Exercices sur le chapitre «Nombres complexes 2 ème partie»
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- Abel Guertin
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1 Exercice 1 : Page 1 sur 6 Ecrire les nombres suivants sous forme exponentielle : z1 = z = z = i z4 = 5 + 5i Exercice : Ecrire les nombres suivants sous forme algébrique : 1 e e e i i i 4 4e i = = = = z z z z Exercice : Ecrire sous forme exponentielle les nombres complexes z1 = + i et z = i Ecrire ensuite la forme exponentielle du produit z 1 z Exercice 4 : Ecrire les nombres suivants sous forme exponentielle : ( ) 4 Exercice 5 : On considère les nombres complexes z1 = 6 i et z = i z1 1) Ecrire sous forme algébrique le quotient z z1 ) Ecrire sous forme exponentielle z1, z et z ) En déduire les valeurs exactes de cos et sin 1 1 Exercice 6 : 4 Déterminer une primitive de la fonction f définie sur par ( ) = sin Exercice 7 : z = z = z 1) Résoudre dans l équation i ( 1) ) Résoudre dans l équation ( ) sin i cos 1+ i z = + i z = z = i cos + isin 1 1 f x x ) On considère les points M, A et B les points d affixes respectives z, 1 et On suppose que M est distinct de A et de B Retrouver les solutions de l équation (1) Exercice 8 : On considère les points A, B et C d affixes respectives za = 1+ i, zb = 1 i et zc = zb zc Mettre sous forme exponentielle le nombre complexe za zb En déduire la nature du triangle ABC
2 Exercice 9 : Page sur 6 On considère les points A et B d affixes respectives z = 1 + i et z = i 1) Déterminer l affixe du point C, image du point B par l homothétie de centre A et de rapport ) Déterminer l affixe du point D, image du point A par la rotation de centre B et d angle A B Exercice 10 : Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct ( O, u, Donner l écriture complexe des transformations suivantes: 1) La translation de vecteur AB où les points A et B ont pour affixes respectives : i et +i ) L homothétie de centre Ω d affixe i et de rapport ) La rotation de centre Ω d affixe 1 i et d angle 4 4) La symétrie centrale de centre Ω d affixe 5) Le quart de tour direct de centre Ω d affixe + i Exercice 11 : Amérique du Nord Mai 007 Unité graphique 4 cm On considère les points A et B d affixes respectives 1) Soit r la rotation de centre O et d angle On appelle C l image de B par r a) Déterminer une écriture complexe de r i 5 i 6 z = i et z = e 6 b) Montrer que l affixe de C est zc = e c) Placer A, B et C ) Soit D le barycentre des points A, B et C affectés respectivement des coefficients, 1 et 1 a) Montrer que l affixe de D est zd = + i Placer le point D b) Montrer que A, B, C et D sont sur un même cercle ) Soit h l homothétie de centre A et de rapport On appelle E l image de A par h a) Déterminer une écriture complexe de h b) Montrer que l affixe du point E est z E = Placer le point E zd zc 4) a) Calculer le rapport Ecrire le résultat sous forme exponentielle ze zc b) En déduire la nature du triangle CDE A B
3 Page sur 6 Exercice 1 : France métropolitaine Juin 007 Partie A On considère l équation ( E ) z ( 4 + i) z + ( 1 + 4i) z 1i = 0 où z est un nombre complexe 1) Démontrer que i est solution de cette équation ) Déterminer les nombres réels a, b et c tels que, pour tout nombre complexe z, on ait : z 4 + i z i z 1i = z i az + bz + c ( ) ( ) ( )( ) ) En déduire toutes les solutions de ( E ) Partie B Unité graphique 4 cm On désigne par A, B et C les points d affixes respectives z = i z = + i et z = i 1) Soit r la rotation de centre B et d angle 4 A B C Déterminer l affixe du point A, image du point A par la rotation r ) Démontrer que les points A, B et C sont alignés et déterminer l écriture complexe de l homothétie de centre B qui transforme C en A Exercice 1 : Polynésie Juin 006 Unité graphique cm On appelle par A et B les points d affixes respectives a = 1 et b = 1 On considère l application f qui, à tout point M du plan différent de B et d affixe z associe le point M d affixe z définie par z ' = z + 1 On fera une figure qui sera complétée au fur et à mesure 1) Déterminer les points invariants de f, c'est-à-dire les points M tels que f(m) = M ) a) Montrer que, pour tout nombre complexe z, différent de 1, (z 1)(z + 1) = b) En déduire une relation entre z 1 et z+1, puis entre arg ( z ' 1 ) et arg( z 1) + pour tout nombre complexe z différent de 1 Traduire ces deux relations en termes de distances et d angles ) Montrer que si M appartient au cercle c de centre B et de rayon, alors M appartient au cercle c de centre A et de rayon 1 4) Soit P le point d affixe p = + i a) Déterminer la forme exponentielle de p + 1 b) Montrer que la point P appartient au cercle c c) Soit Q le point d affixe q = p où p désigne le conjugué de p d) En utilisant les questions précédentes, proposer une construction de l image P du point P par l application f
