MP1 Janson DS6 du 17 janvier 2014/ n x.

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1 MP Jnson DS6 du 7 jnvier 24/25 Problème (CCP) Toutes les fonctions de ce problème sont à vleurs réelles. PARTE PRÉLMNARE Les résultts de cette prtie seront utilisés plusieurs fois dns le problème.. Fonction Gmm d Euler (.) Soit x Ps, `8r, montrer que l fonction t ÞÑ e t t x est integrble sur s, `8r. On pose, pour x Ps, `8r, Γpxq e t t x dt (2.) Determiner, pour x Ps, `8r, une reltion entre Γpx ` q et Γpxq et en déduire Γpnq pour tout entier nturel non nul n.. Fonction zêt de Riemnn On rppelle que l fonction zét est definie sur s, `8r pr ζpxq `8ÿ n n x. On connit ζp2q π2 π4, ζp4q, on sit que pour p entier pir, ζppq est de 6 9 l forme qπ p où q est un rtionnel ; il été démontré que certins ζppq pour p entiers impirs sont irrtionnels mis on ne sit ps s ils le sont tous. On se propose de rechercher des vleurs pprochées de ces réels ζppq. (.) On note, pour n entier nturel non nul et x réel x ą, R n pxq k x ζpxq ÿ n Prouver que, pour n entier nturel non nul et kx k n` k x réel x ą, R n pxq ď px qn x (2.) On fixe l entier p ě 2 et un reel ε ą. ndiquer une vleur de n pour nÿ lquelle on ˇ k p ζppq ˇ ď ε k (3.) Donner, en utilisnt l clcultrice, une vleur pprochée de ζp7q à 6 près. PREMÈRE PARTE : SUTES DE FONCTONS Préliminire : Dns les questions à V suivntes, on n utiliser ps pour les démonstrtions le théorème de convergence dominée, énoncé à l question 6.. Théorème de convergence uniforme pour les suites de fonctions Démontrer le théorème suivnt que l on noter TH : Si pf n q est une suite de fonctions continues sur le segment r, bs qui converge uniformément vers une fonction f sur r, bs, lors, l suite de réels b b f n pxq dx converge vers le réel fpxq dx. On commencer pr donner un sens à l integrle un théorème. V. Exemples et contre-exemples b fpxq dx juste en énonçnt (.) Déterminer une suite pf n q de fonctions continues et ffines pr morceux sur le segment r, s qui converge simplement mis non uniformément ˆ vers une fonction f sur r, s et telle que l suite de réels f n pxq dx ne converge ps vers le réel fpxq dx. Remrque : on peut se contenter d une vision grphique et, dns ce cs, il est inutile d exprimer f n pxq, mis on ttend une justifiction des deux propriétés demndées. (2.) Si pf n q est une suite de fonctions continues sur le segment r, s, démontrer qu il est possible que l suite de réels f n pxq dx converge ˆ vers le réel fpxq dx sns que l convergence de l suite de fonctions pf n q ne soit uniforme sur r, s. V. Cs d un intervlle quelconque (.) Montrer à l ide de l suite de fonctions pf n q ně définies sur r, `8r pr f n pxq xn e x que le TH n est ps vri si on remplce l intervlle r, bs pr un intervlle non borné. Remrque : on pourr utiliser l formule de Stirling sns l démontrer. (2.) Nous llons prouver que le TH est vri sur un intervlle borné. On considère pf n q une suite de fonctions continues et intégrbles sur intervlle borné, qui converge uniformément vers une fonction f sur. n!

