LA SYMETRIE AXIALE. A et B sont les symétrique,respectifs, de A et B par D. NIVEAU : 2 ème AC. Matière : Mathématiques
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- Théophile Crépeau
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1 Matière : Mathématiques L SYMETRIE XILE NIVEU : 2 ème PRF : ELZIZ MHRUF JETIFS : onstruire l image d un point, d un segment, d une droite, d un cercle par une symétrie axiale. éterminer et construire l axe de symétrie d une figure. onnaitre et utiliser les propriétés de conservation de la symétrie axiale. I SYMETRIQUE UN PINT PR RPPRT UNE RITE : 1 / éfinition : Soit une droite et M un point dans le plan. M est le point qui vérifie est la médiatrice du MM. n dit que : le point M est le symétrique du point M par rapport la droite. n dit aussi que : M et M sont symétriques par rapport à. éfinition : ire que le point M est le symétrique d un point M par rapport à une droite signifie que la droite est la médiatrice du segment MM.. Remarque : Tout point M de la droite est le symétrique de lui-même par rapport à la droite. M M' 2 / propriété : une droite. et deux points dans le plan. et sont les symétrique,respectifs, de et par Soit rapport à n vérifiant ; on constate que :. utrement dit : la distance entre et est égale à la distance entre leurs symétrique par rapport à propriété :. ' ' Si : les points M et N sont les symétriques respectifs de M et N par rapport à une droite lors : MN MN n dit que : La symétrie axiale conserve les longueurs
2 Exercice d application : est un triangle isocèle de sommet. M est le symétrique de par rapport à la droite. 1 / faire la construction. 2 / déterminer la nature du quadrilatère M. Réponse : 1 / la construction : 2 / je détermine la nature du quadrilatère M : --- n sait que : M est le symétrique de par rapport à la droite. et que : est le symétrique de par rapport à la droite.( car : et que : est le symétrique de par rapport à la droite..( car : après la propriété : -- La symétrie axiale conserve la distance n a : M (1) et M (2). --- n sait que : est un triangle isocèle de sommet. onc : (3) e (1) et (2) et (3) on déduit que : M M n conclut que : M est un losange. ) ) II SYMETRIQUES E QUELQUES FIGURES PR RPPT UNE RITE : 1 / Symétriques d une droite, demi-droite et d un segment par rapport à une droite : étant une droite., et sont trois points alignés., et sont respectivement les symétriques des points, et par rapport à. on remarque que :, et sont aussi des points alignés. n admet la propriété suivante : n dit : les symétriques des points alignés, par rapport à une droite, sont des points alignés La symétrie axiale conserve l alignement des points
3 éductions : La droite est le symétrique de la droite par rapport à. La demi-droite est le symétrique de la demi-droite par rapport à. Le segment est le symétrique du segment par rapport à. 2 / Symétriques d un angle par rapport à une droite : n considère une droite et un angle., et sont respectivement les symétriques des points, et par rapport à. L angle est le symétrique de l angle par rapport à la droite. ' ' et on a : ' n admet la propriété suivante : n dit que : L angle et son symétrique par rapport à une droite ont même mesure. La symétrie axiale conserve les mesures des angles. 3 / Symétriques d un cercle par rapport à une droite : est un cercle de centre et de rayon r. ( exemple : r 1,5cm ) est une droite. est le symétrique du point par rapport à. M est un point du cercle. onc : M r. () (') M' M ' M est le symétrique du point M par rapport à. Puisque la symétrie axiale conserve les longueurs, alors : M M. où : M r. onc : Le point M appartient au cercle ' de centre et de rayon r. L e cercle de centre et de rayon r est le symétrique du cercle de centre et de rayon r Le symétrique d un cercle, par rapport à une droite, est un cercle de même rayon.
4 II XES E SYMETRIE E QUELQUES FIGURES USUELLES : 1 / définition : ire qu : une droite est un axe de symétrie d une figure F signifie que : F est son propre symétrique par rapport à cette droite. 1 / Le triangle isocèle : Tout triangle isocèle admet un axe de symétrie qui est à la fois la médiatrice de sa base et la bissectrice de l angle opposé à la base. 2 / Le triangle équilatéral : Tout triangle équilatéral admet trois axes de symétrie qui sont les médiatrices de ses cotés et les bissectrices des angles opposé aux cotés. (') ('') 3 / Le losange : () Tout losange admet deux axes de symétrie qui sont les supports de ses diagonales. 3 / Le rectangle : Tout rectangle admet deux axes de symétrie qui sont les médiatrices de côtés opposés. 4 / Le carré : Puisque le carré est à la fois losange et rectangle donc il admet quatre axes de symétrie. 5 / Le cercle : Toute droite qui passe par le centre d un cercle est un axe de symétrie de ce cercle. ( ) ()
5 Exercice d application : La figure F, à côté, est composée d : - Un rectangle de centre. - Un cercle de centre I et passant par et. Figure (F) I () émontrer que : I est un axe de symétrie de la figure F. Réponse : * - n a : est un rectangle de centre. onc : lors : où : appartient à la médiatrice du côté. (1) - et appartiennent au cercle de centre I. onc : I I où : I appartient à la médiatrice du côté.(2) de (1) et (2) on en déduit que : I est la médiatrice du. et puisque tout rectangle admet deux axes de symétrie se sont les médiatrices de ses côtés opposés., alors : I est un axe de symétrie du rectangle. où : est son propre symétrique par rapport à I. (a) * n sait que toute droite, passant par le centre d un cercle, est un axe de symétrie de ce cercle. et puisque : la droite I passe par le centre du cercle, alors : I est un axe de symétrie du cercle. où : est son propre symétrique par rapport à I. (b) lors de (a) et (b) on a : La figure F est son propre symétrique par rapport à I. onclusion : est un axe de symétrie de la figure.
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