4 Page 4 sur 6 Exercice 14 : Polynésie Septembre 006 1) On pose a =, b = 5 i et c = 5 + i On désigne par A, B et C les points d affixes respectives a, b et c Soit M un point d affixe z du plan, distinct des points A et B a) Montrer que ABC est un triangle rectangle isocèle z b) Déterminer l ensemble des points M d affixe z tels que z 5 + i soit un nombre réel strictement négatif ) Soit Γ le cercle circonscrit au triangle ABC et Ω le point d affixe i a) Donner l écriture complexe de la rotation r de centre Ω et d angle b) Déterminer l image Γ de Γ par la rotation r Déterminer une équation paramétrique de Γ Exercice 15 : Asie Juin 007 Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct ( O, u, Unité graphique 4 cm Soit λ un nombre complexe non nul et différent de 1 On définit, pour tout entier naturel n, la suite ( z n ) de nombres complexes par : z0 = 0 zn+ 1 = λ zn + i On note M n le point d affixe z n 1) Calcul de z n en fonction de n et λ z = i z = λ + 1 i et z = λ + λ + 1 i a) Vérifier les égalités 1 ( ) ( ) b) Démontrer que, pour tout entier naturel n positif ou nul, zn n λ 1 = i λ 1 ) Etude du cas λ = i a) Montrer que z 4 = 0 b) Pour tout entier naturel n, exprimer z n+1 en fonction de n c) Montrer que M n+1 est l image de M n par une rotation dont on précisera le centre et l angle d) Représenter les points M 0, M 1, M, M et M 4 dans le repère ( O, u, ) Caractérisation de certaines suites : a) On suppose qu il existe un entier naturel k tel que λ k = 1 Démontrer que, pour tout entier naturel n, on alors l égalité zn+ k = zn b) Réciproquement, montrer que s il existe un entier naturel k tel que, pour tout entier naturel n, on alors l égalité zn+ k = zn, alors λ k = 1
5 Exercice 16 : Liban mai 006 Page 5 sur 6 Unité graphique cm Soient A le point d affixe i et B le point d affixe 1) a) Déterminer l affixe du point B 1 image de B par l homothétie de centre A et de rapport b) Déterminer l affixe du point B image de B 1 par la rotation de centre A et d angle 4 Placer les points A, B 1 et B ) On appelle f la transformation du plan dans lui-même qui, à tout point M d affixe z associe le point M d affixe z tel que z = (1+i)z + 1 a) Montrer que B a pour image B par f b) Montrer que A est le seul point invariant par f z ' z c) Etablir que, pour tout nombre complexe z distinct de i, = i i z Interpréter ce résultat en termes de distances et d angles En déduire une méthode de construction de M à partir de M, pour tout M distinct de A ) a) Donner la nature et préciser les éléments caractéristiques de l ensemble Σ 1 des points M du plan dont l affixe z vérifie z = b) Démontrer que z ' i = ( 1+ i)( z ) En déduire que si le point M appartient à Σ 1 alors son image M par f appartient à un cercle Σ dont on précisera le centre et le rayon d) Tracer Σ 1 et Σ sur la même figure que A, B et B Exercice 17 : La réunion juin 007 Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct ( O, u, Unité graphique 1 cm A, B et C désignent les points d affixes respectives a = b = i et c = i 1) a) Ecrire b sous forme exponentielle b) Placer les points A, B et C sur la figure (laisser les traits de construction de B) ;1 ; ) ON désigne par E le barycentre du système {( A )( C )} et par F la barycentre du système {( ;)( ;1)} ) a) Etablir que l affixe e du point E est égale à b) Déterminer l affixe f du point F i a) Démontrer que le quotient e c peut s écrire k i où k est un réel à déterminer e b En déduire que, dans le triangle ABC, le point E est le pied de la hauteur issue de B Placer E b) Démontrer que le point F possède une propriété analogue Placer le point F A; B;1 C ;6 4) On désigne par H le barycentre du système {( )( )( )} Démontrer que le point H est le point d intersection des droites (BE) et ( CF ) Qu en déduit-on pour le point H? A B
6 Exercice 18 : Polynésie juin 007 Page 6 sur 6 Unité graphique 1 cm Les questions sont indépendantes 1) Résoudre dans l ensemble l équation z iz + 6i = 0, z étant le conjugué de z ) On considère le point A d affixe 4 i Déterminer la forme algébrique de l affixe du point B tel que le triangle OAB soit équilatéral dans le sens direct ) Soit D le point d affixe i a) Représenter l ensemble (E) des points M d affixe z différente de i tels que arg( z i) = + k k Z 4 iθ b) Représenter l ensemble (F) des points M d affixe z tels que : z = i + e, θ R 4) A tout point M d affixe z, on associe le point M d affixe z telle que Déterminer l ensemble des points M d affixe z différente de tels que z =1 z ' = z +
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