NOMBRES COMPLEXES. Ecriture algébrique - opérations. 2 f. Equations dans C = 1+ z + (3 2i) z (1 + 6i) z+ 2i = 0 admet une solution imaginaire pure.

Transcription

1 Ecrture algébrque - opératons Exemple B Ecrre, sous forme algébrque, les nombres : a ( + 3) + (1 5) b (1 7) (3 + ) c ( 5)(1 + 4) d (3 + ) e f 1+ 3 C Ecrre, sous forme algébrque, les nombres : a (5 ) + 3( 4) b (5 11)( ) c (1 + ) 3 d e 1 1+ f x y y + x (x R, y R*) Equatons dans C D Résoudre, dans C, les équatons : a (3 + ) = 1 b 1 = 1+ c + = 5 E Résoudre, dans C, les équatons : a 3+ 18= 0 b + 9 4= 0 c (1 + 3) + 3 = 0 F Détermner les complexes a, b et c tels que : Résoudre, dans C, l équaton : = 0 3 C = ( )( a + b + c) G Montrer que l équaton 3 + (3 ) (1 + 6) + = 0 admet une soluton magnare pure Exercces à préparer à la mason H Résoudre, dans C, les équatons : a ( + ) + 4 = 0 b + = 1 c 1 = 1 + I Résoudre, dans C, les équatons : a = 0 b J Développer le produt ( 3 1)( 6) = 0 c ( + 5) + 10 = , pus résoudre, dans C, l équaton : = 0 1) Résoudre, dans C, l équaton = 0 1! Montrer que l équaton 3 (1 3) + ( 3) + 6 = 0 admet une soluton magnare pure 1 PG 006/007

2 Affxe d un pont affxe d un vecteur 1@ Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal "" drect (O; uv, ) Détermner les affxes des ponts A, B, C et D, pus celles des vecteurs DA!!!"!!!" et DB A B 1# Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal "" drect (O; uv, ) Placer les ponts E, F et G d affxes respectves : E = 1+ 3, f = 3 + et = 3 C!!" v O!!" u 1$ Dans le plan complexe, rapporté au repère orthonormal "" drect (O; uv, ), on consdère les ponts A, B, C et D d affxes respectves : a = + 5, b = 4 3, c = 11 et d = Détermner les affxes des mleux respectfs I et J des segments [AB] et [CD] D " ", on consdère les ponts 1% Dans le plan complexe, rapporté au repère orthonormal drect (O; uv, ) A, B, C et D d affxes respectves : a = 3 +, b = 1+, c = et d = Détermner les affxes des mleux respectfs I et J des segments [AC] et [BD] Que peut-on en dédure pour le quadrlatère ABCD? Module et argument d un nombre complexe 1^ Détermner le module de chacun des nombres complexes suvants : 1 3 a = 1 3 b = 3+ c = + d = 3 4 e = 5 " " 1& Dans le plan complexe, rapporté au repère orthonormal drect (O; uv, ), on consdère les ponts A, B et C d affxes respectves : a = + 3, b = 1 et c = Calculer les dstances AB, BC et CA En dédure la nature du trangle ABC 1* Détermner un argument de chacun des nombres complexes suvants : a = 4 b = 3 7 c = 3+ d = 3 3 Exercces à préparer à la mason 1( Détermner le module de chacun des nombres complexes suvants : 3 4 a = 3+ b = + c = 5 d = 5 5 " " ) Dans le plan complexe, rapporté au repère orthonormal drect (O; uv, ), on consdère les ponts A, B, C et D d affxes respectves : a = 7, b = 1, c = 6 5 et d = Calculer les dstances AB, BC, CD et DA En dédure la nature du quadrlatère ABCD! Détermner un argument de chacun des nombres complexes suvants : a = 5 b = c = 5+ 5 d = 1 3 PG 006/007

