Chapitre 1. Dénombrer et sommer. 1.1 Rappels ensemblistes Opérations ensemblistes

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1 Chpitre 1 Dénombrer et sommer Compter des objets et fire des dditions, voilà bien les deux ctivités les plus élémentires à l bse des mthémtiques. Et pourtnt à y regrder de plus près, ce n est ps si fcile. Déjà pour un ensemble fini, l méthode qui consiste à regrder ses éléments l un près l utre et à les compter (donc à les numéroter) n est pplicble que pour de «petits» ensembles. Le plus souvent on s en sort en fisnt une représenttion de l ensemble à dénombrer à l ide d un utre ensemble plus fmilier. Cette représenttion est ce que l on ppelle une bijection. Elle est d illeurs à l bse du processus de comptge qui consiste simplement à mettre en bijection un ensemble vec un ensemble de nombres entiers. Cette notion de bijection permet d étendre en un certin sens le dénombrement ux ensembles infinis. L extension de l notion de somme d une suite finie de nombres à une suite infinie conduit nturellement à l notion de série que nous réviserons dns ce chpitre. L théorie des probbilités utilise implicitement une notion plus générle, celle de fmille sommble. Il s git de définir l somme, si elle existe, d une fmille de nombres indexée pr un ensemble infini qui n est ps forcément N ou N. Nous présentons cette théorie dns l dernière prtie du chpitre. Dns tout ce qui suit, l nottion {1,..., n} pour n N désigne l ensemble de tous les entiers compris u sens lrge entre 1 et n. L écriture un peu busive «i = 1,..., n» signifie «i {1,..., n}». 1.1 Rppels ensemblistes Opértions ensemblistes Soit Ω un ensemble ; A est un sous-ensemble (ou une prtie) de Ω si tout élément de A est ussi un élément de Ω ( ω A, ω Ω). On note A Ω. On ppelle P(Ω) l ensemble des prties de Ω, ce que l on peut noter 1 P(Ω) = {A; A Ω}. 1. Dns toutes les écritures d ensembles entre ccoldes, nous utilisons le point virgule u sens de «tel que». 1

2 Chpitre 1. Dénombrer et sommer Ainsi les écritures A Ω et A P(Ω) sont deux fçons de dire l même chose 2. Si A et B sont deux prties du même ensemble Ω, on dit que A est incluse dns B (nottion A B) si tout élément de A est ussi élément de B ( ω A, ω B), utrement dit, si l pprtennce à A implique l pprtennce à B : A B signifie ω Ω, (ω A) (ω B). Soit I un ensemble quelconque d indices (fini ou infini) et (A i ) i I une fmille de prties de Ω. On définit son intersection A i et s réunion, A i pr : i I i I A i := {ω Ω; i I, ω A i } et A i = {ω Ω; i I, ω A i }. (1.1) i I i I Remrque 1.1. L réunion et l intersection d une fmille de prties de Ω sont définies de fçon globle, elles s obtiennent d un coup, sns pssge à l limite qund I est infini et sns qu un ordre éventuel sur l ensemble d indices I n it d importnce. Réunion et intersection sont très utiles pour l trduction utomtique des quntificteurs. Si I est un ensemble quelconque d indices, (π i ) une propriété dépendnt de l indice i et A i l ensemble des ω Ω vérifint (π i ), on : {ω Ω; i I, ω vérifie (π i )} = A i, i I {ω Ω; i = i(ω) I, ω vérifie (π i )} = A i. i I Ainsi le quntificteur peut toujours se trduire pr une intersection et le quntificteur pr une réunion. L intersection et l union sont distributives l une pr rpport à l utre, c est à dire B ( ) A i i I = i I (A i B) B ( ) A i i I = i I (A i B). Le complémentire de A (dns Ω) est l ensemble A c := {ω Ω; ω / A}. L opértion pssge u complémentire (qui est une bijection de P(Ω) dns lui-même) vérifie (A c ) c = A, Ω c =, c = Ω et échnge réunions et intersections grâce ux très utiles formules : ( ) c A i = i I i I A c i ( ) c A i = A c i I i I i. On définit le produit crtésien de deux ensembles E et F, noté E F pr : E F := {(x, y); x E, y F }. Attention, dns cette écriture (x, y) ne désigne en ucune fçon un ensemble mis un couple d éléments (l ordre d écriture une importnce). Pour éviter toute confusion, 2. Noter cependnt l différence de sttut de A : dns l première écriture, A est considéré comme un ensemble, dns l deuxième comme un élément d un ensemble d un type un peu prticulier. 2 Ch. Suquet, Cours I.P.E

