Nombres complexes. Écritures algébrique et exponentielle d un complexe. Équations complexes MATH. Exercices 6

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1 MATH Exercices 6 Écritures algébrique et exponentielle d un complexe Exercice 1. Trouver la forme algébrique des nombres suivants : a 1 + i 5, b 1+i 1 i, c 1 i 1+i, d 1 4i 1+5i, e 1 4i 1+5i 1+4i 1 5i. Exercice. Trouver la forme exponentielle des nombres suivants : a 1 + i 4, b 1 i 4, c 3 + i 3, d 1 + i 1 3 5, e 1+i 3 1+i. Exercice 3. Exprimer la forme exponentielle de 1 + i à l aide de Arctan. Et 1 + i? Exercice 4. On pose z 3 i + 3. Calculer z ; en déduire module et argument de z. Exercice 5. Simplifier : j 3, 1 + j + j, 1 + j + j, 1 + j 5 et 1 1+j 4. Exercice 6. Soit θ [0; ]. Déterminer module et argument de 1 + e iθ. Exercice 7. Soient a, b C tels que a b et a b 1. Montrer que pour tout z C : z + abz a + b a b i R. Équations complexes Exercice 8. Résoudre les équations d inconnue z C : 1. zz z 1 3. Re z z z z z z 4 +z 1 0 z 7. z z 4 +z z 5 1 z 10. e z 1 + i 3 Exercice 9. Soit n N. On observe l équation z n 1 E n 1. Montrer que toute solution de E n est de module 1.. Montrer que, si z est solution de E n, alors argz 0 [ ] n. 3. Conclure quant aux solutions de E n et justifier en particulier que E n admet n solutions distinctes. 4. Calculer la somme des n solutions ainsi obtenues. Exercice 10. Trouver toutes les valeurs de z C telles que eiz +e iz soit un réel inclus dans [ 1; 1]. 1 / 9

2 j.verliat.free.fr Exercice 11. α étant un paramètre réel, résoudre les équations suivantes, d inconnue z : 1. E α : z cosαz Question subsidiaire : quel est l ensemble des solutions de E α lorsque α décrit [0; π]?. E α : z 4 z cosα E α : z+i z i 4 z+i z i cosα Exercice 1. L objectif de l exercice est le calcul de C et S définis par : C cos 7 + cos 4π 7 + cos 8π 7 et S sin 7 + sin 4π 7 + sin 8π 7 On note ω e i 7 et σ ω + ω + ω a Résoudre dans C l équation z 7 1. b Calculer la somme des racines 7 ème de l unité c est-à-dire la somme des solutions de l équation z 7 1. c Exprimer ω, ω et ω 4 en fonction de puissances de ω.. a Montrer que σ + σ 1 et que σσ. b De quel trinôme σ et σ sont-elles les deux racines? c Prouver que S est positif et en déduire C et S. Lieu de points du plan complexe Exercice 13. Caractériser les complexes z tels que z R ; puis tels que z i R. Exercice 14. Pour tout z C\1}, on forme le complexe Z + iz z 1. Décrire l ensemble des points Mz tels que : 1. Z soit réel ;. imaginaire pur ; 3. ait pour argument π. Exercice 15. Identifier et représenter les ensembles des points M d affixe z tels que : 1. z z 6 + 5i. z i Exercice 16. Déterminer l ensemble des points Mz tels que z, 1 z et 1 + z aient même module. Exercice 17. Déterminer l ensemble des points Mz tels que A1, Mz et N1 + z soient alignés. Exercice 18. Déterminer l ensemble des points du plan d affixe z tels que z i 1 R. iz + 1 / 9

