ET - FONCTIONS D ONDE DANS LES ETATS LIES D UN PUITS DE POTENTIEL

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1 ET - FONCTIONS D ONDE DANS LES ETATS LIES D UN PUITS DE POTENTIEL Dans ce qui suit on adopte les notations suivantes : désigne une constante universelle h = π = 6,60 34 Joules par seconde est la constante de Planck) m est un nombre strictement positif masse d une particule) E est un nombre strictement négatif énergie de la particule) a est un nombre strictement positif a est la largeur du puits) U est un réel tel que U +E soit strictement positif U est la profondeur du puits) On désigne par V le fonction définie par Vx) = 0 si x < a région I U si x < a région II 0 si x > a région III Le problème revient à chercher des fonctions Ψ définies sur R, possédant les propriétés suivantes : ) Ψ est deux fois continument dérivable dans R \ { a,a} et vérifie pour tout x dans cet ensemble l équation différentielle suivante dite équation de Schrödinger) ) Ψ est continument dérivable dans R ; 3) Ψ x)dx = ) m Ψ x)+vx)ψx) = EΨx) ; Pour une telle fonction Ψ fonction d onde) la probabilité pour que la particule se trouve dans un intervalle [ a, b] est alors P a,b = b a Ψ x)dx Ce problème n est pas toujours possible La première partie permet de le résoudre en imposant des conditions sur E La deuxième partie permet de voir que le nombre des valeurs de E possibles est fini quantification de l énergie) Partie I On résout l équation ) dans les régions I et III Elle devient m Ψ x)+eψx) = 0

2 ET C est une équation différentielle linéaire du second ordre de polynôme caractéristique qui admet pour racines réelles Dans la région I, on a donc et dans la région III où A, A 3, B, B 3 sont des constantes Dans la région II, l équation devient β = m X +E me et β Ψx) = A e βx +B e βx, Ψx) = A 3 e βx +B 3 e βx, m Ψ x)+u +E)Ψx) = 0 C est une équation différentielle linéaire du second ordre de polynôme caractéristique qui admet pour racines imaginaires ±iα où m X +U +E) et donc, dans la région II, on a où A, B sont des constantes mu +E) α =, Ψx) = A cosαx+b sinαx On remarquera que α et β ne sont pas nuls De plus α +β = mu Si B est non nulle, on obtient, quand x tend vers, et l intégrale de la condition 3) diverge Ψx) B e βx, De même, si A 3 est non nulle, on obtient quand x tend vers, Ψx) A 3 e βx,

3 ET 3 et l intégrale de la condition 3) diverge Si l on veut que l intégrale de la condition 3) converge, on doit donc avoir En résumé, on obtient, et donc Ψx) = Ψ x) = B = A 3 = 0 A e βx si x < a A cosαx+b sinαx si x < a B 3 e βx si x > a βa e βx si x < a αa sinαx+αb cosαx si x < a βb 3 e βx si x > a Puisque Φ doit être deux fois continument dérivable sur R, écrivons maintenant la continuité de Ψ et de Ψ en a et a On obtient les quatre relations suivantes : continuité de Ψ en a continuité de Ψ en a continuité de Ψ en a continuité de Ψ en a B 3 e βa = A cosαa+b sinαa; A e βa = A cosαa B sinαa; βb 3 e βa = αa sinαa+αb cosαa; βa e βa = αa sinαa+αb cosαa On obtient ainsi un système de quatre équations à quatre inconnues A, A, B, B 3 Si ce système était un système de Cramer, alors on aurait nécessairement A = A = B = B 3 = 0, et la fonction Ψ serait nulle ce qui contredirait la condition 3) Le système ne doit donc pas être un système de Cramer, ce qui signifie que son déterminant doit être nul Calculons e βa cosαa sinαa 0 = βe βa αsinαa αcosαa 0 0 αsinαa αcosαa βe βa 0 cosαa sinαa e βa En ajoutant à la deuxième ligne β fois la première, et à la troisième ligne β fois la quatrième, on obtient e βa cosαa sinαa 0 = 0 αsinαa+βcosαa αcosαa βsinαa 0 0 αsinαa βcosαa αcosαa βsinαa 0, 0 cosαa sinαa e βa

4 ET 4 ce qui donne et finalement = e βa αsinαa+βcosαa αsinαa βcosαa αcosαa βsinαa, = e βa αsinαa βcosαa)αcosαa+βsinαa) Le déterminant s annule donc si l on a une des deux égalités suivantes : tanαa = β α et tanαa = α β Les deux valeurs β/α et α/β sont différentes On peut alors résoudre complètement le système en fonction d une des inconnues dans chacun des deux cas Condition A : tanαa = β α Dans ce cas le système a pour matrice e βa cosαa sinαa αcosαa βsinαa αcosαa βsinαa 0 0 cosαa sinαa e βa et comme αcosαa βsinαa n est pas nul, celle-ci se transforme par la méthode du pivot en e βa cosαa αcosαa βsinαa cosαa 0 e βa,, On obtient alors puis B = 0 A = B 3 = A e βa cosαa La solution Ψ est alors Ψx) = A e βx+a) cosαa si x < a cosαx si x < a e β x+a) cosαa si x > a On remarque que cette fonction est paire Il reste à déterminer la constante A en utilisant la condition 3 En raison de la parité, on a

