[ ] 2 Fonctions usuelles. 2.1 Fonctions circulaires. lim sin x 1. x sin (n) (x) = sin (x + nπ/2) et cos (n) x = cos (x + nπ/2).

Transcription

1 Fonctions usuelles Fonctions circulaires Sinus sinus Cosinus cosinus lim sin cos = ; lim = sin (n) () = sin ( + nπ/) et cos (n) = cos ( + nπ/) Tangente Cotangente tangente cotangente Fonctions circulaires réciproques Dérivée d une fonction réciproque : On admet que si f est une fonction strictement monotone et dérivable sur un intervalle I où f ne s annule pas, alors la fonction réciproque de f est dérivable sur J = f(i) et ( f ) ( t) = f f t ( ( )) [-, ], y = arcsin = sin y y [ π, π ] = cosy y 0,π = tan y y π, π arcsin = = - arccos arctan = + [-, ], y = arccos [ ], y = arctan [ ] ]-, [, ( )( ) ( )( ), ( )( )

2 Arcsin Arccos Arctan arccos arcsin arctan Fonctions logarithmes et eponentielles Logarithme népérien Définition : On appelle logarithme népérien la primitive de la fonction sur ]0,+ [ qui s annule en C est un isomorphisme du groupe ( * +, ) sur (]0, + [,+) C est-à-dire : (, y) ( * + ), ln(y) = ln + lny * +, ln(/) = - ln (, y) ( * + ), ln(/y) = ln lny lim ln = +, limln =, lim ln = 0, lim ln = a > 0, b > 0, lim ( ln) a = 0, lim + b * +, ln, ln(+h) = h + o(h) au voisinage de 0 ( ) 0 b a ( ( ln) ) = 0 Logarithme neperien Eponentielle de base e eponentielle 6 5 logarithme neperien

3 Eponentielle de base e Définition : la fonction ln est une bijection continue strictement croissante de ]0, + [ sur Sa bijection réciproque est continue et strictement croissante de sur ]0, + [ C est un isomorphisme du groupe (]0, + [,+) sur ( + *, ) C est-à-dire : (, y ), ep(+y) = ep()ep(y), ep(-) = ep ( ) (, y ), ep( - y) = On en déduit que (p, q) *, On pose : ep() = e e h = + h + o(h) au voisinage de h = 0 ep( ) ep( y) p q = q p ep e = lim e =+, lim e = 0 ; a > 0, b > 0, lim e b a =+, lim = b e Fonctions eponentielles de base quelconque a Définition : Soit a + * On appelle eponentielle de base a la fonction, notée ep a, définie sur par : ep a () = e ln a 6 e p q En rouge, a = ; en bleu, a = / Propriétés, ln a = ln a, a - = a (, y), a + y =a a y, a -y = a y, (a ) y = a y a (a, b) ( * + ),, (ab) = a b ep a = a ln, ( )( ) a

4 Logarithmes de bases quelconques a * + \{}, (y = log a et * + ) ( = a y et y ) a * + \{}, * +, log a= ln ln a a * + \{}, * +, ( log a)( ) = ln a Représentation graphique : 5 Eponentielle complee Dérivation de Dérivation de at t e : cette fonction est dérivable sur, et (e at ) =ae at ( t ) Fonctions puissances Etude des fonctions f t e : Si f est dérivable, alors cette fonction est dérivable, et (e f(t) ) = e f(t) f (t) α, α R Définition : Pour tout α, on on définit f α : * +, α = e αln Dérivée : f α () = α α Sens de variation : Si α = 0, f α est constante sur * + Si α > 0, f α est strictement croissante sur * + Si α < 0, f α est strictement décroissante sur * + Dérivée en 0 : Si α >, f α (0) = 0 Si α =, f α (0) = 0 Si α <, f α n est pas dérivable en 0 Développement limité : ( + h) α = + αh + o(h) au voisinage de 0 Représentation graphique : en rouge, α =,5 ; en vert, α = ; en bleu, α = /,

5 5 Fonctions hyperboliques et réciproques 5 Fonctions hyperboliques Définition : Pour tout réel, on pose : sh = e e et ch = e + e, th = ch sh Ces trois fonctions sont dérivables sur, et, (sh) ()= ch(), (ch) ()= sh(), ( th )( ) = = - th ch Les fonction sh et th sont paires, la fonction ch est impaire sh ch e ;, sh < e < ch + +, ch sh = lim th =, lim th = - ; + Représentation graphique : en rouge, Sh ; en vert, Ch ; en bleu, Th Fonctions hyperboliques réciproques ArgSh : La fonction Sh est une bijection de sur, strictement croissante, dérivable, et dont la dérivée ne s annule pas Sa bijection réciproque, appelée argument sinus hyperbolique, est une bijection strictement croissante et dérivable de sur R, y = ArgSh = Shy ; R, ( ArgSh )'( ) = + ArgCh : La fonction Ch définit une bijection de [ 0,+ [ sur [ [,+, strictement croissante, dérivable, et dont la dérivée ne s annule pas en dehors de 0 Sa bijection réciproque, appelée argument cosinus,+ hyperbolique, est une bijection strictement croissante de [,+ [ sur [ 0,+ [, dérivable sur ] [ = Chy [, + [, y = ArgCh y + ; ], + [,( ArgCh )'( ) = [ 0, [ ArgTh : La fonction Th est une bijection de sur ],[, strictement croissante, dérivable, et dont la dérivée ne s annule pas Sa bijection réciproque, appelée argument tangente hyperbolique, est une, sur bijection strictement croissante et dérivable de ] [ = ], [, y = ArgTh = Thy ; ], [,( ArgTh )'( )

6 Représentation graphique : (En rouge, ArgSh ; en vert, ArgCh ; en bleu, ArgTh)