3 1.1. Rppels ensemblistes on utilise des ccoldes pour l description des ensembles et des prenthèses pour les couples d éléments. On définit de mnière nlogue le produit crtésien d une suite finie d ensembles E 1,..., E n pr E 1 E n := { (x 1,..., x n ); i = 1,..., n, x i E i }. L ensemble E 2 := E E = {(x 1, x 2 ); x 1 E, x 2 E} peut être utilisé pour représenter l ensemble de toutes les pplictions de {1, 2} dns E, le couple (x 1, x 2 ) correspondnt à l ppliction f : {1, 2} E définie pr f(1) = x 1 et f(2) = x 2. Il pourrit de l même fçon, représenter les pplictions d un ensemble à deux éléments dns E (remplcer les chiffres 1 et 2 pr n importe quelle pire de symboles distincts : et 1, et b, etc.). Plus générlement, pour n 2, E n est l ensemble des n-uplets ou listes de longueur n d éléments de E. Dns un n-uplet (x 1,..., x n ), il peut y voir des répétitions. On peut ussi utiliser E n pour représenter toutes les pplictions de l ensemble {1,..., n} (ou de n importe quel ensemble à n éléments) dns E. Soit I un ensemble quelconque, fini ou infini. Pr nlogie vec ce qui précède, l ensemble de toutes les pplictions f : I E ser noté E I. Pr exemple vec E = {, 1} et I = N, on obtient l ensemble {, 1} N de toutes les suites de chiffres binires indexées pr N : {, 1} N = {u = (u i ) i N ; u i = ou 1}. Avec E = R et I = [, 1], on obtient l ensemble R [,1] des fonctions définies sur l intervlle [, 1] et à vleurs dns R Bijections Définition 1.2 (injection). Une ppliction f : E F est dite injective si deux éléments distincts de E ont toujours des imges distinctes dns F : Une formultion équivlente est : x E, x E, (x x ) (f(x) f(x )). x E, x E, (f(x) = f(x )) (x = x ). Une ppliction injective f : E F est ppelée injection de E dns F. Définition 1.3 (surjection). Une ppliction f : E F est dite surjective si tout élément de l ensemble d rrivée u moins un ntécédent pr f : y F, x E, f(x) = y. Une ppliction surjective f : E F est ppelée surjection de E sur F. Définition 1.4 (bijection). Une ppliction f : E F est dite bijective si elle est à l fois injective et surjective, utrement dit si tout élément de l ensemble d rrivée F un unique ntécédent pr f dns l ensemble de déprt E : y F,!x E, f(x) = y. Une ppliction bijective f : E F est ppelée bijection de E sur F. Ch. Suquet, Cours I.P.E

4 Chpitre 1. Dénombrer et sommer Remrque 1.5. Si f : E F est une injection, en restreignnt son ensemble d rrivée à f(e) := {y F ; x E; f(x) = y} l nouvelle ppliction f : E f(e) est une bijection. En effet cette opértion préserve clirement l injectivité et rend f surjective. Définition 1.6 (ppliction réciproque). Soit f : E F une bijection. Tout y F dmet un unique ntécédent x pr f dns E. En posnt f 1 (y) := x, on définit une ppliction f 1 : F E ppelée ppliction réciproque de f ou inverse de f. Cette ppliction f 1 est bijective. Justifiction. Pour vérifier l injectivité de f 1, soient y et y deux éléments de F tels que f 1 (y) = f 1 (y ). Cel signifie qu ils ont le même ntécédent x pr f, donc que y = f(x) et y = f(x), d où y = y. Pour l surjectivité, soit x E quelconque. Posons y = f(x). Alors x est ntécédent de y pr f, donc f 1 (y) = x et insi y est ntécédent de x pr f 1. Tout élément de E donc un ntécédent dns F pr f 1. Autrement dit, f 1 est surjective. Remrque 1.7. Ainsi l existence d une bijection E F équivut à celle d une bijection F E. On dir que E «est en bijection vec» F s il existe une bijection E F (ou F E). Proposition 1.8. Soient f : E F et g : F G deux bijections. Alors g f est une bijection de E sur G. De plus (g f) 1 = f 1 g 1. Preuve. Rppelons que (g f)(x) := g(f(x)) pour tout x E. Pour vérifier l injectivité, soient x et x dns E tels que (g f)(x) = (g f)(x ). Cette églité réécrite g(f(x)) = g(f(x )) implique pr injectivité de g l églité f(x) = f(x ), lquelle implique x = x pr injectivité de f. Pour l surjectivité de g f, soit z G quelconque. Pr surjectivité de g, z u moins un ntécédent y dns F vec g(y) = z. À son tour y F un ntécédent x E pr l surjection f. Finlement y = f(x) et z = g(y), d où z = g(f(x)) = (g f)(x), ce qui montre que z pour ntécédent x pr g f. Comme z étit quelconque, l surjectivité de g f est étblie. Ainsi g f est une bijection de E sur G. En conservnt les nottions on (g f) 1 (z) = x. D utre prt x = f 1 (y) et y = g 1 (z), d où x = f 1 (g 1 (z)) = (f 1 g 1 )(z). On donc pour z quelconque dns G l églité (g f) 1 (z) = x = (f 1 g 1 )(z), d où (g f) 1 = f 1 g Ensembles finis et dénombrement Définition 1.9. Un ensemble E est dit fini s il est vide ou s il est en bijection vec un ensemble {1,..., n} pour un certin entier n 1. Un tel n est lors unique et est ppelé crdinl de E (nottion crd E). Pr convention le crdinl de l ensemble vide est. L cohérence de l définition 1.9 repose sur le lemme suivnt (pourquoi?). Lemme 1.1. Si n et m sont deux entiers distincts, il n existe ps de bijection entre {1,..., n} et {1,..., m}. 4 Ch. Suquet, Cours I.P.E