3 Démontrer une égalité/inégalité sur les complexes Exercice 19. Soient a et b deux nombres complexes. Montrer que a + b a + b + a b Identité du parallélogramme Interpréter géométriquement. Exercice 0. Prouver que, pour tout z C, expz expz. Exercice 1. Établir que, pour tout nombre complexe z, Rez + Imz z Rez + Imz. Exercice. À quelle condition sur a, b C a-t-on a + b a + b? Applications à la trigonométrie Exercice Linéariser cos 4 x et cos3x cosx.. Montrer que : a sin 5 x 5 8 sinx 5 16 sin3x sin5x ; b cos 3 x sin 3 x 3 8 sinx sin3x 3 16 sin5x sin7x 1 3 sin9x. Exercice 4. Exprimer cos3x en fonction de cosx. Exprimer sin3x en fonction de sinx. Exercice Pour x R et n N, calculer les sommes : C n n coskx et S n Prudence : discuter selon les valeurs de x.. Montrer que : n n k cosk + 1x n cos n x cos n+ x et n n k n sinkx. sink + 1x n cos n x sin n+ x. Applications de C dans C Exercice 6. On note P z C ; Imz > 0} et D z C ; z < 1}. Pour z C\ i}, on pose Hz z i z+i. 1. Montrer que H réalise une bijection de C\ i} sur un ensemble que l on précisera.. Prouver que HP D. 3 / 9

4 j.verliat.free.fr Indications Hint. Pour e, traiter séparément numérateur et dénominateur, dans un premier temps. Hint 3. Pour trouver un argument, observer Imz Rez. Hint 6. Technique de l angle moitié. Hint 7. Quantité conjuguée... Que dire de aa? Hint 8. : factoriser. 6,8 : changer de variable. 7,9 : passer en notation exponentielle. 10 : passer en notation algébrique. Hint 10. Fixer x [ 1; 1] et commencer par résoudre eiz +e iz x. Hint 14. Écrire z sous forme algébrique. Hint 15. Penser à la distance dans C. Hint 17. Caractérisation vectorielle de l alignement? Hint 19. a + b a + b +...? Hint 1. Les trois nombres à comparer sont positifs ou nuls!... Hint. Écrire la preuve de l inégalité triangulaire, puis étudier le cas d égalité pour chaque inégalité écrite. Hint 4. Écrire que cos3x et sin3x sont respectivement la partie réelle et la partie imaginaire du complexe e i3x e ix 3 cos x + i sin x 3. Hint Calcul de C n + is n ; notation exponentielle ; somme des premiers termes d une suites géométrique ; notation algébrique via la technique de l angle moitié.. Même procédé. Hint Fixer un paramètre z complexe et résoudre l équation d inconnue z complexe Hz z.. Fixer z P et comparer le module de Hz à 1. Étudier ensuite la réciproque. 4 / 9

5 Solutions Solution de l ex 1. a 4 4i. b 1 + i. c b 1 i. d i. e d d iimd 9 13 i. Solution de l ex. a b 4e iπ. c 3e i π 6. d ei π 6, e e i π 1. Solution de l ex 3. Le module est 5. Si on note θ l argument de 1 + i appartenant à ] π ; 3π ], on a : tanθ 1 ; θ ] π ; π [ car Rez > 0. Ainsi, θ Arctan. Finalement, 1 + i 5e i Arctan. On fait de même pour 1 + i et, cette fois, θ vérifie : tanθ 1 ; θ ] π ; 3π [ car Rez < 0. Ainsi, θ Arctan + π. Finalement, 1 + i 5e iπ Arctan. Solution de l ex 4. z 3 i 4e i 5π 6. Donc : z 4 argz 5π 6 [] z z > 0 argz 5π 6 [] z argz 5π 1 [π]. Or Rez 3 > 0, donc on exclut argz 7π 5π 1 []. Ainsi z et argz 1 []. Solution de l ex 5. j 3 1, 1 + j + j 0, 1 + j + j 0, 1 + j 5 j et 1 1+j 4 j. Solution de l ex e iθ e i θ e i θ + e i θ cos θ ei θ. Si cos θ 0, i.e. θ π, alors 1 + eiθ 0 : nombre de module 0 qui n admet pas d argument. Si cos θ > 0, i.e. θ [0; π[, alors 1 + eiθ est de module cos θ et d argument θ Si cos θ < 0, i.e. θ ]π; ], alors 1 + eiθ est de module cos θ et d argument π + θ Solution de l ex 7. En utilisant la technique de la quantité conjuguée, on a : à -près. à -près. z + abz a + b a b z + abz a + ba b a b az bz + aabz abbz aa + ab ba + bb a b az bz + bz az 1 + ab ba + 1 a b i Imaz + Imbz + Imab i R. a b Solution de l ex Notons z a + ib, a, b R : 1 a + b + a + ib 1 a + b + a 1 b 0 a + a 1 0 b 0 } a 1; 1 b 0 égalité de deux complexes écrits sous forme élgébrique z 1 ou z 1. 5 / 9

