Cours de Mathématique - Statistique Calcul Matriciel

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1 L - Mth Stt Cours de Mthémtique - Sttistique Clcul Mtriciel F. SEYTE : Mître de conférences HDR en sciences économiques Université de Montpellier I M. TERRZ : Professeur de sciences économiques Université de Montpellier I

2 L Mth Stt Module Notion de bse sur les mtrices M Module : Notions de bse sur les mtrices Unité Définitions. Définition d une mtrice : On ppelle mtrice un tbleu rectngulire de nombres écrits entre crochets et soumis à certines règles d opértions (que l on verr ultérieurement). Pr exemple soit le système linéire homogène suivnt : L mtrice ssociée à ce système est l suivnte : x + y + 7z x y + z 7 Si on générlise l écriture, j n M (m,n) i m m m ij n n mn Les ij sont ppelés les éléments de l mtrice ; le premier indice i indique l ligne de l élément, le deuxième indice j l colonne de l élément. ième ligne ième colonne L mtrice ynt m lignes et n colonnes est dite d ordre (m,n) ou de dimension (m,n). On peut ussi noter les mtrices pr des prenthèses ( ) ou des doubles brres : NB : une mtrice qui n qu une seule ligne s ppelle mtrice-ligne ou vecteur-ligne ; une mtrice qui n qu une seule colonne, s ppelle mtrice-colonne ou vecteur-colonne. Exemple de mtrice-ligne : [,, ] (, ) Exemple de mtrice-colonne : B (, ). Mtrices crrées Une mtrice qui utnt de lignes que de colonnes (mn) est dite «mtrice crrée» d ordre n ou encore une «n-mtrice crrée» /

3 L Mth Stt Module Notion de bse sur les mtrices M Exemple : (,) ou B (, ) sont des mtrices crrées. 8 Dns une mtrice crrée les éléments,,,, nn sont ppelés éléments digonux. L somme des éléments digonux d une mtrice crrée est ppelée l «trce de» Pr exemple pour, l trce est de, pour B, l trce est de. Mtrices égles Deux mtrices [ij] et B [bij ] sont dites égles (B) si et seulement si : - elles sont de même ordre (même nombre de ligne et même nombre de colonnes) - et si chque élément de l une est égle à l élément correspondnt de l utre cest-à-dire si i,.m ij bij j,.n insi, [ ] et [ ] [ ] et [ ] sont égles ne sont ps égles [ ] et ne sont ps égles L églité [ b c] [ ] signifie que : b c. Mtrices nulles L mtrice dont tous les éléments sont nuls est ppelée l mtrice nulle. Qund est l mtrice nulle, et lorsqu il n y ps de confusion possible sur son ordre, on écrit u lieu de reproduire le tbleu (m,n) où tous les éléments sont nuls.. Propriétés des mtrices - Mtrice sclire : Λ ( n,n) λι(n,n). Une mtrice sclire est le résultt du produit d un sclire (un nombre) pr l mtrice identité. Pr exemple est une mtrice sclire cr Ι * - Mtrice digonle : elle ne contient des chiffres que sur l digonle (cd sur les ii ) et des prtout illeurs : (n,n) ~ij ij ii i j ij i j /

4 L Mth Stt Module Notion de bse sur les mtrices M exemple de mtrice digonle : Remrque : une mtrice sclire est ussi une mtrice digonle. - Soit X [ x xn ] lors X(,n) X(n,) x i x Soit X lors X(,n) X (n,) xn x i Le produit d un vecteur ligne pr son trnsposé est égl à l somme des crrés de ses éléments : Exemple : Soit [ ] X (, ) lors X (, ) et on obtient pour le produit : X (,) X (,) * + * + * + + x i Unité : ddition de mtrices. Définition Si [ij] et B [bij ] sont deux mtrices (m,n), leur somme (respectivement leur différence) +B (resp -B) est définie pr l mtrice C [cij] dns lquelle tout élément est l somme (respectivement l différence) des éléments correspondnts de et B. insi : ± B [ij ± bij] Exemple : soient + + B(, ) B(, ) + (, ) et B (, ) On peut fire l somme ou l différence de deux mtrices que si elles sont de même ordre. Pr exemple on ne peut ps jouter ou retrncher les mtrices : B (,) 7 (,) et /