3 Forme Ecrre sous forme trgonométrque les nombres complexes : a = 5 b = 3 c = 4 d = e = 3+ 3 f = # Ecrre sous forme algébrque les nombres complexes : a = 3cos ( + sn ) b = cos + sn 3 3 $ Ecrre sous forme trgonométrque les nombres complexes : a = 6 cos + sn b = 4 cos + sn c = 4 cos + sn c = 4 sn + cos 4 4 Exercces à préparer à la mason % Ecrre sous forme trgonométrque les nombres complexes : 1 a = 3 b = c = d = e = + f = g = cos + sn h = cos sn ^ Ecrre sous forme algébrque les nombres complexes : 5 a = 4 cos + sn b = 4 cos + sn 6 3 c = 6 cos + sn 4 4 Etudes de confguratons & Dans le plan complexe, rapporté au repère orthonormal drect (O; uv, ), on consdère les ponts A, B et C d affxes respectves : a =, b = 5 + et c = Ecrre sous forme trgonométrque le nombre c a En dédure la nature du trangle ABC b a * Dans le plan complexe, rapporté au repère orthonormal drect (O; uv, ), on consdère les ponts A, B, C et D d affxes respectves : a = 5 4, b = 9 + 3, c = 1+ et d = 3 5 a Calculer le nombre complexe a b + c d Que peut-on en dédure pour le quadrlatère ABCD (justfer de deux façons dfférentes)? b Ecrre sous forme trgonométrque le nombre d b Que peut-on en dédure pour le c a quadrlatère ABCD? ( Dans le plan complexe, rapporté au repère orthonormal drect (O; uv, ), on consdère les ponts A, B et C d affxes respectves : a = 3, b = 8 et c = Ecrre sous forme algébrque le nombre c a Détermner le module de ce nombre En dédure b a la nature du trangle ABC 3 PG 006/007

4 Opératons sous forme trgonométrque 3) a Ecrre, sous forme trgonométrque et sous forme algébrque le nombre : cos sn cos sn b En dédure la valeur de cos et sn 1 1 3! Ecrre, sous forme algébrque, le nombre (1 + ) 007 Exercces à préparer à la mason 3@ a Ecrre, sous forme trgonométrque et sous forme algébrque le nombre : b En dédure la valeur de cos 1 et sn 1 cos + sn 3 3 cos + sn 4 4 3# Ecrre, sous forme algébrque, le nombre ( 1+ 3) 31 Notaton exponentelle 3$ Ecrre sous forme algébrque les nombres suvants : a 4e 3 b 5 6e 6 c e 4 3% Ecrre sous forme exponentelle les nombres : a 5 5 b 1 3 d 3e 3^ On donne 3 1 = e, 6 = 3e et 4 3 = 4e Ecrre sous forme exponentelle les nombres : a 1 3 b 1 c 3 3 Exercces à préparer à la mason 3& Ecrre, sous forme trgonométrque et sous forme algébrque le nombre : 3 a e 4 b 8e c 6e 4 d 5e 3* Ecrre sous forme exponentelle les nombres : a 3+ 3 b c d 7 4 PG 006/007

5 Transformatons 3( Dans le plan complexe, rapporté au repère orthonormal drect (O; uv, ), on consdère les ponts A, B, C et D d affxes respectves : a = 1+ 3, b = 3 + 4, c = et d = 3+ et la translaton t de """! vecteur AB a Quelle est l écrture complexe de t? b Détermner l affxe de l mage E de C par t c Détermner l affxe de l antécédent F de D par t 4) On consdère l homothéte h de centre Ω (1 + 3) et de rapport a Quelle est l écrture complexe de h? b Détermner l affxe de l mage C par h du pont A(1 + ) c Détermner l affxe de l antécédent D par h du pont B(3 ) d Détermner la nature du quadrlatère ABCD 4! La transformaton T a pour écrture complexe : ' = 5( + 3) a Démontrer qu l exste un seul pont nvarant par T On désgne par Ω ce pont et par ω son affxe b Vérfer que ' ω = 5( ω) c Détermner la nature et les éléments caractérstques de T 4@ a Détermner l écrture complexe de la rotaton r de centre Ω( 1 + ) et d angle 3 b Détermner l affxe de l mage par r du pont A d affxe c Détermner l affxe de l antécédent par r du pont B d affxe # a On consdère un trangle quelconque OAB drect Construre l mage A' du pont A par la rotaton de centre O et d angle, pus l mage B' de B par la rotaton de centre O et d angle b On désgne par I le mleu de [AB] Que peut-on conjecturer quant aux drotes (A'B') et (OI)? Que peut-on conjecturer pour les dstances A'B' et OI? c On munt le plan complexe d un repère orthonormal (O; uv, ) Dans ce repère, les ponts A et B ont des affxes A et B Exprmer, en foncton de A et B, les affxes des ponts A', B' et I B' A' d Calculer le nombre complexe Que peut-on en conclure? Exercces à préparer à la mason I 4$ Détermner la nature et les éléments caractérstques des transformatons dont les écrtures complexes sont : a ' = 3+ b ' = c ' = + 4% Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal (O; uv, ), on consdère un quadrlatère drect ABCD On désgne par a, b, c et d les affxes respectves des ponts A, B, C et D a Construre les ponts P, Q, R et S tels que les trangles APB, BQC, CRD et DSA soent drects, rectangles socèles respectvement en P, Q, R et S b Que peut-on conjecturer quant aux drotes (PR) et (QS) et aux longueurs PR et QS? ( a b)(1+ ) c Montrer que l affxe p de P vérfe : p = En dédure, de façon analogue, les affxes q, r et s des ponts Q, R et S s q d Montrer que = Conclure r p 5 PG 006/007