2 MP Jnson DS6 du 7 jnvier 24/25. Justifier l existence d un entier nturel p tel que, pour tout réel x P, fpxq ď ` f p pxq et en déduire que f est intégrble sur. ˆ b. Montrer que l suite de réels f n pxq dx converge vers le réel fpxq dx. On noter lpq l longueur de l intervlle. V. Théorème de convergence dominée pour les suites de fonctions On rppelle le théorème suivnt que l on noter TH 2 : Si pf n q est une suite de fonctions continues pr morceux sur un intervlle qui converge simplement sur vers une fonction f continue pr morceux sur et s il existe une fonction ϕ continue pr morceux et intégrble sur telle que, pour tout entier nturel n et tout réel x P ˆ : f n pxq ď ϕpxq lors, l fonction f est intégrble sur et l suite de réels f n pxq dx converge vers le réel fpxq dx (.) Rppeler pourquoi il est inutile de vérifier, lorsqu on utilise ce TH 2, que les fonctions f n sont intégrbles sur et justifier que f est intégrble sur. (2.) Exemples :. Montrer à l ide d un exemple simple que ce théorème peut être prtique sur un segment sur lequel l suite de fonctions pf n q ne converge ps uniformément vers l fonction f. b. Clculer lim nñ`8 e sinp x n q ` x 2 dx. DEUXÈME PARTE : SÉRES DE FONCTONS V. Théorème de convergence uniforme pour les séries de fonctions Justifier, simplement, à l ide du TH le théorème suivnt que l on noter TH 3 : si ÿ f n est une série de fonctions continues sur le segment r, bs qui converge uniformément sur r, bs, lors, l série de réels ÿ b f n pxq dx converge et : b n f n pxq dx b f n pxq dx. n V. ntégrtion terme à terme d une série de fonctions On rppelle le théorème suivnt que l on noter TH 4 : Si ÿ f n est une série de fonctions continues pr morceux et intégrbles sur un intervlle qui converge simplement vers une fonction f continue pr morceux sur telle que l série ÿ f n pxq dx converge, lors f est intégrble sur, l série ÿ f n pxq dx converge et f n pxq dx f n pxq dx n Appliction : théorème de Hrdy On suppose que ÿ n est une série de réels bsolument convergente. ˆÿ n x n (.) Montrer que l série de fonctions converge simplement n! ně vers une fonction f continue sur R. (2.) Montrer que l fonction x ÞÑ fpxqe x est intégrble sur r, `8r et exprimer n fpxqe x dx comme l somme d une série numérique. X. Cs où les théorèmes TH 3 et TH 4 ne s ppliquent ps (.) Montrer que, l série de fonctions p ÿ p q n x n q ně ne converge ps uniformément sur l intervlle borné r, r (donc les hypothèses du théorème TH 3 ne sont ps toutes vérifiées). (2.) Montrer que, pour l série de fonctions p ÿ p q n x n q ně sur r, r, les hypothèses du théorème TH 4 ne sont ps toutes vérifiées. (3.) Montrer que, nénmoins, p ÿ p q n x n dxq ně converge et : n p q n x n dx n p q n x dx X. Théorème de convergence monotone Soit ÿ f n une série de fonctions continues pr morceux et intégrbles sur un intervlle qui converge simplement vers une fonction f continue pr n

3 MP Jnson DS6 du 7 jnvier 24/25 morceux sur. On suppose que toutes les fonctions f n sont positives sur et que l fonction f est intégrble sur. nÿ On pose, pour tout entier nturel n non nul et tout x P, S n pxq f k pxq. Montrer que l suite de fonctions ps n q vérifie les hypothèses du théorème de convergence dominée TH 2, et en déduire que : l série p ÿ f n pxq dxq ně converge et f n pxq dx f n pxq dx n X. Appliction à l physique n t 3 (.) Clculer, près voir justifié son existence, l intégrle e t dt On détiller toutes les étpes et on pourr remrquer que, pour t P s, `8r, on e t Cette intégrle intervient notmment dns l théorie du ryonnement du corps noir. L loi de Plnck donne l expression de l densité spectrle d énergie électromgnétique u λ ryonnée pr le corps noir, en fonction de l longueur d onde pr l formule : e t e t