Table des matières. Présentation de la collection... 3 Comment utiliser ce livre?... 5 Quelques conseils pour bien apprendre... 7 SAVOIRS...

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1 Table des matières Présentation de la collection Comment utiliser ce livre? Quelques conseils pour bien apprendre SAVOIRS Thème 1 - Le langage mathématique Thème 2 - Entiers, réels, complexes Thème 3 - Trigonométrie Thème 4 - Outils calculatoires Thème 5 - Dénombrement Thème 6 - Suites et fonctions usuelles Thème 7 - Calculs de dérivées et primitives Thème 8 - Systèmes linéaires et matrices Thème 9 - Géométrie Thème 10 - Polynômes Thème 11 - Suites réelles Thème 12 - Statistique descriptive Thème 13 - Concepts de base des probabilités Thème 14 - Limites et continuité Thème 15 - Dérivation Thème 16 - Développements limités Thème 17 - Intégration Thème 18 - Équations différentielles Thème 19 - Fonctions de deux variables Thème 20 - Variables aléatoires finies Thème 21 - Espaces vectoriels et sous-espaces vectoriels Thème 22 - Applications linéaires et matrices SAVOIR-FAIRE Thème 1 - Le langage mathématique Table des matières 449

2 Comment s exprimer correctement en mathématiques? Décrire un ensemble avec rigueur Maîtriser la terminologie et la syntaxe mathématiques Comment manipuler une fonction? Déterminer un domaine de définition Utiliser la notion de composée de fonctions Comment montrer une égalité entre ensembles? Utiliser les règles de calcul sur les différentes opérations ensemblistes Montrer une double inclusion Comment étudier la bijectivité, l injectivité ou la surjectivité d une fonction?. 159 Utiliser la définition pour montrer l injectivité Exhiber des antécédents pour montrer la surjectivité Justifier la bijectivité par l injectivité et la surjectivité Obtenir la bijectivité d une fonction en déterminant l application réciproque. 160 À vous de jouer! Thème 2 - Entiers, réels, complexes Comment montrer une propriété portant sur les entiers? Raisonner par récurrence Utiliser une forme forte du théorème de récurrence Comment calculer avec des nombres réels ou complexes? Développer et factoriser Manipuler des inégalités en séparant les cas Résoudre une (in)équation par analyse et synthèse Résoudre une équation polynomiale de degré Comment manipuler la partie entière d un réel? Déterminer la partie entière en encadrant le réel Encadrer la partie entière d un réel Établir des paliers, découper des intervalles,... afin de simplifier les parties entières 167 Comment calculer spécifiquement avec les nombres complexes? Déterminer la partie réelle ou la partie imaginaire d un nombre complexe Déterminer la forme exponentielle d un nombre complexe Utiliser «l angle moitié» Utiliser la forme exponentielle pour calculer des puissances Utiliser la forme exponentielle pour résoudre une équation Comment utiliser la valeur absolue ou le module? Calculer le carré de la valeur absolue ou du module Majorer par l inégalité triangulaire Montrer qu une quantité est bornée À vous de jouer! Thème 3 - Trigonométrie Comment résoudre des (in)équations trigonométriques? Connaître les valeurs remarquables, la périodicité et les symétries Écrire sous la forme d un seul cosinus Comment obtenir des relations trigonométriques? Utiliser le catalogue de formules à connaître Linéariser une expression Obtenir une expression polynomiale en cosinus ou sinus Comment obtenir des relations sur les arcs? Simplifier les sin(arcsin), arcsin(sin), Discuter selon l intervalle avant de simplifier À vous de jouer! Thème 4 - Outils calculatoires Comment calculer des sommes simples? Utiliser des sommes connues Invoquer les propriétés du symbole Faire apparaître un éventuel télescopage Utiliser les nombres complexes Utiliser la formule du binôme de Newton Comment calculer des sommes doubles? Table des matières

3 Enchaîner ou permuter les deux symboles Faire des «tranches» Comment calculer des produits? Invoquer les propriétés du symbole Utiliser la notation factorielle À vous de jouer! Thème 5 - Dénombrement Comment reconnaître les différents types de situations? Identifier le cas où l ordre intervient et où les répétitions sont possibles Identifier le cas où l ordre intervient mais sans répétition Reconnaître le cas d une énumération exhaustive Identifier le cas où l ordre n intervient pas Comment déterminer le cardinal d un ensemble? Utiliser les règles de calculs et les opérations ensemblistes Faire des «paquets» que l on sait tous dénombrer Utiliser le complémentaire Définir une bijection avec un ensemble de cardinal connu À vous de jouer! Thème 6 - Suites et fonctions usuelles Comment montrer des propriétés globales de suites ou de fonctions? Étudier la monotonie d une suite ou d une fonction Encadrer, minorer, majorer une suite ou une fonction Comment exploiter des propriétés globales d une fonction? Restreindre le domaine d étude Exploiter la monotonie dans des inégalités Transformer sommes, produits, puissances Comment calculer les termes d une suite? Reconnaître une suite arithmétique ou géométrique Revenir à une suite géométrique dans le cas d une suite arithmético-géométrique 200 Résoudre une équation complexe dans le cas d une suite définie par une relation de récurrence linéaire d ordre Utiliser Python pour une approche numérique À vous de jouer! Thème 7 - Calculs de dérivées et primitives Comment étudier une fonction? Justifier la dérivabilité d une fonction Calculer la dérivée d une fonction Déterminer le sens de variation d une fonction dérivable Comment exploiter une étude de fonction? Interpréter le sens de variation d une fonction Démontrer une inégalité Comment calculer les primitives d une fonction? Connaître des primitives usuelles Reconnaître la dérivée d une composée de fonctions Intégrer par parties À vous de jouer! Thème 8 - Systèmes linéaires et matrices Comment résoudre un système linéaire? Utiliser la méthode du pivot de Gauss Traduire le problème matriciellement Utiliser des paramètres pour décrire une infinité de solutions Comment calculer avec des matrices? Utiliser les règles algébriques Tenir compte d une forme particulière des matrices Calculer l inverse d une matrice Comment calculer les puissances d une matrice? Émettre une hypothèse puis la démontrer par récurrence Appliquer la formule du binôme Table des matières 451

