par produit puis par somme lim 1 ( lnx

Transcription

1 Dvoir n tmps libr n 0 Ercic. Parti A Soit u la fonction défini sur ]0 ; + [par u(= ln (+ 3.. Justifir qu la fonction u st strictmnt croissant sur l intrvall ]0 ; + [. ]0 ; + [, u ( = + Pour tout > 0, u ( >0 (somm d trms strictmnt positifs Conclusion : la fonction u st strictmnt croissant sur ]0 ; + [.. Démontrr qu l équation u( = 0 admt un uniqu solution α compris ntr t 3. lim ln ( = (limit usull t lim 3 = 3 donc par somm lim u( = lim ln ( = + (limit usull t lim 3 = + donc par somm lim u( = + u( = ln ( < 0 ( < ln ( < ln ( ln ( < 0 u(3= ln (3 >0 ( < 3 ln ( < ln (3 ln (3 > 0 0 α + Sign d u ( + Variation d u 0 + La fonction u st continu t strictmnt croissant sur ]0 ; + [. Comm 0 ] lim u( ; lim u( [, alors d après l corollair du théorèm ds valurs intrmédiairs, l équation u( = 0 admt un solution uniqu α sur ]0 ; + [. Comm u( < 0 < u(3, alors par strict croissanc d u sur ]0 ; + [, nécssairmnt < α < 3 Conclusion : l équation u( = 0 admt un uniqu solution α compris ntr t 3 3. En déduir l sign d u( n fonction d. Par strict croissanc d u sur ]0 ; + [, 0 < < α u( < u(α u( < 0 α u( u(α u( 0 On put résumr cla à l aid du tablau d sign suivant : 0 α + Sign d u( 0 + Parti B = ln +. Soit f la fonction défini sur l intrvall ]0 ; + [par f ( ( On appll C la courb rprésntativ d la fonction f dans un rpèr orthogonal.. Détrminr la limit d la fonction f n 0. lim = par produit puis par somm lim ( ln lim ln + = + = Conclusion : lim f( = + /9 6-7_LPG_TS4_DM 0c

2 . a. Démontrr qu, pour tout rél d l intrvall ]0 ; + [, f '( dans la parti A. ]0 ; + [, f ( = ² (ln ( + ln ( + 3 = = ² ² u( b. En déduir l sns d variation d la fonction f sur l intrvall ]0 ; + [. ( u = où u st la fonction défini Pour tout 0, >0, l sign d f ( n dépnd uniqumnt qu d clui d u(. ² D après A..3, il n résult qu la fonction f st strictmnt décroissant (rsp. croissant sur ]0 ; α] (rsp. sur [α; + [ Parti C Soit C la courb d équation y = ln (.. Démontrr qu, pour tout rél d l intrvall ]0 ; + [, f ( ln ( ln ( =. En déduir qu ls courbs C t C ont un sul point commun dont on détrminra ls coordonnés. f( ln ( = ln ( + ln ( = ln ( + ln ( = y = ln y = ln y = ln y = ln y = ln = M( ;y C C ln y = f( 0 = f( ln = 0 ln = = y = Conclusion : ls courbs C t C s rncontrnt n un uniqu point A d coordonnés ( ;. On admt qu la fonction H défini sur l intrvall ]0 ; + [par H ( = ln ( st un primitiv d la fonction h défini sur l intrvall ]0 ; + [par ln (. ( ln Calculr I = d. Intrprétr graphiqumnt c résultat. ln ( I = d (par linéarité d l intégral ln = d d [ ] [ H ] [ ] [ H H ] = ln ( = ln ² ln ( ² ( = 4 [ ln²( ² ln²(² ] = Intrprétation graphiqu : ln ( 0 ln ( Pour tout [ ; ], f( ln ( 0. f( ln ( st continu t positiv sur [ ; ]. La courb C st au-dssus d la courb C sur l intrvall [ ; ], donc l air n unités d air du domain délimité par ls courbs C t C, t ls droits d équation = t = st donné par la valur d l intégral I. Ctt air n unité d airs vaut. /9 6-7_LPG_TS4_DM 0c

