Théorie de la mesure et intégration. J.C. Pardo

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1 Feuille de TD 6. Théorie de l mesure et intégrtion. J.C. Prdo Exercices. Exo. 72 Soit f une fonction sur. On considère muni de l tribu B des boréliens et d une mesure λ sur B. On suppose que f est λ-loclement intégrble (c est-à-dire intégrble pour tout compct). ) Montrer que f est mesurble. b) Montrer que fdλ ne tend ps vers une limite qund A tend vers + entrîne [,A] f dλ = +. Exo. 73 Soit (f n, n IN) une suite de fonctions positives intégrbles pour une mesure positive µ sur un ensemble X. On suppose que f n converge µ presque prtout vers une fonction f. ) Posons g n = inf k n f k pour tout n. Montrer que g n est intégrble et que l suite g n converge µ-presque prtout vers f. b) On suppose de plus qu il existe une constnte M telle que f n dµ M, pour tout n. Que peut-on dire de l intégrle de f? Montrer, à l ide d un exemple, que l on n ps necessirement fdµ = lim f n dµ. n + c) On suppose en plus des hypothèse du (b) que fdµ = lim n + f n dµ. Montrer que f f n dµ, converge vers. d) Montrer, à l ide d un exemple, que le résultt du (c) n est ps vlble si les f n ne sont ps positives. 1

2 Exo. 74 En utilisnt le théorème de Lebesgue, clculer 1 nx lim n 1 + n 4 x dx. 4 Peut-on ppliquer l même méthode pour clculer 1 nx lim n 1 + n 2 x dx? 4 Clculer s vleur. 75 Soit (f n, n IN) une suite de fonctions integrbles telle que f n+1 f n dµ < +. n Montrer que sup n f n est intégrble et que l suite f n converge p.p. vers une fonction f intégrble vérifint fdµ = lim f n dµ. n Rppel: On note L 1 (X, µ) l ensemble des fonctions intégrbles de X dns pour l mesure µ. Exo. 76 Soit (f n, n IN) une suite de Cuchy dns L 1 (X, µ). Montrer qu il existe une sous suite (f nk, k IN) qui converge p.p (et dns L 1 ) vers l limite f de (f n ) dns L 1. En déduire que l suite (f n ) de fonctions intégrbles convergent pour l semi-norme f dµ, on peut extrire une sous suite qui converge p.p. vers f. Donner un exemple de suite de fonctions intégrbles (f n ) telle que f n dµ converge vers, qund n, mis telle que (f n ) ne tende ps vers presque prtout. Exo. 77 Soit f : et pour h, nous définissons l fonction f h (x) = f(x h). ) Soit f une fonction continue à support compct. Montrer que f h (x) f(x) dx, qund h. b) Montrer l même propriété pour une fonction g intégrble (on dmettr que l ensemble des fonctions continues à support compct est dense dns L 1 ()). c) A-t-on l même propriété si f L p () pour l semi-norme de L p (), c est-à-dire ( 1/p f p = f dx) p. Exo. 78 Soit f une fonction intégrble. On note: ˆf(y) = e ixy f(x)dx, pour y. 2