5 1.2. Ensembles finis et dénombrement Preuve. On peut toujours supposer sns perte de générlité que n < m. Dns le cs où n =, l ensemble {1,..., n} est l ensemble des entiers j tels que 1 j, c est donc l ensemble vide. On prouve le résultt pr récurrence sur n en doptnt comme hypothèse de récurrence : (H n ) m > n, il n existe ps de bijection {1,..., n} {1,..., m}. Initilistion. (H ) est clirement vrie, cr on ne peut définir ucune ppliction sur l ensemble vide donc fortiori ucune bijection. Induction. Supposnt (H n ) vérifiée pour un certin n, déduisons en qu (H n+1 ) l est ussi. Sinon il existerit un entier m > n + 1 et une bijection f : {1,..., n + 1} {1,..., m}. Notons j = f(n+1). Si j m, considérons l trnsposition τ : {1,..., m} {1,..., m} qui échnge j et m et lisse les utres éléments inchngés. C est une bijection et l ppliction composée g = τ f est une bijection {1,..., n + 1} {1,..., m}. Si j = f(n + 1), on prend g = f. Dns les deux cs, g est une bijection {1,..., n + 1} {1,..., m} vérifint g(n+1) = m. L restriction g de g à {1,..., n} est lors une bijection de cet ensemble sur {1,..., m 1} et comme m > n + 1, on bien m 1 > n, ce qui contredit (H n ). Nous venons d étblir l impliction (H n ) (H n+1 ), ce qui chève l récurrence. Remrque Si l ensemble F est en bijection vec un ensemble fini E, lors F est fini et même crdinl que E. En effet en notnt n = crd E, il existe une bijection f : {1,..., n} E et une bijection g : E F. L composée g f rélise lors une bijection de {1,..., n} sur F. Proposition Soient E et F deux ensembles finis. Si E F =, crd(e F ) = crd E + crd F. (1.2) Preuve. Dns le cs où l un des deux ensembles est vide, (1.2) est trivile. On suppose désormis que crd E = n 1 et crd F = m 1. Il existe lors des bijections f : {1,..., n} E, g : {1,..., m} F. On prouve (1.2) en construisnt une bijection h de {1,..., n + m} sur E F. L trnsltion t : {n + 1,..., n + m} {1,..., m}, i i n est une bijection et l ppliction g t rélise une bijection de {n + 1,..., n + m} sur F. Définissons lors h pr { f(i) si i {1,..., n}, h(i) := (g t)(i) si i {n + 1,..., n + m}. Pour vérifier l surjectivité de h, soit z un élément quelconque de E F. Si z E, lors il un ntécédent i dns {1,..., n} pr l surjection f et comme h(i) = f(i) = z, Ch. Suquet, Cours I.P.E

