Rappels (1) Objectif et plan. Rappels (2) On considère le problème modèle, supposé bien posé, Chercher uh V h tel que (1) a(u, v) = b(v)

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1 Rappels (1) On considère le problème modèle, supposé bien posé, { Chercher u V tel que a(u, v) = b(v) v V (1) Éléments finis en 2D Alexandre Ern ern@cermics.enpc.fr (V Hilbert, b continue, a continue et coercive) Étant donné un us-espace V h V de dimension finie, la méthode de Galerkine conduit au problème discret { Chercher uh V h tel que a(u h, v h ) = b(v h ) v h V h (2) Ayant choisi une base de V h, on se ramène à un système linéaire dont la matrice de rigidité est définie positive Calcul Scientifique, 2 avril 2015 A. Ern (ENPC) 2 avril / 23 A. Ern (ENPC) 2 avril / 23 Rappels (2) Objectif et plan Exemple de construction de l espace V h en dimension 1 on maille le domaine (h : pas de maillage) on considère des fonctions affines sur chaque maille on assure la conformité dans H 1 0 () en imposant la continuité globale et la nullité au bord des fonctions dans V h On construit une base de V h et un opérateur d interpolation L opérateur d interpolation sert à prouver une estimation d erreur pour le Laplacien en 1D (corde tendue) : convergence à l ordre 1 en h en norme H 1 Les fonctions de base servent à assembler la matrice de rigidité Étendre les éléments finis de degré 1 à la dimension 2 (poly 4.4) On suit la même démarche on maille le domaine on considère des fonctions affines sur chaque maille on assure la conformité dans H 1 0 () Construction d une base de V h et d un opérateur d interpolation Application au Laplacien estimation d erreur matrice de rigidité A. Ern (ENPC) 2 avril / 23 A. Ern (ENPC) 2 avril / 23

2 Maillages (1) Le problème modèle est posé sur un domaine R 2 ouvert borné, connexe, de frontière suffisamment régulière Pour simplifier, on suppose que est un polygone Cela permet de mailler en le recouvrant par des petits triangles Exemple : domaine pluri-km utilisé pour la simulation de propagation de crue (rupture du barrage de Malpasset) Maillages (2) Un maillage (ou triangulation) de est la donnée de N el triangles {K 1... K Nel } (fermés par convention) formant une partition de N el = K i, int(k i K j ) =, i j Le maillage est admissible si pour tout K i K j, l ensemble K i K j est it vide it un mmet commun à K i et K j it une arête commune à K i et K j Exemple et contre-exemple de maillage admissible A. Ern (ENPC) 2 avril / 23 A. Ern (ENPC) 2 avril / 23 Relations d Euler Échelles de longueur (1) On note N el le nombre d éléments N ar le nombre d arêtes N ext le nombre de mmets intérieurs le nombre de mmets extérieurs + N ext le nombre total de mmets N = Pour tout maillage admissible, on a (relations d Euler) On introduit pour chaque maille K i deux échelles de longueur n diamètre h i le diamètre de n cercle inscrit ρ i On a h i /ρ i 1 et h i /ρ i 1 lorsque le triangle K i est très aplati N el = N + 2(1 J) N ar = 2N + 3 (J: nombre de trous dans ) ρ i h i ρ i h i Dans la limite pratique N ext N et N el 2 N, il vient N ar 3 On a h i /ρ i 2/ sin θ i où θ i est le plus petit angle du triangle K i A. Ern (ENPC) 2 avril / 23 A. Ern (ENPC) 2 avril / 23