u λ 8πhc λ 5 hc exp k B λt où h et k B sont les constntes de Plnck et de Boltzmnn, c l célérité de l lumière dns le vide, λ l longueur d onde et T l tempérture. Ainsi, l densité volumique totle d énergie électromgnétique u (ryonnée sur tout le spectre des longueurs d onde) s écrit : u u λ dλ Si on note M l exitnce totle d un corps noir on sit que M et u sont liés pr l reltion M c 4 u (2.) Démontrer l loi de Stefn : M σt 4 où σ 2π5 pk B q 4 X. Générlistion (.) Exprimer de même pour x réel x ą, l intégrle dt en fonction de Γpxq et ζpxq 5h 3 c 2 t x e t k (2.) En déduire l vleur de t 6 e t dt t e t dt et une vleur pprochée de

4 MP Jnson DS6 du 7 jnvier 24/25 Problème 2 (Mines-Centrle) (L usge d ordinteur ou de clculette est interdit). L objet de ce problème est d introduire suivnt une méthode originle l fonction Γ et de déterminer, à l ide de cette fonction, une expression de l intégrle suivnte : π{2 π{4 lnplnptn xqq dx Première prtie On rppelle que, si l fonction réelle f, définie sur un intervlle de l droite réelle R, est convexe, pour toute suite croissnte de trois réels x, x 2, x 3, px ă x 2 ă x 3 q pprtennt à l intervlle, les vleurs prises pr cette fonction en ces points vérifient l reltion suivnte : fpx 2 q fpx q x 2 x ď fpx 3q fpx q x 3 x ď fpx 3q fpx 2 q x 3 x 2. Soit F une fonction inconnue, définie sur l demi-droite ouverte s, `8r, prennt des vleurs strictement positives, qui vérifie les propriétés suivntes : i. pour tout réel x strictement positif : F px ` q xf pxq. ii. L fonction x ÞÑ ln F pxq est une fonction convexe. iii. L fonction F prend l vleur en : F pq.. Encdrement de F pn ` xq et de F pxq : Dns les qutre premières questions, x est un réel pprtennt à l intervlle semi-ouvert s, s et n un entier nturel supérieur ou égl à 2 pn ě 2q. (.) Démontrer les inéglités suivntes : ln F pnq ln F pn q ď ln F pn ` xq ln F pnq x ď ln F pn ` q ln F pnq. (2.) Clculer F pnq. En déduire un encdrement de F pn ` xq à l ide des deux expressions pn q x.pn q! et n x.pn q!. (3.) Étblir l reltion qui lie, pour tout entier p supérieur ou égl à pp ě q, F pp ` xq à F pxq. (4.) En déduire les inéglités suivntes : n x ` n F pxq ď n x n! xpx ` q... px ` nq ď F pxq.. Unicité de l fonction F : Dns les deux questions suivntes, il est dmis qu il existe une fonction F, strictement positive, définie sur l demi-droite ouverte s, `8r, vérifint les hypothèses i, ii et iii. Étnt donné un entier strictement positif n, soit u n l fonction définie sur l demi-droite ouverte s, `8r pr l reltion suivnte : n x.n! u n pxq xpx ` q... px ` nq. (.) Déterminer, en supposnt le réel x pprtenir à l intervlle semi-ouvert s, s, l limite de l suite pu n pxqq npn lorsque l entier n croît indéfiniment. (2.) En déduire l limite de l suite pu n pxqq npn lorsque l entier n croît indéfiniment, pour tout réel x strictement positif. (3.) En déduire qu il existe u plus une fonction F définie sur l demi-droite s, `8r, strictement positive, vérifint les propriétés i, ii et iii.. Fonction Γ : Soit k l fonction définie sur le qurt de pln s, `8rˆs, `8r pr l reltion suivnte : (.) (2.) (3.) kpx, tq t x.e t. Étudier, pour un réel x donné, l intégrbilité de l fonction : t ÞÑ tx.e t sur l demi-droite ouverte s, `8r. Soit Γ l fonction définie sur l demi-droite ouverte s, `8r pr l reltion suivnte : Γpxq t x.e t ṭ. Étblir que cette fonction Γ est strictement positive (Γpxq ą ). Étblir que cette fonction Γ est deux fois continûment dérivble sur l demi-droite ouverte s, `8r. Donner les expressions de ces dérivées. Préciser l expression de l dérivée de l fonction Γ pour x, Γ pq, u moyen d une intégrle. V. Existence de l fonction F : (.) Démontrer que l fonction Γ est l fonction F étudiée dns les questions précédentes.