6 Chpitre 1. Dénombrer et sommer i est ussi ntécédent de z pr h. Si z F, il un ntécédent j dns {1,..., m} pr l surjection g et j un ntécédent i dns {n + 1,..., n + m} pr l surjection t. Alors h(i) = g(t(i)) = g(j) = z donc i est ntécédent de z pr h. Pour vérifier l injectivité de h, notons i et i deux éléments distincts de {1,..., n+m}. S ils sont l un dns {1,..., n} et l utre dns {n + 1,..., n + m}, leurs imges h(i) et h(i ) sont l une dns E et l utre dns F qui sont disjoints (E F = ) donc h(i) h(i ). sinon i et i sont tous deux dns {1,..., n} (resp. dns {n+1,..., n+m}) et h(i) h(i ) en rison de l injectivité de f (resp. de g t). Corollire 1.13 (de l proposition 1.12). ) Si E 1,..., E d sont d ensembles finis deux à deux disjoints, E 1 E d est un ensemble fini et ( ) d d crd = crd E i. i=1 E i b) Si E et F sont des ensembles finis quelconques (ps forcément disjoints), E F est fini et crd(e F ) = crd E + crd F crd(e F ). Preuve. Lissée en exercice. Proposition Soient E et F deux ensembles finis. Leur produit crtésien pour crdinl crd(e F ) = crd E crd F. (1.3) Preuve. Le cs où l un des deux ensembles E ou F est vide étnt trivil, on suppose désormis qu ucun des deux n est vide. On fit une récurrence sur n = crd E, en prennt pour hypothèse de récurrence : (H n ) si crd E = n, lors crd(e F ) = n crd F pour tout F fini non vide. Initilistion. Si crd E = 1, E n qu un élément x 1 et l ppliction h : {x 1 } F F, (x 1, y) y est clirement une bijection donc crd({x 1 } F ) = crd F et (H 1 ) est vérifiée. Induction. Supposons (H n ) vrie pour un certin n et soit E un ensemble de crdinl n+1. Il existe une bijection f : {1,..., n+1} E permettnt de numéroter les éléments de E en posnt pour tout i {1,..., n + 1}, x i := f(i). L restriction de f à {1,..., n} est une bijection de {1,..., n} sur son imge E = {x 1,..., x n }. Ainsi E est de crdinl n et E est l union de ses deux sous-ensembles disjoints E et {x n+1 }. On en déduit imméditement que E F est l union des deux produits crtésiens disjoints E F et {x n+1 } F. Pr l proposition 1.12 on lors i=1 crd(e F ) = crd(e F ) + crd({x n+1 } F ). En utilisnt (H n ) et (H 1 ), on obtient lors donc (H n+1 ) est vérifiée. crd(e F ) = n crd F + crd F = (n + 1) crd F, 6 Ch. Suquet, Cours I.P.E

7 1.2. Ensembles finis et dénombrement Remrque On urit pu ussi prouver (1.3) en construisnt explicitement une bijection E F {1,..., nm} (vec crd E = n et crd F = m). Voici une fçon de l construire. On note f : {1,..., n} E, i x i := f(i) et g : {1,..., m} F, j y j := g(j) des numérottions bijectives de E et F. On définit lors h : E F {1,..., nm} en posnt h(x i, y j ) := m(i 1) + j, ou de mnière plus formelle h(x, y) := m(f 1 (x) 1) + g 1 (y) pour tout (x, y) E F. On lisse en exercice l vérifiction de l bijectivité de h. L idée de s construction est simplement de rnger les couples éléments de E F sous l forme d un tbleu où le couple (x i, y j ) se trouve à l intersection de l ligne i et de l colonne j et de numéroter les éléments de ce tbleu en blynt chque ligne de guche à droite de l ligne 1 jusqu à l ligne n. Corollire 1.16 (de l proposition 1.14). Si E 1,..., E d sont d ensembles finis, crd(e 1 E d ) = d crd E i. i=1 Preuve. Une récurrence immédite sur d fournit le résultt. Proposition 1.17 (nombre d pplictions E F et crdinl de P(E)). () Si crd E = n et crd F = p, l ensemble F E des pplictions de E dns F est fini et pour crdinl p n, utrement dit : crd ( F E) = (crd F ) crd E. (b) Comme P(E) est en bijection vec l ensemble {, 1} E des pplictions de E dns {, 1}, crd P(E) = 2 n = 2 crd E. Preuve. Le () se démontre fcilement pr récurrence sur le crdinl de E, en notnt que si on joute un élément x n+1 à E, il y p fçons différentes de prolonger f : E F en ttribunt comme imge à x n+1 l un des éléments de F. L rédction détillée est lissée en exercice. Une bijection nturelle entre P(E) et {, 1} E est l ppliction ϕ qui à toute prtie A de E ssocie s fonction indictrice : ϕ : P(E) {, 1} E A ϕ(a) := 1 A. Rppelons que l indictrice d une prtie A de E est l ppliction { 1 si ω A, 1 A : E {, 1} ω 1 A (ω) := si ω / A. L vérifiction de l bijectivité de ϕ est lissée en exercice Ni l définition de ϕ, ni l preuve de s bijectivité n utilisent l finitude de E. Ainsi P(E) et {, 1} E sont en bijection quel que soit l ensemble E, fini ou infini. Ch. Suquet, Cours I.P.E