3 Ercic. L fabricant d cadnas d la marqu «K» désir imprimr un logo pour son ntrpris. C logo a la form d un lttr majuscul K stylisé, inscrit dans un carré ABCD, d côté un unité d longuur, t rspctant ls conditions C t C suivants : Condition C : la lttr K doit êtr constitué d trois ligns : - un ds ligns st l sgmnt [AD] ; - un duièm lign a pour trémités l point A t un point E du sgmnt [DC]; - la troisièm lign a pour trémité l point B t un point G situé sur la duièm lign. Condition C : l air d chacun ds trois surfacs délimités par ls trois ligns dssinés dans l carré doit êtr compris ntr 0,3 t 0,4, l unité d air étant cll du carré. Cs airs sont notés r, s, t sur ls figurs ci-après. Un atlir d dsign propos du dssins possibls, rprésntés ci-dssus. A; AB, AD. Pour mnr ls étuds qui suivnt, on s plac dans l rpèr orthonormé ( Parti A : étud d la proposition A Dans ctt proposition ls trois ligns sont ds sgmnts t ls trois airs sont égals : r = s = t = 3. Détrminr ls coordonnés ds points E t G. On a : r = AD DE = 3 donc DE = 3. On n déduit qu E a pour coordonnés 3 ;. Par aillurs, s = AB GH = où H st l pid d la hautur issu du point G dans l triangl ABG. 3 On a donc GH = 3. On n déduit qu yg =, il rst à détrminr G. 3 On va utilisr l fait qu G st un point d la droit (AE. G Ls vcturs AE 3 t AG doivnt êtr colinéairs soit 3 3 = G. On n déduit qu G = Conclusion : E 3 ; t G 4 9 ; 3 Parti B : étud d la proposition B Ctt proposition st caractérisé par ls du modalités suivants : la lign d trémités A t E st un portion d la rprésntation graphiqu d la fonction f défini pour tout rél > 0 par : f( = ln (+ ; la lign d trémités B t G st un portion d la rprésntation graphiqu d la fonction g défini pour tout rél > 0 par : g ( = k, où k st un rél positif qui sra détrminé.. a. Détrminr l absciss du point E. Comm E st un point d la courb rprésntant la fonction f, on a : f(e = ye = E st donc solution d l équation f( = Or f( = ln (+ = > t + = > t = Conclusion : Comm >, alors E = b. Détrminr la valur du rél k, sachant qu l absciss du point G st égal à 0,5. 3/9 6-7_LPG_TS4_DM 0c

4 Comm G st un point d la courb rprésntant la fonction g, on a : g(g = g(0,5 = yg c st-à-dir g(0,5 = k On sait qu par aillurs G st aussi un point d la courb rprésntant la fonction f donc f(0,5= k Or f(0,5= ln ( donc k = ln ( Conclusion : k = ln (. a. Démontrr qu la fonction f admt pour primitiv la fonction F défini pour tout rél > 0 par : F( = (+0,5 ln (+. ]0 ; + [, F ( = ln (+ +( +0,5 = ln (+= f( + Conclusion : F st bin un primitiv d f sur ]0 ; + [. b. Démontrr qu r =. Notons F l point d coordonnés ( ;0 t A l air du rctangl AFED On a : A = r+ Or F Donc r = A f( d donc r = A 0 = + ln ( + = f( d= 0 = f( d= 0 F +F(0 = t F(0 = 0 3. Détrminr un primitiv G d la fonction g sur l intrvall ]0 ; + [. Comm pour tout >0, g ( = ln = ln alors un primitiv G d g sur ]0 ; + [ st ln (( ln ( 4. On admt qu ls résultats précédnts prmttnt d établir qu s = (ln ²+ La proposition B rmplit-ll ls conditions imposés par l fabricant? s = (ln ²+ ln ( 0,33 ln (. r 0,36 D plus t = ( s +r 0,3 Conclusion : Chacun ds valurs s, r t t appartint bin à l intrvall [0 ;3 ; 0,4], donc la proposition B rmplit bin ls conditions imposés. Ercic 3. Pour tout ntir naturl n, on définit la fonction fn pour tout rél d l intrvall [0 ; ] par : n( f = +. n ( On not Cn la rprésntation graphiqu d la fonction fn dans un rpèr orthogonal. Qulqus-uns ds courbs Cn sont rprésntés ci-contr. Parti A : généralités sur ls fonctions fn. Démontrr qu, pour tout ntir naturl n, la fonction fn st croissant t positiv sur l intrvall [0 ; ]. [0 ;], f n' ( = + n ( n Pour tout n d N t pour tout d [0 ;], f ' n( 0 (somm d trms positifs D plus pour ls mêms raisons, fn( 0 (pour tout n d N t tout d [0 ;] Conclusion : Pour tout n d N, fn st croissant t positiv sur [0 ;]. 4/9 6-7_LPG_TS4_DM 0c