6 j.verliat.free.fr. z z 1 0 z 0 ou z 1 z U 0}. 3. Équation définie sur C \ 1}. 3 z 1 z 1 z + 1 z + 1 caractérisation des imaginaires purs z 1 z + 1 z 1 z + 1 z 1z + 1 z 1z est définie sur C\0}. z 1 z U \ 1}. 4 z + 1 z z est équidistant de 1 et 0 Mz est équidistant de O0 et A 1 M est sur la médiatrice de [OA]. Cette droite a pour équation cartésienne x 1, donc l ensemble des solutions est l ensemble des complexes de partie réelle 1 on vérifie bien qu il ne contient pas t t t t Cette équation polynomiale du second degré admet deux racines complexes conjuguées : 1±i Posons t z. 6 t + t 1 0 t 3t en observant que 3 est solution évidente. Ainsi : 6 z 3 ou z 4 z ± 3 ou z ±i. Les solutions sont ±i, ± Comme 0 n est pas solution, on peut introduire z sous forme exponentielle : z re iθ où r > 0 et θ [0; [ puisqu un argument est défini de manière unique à -près. z 4 1 r 4 e i4θ e iπ r 4 1 4θ π[] r 1 car x x [ 4 est strictement croissante donc injective sur R +, θ π π ] 4 r 1 θ π 4 ; π 4 ; 3π 4 ; 5π 4 ; } 7π 4 } z e i π 4 ; e i 3π 4 ; e i 5π 4 ; e i 7π 4 Les solutions sont e i π 4, e i 3π 4, e i 5π 4, e i 7π Les solutions sont ± et ±i est définie sur C\0}. 9 z 5 z 1. 0 n est pas solution de cette dernière équation, donc on peut introduire z sous forme exponentielle : z re iθ où r > 0 et θ [0; [ puisqu un argument est défini de manière unique à -près. 9 r 6 e i4θ e iπ r 6 1 4θ π[] r 1 car x x [ 6 est strictement croissante donc injective sur R +, θ π π ] 4 r 1 θ π 4 ; π 4 ; 3π 4 ; 5π 4 ; } 7π 4 } z e i π 4 ; e i 3π 4 ; e i 5π 4 ; e i 7π 4 Les solutions sont e i π 4, e i 3π 4, e i 5π 4, e i 7π 4. 6 / 9

7 10. Les solutions sont les nombres de la forme 1 ln + i π 6 + kπ où k décrit Z. Solution de l ex Si z C vérifie z n 1, alors 1 z n z n. Or, la fonction x x n est strictement croissante, donc injective sur R +, et vaut 1 en 1. C est donc que z 1.. Si z C vérifie z n 1, alors argz n 1 []. Or, argz n n argz[], donc n argz 0[]. Puis, argz 0 [ ] n. 3. Selon la question, si z C est solution de E n, alors argz 0 [ ] n. Or, un argument étant défini de manière unique à -près, on peut seulement sélectionner, pour argz, les valeurs appartenant à [0; [ : kπ n où k [[0; n 1]]. Selon cette remarque et la question 1, si z est solution de E n, alors : } } z 1; e i n ; e i 4π n ;... ; e i n 1π n e i kπ n, k [[0; n 1]]. La réciproque est évidente puisque, si k [[0; n 1]], e i kπ n n e ikπ 1. Finalement, les solutions de E n sont les nombres de la forme e i kπ n où k décrit [[0; n 1]]. Ces nombres sont tous distincts. En effet, par l absurde, s il existe k, k [[0; n 1]] tels que e i kπ n alors kπ n 4. n 1 k π e i kπ n n n [], soit k k [n] ce qui impose k k. k e i 1 e i n n n 0. 1 e i n Solution de l ex 10. Soit x [ 1; 1]. Alors : 1 ei 1 e i n e i k π n, e iz + e iz x Z xz en posant Z e iz, Z x ± i 1 x e iz x ± i 1 x e b cos a + i sin a 1x ± i 1 x car x ± i 1 x 1, e b 1 cos a x, sin a ± 1 x. Cela entraine b 0. Par ailleurs, tout a convient évidemment on repère la formule d Euler. Ainsi, l ensemble des z solutions est l ensemble des réels. Solution de l ex On observe une équation polynomiale du second degré à coefficients réels, de discriminant 4 cos α 4 4 sin α i sinα. Elle admet donc deux solutions : cosα ± i sinα e ±iα. Lorsque α décrit [0; π], e iα décrit le demi-cercle trigonométrique supérieur et e iα décrit le demi-cercle trigonométrique inférieur ; les solutions de E α décrivent donc le cercle trigonométrique.. E α z vérifie E α z e iα ou z e iα. En posant z re iθ, avec r > 0 et θ R, on a : z e iα r 1 et θ α[] r 1 et θ α [π] z ei α ou z e i α +π. On procède de la même manière pour l autre équation et on observe que les solutions sont : e ±i α, e ±i α +π. 3. E α est définie sur C\i} et, pour z C\i}, on a : E α z+i z i vérifie E α. On est donc ramené à résoudre quatre équations. Or, si θ est un réel quelconque, on a : z + i z i eiθ z + i e iθ z i z1 e iθ i1 + e iθ z i eiθ + 1 e iθ 1 cotan θ 7 / 9