8 Chpitre 1. Dénombrer et sommer Définition 1.18 (rrngement). Si E est un ensemble de crdinl n et k un entier tel que 1 k n, on ppelle rrngement de k éléments de E tout k-uplet (x 1, x 2,..., x k ) d éléments tous distincts de E. Un tel rrngement représente une injection de {1,..., k} dns E. Proposition 1.19 (dénombrement des rrngements). Le nombre d rrngements de k éléments de E (1 k n = crd E) est A k n = n(n 1)(n 2) (n k + 1) = n! (n k)!. (1.4) A k n est ussi le nombre d injections d un ensemble I de crdinl k, pr exemple {1,..., k}, dns E. En prticulier pour I = E (et donc k = n), on obtient le nombre de bijections de E dns lui même (ppelées ussi permuttions de E) : nombre de permuttions de E = A n n = n! Preuve. On prouve (1.4) pr récurrence finie sur k, le cs k = 1 étnt évident. Supposons donc (1.4) vrie pour un k < n et montrons qu lors elle est ussi vrie pour k + 1. Une ppliction f : {1,..., k+1} E est déterminée de mnière unique pr l donnée de s restriction f à {1,..., k} et de f(k +1). L ppliction f est injective si et seulement si s restriction f est injective et f(k+1) / f({1,..., k}). Comme le crdinl de f({1,..., k}) est k, cel lisse n k choix possibles pour f(k + 1). On en déduit que A k+1 n = A k n(n k) = n(n 1)(n 2) (n k + 1)(n k), ce qui montre que (1.4) est vérifiée u rng k + 1. Définition 1.2 (combinison). On ppelle combinison de k éléments de E (1 k n = crd E) toute prtie de crdinl k de E. Une combinison tous ses éléments distincts comme un rrngement, mis l ordre d écriture n ps d importnce. Proposition 1.21 (dénombrement des combinisons). Le nombre de combinisons de k éléments de E (1 k n = crd E) est C k n = n(n 1)(n 2) (n k + 1) k(k 1) 1 = n! k!(n k)!. (1.5) Preuve. Notons A k (E) l ensemble de tous les rrngements de k éléments de E. Il est lors clir que l on l décomposition en réunion d ensembles disjoints A k (E) = A k (B). (1.6) B E, crd B=k Autrement dit on prtitionné A k (E) en regroupnt dns une même clsse A k (B) tous les rrngements formés à prtir des éléments d une même prtie B de crdinl k. Il 8 Ch. Suquet, Cours I.P.E

9 1.3. Dénombrbilité y donc utnt de clsses distinctes dns cette décomposition que de prties B de crdinl k dns E, c est-à-dire Cn k clsses. D utre prt chque clsse A k (B) contient utnt d rrngements que de bijections B B (ou permuttions sur B), c est-à-dire k!. Compte-tenu du corollire 1.13 ), on déduit lors de (1.6) que : crd A k (E) = crd A k (B) = Cnk!. k Ainsi A k n = C k nk!, ce qui donne (1.5). B E, crd B=k 1.3 Dénombrbilité On peut comprer les ensembles finis pr leur nombre d éléments. Cette notion n plus de sens pour des ensembles infinis. Nénmoins on peut générliser cette comprison en disnt que deux ensembles ont même crdinl s ils sont en bijection. Ceci permet de comprer les ensembles infinis. Il convient de se méfier de l intuition cournte bsée sur les ensembles finis. Pr exemple si A et B sont finis et A est inclus strictement dns B, lors crd A < crd B et il n existe ps de bijection entre A et B. Ceci n est plus vri pour les ensembles infinis. Pr exemple N est strictement inclus dns N mis est en bijection vec N pr l ppliction f : N N, n n + 1, donc N et N ont même crdinl. Nous nous intéressons mintennt ux ensembles ynt même crdinl que N. Définition Un ensemble est dit dénombrble s il est en bijection vec N. Il est dit u plus dénombrble s il est fini ou dénombrble. Exemple L ensemble 2N des entiers pirs est dénombrble. Pour le voir, il suffit de considérer l ppliction f : N 2N, n 2n qui est clirement une bijection. On vérifie de même que l ensemble des entiers impirs est dénombrble. Exemple L ensemble Z est dénombrble. On peut en effet «numéroter» les entiers reltifs pr les entiers nturels en s inspirnt du tbleu suivnt. Z N Plus formellement, définissons l ppliction f : N Z pr { n+1 si n est impir, 2 n N, f(n) = n si n est pir. 2 Pour vérifier que f est une bijection, montrons que pour tout k Z donné, l éqution f(n) = k une solution unique. Si k >, il ne peut voir d ntécédent pir pr f puisque f envoie l ensemble des entiers pirs dns Z. L éqution f(n) = k se réduit donc dns ce cs à n+1 2 = k qui pour unique solution n = 2k + 1. Si k, il ne peut Ch. Suquet, Cours I.P.E