5 L Mth Stt Module Notion de bse sur les mtrices M. Propriétés Dns un ensemble de mtrices de même dimension m,n l ddition possède les même propriétés que l ddition des réels : ssocitivité : si,b,c sont mtrices de même dimension (m,n) lors + (B + C) ( + B) + C Elément neutre : L mtrice F de dimension (m,n) dont tous les termes sont nuls est élément neutre : F F + +. Elle est noté [ ] Commuttivité : Si et B sont deux mtrices quelconques de même dimensions (m,n) on : + B B + Opposée d une mtrice : si on chnge les signes de tous les éléments d une mtrice, on + B B + (mtrice nulle) Exemple : obtient une mtrice opposée B telle que : [ ] B + B [ ] B s ppelle l opposée de ; toute mtrice dmet une opposée [ ] B[ ]. Exemple ij ij Une entreprise plcé, pour vendre dns trois lieux, B et C des distributeurs utomtiques de sndwiches et de gâteux dont les moyennes des ventes journlières sont données dns le tbleu suivnt : Sndwiches Gâteux Lieu Lieu B Lieu C En utilisnt l représenttion mtricielle, clculer le nombre de sndwiches et de gâteux vendus pr cette entreprise. [ ] N [ ] P [ ] N + P [ ] [ 8 ] M M + Donc l entreprise vendu 8 sndwiches et gâteux. Unité : Produit de mtrices. Multipliction d une mtrice pr un sclire On définit le produit d une mtrice pr un sclire α comme l mtrice obtenue en multiplint tous les éléments de l mtrice pr α Exemple : /

6 L Mth Stt Module Notion de bse sur les mtrices M Remrques : Multiplier une mtrice pr le sclire ne l modifie ps Multiplier une mtrice pr le sclire l chnge en mtrice nulle Multiplier une mtrice pr le sclire - revient à l chnger en son opposée.. Multipliction de deux mtrices ) Conditions de dimensions L multipliction d une mtrice pr une mtrice B exige une comptibilité des dimensions. Le nombre de colonnes de l première mtrice doit être égl u nombre de lignes de l seconde mtrice. Exemple : Si : (,) B(,) C(,) (,) (, ) lors : b [ ] D [ x y z] E Les produits (,) E (,), B (,) (,), C (,) E (,), D (,) (,) et D (,) B (,) sont possibles, les produits (,) B (,), (,) C (,), (,) D (,), B (,) C (,), B (,) E (,), C (,) D (,) sont impossibles ) Dimension de l mtrice produit Si est une mtrice m lignes et p colonnes, si B est une mtrice p lignes et n colonnes, le produit (m,p) B (p,n) est défini (puisque utnt de colonnes que B de lignes) et c est une mtrice C qui m lignes et n colonnes ( m,p).b (p,n) C(m,n) Le produit utnt de lignes que l ière mtrice et utnt de colonnes que l seconde mtrice.. Produit d une mtrice-ligne pr une mtrice-colonne Supposons une mtrice-ligne p éléments (elle donc p colonnes) : et une mtrice-colonne qui ussi p éléments (elle donc p lignes) : [ ] (,p) p B (p,) b b bp Le produit B est défini puisque l condition de dimensions est stisfite. Le produit ur ligne (puisque une ligne) et colonne (puisque B une colonne) Pr définition le produit ser l mtrice : B(,) [b + b + + pbp ] Exemples : /

7 L Mth Stt Module Notion de bse sur les mtrices M [ ]. [ x + x] [ + ] [ ] [ x y ]. [ x + y] [ ] [ + ] [ ] Exemple : On représente pr une mtrice-ligne l commnde d un vendeur de boissons grossiste, il existe cinq produits : vin rouge, vin blnc, eux gzeuses, bière, sod. Pr exemple l mtrice (, ) [ ] représente l commnde de l de vin rouge, l de vin blnc, bouteilles d eux gzeuses, bouteilles de bière, bouteilles de sod. Les prix unitires peuvent être représentés pr une mtrice colonne : soit B (, ),,8,9,,9 B indique que le prix du litre de vin rouge est de,, celui du litre de vin blnc,8, celui d une bouteille d eu gzeuse,9 Déterminer l vleur totle de l commnde : Pour trouver l vleur de l commnde, on multiplie l mtrice-ligne des quntités pr l mtricecolonne des prix unitires.,,8 (,) B(, ),,9 [ ],9 [ ] [ ] L vleur totle de l commnde ser de euros.. Formule générle du produit Soient une mtrice à m lignes et p colonnes et B une mtrice à p lignes et n colonnes, le produit B possède m lignes et p colonnes. L élément c ij du produit B, situé sur l i ième ligne et l j ième colonne s obtient en effectunt le produit de l i ième ligne de pr l j ième colonne de B, selon l règle de multipliction d une mtrice-ligne pr une mtrice colonne. Exemples : Exemple : (, ) ( B(, ) lignes et colonnes B,) 7/

