MECANIQUE QUANTIQUE Chapitre 6 : Oscillateur Harmonique Quantique

Transcription

1 MECANIQUE QUANTIQUE Cpitre 6 : Oscillteur Hroique Qutique Pr. M. ABD-LEFDIL Uiversité Moed V- Agdl Fculté des Scieces Déprteet de Pysique Aée uiversitire 6-7 Filières SM-SMI Itroductio L'oscillteur roique clssique été étudié de ière détilld tillée e e S. oùo l'éergie écique du systèe s'écrivit coe : p E K () étt l sse du poit tériel (ou prticule), s pulstio, so déplceet d pr rpport à l positio d'équilibre et p s qutité du ouveet.

2 Eeple: sse ccrocée à u ressort. 3 Ds ce cpitre, o se propose de fire ue étude qutique de l'oscillteur roique. Eeple O. H. Q. : Vibrtios des toes ds les solides. Igios u systèe que l o l écrte légèreet de s positio d éd équilibre, pr eeple ue olécule ditoique d cide d clorydrique HCl. Si l o l éloige les toes de H et Cl, ue force de rppel v essyer de reettre l olécule ds l positio d éd équilibre. 4

3 5 Ds ce cs, les grdeurs clssiques et p sot replcées es respectiveet pr les observbles et P (pricipe de correspodce). Rppelos que et P sot deu observbles qui e coutet ps (Cpitre ): [,P ] i Aisi, l'opérteur iltoie du systèe est doé pr : H P O rerque que H est idépedt du teps: le systèe est sttioire. Pr coséquet, l'étude qutique de l'oscillteur roique se rèe à l résolutio de l'équtio u vleurs propres : K H E (4) () (3) 6

4 Ds l représettio { >} (bse de Dirc): d () E() d (5) Reveos à l équtio (3) et itroduisos les opérteurs suivts: (6) P P O rerque que les observbles et P sot ss diesio et o :,P i (7) L'iltoie (3) deviet: H H (8) H P 7 Le problèe est doc de cercer les solutios de l'équtio : H ε (9) où les vleurs propres ε sot ss diesio. O défiit deu opérteurs pr: ip () O vérifie iséet que les deu opérteurs et sot djoits l'u de l'utre. et e sot ps eritiques. ip 8

5 Clculos : ip ip P i,p P E coprt vec l'epressio (8), o voit que : H () O défiit l'opérteur obre de prticules pr : N N est eritique cr : N ( ) () ( ) N H N () 9 O otre fcileet que : [, ] ; [N, ] - ; [N, ] (3) [N, ] -, e effet: N N - ( - ) (-[, ]) - [N, ], e effet: N N - ( - ) [, ]

6 VECTEURS PROPRES ET VALEURS PROPRES DE N : Soit : D où: Avec N H E E (4) (5) H N H H (8) () Iterpréttios ttios des opérteurs et : i) O vu que: [N, ] - [ N,] ( N N ) N ( ( )( ) Et H( (E ) ( ) L'pplictio de l'opérteur u V p Φ > fit bisser l'éergie d'ue qutité qui est u qutu d'éergie. Pour cette riso: est ppelé opérteur d iiltio.

7 ii) O vu que: [N, ]. Coe ds i), o otre que: H( (E ) ( ) L'pplictio de l'opérteur u Vp Φ > fit ugeter l'éergie d'ue qutité qui est u qutu d'éergie. Pour cette riso: est ppelé opérteur de crétio. 3 LEMME : Les vleurs propres de N sot des etiers turels. E effet: L ore u crré de Φ > ( qui est V p de N et de H ) est doée pr : N Doc: 4

8 Supposos que soit o etier. O otrer que ceci est e cotrdictio vec le lee éocé plus ut. Soit p u etier supérieur ou égl à zéro tq: -p > et -p- < O l reltio : N ( p Φ >) ( -p ) ( p Φ >) pour tout etier turel p. (Reltio fcile à vérifier pour p,,,...) Déostrtio: [N, p ]p p- [N,] (T.D. 4 e. ) N p - p Np p- (-) - p p N p (-p) p 5 Aussi: N ( p Φ >) (-p-) ( p Φ >) Or -p- < à cuse de l'ypotèse de déprt. Si 'est ps u etier, costruire u vecteur propre o ul de N vec ue vleur propre égtive est e cotrdictio vec le lee ci-dessus. 6

9 7 7 Cs prticulier: Cs prticulier: et Multiplios pr Φ >, o obtiet : N : C est l étt fodetl où: E P i ip 8 8 E repr E représettio { >} (Bse de Dirc): settio { >} (Bse de Dirc): P i ( ) i i ( ) Multiplios pr o obtiet : d ( ) d ( ) π ep () 4 Et

10 9 9 O otrer e T.D. que: O otrer e T.D. que: ( )! Ds l repr Ds l représettio { settio { >} les >} les Φ > s'epriet pr : > s'epriet pr : () et et ( )! P i

11 Pr coséquet: d ( ) ()! d Coe: Alors: ( ) π 4 ep 3 4 d ( ) e! π d Avec: α α α ( ) e H( α)! π et 4 H () d - ( ) e ( e ) d H () est le polyôe d Herited H () H () H () 4 - H 3 () 8 3 -

12 Ci-dessous, ous présetos les foctios d'odes ssociées u trois preiers iveu de l'oscillteur roique e écique qutique (,, ). Φ Φ : étt fodetl : er étt ecité : èe étt ecité Le obre de zéros ds Φ () est égl à,, e effet: Φ Φ () e s'ule jis Φ () s'ule fois Φ () s'ule fois Φ p () s'ule p fois. 3 Etts ecités s ds l l O.H.Q.: () V() E E E 4

13 Rerques i) L'itervlle ds lequel les Φ () preet des vleurs pprécibles ugete vec. Ce qui correspod e écique clssique à l'ugettio de l'plitude vec l'éergie écique. 5 ii) V() ψ() E Ec k k A Probbilité e M.Q. pour que l prticule eiste e deors du doie clssique d oscilltios d est fiie 6