10 Chpitre 1. Dénombrer et sommer voir d ntécédent impir pr f et l éqution f(n) = k se réduit à n = k qui pour 2 unique solution n = 2k. Ainsi f est bien une bijection puisque tout élément k de Z un ntécédent n unique pr f. L bijection inverse est donnée pr { k Z, f 1 2k + 1 si k >, (k) = 2k si k. Exemple L ensemble N 2 est dénombrble. Cet exemple relève de l proposition 1.3 ci-dessous, mis l vérifiction directe est instructive. Voici une fçon de construire une bijection f : N 2 N. L idée est de fbriquer une numérottion des couples de N 2 pr les entiers en s inspirnt du schém de l figure Un peu de j i Fig. 1.1 Une numérottion des couples (i, j) de N 2 dénombrement nous conduit à proposer l définition 4 (i, j) N 2, f(i, j) := (i + j)(i + j + 1) 2 Preuve. L vérifiction de l bijectivité de f repose sur l remrque suivnte. Définissons l suite (u k ) k N pr k(k + 1) k N, u k :=. 2 Il s git clirement d une suite strictement croissnte d entiers, de premier terme u =. On donc l N,!k = k l N, u k l < u k+1. (1.7) De plus, 4. Justifiction lissée en exercice. + j. si l = f(i, j), k l = i + j et l = u kl + j. (1.8) 1 Ch. Suquet, Cours I.P.E

11 1.3. Dénombrbilité Surjectivité de f. Soit l quelconque dns N et k = k l défini pr (1.7). Posons j = l u k et i = k j. Alors f(i, j) = (i + j)(i + j + 1) 2 + j = k(k + 1) 2 + j = u k + l u k = l. Le couple (i, j) insi défini à prtir de l est donc ntécédent de l pr f et comme l étit quelconque, f est surjective. Injectivité de f. Soient (i, j) et (i, j ) tels que f(i, j) = f(i, j ) et notons l cette vleur commune. D près (1.8), on k l = i + j = i + j et l = u kl + j = u kl + j. On en déduit imméditement que j = j, puis que i = i, d où (i, j) = (i, j ), ce qui étblit l injectivité de f. Lemme Toute prtie infinie de N est dénombrble. Preuve. Soit E une prtie infinie de N. On construit une bijection f de N sur E pr récurrence en utilisnt le fit que toute prtie non vide de N dmet un plus petit élément. On initilise l récurrence en posnt : E := E, f() := min E. Ensuite, pour n 1, si on défini f(k) et E k pour k =,..., n 1, on pose E n := E \ f({,..., n 1}), f(n) := min E n. L ensemble f({,..., n 1}) = {f(),..., f(n 1)} est fini donc E n est non vide puisque E est infini. On peut donc bien construire insi de proche en proche tous les f(n) pour n N. De plus il est clir pr construction que pour tout n 1, f(n 1) < f(n). L ppliction f est donc strictement croissnte, ce qui entrîne son injectivité. Pour voir qu elle est surjective, soit m un élément quelconque de E. Comme m est un entier, il n y qu un nombre fini d entiers strictement inférieurs à m, donc fortiori qu un nombre fini n d éléments de E inférieurs strictement à m (éventuellement ucun). Ainsi m est le (n + 1)-ième plus petit élément de E, d où f(n) = m (comme on commence à, n est le (n + 1)-ième plus petit entier de N). Nous venons de montrer qu un élément quelconque de E u moins un ntécédent pr f, utrement dit que f est surjective. Proposition Toute prtie infinie d un ensemble dénombrble est elle-même dénombrble. Preuve. Soit A une prtie infinie d un ensemble dénombrble B. Il existe lors une bijection g : B N. S restriction g à A est une bijection de A sur g(a). L ensemble g(a) est une prtie infinie de N, cr si elle étit finie, il en serit de même pour A. Pr le lemme 1.26, il existe une bijection f de g(a) sur N. L ppliction f g : A N est une bijection comme composée de deux bijections. L ensemble A est donc dénombrble. Remrque L proposition 1.27 nous permet de crctériser les ensembles u plus dénombrbles comme ceux qui sont en bijection vec une prtie de N, ou encore comme ceux qui s injectent dns N. De même, les ensembles dénombrbles sont les ensembles infinis qui s injectent dns N. Ch. Suquet, Cours I.P.E