4 À vous de jouer! Thème 9 - Géométrie Comment traduire des propriétés géométriques à l aide de vecteurs? Traduire le parallélisme Traduire l orthogonalité de deux droites Comment décrire une droite du plan? Utiliser un vecteur directeur Utiliser un vecteur normal Décrire une portion de droite à l aide d un paramétrage Comment décrire un cercle du plan? Faire le lien entre équation cartésienne, centre et rayon Utiliser le produit scalaire Comment décrire un plan de l espace? Utiliser un vecteur normal Paramétrer un plan à l aide de deux vecteurs directeurs Comment décrire une droite de l espace? Utiliser un vecteur directeur Considérer la droite comme intersection de deux plans Comment déterminer un barycentre? Écrire une relation vectorielle Calculer ses coordonnées dans un repère Utiliser un barycentre partiel À vous de jouer! Thème 10 - Polynômes Comment utiliser les spécificités des polynômes dans des calculs algébriques?. 233 Déterminer le degré Exploiter le cas où les coefficients sont réels Comment déterminer les racines d un polynôme? Identifier le cas d un polynôme de degré Chercher l ordre de multiplicité de racines connues Déduire une racine du polynôme dérivée à partir d une racine multiple du polynôme Comment montrer que deux polynômes sont identiques? Montrer que la différence admet «trop» de racines Comparer les racines et les degrés Comment factoriser un polynôme dans C[X]? Trouver autant de racines distinctes que le degré du polynôme Déterminer l ordre de multiplicité des racines distinctes À vous de jouer! Thème 11 - Suites réelles Comment montrer qu une suite converge? Utiliser la définition Effectuer des opérations algébriques à partir de suites dont on connaît le comportement Utiliser le théorème de la limite monotone Encadrer par deux suites convergentes de même limite Considérer la suite des termes d indices pairs et celle des termes d indices impairs Utiliser la notion de suites adjacentes Montrer que la suite est équivalente à une suite convergente Comment montrer qu une suite diverge? Utiliser le théorème de la limite monotone Majorer ou minorer par une suite divergente de limite infinie Considérer la suite des termes d indices pairs et celle des termes d indices impairs Montrer que la suite est équivalente à une suite divergente Comment calculer ou approcher la limite d une suite? Obtenir la limite à partir d opérations algébriques Utiliser des équivalents Obtenir une inégalité entre les limites de deux suites Table des matières

5 Utiliser l encadrement fourni par deux suites adjacentes Utiliser Python pour une approche numérique À vous de jouer! Thème 12 - Statistique descriptive Comment représenter des données statistiques? Utiliser un diagramme en bâtons ou un histogramme Utiliser un nuage de points Comment décrire des données statistiques? Calculer et exploiter les caractéristiques de position et celles de dispersion Établir un ajustement affine À vous de jouer! Thème 13 - Concepts de base des probabilités Comment le protocole de l expérience fournit-il des informations pratiques? Reconnaître une situation d équiprobabilité Reconnaître des probabilités conditionnelles Exploiter l indépendance d expériences Comment calculer des probabilités sans conditionnement? Dénombrer dans le cas d une probabilité uniforme Utiliser les propriétés fondamentales d une probabilité Considérer un système complet d événements Comment exploiter des probabilités conditionnelles? Utiliser la formule des probabilités composées Lier «causes et conséquences» Utiliser la formule des probabilités totales Comment montrer l indépendance d événements? Comparer numériquement P(A B) et P(A)P(B) Manipuler formellement la définition À vous de jouer! Thème 14 - Limites et continuité Comment montrer qu une limite existe et la calculer? Utiliser les règles de calcul et les croissances comparées Utiliser des inégalités Utiliser des équivalents Ramener l étude à un calcul de limite en Montrer qu une fonction n admet pas de limite Comment étudier la continuité d une fonction? Considérer la fonction comme une somme, composée, etc. de fonctions continues 275 Utiliser la limite en un point Comment résoudre une équation à l aide de la continuité? Utiliser les suites pour résoudre des équations fonctionnelles Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires à une fonction auxiliaire Utiliser une propriété asymptotique pour se ramener aux hypothèses du théorème des valeurs intermédiaires Comment montrer qu une fonction continue est bornée? Appliquer le théorème des bornes à une fonction auxiliaire Combiner l utilisation du théorème des bornes avec une propriété asymptotique 278 À vous de jouer! Thème 15 - Dérivation Comment étudier la dérivabilité et la dérivée d une fonction? Utiliser les notions de dérivée à gauche ou à droite Invoquer le théorème de la bijection Utiliser les dérivées successives Comment lier la dérivée et les variations d une fonction? Chercher des extremums là où la dérivée s annule Justifier l annulation de la dérivée par le théorème de Rolle Lier l accroissement de la fonction à sa dérivée À vous de jouer! Table des matières 453