6 Compléter une confguraton 4^ Dans le plan complexe, rapporté au repère orthonormal drect (O; uv, ) A, B et C d affxes respectves : a = 1+, b = 5 + et c = 3 + 5, on consdère les ponts Détermner l affxe d du pont D tel que ABCD sot un parallélogramme 4& Dans le plan complexe, rapporté au repère orthonormal drect (O; uv, ), on consdère les ponts A et B d affxes respectves : a = 3 et b = 1+ Détermner l affxe c du pont C tel que le trangle ABC sot équlatéral drect 4* Dans le plan complexe, rapporté au repère orthonormal drect (O; uv, ), on consdère les ponts A et B d affxes respectves : a = 1 et b = + Détermner les affxes c et d des ponts C et D tels que le quadrlatère ABCD sot un carré ndrect Ensembles de ponts 4( Le plan complexe (P ) est rapporté à un repère orthonormal (O,e 1,e ) ponts M de (P ) d affxe vérfant : a + = 5 b 4 = 1 3 c = d ( ) 6 e arg( 3 ) = + k ( k Z ) f ( ) g 1 arg = + k ( k Z ) h + 1 "! ""! Détermner l ensemble des arg + 3 = + k ( k Z ) 3 arg = + k ( k Z ) 4 + arg = + k ( k Z ) 0 0 v 5) Dans le plan complexe P rapporté au repère orthonormal (O, u, ), on consdère les ponts A et B d affxes respectves 1 et On consdère l applcaton f de P {A} dans P qu, à tout pont M() de P dfférent de A, assoce 7 3 le pont M'(') tel que ' = 1+ a On pose = x+ y et ' = x' + y' Exprmer x' et y' en foncton de x et y b Détermner l ensemble des ponts M du plan tels que ' sot réel c Détermner l ensemble des ponts M du plan tels que ' sot magnare pur (de la forme b, b R) d Interpréter géométrquement le module et un argument de ' Retrouver géométrquement les résultats du b et c e Détermner l ensemble des ponts M du plan tels que ' = 1 6 PG 006/007

7 Exercces à préparer à la mason 5! Détermner l ensemble des ponts M d affxe telle que : a = + b c 1 arg = + k ( k Z ) 0 0 v 5@ Dans le plan complexe P rapporté au repère orthonormal (O, u, ) dfférentes, l ensemble des ponts M d affxe vérfant : 1+ a est magnare pur b 3 3, détermner, de deux façons 1+ est réel strctement postf 3 3 c = 1 Equaton paramétrque d un cercle 5# Dans le plan complexe, rapporté au repère orthonormal drect (O; uv, ), on consdère le cercle de centre A d affxe a = 3 3 et de rayon 5 Donner une équaton paramétrque de ce cercle 5$ Dans le plan complexe, rapporté au repère orthonormal drect (O; uv, ), détermner et représenter graphquement les ensembles d équatons paramétrques : θ θ a = + 3e ( θ R ) b = e, θ ; 5% Dans le plan complexe, rapporté au repère orthonormal drect (O; uv, ), détermner et représenter graphquement les ensembles d équatons paramétrques : θ θ 1 e ( 0; ) = 3 + e, θ 0; a = + + θ ] ] b [ ] Nombres conjugués 5^ Le plan complexe (P ) est rapporté à un repère orthonormal (O; uv, ) On consdère l applcaton f qu à tout pont M de (P ), d affxe, assoce le pont M ' d affxe ' telle que : ' = On désgne par ( ) la drote d équaton x y 1 = 0 a On pose = x + y et ' = x' + y' Exprmer x' et y' en foncton de x et y """""! b Exprmer, en foncton de x et y, les coordonnées du vecteur MM ' pus montrer que ce vecteur est normal à la drote ( ) c Exprmer, en foncton de x et y, les coordonnées du mleu I de [MM '] pus montrer que ce mleu appartent à la drote ( ) d Détermner la nature et les éléments caractérstques de l applcaton f 7 PG 006/007

