Tale SINAC2. Contrôle n 5 de mathématiques. Exercice 1 formule du. Exercice 2. Compléter les pointillés : Soit f la fonction définie sur Y par

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1 Tal SINAC2 Contrôl n 5 d mathématiqus Ercic formul du cours Complétr ls pointillés : Soit f la fonction défini sur Y par f() = b + où a t b sont du réls. f () =... N oubliz pas ctt formul dans ls rcics suivants Ercic 2 On a rprésnté ci-dssous la courb c qui rprésnt un fonction f défini t dérivabl sur Y. On précis qu : La courb c pass par l origin O du rpèr 0,5 La tangnt n O à c pass par l point B d coordonnés 5 La tangnt à c n A, d absciss d, st parallèl à l ds abscisss. c ) Lir sur l graphiqu ls valurss d f (0) t d f () 2) On donn, pour tout rél, f() = b où a t b sont du réls qu on chrch à détrminr. Montrr qu, pour tout rél, f () = (b+ab) 3) A l aid ds qustions ) t 2), calculr c ls valurs d a t d b.

2 0 On admt qu, pour tout rél, f() = 0 = ) En utilisant la bonn form d f(), calculr ls limits suivants : a) lim f() b) + lim f() 2) D après la qustion 2) d la parti A, on sait qu f () = (0 0) Etudir l sign d f () puis drssr l tablau d variation d f. Ercic 3 Soit f la fonction défini sur [0 ; 60] par f() = ,025 ) Calculr l imag d 0 2) Calculr f(30) t donnr un valur approché à 0,0 près du résultat 3) Calculr f () t justifir qu f st strictmnt décroissant sur [0 ; 60] 4) Résoudr l équation f() = 0 Un architct vut établir ls plans d un hangar pour ballon dirigabl. La form d la façad avant d c hangar t ls points O, A, B, S, H t K sont donnés sur l schéma ci-contr : Ctt façad avant st symétriqu par rapport au sgmnt vrtical [OS] t OH = 30 m. L arc SA d la façad avant corrspond à un parti d la rprésntation graphiqu d un fonction défini sur l intrvall [0 ; 60] dans un rpèr orthonormal d origin O du plan, l unité étant l mètr. L cahir ds chargs impos ls quatr conditions suivants : OS = 60 HK > 35 la fonction évoqué ci-dssus doit êtr strictmnt décroissant sur l intrvall [0 ; 60] OA 60 La fonction f défini dans la parti A vérifi-t-ll touts ls conditions du cahir ds chargs? Justifir votr raisonnmnt n qulqus phrass. Ercic 4 Résoudr l équation 7 = 46,68 On donnra la valur act d la solution puis un valur approché à 0, près. Ercic 5 Résoudr l équation = 0,2 On donnra la valur act d la solution puis un valur approché à 0, près.

3 Tal SINAC2 Contrôl n 5 d mathématiqus Ercic formul du cours Ercic 2 f () = a + b ) f (0) st l cofficint dirctur d la tangnt à c n O, soit l cofficint dirctur d la droit (OB) yb yo f (0) = = = = 0 0,5 0 0,5 B O f () st l cofficint dirctur d la tangnt à c n A : Ctt tangnt étant parallèl à l ds abscisss, on n déduit qu f () = 0 2) f st d la form uv avc u() = b u () = b v() = v ()= a (d après l rcic ) f st donc d la form u v + uv f () = b + b a = (b + ab) = (b + ab) 3) On sait qu f (0) = 0 On rmplac par 0 dans f (): (b + ab 0) a 0 = 0 (b + 0) 0 = 0 b = 0 b = 0 d où f () = (0 + 0) On rmplac par dans f (): (0 + 0a ) a = 0 a (0 + 0a) = a = a 0 + 0a = 0 0a = 0 0 a = 0 a = d où f() = 0 t f () = (0 0) ) a) Limit n + En utilisant f() = 0, on obtint un form indétrminé du typ «0» 0 On utilis donc l autr form d f(), soit f() = D après l cours, on sait qu lim + = + donc, n invrsant, lim = 0 t, par produit, + lim f() = 0 + b) Limit n lim ( ) = + donc D plus, lim lim = + (0) = donc, par produit, on n déduit qu lim f() =

4 2) > 0 pour tout Y donc f () st du sign d sign d f () + 0 variation d f f() = = 3,68 Ercic 3 ) f(0) = ,025 0 = = = ) f(30) = , = ,75 2 = 37,66 à 0 près 3) f () = ,025 0,025 (d après la formul rapplé dans l rcic ) f () = 0,5 0,025 0,025 On sait qu > 0 pour tout Y donc f () st négatif pour tout [0 ; 60] : On n déduit qu f st décroissant sur [0 ; 60] 4) f() = 0 équivaut à : ,025 = ,025 = 80 0, = = ,025 ln( ) = ln(4) 0,025 = ln(4) ln ( 4) = 0,025 55,45 Condition n : OS = 60 Ctt condition st vérifié car f(0) = 60 Condition n 2 : HK > 35 Ctt condition st vérifié car f(30) 37,66 Condition n 3 : la fonction f st strictmnt décroissant sur [0 ; 60] Ctt condition st vérifié. Condition n 4 : OA 60 Ctt condition st vérifié car l absciss d A st nviron égal à 55,45 Ls 4 conditions du cahir ds chargs sont bin vérifiés.

5 Ercic 4 7 = 46,68 équivaut à : ln( 7) = 46, 68 ln( 7) ( ) = ( ) ln ln 46,68 ln(7) = ln(46,68) ln ( 46,68) = ln 7 3, à ( ) 0 près Ercic 5 0,2 = équivaut à : ( ) = 0,2 = 0,2 0,8 à 0 près