3 Échelles de longueur (2) Pour un maillage {K 1... K Nel }, on introduit les paramètres globaux h := max h i σ := max h i /ρ i 1 i N el 1 i N el Pour un maillage quasi-uniforme, σ 1 et h i h Pour un maillage quasi-uniforme, on a h (N el ) 1/2 en 1D, h (N el ) 1 en dimension d, h (N el ) 1/d à h fixé, plus d est grand, plus il faut de mailles! Exemple de maillage avec raffinement local Fonctions affines en 2D Espace vectoriel de dimension 3 (on note x = (x, y) le point courant de R 2 ) P 1 := {p(x) = ax + by + c; a, b, c R} Une fonction p P 1 est uniquement déterminée par sa valeur en 3 points non-alignés (les trois mmets d un triangle) La restriction d une fonction p P 1 à un segment est uniquement déterminée par sa valeur en 2 points distincts du segment (les deux mmets d une arête d un triangle) Soit K un triangle de mmets [a 1, a 2, a 3 ] p(a 1) p(x) p(a 3) a 3 p(a 2) x a 2 a 1 A. Ern (ENPC) 2 avril / 23 A. Ern (ENPC) 2 avril / 23 Coordonnées barycentriques (1) Coordonnées barycentriques (1) Les coordonnées barycentriques d un triangle K de mmets [a 1, a 2, a 3 ] nt les trois fonctions {λ 1, λ 2, λ 3 } de P 1 telles que λ i (a j ) = δ ij i, j {1, 2, 3} Exemple : triangle rectangle icèle de côté h a 3 = (0, h) λ1(x) λ2(x) λ3(x) h a3 a3 a3 a2 a2 a2 a 1 = (0, 0) a 2 = (h, 0) h Pour tout p P 1, on a a1 a1 a1 p(x) = p(a 1 )λ 1 (x) + p(a 2 )λ 2 (x) + p(a 3 )λ 3 (x) On a λ 1 + λ 2 + λ 3 1 et λ 1 + λ 2 + λ 3 0 (dans R 2 ) 0 λ i(x) 1, x K, i {1, 2, 3} si g K est le barycentre de K, λ 1(g K ) = λ 2(g K ) = λ 3(g K ) = 1 3 si m i est le milieu de l arête opposée à a i, λ i(m i) = 0 et λ j(m i) = 1 2, j i On a et λ 1 (x) = 1 x + y λ 2 (x) = x h h λ 1 = 1 ( ) 1 λ h 1 2 = 1 ( ) 1 h 0 et on vérifie bien que 3 λ i 1 et 3 λ i 0 λ 3 (x) = y h λ 3 = 1 ( ) 0 h 1 A. Ern (ENPC) 2 avril / 23 A. Ern (ENPC) 2 avril / 23

4 Espace d approximation Fonctions chapeau Fonctions chapeau {ϕ 1... ϕ } Fonctions affines par morceaux, continues et nulles au bord V h = {v h C 0 (); i {1... N el }, v h Ki P 1 ; v h = 0} On a V h H 1 0 () Pour tout v h V h, v h est un vecteur constant sur chaque maille, obtenu en prenant le gradient maille par maille Soit un mmet intérieur du maillage, i {1... } K() est l ensemble des mailles ayant pour mmet λ K,Si est la coordonnée barycentrique de K asciée au mmet S { i λ K,Si (x) si x K pour K K( ) ϕ i (x) = 0 sinon ϕ i() = 1 ϕ i(x) K K() ϕ i(s j) = 0, i j A. Ern (ENPC) 2 avril / 23 A. Ern (ENPC) 2 avril / 23 Base de V h Opérateur d interpolation On a ϕ i V h et ϕ i (S j ) = δ ij, i, j {1... } la continuité et la nullité au bord résultent du fait que sur chaque arête, ϕ i est déterminée par sa valeur aux deux mmets de l arête dim(v h ) = et {ϕ 1... ϕ } est une base de V h La famille est libre : (α 1... α ) RNint, α iϕ i(x) 0 = α iϕ i(s j) = 0 = α j = 0 j {1... } j {1... } La famille est génératrice : v h (x) = v h( )ϕ i (x) car ces deux fonctions nt affines par morceaux elles coïncident en trois points non-alignés sur chaque maille Opérateur d interpolation (H 2 () C 0 () en 2D) I h : H 2 () H0 1 () v I h v(x) := v( )ϕ i (x) V h I h v prend la même valeur que v en tous les mmets du maillage (les deux fonctions nt nulles au bord) Théorème d interpolation : C I t.q. v H 2 () H 1 0 (), v I h v L2 () C Iσh v d H2 () rappel : en 2D, v 2 H 2 () = xxv 2 L 2 () + xy v 2 L 2 () + yy v 2 L 2 () v s écarte de n interpolé affine lorsque sa courbure est grande toutefois, la forme des mailles intervient dans l estimation en plus de la taille des mailles A. Ern (ENPC) 2 avril / 23 A. Ern (ENPC) 2 avril / 23