5 MP Jnson DS6 du 7 jnvier 24/25 On pourr utiliser, dns l suite, que l constnte d Euler γ est définie pr l reltion suivnte : nÿ γ lim nñ`8 k ln n. V. Vleur de Γ pq : Soit pg n q ně l suite des fonctions définies, pour tout entier n supérieur ou égl à pn ě q, sur l demi-droite ouverte s, `8r pr l reltion suivnte : k g n pxq x ln n ln x nÿ k lnp ` x k q (.) Déterminer, à l ide des résultts obtenus précédemment, l limite de g n pxq lorsque l entier n croît vers l infini et que le réel x pprtient à l demi droite-ouverte s, `8r. Soit pv n q ně l suite de fonctions définies, pour tout entier n supérieur ou égl à pn q, sur l demi-droite ouverte s, `8r pr les reltions suivntes : v pxq g pxq ; pour tout entier n supérieur ou égl à 2, v n pxq g n pxq g n pxq. (2.) l est dmis que chque fonction v n, n P N, est continûment dérivble ; démontrer que l série des fonctions dérivées, de terme générl v npxq, n P N, est convergente pour tout x strictement positif puis uniformément convergente sur tout segment r, bs contenu dns l demi-droite ouverte s, `8r. (3.) En déduire l limite de l suite des fonctions dérivées g n. (4.) Que vut Γ pq u moyen de l constnte d Euler.? Seconde prtie Soit s un réel donné strictement positif ps ą q. V. Fonction L : (.) Étudier l convergence de l série de terme générl w n, n P N, défini pr l reltion suivnte : w n p qn. Soit L l fonction définie sur l p2n ` qs 8ÿ p q n demi-droite ouverte s, `8r pr l reltion : Lpsq p2n ` q s. n (2.) Démontrer que l série entière ÿ p q n x2n` p2n ` q s, est uniformément npn convergente sur le segment r, s. Soit ϕpxq l somme de cette série : 8ÿ p q n ϕpxq x2n` p2n ` q s. Déterminer l fonction ϕ définie sur le segment r, s. En déduire n Lpq. (3.) Soit h s l fonction définie sur l demi-droite ouverte s, `8r, pr l reltion suivnte : h s pxq ln x x s. Étudier les vritions de l fonction h s sur son ensemble de définition. Soit x s l bscisse du mximum de cette fonction. Préciser les vritions de l fonction s ÞÑÞÑ x s. (4.) Démontrer que l fonction L est continûment dérivble sur l demi-droite ouverte s, `8r. Exprimer l vleur prise en pr l fonction dérivée L, L pq, u moyen de l somme d une série. V. Expression du produit Lpsq.Gpsq : (.) Clculer, pour tout entier n strictement positif pn P N q, u moyen d une vleur prise pr l fonction Γ, l intégrle suivnte : n (2.) Démontrer l reltion : Lpsq.Γpsq e t ` e 2t ts dt. e nt t s dt. V. Clcul de l intégrle : l est dmis que l fonction s ÞÑ Lpsq.Γpsq est continûment dérivble d et que s dérivée est donnée pr l reltion suivnte : ds plpsq.gpsqq `8 ln t ` e 2t dt. (.) Après voir donné u réel s l vleur, effectuer le chngement de vrible u e t dns l intégrle. Effectuer un nouveu chngement de vribles pour obtenir l intégrle définie dns le prémbule : π{2 π{4 lnplnptn xqq dx En déduire une expression de l intégrle à l ide de l constnte d Euler et de l somme d une série.

6 MP Jnson DS6 du 7 jnvier 24/25 Remrque : un clcul de L pq permet d obtenir le résultt : π{2 π{4 lnplnptn xqq dx π ˆ?2π 2 ln Γp3{4q. Γp{4q