5 . Montrr qu ls courbs Cn ont touts un point commun A, t précisr ss coordonnés. M( ;y Cn Cn+ n( y = + + = + n( ( n+ ( y = + y = + n( ( n+ ( n( y = + n( = ( n + ( y = = Si touts ls courbs Cn ont un point commun, nécssairmnt c st l point d coordonnés A( ; Vérification : Pour tout n d N, fn (A= ( n A A + = += = ya Conclusion : Touts ls courbs Cn ont un uniqu point commun A d coordonnés ( ;. 3. À l aid ds rprésntations graphiqus, put-on conjcturr l comportmnt ds cofficints dircturs ds tangnts n A au courbs Cn pour ls grands valurs d n? Démontrr ctt conjctur. On conjctur graphiqumnt qu ls cofficints dircturs ds tangnts n A au courbs Cn pour ls grands valurs d n, tndnt vrs +. Pruv : L cofficint dirctur an d la tangnt Γ n à la courb Cn au point A st an = f ' ( = + n Et lim an = lim +n = +. n A n( A = +n Parti B : évolution d fn( lorsqu st fié Soit un rél fié d l intrvall [0 ; ]. Pour tout ntir naturl n, on pos un = fn(.. Dans ctt qustion, on suppos qu =. Étudir la limit évntull d la suit (un. n( un = fn( = + =. La suit (un st constant, égal à, donc lim un =.. Dans ctt qustion, on suppos qu 0. Étudir la limit évntull d la suit (un. un = fn( = n n + = +. ( ( ( 0 < < 0 < On n déduit qu si [0 ;[, alors < <, par suit lim Dans tous ls cas d figur, si [0 ;], on a : lim la qustion précédnt. Parti C : air sous ls courbs Cn Il st inutil d étudir l cas où = (on a fait l étud dans la qustion précédnt ( ( n = 0 d où lim un = un = (lorsqu =, on rtrouv ntr autr l résultat d Pour tout ntir naturl n, on not An l air, primé n unité d air, du domain situé ntr l a ds abscisss, la courb Cn t ls droits d équations rspctivs = 0 t =. À partir ds rprésntations graphiqus, conjcturr la limit d la suit (An lorsqu l ntir n tnd vrs +, puis démontrr ctt conjctur. Graphiqumnt, on conjctur qu lim An = A(OIB où A(OIB désign l air du triangl OIB avc I t B ls points d coordonnés rspctivs ( ;0 t ( ;. 5/9 6-7_LPG_TS4_DM 0c

6 Comm A(OIB = OI IB = alors lim An = Pruv : ( n ( n An = fn( d = d d n d 0 + = n 0 n( = [ ² ] n n = + n n lim = + par produit lim = + donc par invrs lim lim = + y + Par somm lim En conséqunc lim + = + = n n n = 0 Ercic 4. Dans l spac rapporté à un rpèr orthonormé ( O; i, j, k, on considèr ls points A( ; ;, B(3 ; ; t C( ;3 ;3.. Montrr qu ls points A, B t C détrminnt un plan. Donnr un équation d c plan. 0 On a AB 0 t AC. Comm 0, alors ls coordonnés ds vcturs AB t AC n sont pas proportionnlls, donc ils n sont pas colinéairs, par conséqunt ls points A, B t C n sont pas alignés. Ils détrminnt d manièr uniqu un plan à savoir l plan (ABC. a Considérons l vctur n b. c n st un vctur normal au plan (ABC si t sulmnt si n AB = n AC = 0 On obtint : a c = 0 t b +c =0 Soit : c = a t b = c = a. En prnant a =, on obtint l vctur n. On n déduit qu un équation du plan (ABC st : y + z +d = 0 A (ABC donc A ya + za +d = 0 soit 4+4+d = 0 donc d = Conclusion : Un équation cartésinn d (ABC st y + z = 0. On considèr ls plans P t P d équations rspctivs : P : y + z = 0 t P : 3 y + z + = 0. a. Montrr qu ls plans P t P sont sécants. On notra ( lur droit d intrsction. Ls vcturs u t u 3 sont ds vcturs normau rspctifs ds plans P t P 6/9 6-7_LPG_TS4_DM 0c

