sont perpendiculaire à la droite (BC) elles sont donc parallèles entre elles. 7. Dans le triangle rectangle ABC rectangle en C, tracer la médiatrice de [AB]. Elle coupe la droite (BC) en M et la droite (AC) en N. Démontrer que la droite (AM) et la droite (BN) sont perpendiculaires. Le triangle ABC est rectangle en C donc (AC) est perpendiculaire à (AB) (MN) est la médiatrice de [AB] donc (MN) est perpendiculaire à (AB) Dans le triangle BAM, les droites (AC) et (MN) passent par un sommet et sont perpendiculaires au côté opposé, ce sont donc deux hauteurs et leur point d intersection N est l orthocentre. (BH) passe par l orthocentre et par le troisième sommet du triangle c est donc la troisième hauteur du triangle et en particulier (BN) est perpendiculaire à (AM) Remarque : selon le triangle ABC initial, les rôles du point M et du point N peuvent être inversés.

5 8. Soient D1 et D2, deux droites perpendiculaires qui se coupent en O. Soit un point A et B, son symétrique par rapport à la droite D1. Soit C, le symétrique de B par rapport à la droite D2. Démontrer que O appartient à la médiatrice de [AC] B est le symétrique de A par rapport à la droite D1 donc D1 est la médiatrice de [AB] et OA=OB C est le symétrique de B par rapport à la droite D2 donc D2 est la médiatrice de [BC] et OB = OC D après ces deux égalités OA=OC et O appartient à la médiatrice de [AC] Remarque en montrant tout d abord que ABC est un triangle rectangle en B, on peut montrer que le O qui est le point d intersection de deux médiatrices est le milieu de [AC] 9. Soient un triangle ABC, C le milieu de [AB] et B le milieu de [AC]. [BB ] et [CC ] se coupent en O. Démontrer que (AO) coupe [BC] en son milieu. Dans le triangle ABC, les droites (BB ) est (CC ) passent par un sommet et le milieu du côté opposé ce sont donc des médianes. Et O est le centre de gravité du triangle. La droite (AO) qui passe par le centre de gravité et par le troisième sommet est donc la troisième médiane et en particulier elle coupe [BC] en son milieu. 10. Soit un triangle isocèle ABC, de sommet principal A. Tracer les médianes issues de B et de C. Soit l, leur point d intersection. Que peut-on dire des droites (AI) et (BC)? Démontrer le. I étant le point d intersection de deux médianes, il est le centre de gravité du triangle et la droite (AI) qui passe par le troisième sommet et par le centre de gravité est la troisième médiane. Le triangle ABC est isocèle en A donc la médiane issue de A est aussi la hauteur issue de A et en particulier (AI) et (BC) sont perpendiculaires. 11. Soit A, B et O, trois points du plan. Soit C, le symétrique de A par rapport à O. Soit D, le symétrique de B par rapport à O. 1/ Tracer la figure ABCD.

6 2/ Soit I, un point du plan. Démontrer que les triangles IDB et IAC ont une médiane commune. C est le symétrique de A par rapport à O donc O est le milieu de [AC] et( IO) est une médiane de IAC D est le symétrique de B par rapport à O donc O est le milieu de [BD] et( IO) est une médiane de IBD (IO) est donc la médiane commune aux deux triangles. 12. Soit [AB] et [DC], deux segments. Soit M, le milieu de [AB] et N le milieu de [DC] Démontrer que les triangles ANB et DMC ont une médiane en commun. Il suffit d utiliser la définition pour montrer que (MN) est cette médiane commune 13. Soit un parallélogramme ABCD de centre O et M le milieu de [DC]. La droite (AM) coupe (BD) en I. Démontrer que DI =!! DB O est le centre du parallélogramme donc en particulier O est le milieu de [AC] et de [BD] Dans le triangle ADC, (AM) et (DO) sont donc deux médianes et I est le centre de gravité en particulier : DI=!! DO=!!!! DB =!! DB

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