8 L Mth Stt Module Notion de bse sur les mtrices M (le produit B est possible cr colonnes et B lignes) Produit de l première ligne de pr l première colonne de B Produit de l première ligne de pr l troisième colonne de B x + x + x B x x + x x + x + x x x + x x + x + x( ) x x + x( ) 7 Exemple : x x y + z (,) B (,) y B(, ) x + y + z : nottion brégée d un système z x + y + z linéire qui s interprète comme un simple produit de mtrice. Exemple : Soient lors : ( et B (,),) lors que : On voit ici B (,) B (,) x x x + x x+ x( ) x+ x( ) x x x + x x( ) + x x( ) + x B B lors que pour l somme on vit + B B +. Propriétés du produit de mtrices Si l ddition des mtrices possède les mêmes propriétés que l ddition des nombres, on v voir qu il n en est ps tout à fit de même pour l multipliction... Non-commuttivité Si pour des nombres réels bb, il n en est ps de même pour des mtrices Si le produit B est possible, cel n entrîne ps que le produit B le soit : Exemple : soient (,) B(, ) B (, ) lors que B (,) (,) n est ps possible cr l condition de dimension n est ps respectée. Générlisons les dimensions du produit de deux mtrices : Soient deux mtrices de dimension w lignes et x colonnes et B de dimensions y lignes et z colonnes, le produit B est possible si xy et ser de dimension w,z. 8/

9 L Mth Stt Module Notion de bse sur les mtrices M Si xy lors le produit est possible (w,x) B (y,z) (w,z) ser l dimension de B Exemple : soit C (,) et D (,) on voit de suite que le produit CD est possible et que cette nouvelle mtrice ur pour dimension CD (, ) On voit églement que le produit DC : D (,) C (,) n est ps possible Si les produits B et B sont possibles, ils peuvent ne ps voir les mêmes dimensions Exemple : [ ] (,) B(, ) B, ) [ 7] ( lors que B (, ) 8 Enfin, même si les produits B et B sont possibles et ont l même dimension (ce qui se produit si et B sont des mtrices crrées de même dimension) ils peuvent être différents. Exemple (,) B(,) 9 B (,) B(,) Donc B B en générl Il peut cependnt rriver que pour deux mtrices crrés prticulières, les produits B et B soient égux. On dit que et B sont commutbles ou que et B commutent Exemple (,) et B (,) lors B (, ) 8 et B (,) 8 B mis ceci reste un cs prticulier! En cs de non commuttivité, on préciser en prlnt d un produit B que : est multiplié à droite pr B (ou est postmultiplié pr B) B est multiplié à guche pr (ou est prémultiplié pr ).. ssocitivité Sous réserve que les conditions de dimensions soient stisfites, si, B, C sont des mtrices quelconques lors, (BC) (B) C 9/

10 L Mth Stt Module Notion de bse sur les mtrices M Exemple : soient B C [ ] (,) (,) (, ) ( B C D C E Conditions et dimensions du produits (B)C : (,) (,) ) (,) (,) (,) (,) ( B) (,) C(, ) [ ] 8 9 (,) BC(,) Distributivité Sous réserve que les conditions de dimensions soient stisfites, si, B, C sont mtrices quelconques on (B + C) B + C (B + C) B + C Exemple [ ] (,) B(,) C(,) ( B + C) (,) (B + C) (, ) [ 8 7] [ ] C [ 7 ] B + C [ 8 7] B (,) (, ).. Produit pr une mtrice nulle L définition du produit rend évident le fit que si l une des mtrices d un produit est une mtrice nulle, le produit est une mtrice nulle.. [ ]. [ ].. Mtrices identités Ce sont des mtrices crrées vec uniquement des sur l digonle et des prtout illeurs /