6 Thème 16 - Développements limités Comment calculer des développements limités? Considérer des opérations algébriques à partir de développements limités connus 290 Intégrer des développements limités connus Ramener le calcul à celui d un développement limité en Appliquer la formule de Taylor-Young Comment obtenir un équivalent d une fonction ou d une suite? Considérer le premier terme non nul du développement limité Utiliser une fonction «correspondant» à la suite Comment exploiter des développements limités pour étudier une fonction? Calculer des limites Étudier localement la fonction Déterminer les éventuelles asymptotes À vous de jouer! Thème 17 - Intégration Comment calculer une intégrale? Trouver une primitive de l expression intégrée Utiliser les propriétés de linéarité et de Chasles Intégrer par parties Effectuer un changement de variable Utiliser des sommes de Riemann Comment exploiter les propriétés de l intégrale? Manipuler des inégalités grâce à la croissance et la positivité Encadrer et majorer des intégrales Calculer les limites de suites du type «sommes de Riemann» À vous de jouer! Thème 18 - Équations différentielles Comment résoudre une équation différentielle? Résoudre l équation homogène associée puis trouver une solution particulière. 309 Utiliser le principe de superposition des solutions Comment résoudre une équation homogène du premier ordre? Utiliser une primitive de a Reconnaître le cas où a est constante Comment trouver une solution particulière d une équation du premier ordre non homogène? Utiliser la méthode de la variation de la constante Reconnaître le cas particulier où a est constante et b est d une forme remarquable 311 Comment résoudre une équation homogène du deuxième ordre à coefficients constants? Résoudre l équation caractéristique Comment trouver une solution particulière d une équation du deuxième ordre non homogène? Reconnaître le cas particulier où d(t) =ke λt Comment résoudre une équation avec une ou plusieurs conditions initiales Obtenir toutes les solutions puis ajuster les constantes correspondant aux conditions À vous de jouer! Thème 19 - Fonctions de deux variables Comment calculer des dérivées partielles? Dériver une expression de la forme f ( x(t),y(t) ) Calculer les dérivées partielles d ordre Comment évaluer une variation de la fonction? Utiliser les dérivées partielles pour approcher une variation de la fonction Comment étudier un extremum? Étudier la fonction aux points où le gradient est nul À vous de jouer! Table des matières

7 Thème 20 - Variables aléatoires finies Comment étudier une variable aléatoire finie? Déterminer la loi et la fonction de répartition d une variable aléatoire finie Calculer les paramètres de position ou de dispersion Exploiter les paramètres de position ou de dispersion Comment exploiter une situation usuelle? Reconnaître une loi usuelle Exprimer la loi d une variable aléatoire à partir de lois usuelles Comment manipuler un couple ou un vecteur aléatoire? Faire le lien entre la loi conjointe, les lois marginales et les lois conditionnelles 329 Étudier une fonction d un couple aléatoire Exploiter l indépendance de variables aléatoires Étudier l indépendance de variables aléatoires À vous de jouer! Thème 21 - Espaces vectoriel et sous-espaces vectoriels Comment déterminer si une partie de K n en est un sous-espace vectoriel? Montrer la stabilité par combinaison linéaire Exhiber une famille génératrice Trouver un exemple explicite contredisant la définition Considérer une intersection de sous-espaces vectoriels Comment étudier les propriétés d une famille de vecteurs? Montrer qu une famille est génératrice Étudier la liberté d une famille de vecteurs Déterminer le rang d une famille de vecteurs Comment exploiter les propriétés d une famille de vecteurs? Déterminer la dimension d un sous-espace vectoriel Exploiter la dimension et le nombre de vecteurs Montrer une inclusion entre sous-espaces vectoriels Établir l égalité de deux sous-espaces vectoriels À vous de jouer! Thème 22 - Applications linéaires et matrices Comment étudier la linéarité d une application? Montrer que l image d une combinaison linéaire est la combinaison linéaire des images Associer une matrice à l application Comment déterminer l image et le noyau d une application? Résoudre un système Utiliser une famille génératrice de l espace de départ Exploiter la dimension du noyau ou de l image Utiliser des opérations élémentaires sur les colonnes Comment déterminer des propriétés d une application linéaire? Utiliser le noyau ou l image Montrer qu une application linéaire est bijective À vous de jouer! CORRIGÉS DES EXERCICES Table des matières 455