5 Maillages réguliers Application : membrane à l équilibre On s intéresse à une suite de maillages {K (1), K (2)...} tailles des mailles {h (1), h (2)...} avec h (n) 0 facteurs de forme {σ (1), σ (2)...} : on peut avoir σ (n) si les mailles deviennent de plus en plus aplaties On dit que la suite de maillages {K (1), K (2)...} est régulière si σ 0, n = 1, 2..., σ (n) σ 0 Si K fait partie d une suite régulière de maillages, le théorème d interpolation devient : C I t.q. v H 2 () H 1 0 (), v I h v L2 () C Iσ d 0 h v H2 () Les maillages anitropes (mailles aplaties) nt utiles dans certaines applications (couches limites) : on peut généraliser le théorème d interpolation Rappel du problème modèle : membrane élastique à l équilibre us un chargement la membrane occupe le domaine R 2 elle est fixée sur n pourtour on applique un chargement vertical f Rappel de la formulation variationelle Chercher u H0 1 () tel que u v = fv v H0 1 () u f A. Ern (ENPC) 2 avril / 23 A. Ern (ENPC) 2 avril / 23 Bases théoriques Estimation d erreur On uhaite estimer l erreur grâce à Méthode de Galerkine basée sur l espace V h H 1 0 () Chercher u h V h tel que u h v h = fv h v h V h Estimation d erreur : rappel du lemme de Céa u u h V ω α inf v h V h u v h V On travaille en norme v V := v L2 (), équivalente à la norme v d H 1 () sur H0 1 () (inégalité de Poincaré) u u h L 2 ω α inf v h V h u v h L 2 ω α u I hu L 2 Pour cela, il faut que u H 2 (); or, on sait uniquement que u = f L 2 ()... Si le domaine est convexe, on montre que, pour tout f L 2 (), On obtient ainsi l estimation d erreur u H 2 (), u H 2 C f L 2 u u h L 2 ω α C Iσ 0 hc f L 2 := C H 1h it la convergence à l ordre 1 en h en norme H 1 Si la lution u n est pas dans H 2 (), on obtient une convergence en h α avec < α 1 en norme H1 1 2 A. Ern (ENPC) 2 avril / 23 A. Ern (ENPC) 2 avril / 23

6 Matrice de rigidité (1) Matrice de rigidité (2) Assemblage de la matrice de rigidité A A est d ordre et de terme générique A ij = ϕ i ϕ j Une observation essentielle est que i, j {1... } (A ij 0) = ( et S j nt des mmets d un même triangle) A ij 0 (en général) A ij = 0 La matrice de rigidité contient N int coefficients diagonaux, tous > 0 (par coercivité) 2N ar coefficients extra-diagonaux, en général non-nuls Le nombre total d éléments non-nuls de A est donc de l ordre de + 2N ar 7 ( ) 2 La matrice A contient donc beaucoup d élements nuls : on dit qu elle est creuse S j S j En pratique, on ne stocke que les coefficients non-nuls de A il existe plusieurs formats de compression essentiel pour pouvoir passer des gros calculs! A. Ern (ENPC) 2 avril / 23 A. Ern (ENPC) 2 avril / 23 En conclusion et en ouverture fonctions affines en 2D, coordonnées barycentriques famille régulière de maillages estimation d erreur en norme H 1 : convergence à l ordre 1 pour lution suffisamment régulière (et famille régulière de maillages) structure creuse de la matrice de rigidité Au menu des PC ce matin : éléments finis 1D La semaine prochaine : TP et exercices en 2D (pas d amphi) A. Ern (ENPC) 2 avril / 23