3 Montrer que ˆf, trnsformée de Fourier de f, est une fonction continue bornée sur. Exo. 79 Avec les nottions de l exercice précédent, montrer le lemme de Riemmn- Lebesgue: Si f est integrble, ˆf tend vers à línfini. Exo 8 Soit f une fonction intégrble, ou seulement loclement intégrble sur, pour l mesure de Lebesgue. ) Montrer que f(t)dt tend vers qund x tend vers, à l ide du théorème [o,x] de convergence dominée de Lebesgue. b) On suppose que f est continue sur. Montrer que n f(t)dt tend vers une [o,1/n] limite qund n tend vers +, et determiner l limite. c) Existe-t-il une limite à l expression n f(t)dt qund n tend vers +, lorsque [o,1/n] f est seulement loclement intégrble. Exo 81 Soit f une ppliction continue sur, existe-t-il une impliction entre: ) f est intégrble sur, pour l mesure de Lebesgue. b) f tend vers une limite qund x tend vers ±. Que peut on dire, si f est une ppliction uniformément continue sur. Exo 82 Soit f une fonction dérivble sur. ) Montrer que s dérivée f est une fonction mesurble pour l mesure de Lebesgue. b) On suppose que f est continue et intégrble sur, pour l mesure de Lebesgue. Montrer que f tend vers une limite qund x tend vers ±. Exo. 83 Soit f une fonction définie sur, de clsse C 1 pour \{}. On suppose que f dmet une limit à droite, et une à guche, en, et que s dérivée f est loclement intégrble. ) Si φ est une fonction de clsse C 1 sur, et à support compct, clculer: f(x)φ (x)dx. b) Clculer: ln x φ (x)dx. c) Donner un exemple de une fonction dérivble sur [ 1, 1] \ {}, dont l dérivée n est ps une fonction intégrble pour l mesure de Lebesgue sur [ 1, 1]. 3

4 Exo. 84 Pour (x 1, x 2 ) pprtennt à 2 \{}, on note E(x 1, x 2 ) = ln(x 2 1+x 2 2). Montrer que l fonction E est une fonction loclement intégrble dns 2. Mintennt, on définit f(x 1, x 2 ) = 1/(x 1 + ix 2 ). Montrer que f est une fonction loclement intégrble dns 2. Exo. 85 (Utilise le lemme de Riemmn-Lebesgue). Soit φ une fonction définie sur, intégrble pour l mesure de Lebesgue, telle que (φ(v) φ())/v soit borné u voisinge de l origine. ) Montre que sin(v) φ(v) πφ(), qund. v On pourr utiliser les fonctions φ 1 (x) = φ() si x [ 1, 1], sinon et φ 2 = φ φ 1 et dmettre le lemme de Riemmn-Lebesgue. b) Soit f L 1 (). On suppose qu il existe u u voisinge duquel, le quotient (f(u + h) f(u))/h soit borné. Montrer que 1 ( ) f(u) = lim e iux e itx f(t)dt dx. 2π Conclusion concernnt une fonction intégrble et dérivble. Exo. 86 Soit f une fonction monotone (croissnte), définie sur le segment [, b] de. ) Montrer que f est limite uniforme d une suite de fonctions étgées. b) En déduire que toute fonction monotone, définie sur un segment [, b] de, est mesurble. Conclusion pour une fonction monotone, définie sur. Exo. 87 Seconde formule de l moyenne. Soit f une fonction définie sur le segment [, b] de, pr: f(x) = g(x)h(x), où g est une fonction positive décroissnte, et h est une fonction intégrble sur [, b]. Alors il existe c [, b] tel que: b f(x)dx = g() c h(x)dx. On demontrer que l propriété est vrie si g est une fonction en esclier, positive décroissnte, pour en deduire ensuite l seconde formule de l moyenne. Exo. 88 Lemme d Abel. Soit f une fonction définie sur [, [, pr:f(x) = g(x)h(x), où g est une fonction positive décroissnte tendnt vers à l infini, et h est une fonction intégrble sur tout segment [, b] de + telle qu il existe une constnte σ >, verifint pour tous, b + : b σ,b = h(x)dx σ. Alors f(x)dx est convergente, et f(x)dx est mjoré en module pr σg(a). A Exo. 89 Lemme d Abel pour les séries. Soit u n = n b n le terme générl d une série, 4