11 L Mth Stt Module Notion de bse sur les mtrices M / Ex : L mtrice identité de dimension (p,p) est dite mtrice identité d ordre p ou mtrice unité d ordre p. L multipliction d une mtrice, à guche ou à droite pr une mtrice identité ne modifie pr l mtrice. Ex : multipliction à guche pr une mtrice identité : B ) (,,) ( B ), ( Multipliction à droite pr une mtrice identité : B B ) (, (,),) (.. Non régulrité Soient les mtrices : B B Cel montre que : un produit de mtrices peut être nul sns qu ucun des fcteurs le soit. Soient les mtrices : D 7 8 C D C On voit que CD et pourtnt D C On ne peut donc ps «simplifier» une églité de mtrice en divisnt ses deux membres pr une même mtrice comme en lgèbre linéire. L lgèbre des mtrices présente donc vec l lgèbre ordinire : - Des ressemblnces : ssocitivité, commuttivité pour l ddition, ssocitivité de l multipliction, distributivité. - Des différences : non commuttivité, existence de produits nuls à fcteurs non nuls, impossibilité de «simplifier» une églité Unité : Trnsposition de mtrice. Définition L trnsposée d une mtrice est l mtrice déduite de en échngent les lignes et les colonnes Ex :

12 L Mth Stt Module Notion de bse sur les mtrices M / ) (,,) ( [ ] Si une mtrice m lignes et n colonnes, s trnsposée n lignes et m colonnes (n,m) m,n) ( D où les propriétés suivntes : L trnsposée de l trnsposée d une mtrice est : donc ( ) ( ) l trnsposée de l somme de deux mtrices est l somme de leurs trnsposées. B B) ( + + Soient et B ( ) B B B ( ) B B + + L trnsposée d un produit de deux mtrices est le produit des trnsposées dns l ordre inverse ( ) B B ( ) 8 B 8 B ( ) B 8 B B Générlistion : n n n ) (. Mtrices symétriques ntisymétriques Certines mtrices crrées présentent des prticulrités intéressntes : Une mtrice symétrique est une mtrice égle à s trnsposée :

13 L Mth Stt Module Notion de bse sur les mtrices M [ ] [ij] est symétrique ij ji Ex : B B B une mtrice ntisymétrique est une mtrice opposée de s trnsposée. ex opposée de B B opposée de B B Les éléments de l digonle principle d une mtrice ntisymétrique sont nuls. Soit une mtrice crrée quelconque, lors : + est symétrique, - est ntisymétrique.. Exemple Une entreprise plcé dns deux lieux différents L et L des distributeurs utomtiques de gâteux et de sods dont les moyennes des ventes journlières sont données dns le tbleu. L entreprise sous-trite l fbriction des gâteux et des sods uprès de deux fournisseurs dont les prix de vente, exprimés en euros, sont donnés dns le tbleu. brévitions : LLieu LLieu FFournisseur FFournisseur Mtrice des quntités vendues SSods Ggâteu Mtrice des quntités vendues BMtrice des prix Mtrice des prix S G F F L S,, L G,9 Tbleu Tbleu Clculer le coût globl de chque distributeur en fonction du fournisseur en utilisnt l représenttion mtricielle. Soient et B, les deux mtrices représentnt respectivement les quntités vendues et les prix :, B,,9 /

14 L Mth Stt Module Notion de bse sur les mtrices M, + B, + 7, 9 7, 9,, +,9, +,9-7, : coût totl de fbriction des produits vendus dns le distributeur plcé dns le lieu, s il est limenté exclusivement pr le fournisseur. - 7, : coût totl de fbriction des produits vendus dns le distributeur plcé dns le lieu, s il est limenté exclusivement pr le fournisseur. Le produit mtriciel B représente les coûts de fbriction en fonction des fournisseurs. Supposons mintennt que : l réprtition G-S, cest-à-dire que l mtrice soit différente et qu elle soit l trnsposée de. les prix de vente soient ussi différents et que l mtrice les représentnt soit l trnsposée de B. Clculer le coût globl de chque distributeur en fonction du fournisseur en utilisnt les propriétés des mtrices trnsposées. B (B), B 8,, (B),, B,,,,9 8,,,9 Vérifiction : ( B) B Résumé : (m,n) m lignes n colonnes (m,n) + B(m,n) C(m,n) [ ± b ] + (B + C) ( + B) + C ssocitivité + B B + commuttivité B [ ] ij + vec B : mtrice opposée de ( m,p) B(p,n) C(m,n) B B en générl (BC) (B)C ij /

15 L Mth Stt Module Notion de bse sur les mtrices M (B + C) B + C (B + C) B + C distributivité ( m,n) (m,n) ( ) ( + B) + B (B) B Mtrice symétrique ntisymétrique : mtrice opposée de s trnsposée Bopposée B /