12 Chpitre 1. Dénombrer et sommer Remrque Il résulte imméditement de l proposition 1.27 que si l ensemble B contient une prtie infinie A non dénombrble, B est lui même infini non dénombrble. Proposition 1.3. Le produit crtésien d une suite finie d ensembles dénombrbles est dénombrble. Preuve. Notons E 1,..., E n l suite finie d ensembles dénombrbles considérée. Pour i = 1,..., n, nous disposons d une bijection E i N, qui pr composition vec l bijection N N, n n + 1 donne une bijection f i : E i N. Comme E = E 1 E n est clirement un ensemble infini, il nous suffit de construire une injection de E dns N. Pour cel il est commode d utiliser les nombres premiers dont nous notons (p j ) j 1 l suite ordonnée : p 1 = 2, p 2 = 3, p 3 = 5, p 4 = 7, p 5 = 11,... Définissons f : E N, pr x = (x 1,..., x n ) E, f(x) := p f 1(x 1 ) 1... p fn(xn) n = n j=1 p f j(x j ) j. Remrquons que pour tout x E, f(x) 2 f 1(x 1 ) 2. Pour vérifier l injectivité de f, soient x et y dns E tels que f(x) = f(y). En vertu de l unicité de l décomposition en fcteurs premiers d un entier supérieur ou égl à 2, cette églité équivut à : i = 1,..., n, f i (x i ) = f i (y i ). Comme chque f i est injective, ceci entrîne l églité x i = y i pour tout i, d où x = y. Corollire Pour tout entier d 1, N d, Z d sont dénombrbles. L ensemble Q des nombres rtionnels est dénombrble (de même que Q d, d 1). Vérifiction. L dénombrbilité de Q s obtient fcilement en l injectnt dns le produit crtésien d ensembles dénombrbles Z N vi l unicité de l écriture en frction irréductible (vec dénominteur positif) d un rtionnel. Les utres ffirmtions du corollire découlent imméditement de l Proposition 1.3. Proposition L ensemble {, 1} N des suites infinies de ou de 1 n est ps dénombrble. Preuve. Supposons que {, 1} N soit dénombrble, on peut lors numéroter ses éléments pr les entiers, de sorte que {, 1} N = {x n ; n N}, chque x n étnt une suite (x n,k ) k N de chiffres binires. Construisons lors l suite y = (y k ) k N de chiffres binires en posnt : { 1 si x k,k = k N, y k = 1 x k,k = si x k,k = 1. Alors pr construction, l suite y diffère de chque suite x n (u moins pr son n-ième terme). Or y est un élément de {, 1} N, donc l numérottion considérée ne peut être surjective. 12 Ch. Suquet, Cours I.P.E

13 1.3. Dénombrbilité Corollire P(N) n est ps dénombrble. Le segment [, 1] de R n est ps dénombrble. R n est ps dénombrble, C n est ps dénombrble. Un intervlle de R est soit infini non dénombrble, soit réduit à un singleton, soit vide. Preuve. Comme P(N) est en bijection vec {, 1} N pr l ppliction A 1 A, P(N) est infini non dénombrble. D près l remrque 1.29, l non dénombrbilité de R ou de C résulte imméditement de celle de [, 1]. Pour vérifier cette dernière, nous utilisons à nouveu l remrque 1.29 en construisnt une prtie de [, 1] en bijection vec {, 1} N. L première idée qui vient à l esprit pour une telle construction est d utiliser le développement des nombres réels en bse 2. Mis pour éviter les difficultés techniques liées à l existence de développements propre et impropre pour les nombres de l forme k2 n, nous utiliserons plutôt l bse 3 en ne conservnt que les chiffres binires et 1. Définissons donc 5 f : {, 1} N [, 1], u = (u k ) k N f(u) := + k= u k 3 k+1. Comme les u k ne peuvent prendre que les vleurs ou 1, l série à termes positifs définissnt f(u) converge puisque son terme générl vérifie l encdrement u k 3 k 1 3 k 1. S somme f(u) vérifie donc f(u) + k= 1 3 = 1 1 k = 1 2. Ainsi f est bien une ppliction de {, 1} N dns [, 1] et d près l remrque 1.5, il suffit de vérifier son injectivité pour qu elle rélise une bijection de {, 1} N sur son imge A := {f(u); u {, 1} N }. Pr l proposition 1.32, on en déduir l non dénombrbilité de A. Pour montrer l injectivité de f, supposons qu il existe deux suites u u éléments de {, 1} N telles que f(u) = f(u ). Comme u u, l ensemble des entiers k tels que u k u k est non vide et donc un plus petit élément que nous notons j. On insi u k = u k pour tout k < j et u j u j. Quitte à permuter u et u, on ne perd ps de générlité en supposnt que u j = 1 et u j =. L églité f(u) = f(u ) implique lors : 1 3 = + j+1 k=j+1 u k u k 3 k+1. Comme u k u k ne peut prendre que les vleurs 1, ou 1, il est mjoré pr 1, d où : j+1 k=j = 1 1 k+1 3 j = j+1, 5. L lecture de ce qui suit requiert l connissnce des séries dont les principles propriétés sont rppelées section 1.4 ci-près, voir notmment les séries géométriques (exemple 1.45). Ch. Suquet, Cours I.P.E