7 Comm 3, alors ls coordonnés ds vcturs u t u n sont pas proportionnlls, donc ils n sont pas colinéairs, par conséqunt ls plans n sont pas parallèls. Conclusion : P t P sont sécants slon un droit (. b. Montrr qu l point C appartint à la droit (. C yc + zc = 6+6 = 0 donc C P t C 3 yc + zc + = 9+6+= 0 donc C P Comm C st un point commun au du plans P t P, ils appartint aussi à la droit (. c. Démontrr qu l vctur u ( ; 0 ; st un vctur dirctur d la droit (. u u = (0+( = 0 t u u = ( 3(0+( = 0 On n conclut qu u st un vctur dirctur d la droit (. 3. Pour détrminr la distanc du point A à la droit ( d rprésntation paramétriqu : on considèr l point M d paramètr k d la droit (. = k + y = 3 ( k R, z = k + 3 a. Détrminr la valur d k pour qu ls vcturs AM t u soint orthogonau. k + On a : AM 3 soit AM k + 3 k k + AM u AM u = 0 k (+(0 +( k ( = 0 5k = k = 5. b. En déduir la distanc du point A à la droit ( On appll distanc du point A à la droit ( la distanc AH où H st l point d la droit ( tl qu (AH t ( soint orthogonals. H st un point d la droit ( t tl qu AH u. D c qui précèd, on n déduit qu AH a pour coordonnés donc AH = + ² + = + + = = = Ercic 5. Dans l spac muni d un rpèr orthonormé, on considèr : * ls points A(0 ; ; t B( ; ;. * la droit D d rprésntation paramétriqu = + t y = + t, t R. z = t. Détrminr un rprésntation paramétriqu d la droit (AB. 7/9 6-7_LPG_TS4_DM 0c

8 On a : AB 0 S(,y,z (AB AS = t AB, k R = k y = k +, k R. z =. a. Montrr qu ls droits (AB t D n sont pas parallèls. Un vctur dirctur d la droit D st l vctur w Comm, alors ls coordonnés ds vcturs AB t w n sont pas proportionnlls, donc ils n sont pas colinéairs, par conséqunt ls droits (AB t D n sont pas parallèls. b. Montrr qu ls droits (AB t D n sont pas sécants. = k = + t T(,y,z (AB D y = k +, k R t, y = + t t R z = z = t On n déduit qu t t k doivnt vérifir : k= +t t t = On trouv : t = 0 t k = Vérification : = + t = + 0 = Si t = 0, on trouv par rapport à la droit D : y = + t = + 0 = z = t = 0 = = k + = ( + = Si k =, on trouv par rapport à la droit (AB : y = k = = 0 z = Conclusion : (AB t D n sont pas sécants. Dans la suit la lttr u désign un nombr rél. On considèr l point M d la droit D d coordonnés ( +u ; +u ; u. 3. Vérifir qu l plan P d équation + y z 3u = 0 st orthogonal à la droit D t pass par l point M. On constat qu l vctur w qui st un vctur dirctur d la droit D, st un vctur normal au plan P. En conséqunc, l plan P d équation + y z 3u = 0 st orthogonal à la droit D Par aillurs, M+yM zm 3u = +u++u ( u 3 u = 3 u 3u = 0 donc M P. 4. Montrr qu l plan P t la droit (AB sont sécants n un point N d coordonnés ( 4+6u ; 3 3u ;. S(,y,z P (AB = k y = k + z =, k R t + y z 3u = 0 8/9 6-7_LPG_TS4_DM 0c

9 = k y = k +, k R t ( k+k u = 0 z = = k y = k +, k R t k = 3 u z = Conclusion : l plan P t la droit (AB s coupnt n uniqu point N d coordonnés ( 4+6u ;3 3 u ; 5. a. Montrr qu la droit (MN st prpndiculair à la droit D. L vctur MN a pour coordonnés Et MN w = ( + 5u (+( 4u(+u( = 0 Conclusion : (MN st orthogonal à la droit D 4 + 6u + u + 5u 33u u soit 4u + + u u Il rst à prouvr qu lls sont bin sécants n un point. Or, M appartint à la droit D ainsi qu à la droit (MN, lls sont donc sécants n M. Etant orthogonals t sécants n M, (MN t D sont prpndiculairs. b. Eist-t-il un valur du nombr rél u pour laqull la droit (MN st prpndiculair à la droit (AB? MN AB = 0 ( + 5u ( +( 4u(+u(0= 0 u = 3 7. D plus ls droits (MN t (AB sont sécants n N. Conclusion : (MN t (AB sont prpndiculairs u = a. Eprimr MN n fonction d u. MN²=( +5u²+( 4u²+u²= 4u² 36 u +8 = ( u² 8 u +4 = f(u où f : ² 8 +4 b. En déduir la valur du rél u pour laqull la distanc MN st minimal. R, f ( = 4 8 f ( N confondz pas droits orthogonals t droits prpndiculairs. Rvoyz votr cours N oubliz pas d vérifir qu ls droits sont bin sécants. On n déduit qu f st strictmnt croissant (rsp. décroissant sur 3 ; + 7 (rsp. sur 3 ; 7 Il n résult qu la distanc st minimal lorsqu u = 3 7 9/9 6-7_LPG_TS4_DM 0c