5 ET 5 Ψ x)dx = 0 Ψ x)dx = A e βa cos αa a e βx dx+ a 0 +cosαx cos = A αa +a+ sinαa ) β α ) = A β+tan αa) +a+ tanαa α+tan αa) ) α+βtanαa = A αβ+tan αa) +a dx En remplaçant tan αa par β/α, on obtient Ψ x)dx = A ) β +a, et comme cette intégrale vaut, on en déduit la valeur de A A = β +a Condition B : tanαa = α β Dans ce cas le système a pour matrice e βa cosαa sinαa 0 0 αsinαa+βcosαa αsinαa βcosαa cosαa sinαa e βa et comme αsinαa+βcosαa n est pas nul, celle-ci se transforme par la méthode du pivot en On obtient alors puis e βa 0 sinαa 0 0 αsinαa+βcosαa sinαa e βa A = 0 A = B 3 = B e βa sinαa,,,

6 ET 6 d où e βx+a) sinαa si x < a Ψx) = B sinαx si x < a e β x+a) sinαa si x > a On remarque que cette fonction est impaire Il reste à déterminer la constante B en utilisant la condition 3 En raison de la parité, on a Ψ x)dx = 0 = B Ψ x)dx En remplaçant tanαa par α/β, on obtient e βa sin αa a e βx dx+ a 0 cosαx sin = B αa +a sinαa ) β α = B tan ) αa β+tan αa) +a tanαa α+tan αa) = B tanαa αtanαa β ) αβ+tan αa) +a dx Ψ x)dx = B ) β +a, et comme cette intégrale vaut, on en déduit la valeur de B B = β +a La constante obtenue est la même dans les deux cas Partie II Il s agit maintenant de déterminer comment on peut obtenir une des égalités des conditions A et B obtenues plus haut lorsque m et U sont donnés Les conditions obtenues portent sur E

7 ET 7 Posons X = αa et Y = βa On a donc et nous noterons X +Y = a α +β ) = mua λ = C est un nombre strictement positif Par ailleurs a mu Y X = β α Les conditions A et B se traduisent respectivement par Y = XtanX et Y = XcotanX = X tan X π ) Notons θ = X π E X π ) ce nombre appartient à l intervalle [0, π/[, et il est tel que tanθ = tanx ou tanθ = tan X π ) avec de plus, puisque X et Y sont positifs, λx = cosθ et λy = sinθ La recherche des valeurs de E pour lesquelles le problème est possible revient à la résolution du système X +Y = λ Y = X tan X π E X π )) ou encore, en posant fx) = cos x π )) x E π, où Et) désigne la partie entière de t, du système λx = fx) Y = X tan On remarque que f x+ π ) = cos x+ π π )) xπ E + X π E X π )) = cos x+ π π E ) )) x + = fx) π

8 ET 8 La fonction f est donc de période π/, et, sur l intervalle [0, π/[, on a fx) = cosx On peut alors déterminer le nombre N de points d intersection de la courbe représentative de f avec la droite d équation y = λx suivant la valeur de λ π/ π 3π/ Le dernier morceau de la courbe coupé par la droite est obtenu dans l intervalle [kπ/, k+)π/[ lorsque λ kπ +)π < λk, c est-à-dire et finalement k λπ < k+, ) k = E λπ On a alors un point d intersection dans chaque intervalle [ nπ/, n + )π/[ pour n compris entre 0 et k, ce qui donne ) N = +E λπ On en déduit, en fonction des conditions initiales du problème, le nombre de valeurs de E possibles a ) mu N = +E π Pour terminer, cherchons la probabilité P EX pour que la particule soit à l extérieur du puits c est-àdire, en raison de la parité de Ψ, P EX = x a Ψ x)dx = a Ψ x)dx

9 ET 9 En reprenant le calcul d intégrale effectué plus haut, on a, suivant que l on se trouve dans les conditions A ou B, cos αa β P EX = +α = β +αβ +tan cas A) αa sin αa tan αa β +α = β +αβ +tan cas B) αa En tenant compte des relations A ou B, on obtient dans les deux cas Lorsque U tend vers l infini, P EX = α α +β +αβ le nombre N tend vers l infini : il y a de plus en plus de niveaux d énergie possibles pour la particule; le nombre α tend vers l infini et la probabilité P EX tend vers0:la probabilité de présence à l extérieur d un puits de profondeur infinie est donc nulle