8 Nombres conjugués 3 5& On consdère le polynôme P( ) = a Calculer P( + 3) b Exprmer P( ) en foncton de P() c Dédure des questons précédentes que P() est factorsable par et effectuer cette factorsaton d Résoudre, dans l ensemble C des nombres complexes, l équaton P() = 0 5* Le plan complexe P est rapporté au repère orthonormal drect (O; uv, ) On désgne par A le pont d affxe 1 + On consdère l applcaton f de P {A} dans P qu, à tout pont M d affxe dstnct de A, + 3 assoce le pont M' d affxe ' telle que ' = 1 a Resttuton organsée de connassance : démontrer la proprété suvante : «est un nombre réel» équvaut à «=» b Utlser la proprété précédente pour détermner l ensemble des ponts M de P {A} tels que ' sot un nombre réel!! 5( (O; uv, ) est un repère orthonormal du plan P Sot A le pont d affxe 1 et B le pont d affxe 1 Sot F l applcaton de P prvé de O dans P qu à tout pont M d affxe dstnct de O assoce le 1 pont M ' = F(M) d affxe ' = e 3 1 a Sot E le pont d affxe ; on appelle E' son mage par F Détermner l affxe de E' sous forme exponentelle, pus sous forme algébrque b On note C 1 le cercle de centre O et de rayon 1 Détermner l mage de C 1 par l applcaton F a Sot K le pont d affxe 5 e 6 et K' l mage de K par F Calculer l affxe de K' b Sot C le cercle de centre O et de rayon Détermner l mage de C par l applcaton F 3 On désgne par R un pont d affxe 1+ e θ où θ ] ; [ R appartent au cercle C 3 de centre A et de rayon 1 1 a Montrer que ' + 1= En dédure que : ' + 1 = ' b S on consdère mantenant les ponts d affxe 1+ e θ où θ ] ; [, montrer que leurs mages sont stuées sur une drote On pourra utlser le résultat du a 6) Dans le plan complexe, rapporté au repère orthonormal drect (O; uv, ), détermner et représenter 1 graphquement l ensemble des ponts M d affxe tels que sot magnare pur + 8 PG 006/007

9 Exercce de synthèse!! 6! On consdère la courbe (H ) d équaton y x = 1 dans un repère orthonormal drect (O;, j) Le but de cet exercce est de tracer (H ) et de montrer qu l s agt d une courbe d un type connu 1 Montrer que (H ) est la réunon de la représentaton graphque (C) de la foncton f : x" x + 1 et d une autre courbe que l on précsera Etude de f et tracé de (H ) : a Détermner l ensemble de défnton de f b Etuder la parté de f c Etuder les varatons de f sur [0 ; + [ d Détermner lm ( f( x) x) x + e Etuder la poston de (C) par rapport à ( ) f Tracer (C) pus (H ) Que peut-on en dédure pour la drote ( ) d équaton y = x? 3 Nature de (H ) :!! Dans le plan complexe, rapporté au repère orthonormal drect (O; uv, ), on consdère la rotaton R de centre O et d angle 4 Sot M un pont d affxe = x+ y et M' d affxe ' = x' + y' son mage par la rotaton R a Exprmer x et y en foncton de x' et y' b Détermner une équaton de l mage (H ') de (H ) par R c Quelle est la nature de (H ')? En dédure la nature de (H ) 9 PG 006/007

10 Exercce de synthèse!! Dans tout l'exercce, le plan P est rapporté à un repère orthonormal drect (O; uv, ) Les constructons seront fates sur paper mllmétré 1 a Le pont E a pour affxe E = 3 + et le pont F a pour affxe F = Placer dans P les ponts E et F b Construre le pont H tel que EHF sot un trangle rectangle socèle drect de sommet H, """! """! c'est-à-dre tel que (HF;HE) = [] c On désgne par H l'affxe de H 3+ H Montrer que = H En dédure que H = A, B, C et D sont quatre ponts du plan P H H et que arg = [ ] a Construre les trangles rectangles socèles drects BIA, AJD, DKC et CLB d'angles drots respectfs BIA #, AJD #, #DKC et CLB # b Conjecturer la poston relatve des drotes (IK) et (LJ) et le rapport des longueurs des segments [IK] et [LJ] 3 a On désgne par a, b et I les affxes respectves des ponts A, B et I b I b Montrer que = 1 et I arg = [ ] a I a I C En dédure que I = a b 1 b Avec les ponts B, C et L d'affxes respectves b, c et L, exprmer sans démonstraton L en foncton de b et c c Avec les ponts C, D et K d'affxes respectves c, d et K, exprmer de même K en foncton de c et d Avec les ponts D, A et J d'affxes respectves d, a et J, exprmer de même J en foncton de a et d d Montrer que L J = ( K I ) En dédure que les drotes (JL) et (KI) sont perpendculares et que JL = KI D A B 10 PG 006/007