5 où n est une suite décroissnte, tendnt vers, et où b n est une suite telle qu il existe σ vérifint: Alors l série (u n ) est convergente et b n + b n b n+p σ, n, p IN. u n + u n u n+p + σu n, n IN. C est un cs prticulier de l exercice précédent en prennt: g = n n 1I [n,n+1[, et h = n b n 1I [n,n+1[. Exo. 9 Soit f une fonction définie sur [, 1], à vleurs réelles, mesurble, bornée en dehors d un ensemble de mesure nulle. On note: { f = inf M + : f(x) M p.p. }. ) Montrer que {x : f(x) > f } est de mesure nulle. b) Montrer que l suite ( 1 converge vers f qund n. ) 1/n f n dλ Exo. 91 Soient (X, T, µ) un espce mesuré, et f une fonction intégrble. ) Montrer que pour tout ɛ >, il existe A T de mesure finie, tel que: { } sup f(x) : x A <, et f(x) dµ ɛ. X\A Utiliser les ensembles A n = {x : 2 n f(x) 2 n }, n IN. b) Montrer que pour tout ɛ >, il existe δ > tel que, B T vérifint µ(b) δ, on f(x) dµ ɛ. c) Soit f une fonction intégrble de dns. Montrer que l ppliction est uniformément continue sur. x x B f(t)dt, 5

6 Exo. 92 Soit I n = n ( 1 + x n) n e 2x dx. Montrer l convergence de l suite I n, en utilisnt le théorème de convergence monotone, et donner l limite. Exo. 93 On note f l fonction définie sur 2 pr f(t, x) = t t 2 x 2. On remrque (sns preuve) qu il s git d une fonction de clsse C à vleurs positives. ) Pour t réel quelconque montrer que l fonction x f(t, x) est intégrble sur (pour l mesure de Lebesgue) et donner l vleur de F (t) = f(t, x)dx. b) Pour t réel quelconque montrer que l fonction x f (t, x) est intégrble sur t (pour l mesure de Lebesque). c) Pour étudier l continuité de l fonction F (indépendemment de l vleur explicitée en ()), peut-on utiliser le théorème de continuité des intégrles dépendnt d un prmètre? (Dns l ffirmtive on montrer que toutes les hypothèse de ce théorème sont vérifiées, dns l négtive on préciser l ou les hypothèse qui ne le sont ps). d) Même question que l précédente en remplçnt continuité pr dérivbilité. Exo. 94 Pour x et θ réels on pose, si cel un sens ϕ(x, θ) = ln(1 2x sin(θ) + x 2 ). ) Montrer que, pour tout x réel, l fonction θ ϕ(x, θ) est définie presque prtout et intégrble sur [ π, π] (u sens de Lebesgue). b) On définit F de dns pr F (x) = π π ϕ(x, θ)dθ. Montre que l fonction F est pire, continue sur et vérifie, pour x > 1, 4π ln(x 1) F (x) 4π ln(x + 1). c) Montrer que l fonction F est deux fois dérivble sur \ { 1, 1} et donner une expresion de F et F à l ide d intégrles. d) On fixe x différent de 1, et 1, évluer ϕ θ suivnte xf (x) + F (x) =. et 2 ϕ θ 2 et en déduire l reltion 6

7 e) Donner l vleur de F (x) pour tout x. Exo 95. Le but de cet exercice est l étude de l fonction F définie pr F (t) = + sin(tx) (1 + x) x dx. ) Montrer que l fonction F est bien définie sur tout. b) Montrer que F est continue et bornée sur. c) Pour t donner une reltion simple lint F (t) et G(t) = + sin(u) (t + u) u du. d) Montrer que F est indéfiniment dérivble sur. e) Montrer que, pour t G(t) peut ussi s écrire G(t) = + 1 cos(u) f(t, u)du, u où f est une frction rtionnelle en t et u que l on expliciter. f) Montrer que lorsque t tend vers pr vleurs positives G(t) une limite finie strictemente positive. g) Montrer que lorsque t tend vers pr vleurs positives F (t) dmet un équivlent du type A t. L fonction F est-elle dérivble en? h) Montrer que, lorsque t tend vers +, F (t) dmet un équivlent du type B/ t. 7