8 j.verliat.free.fr en utilisant, pour cette dernière égalité, la technique de l angle moitié. On applique ce raisonnement pour θ α ; α ; α + π; α π} et on obtient quatre solutions peut-être confondues : α α α cotan, cotan, cotan π α et cotan 4 + π. On a appliqué l imparité de cotan et on a vérifié que ces quantités ne valent jamais i puisqu elles sont réelles... Solution de l ex 13. z R z R i R. z i R Rez ± Imz. Solution de l ex z 0 z 6 5i Mz décrit la médiatrice du segment [OA] où A6 5i.. z + i z i Mz décrit le cercle de centre Ω i et de rayon. Solution de l ex 16. C est l ensemble des deux points d affixes j et j. Solution de l ex 17. C est la réunion de la droite des réels et du cercle de centre Ω1 et de rayon 1. Solution de l ex 18. Réunion de la droite d équation Imz 1 et du cercle de centre Ω 1 + i et de rayon 1, privé du point d affixe i bien entendu. Solution de l ex 19. On a a + b a + b + Reab et a b a + b Reab. Par sommation membre à membre : a + b + a b a + b. Solution de l ex 0. En notant z a + ib, a, b R, expz e a e ib e a e ib e a e ib e a ib expz. Solution de l ex 1. On note A A Rez +Imz + Rez Imz ; B Rez + Imz ; C Rez + Imz + Rez Imz. On constate que : Rez + Imz, B z et C Rez + Imz. On développe : B A Rez +Imz Rez Imz Rez Imz 0 ; C B Rez Imz 0. Ainsi, A B C. Comme A, B, C 0, on en déduit que A B C. Solution de l ex. b 0 ou λ R +, a λb. Solution de l ex cos 4 x 1 8 cos4x + 1 cosx cos3x cosx 1 cos5x + cosx.. On calcule : e sin 5 ix e ix 5 x formule d Euler i 1 e i5x 5 5e i3x + 10e ix 10e ix + 5e i3x e i5x formule du binôme i 1 sin5x 5 sin3x + 10 sin10x 4 formule d Euler 5 8 sinx 5 16 sin3x sin5x. puis, de la même manière, on calcule B cos 3 x sin 3 x : e ix + e ix 3 e ix e ix 3 B i 1 e i6x 6 + 3e ix + 3e ix + e i6x e i3x 3e ix + 3e ix e i3x i 1 6 i e i9x 3e i7x + 6e i5x 10e i3x + 1e ix 1e ix + 10e i3x 6e i5x + 3e i7x e i9x 3 8 sinx sin3x 3 16 sin5x sin7x 1 3 sin9x. 8 / 9

9 Solution de l ex 4. cos3x 4 cos 3 x 3 cosx. sin3x 3 sinx 4 sin 3 x. Solution de l ex Si x 0[], C n n + 1, S n 0. n+1 inx sin Sinon, C n + is n e x sin 1 x, C n+1 cosnx sin n x sin 1 x et S n n. n k cosk + 1x n cos n x cos n+ x. n sink + 1x n cos n x sin n+ x. n k sinnx sin n+1 x sin 1 x. 9 / 9