14 Chpitre 1. Dénombrer et sommer ce qui est impossible. On en déduit que si f(u) = f(u ), nécessirement u = u, ce qui étblit l injectivité de f. Pour vérifier l non dénombrbilité d un intervlle non vide et non réduit à un singleton de R, il suffit de remrquer que cet intervlle u moins deux éléments et b et qu il contient lors [, b]. Il suffit mintennt de construire une bijection [, 1] [, b]. L ppliction f : [, 1] [, b], t t + (1 t)b fit l ffire. Remrque Il est fcile de construire une bijection entre ] 1, 1[ et R, pr exemple x tn(πx/2) et d en déduire une bijection entre R et n importe quel intervlle ouvert non vide. En fit on peut montrer que les ensembles suivnts ont tous même crdinl : {, 1} N, R, C, tout intervlle non vide et non réduit à un singleton de R. On dit qu ils ont l puissnce du continu. Sns ller jusqu à démontrer complètement cette ffirmtion, nous nous contenterons de présenter ci-dessous une construction explicite d une bijection entre {, 1} N et [, 1[. Il est clir que {, 1} N est lui même en bijection vec {, 1} N (pourquoi?). Exemple 1.35 (une bijection entre {, 1} N et [, 1[). Commençons pr un rppel sur le développement en bse 2 des réels de [, 1[, i.e. l existence pour un x [, 1[ d une suite ( k ) k N {, 1} N telle que + k x = 2. (1.9) k k=1 On ppelle nombre dydique de [, 1[, tout x [, 1[ de l forme k2 n vec k N et n N. Un tel dydique dmet une écriture irréductible unique de l forme l2 n vec l impir. Notons l ensemble des dydiques de [, 1[. Si x [, 1[\, il existe une unique suite ( k ) k N {, 1} N vérifint (1.9). De plus cette suite ( k ) k N comporte à l fois une infinité de et une infinité de 1. Si x, il existe deux suites ( k ) k N {, 1} N et ( k ) k N {, 1}N vérifint (1.9). L une ( k ) k N tous ses termes nuls à prtir d un certin rng. C est le développement propre du dydique x. L utre tous ses termes égux à 1 à prtir d un certin rng, c est le développement impropre de x. Nous noterons p(x) le développement propre de x et i(x) son développement impropre. Pr exemple le dydique 3 pour développemment propre 8 (, 1, 1,,,,,... ) cr 3 = Son développement impropre est (, 1,, 1, 1, 1, 1,... ) puisque 1 = + 8 k=4 2 k. Définissons mintennt f : [, 1[ {, 1} N comme suit. Si x [, 1[\, on prend pour f(x) l unique suite ( k ) k N {, 1} N vérifint (1.9). Si x et x, x 1/2, il existe une écriture unique x = l2 n vec l impir. On pose lors ( l ) f = 2 n ( l + 1 ) i ( 2 n l 1 ) p 2 n si l = 1 mod 4, si l = 3 mod Ch. Suquet, Cours I.P.E

15 1.3. Dénombrbilité Pour f() on prend l suite ne comportnt que des et pour f(1/2) l suite ne comportnt que des Fig. 1.2 Arbre binire des dydiques de ], 1[ Le mécnisme de construction de f sur les dydiques utres que et 1/2 peut être décrit de mnière informelle à l ide de l rbre binire de l figure 1.2. Chque individu de cet rbre hérite un développement binire de son scendnt direct et engendre lui même deux enfnts et deux développements binires. L enfnt de guche hérite du développement impropre et celui de droite du développement propre. L compréhension de l définition de f demndnt plus d effort que l vérifiction de s bijectivité, ce dernier point est lissé u lecteur. Proposition Soit J un ensemble u plus dénombrble d indices et pour tout j J, soit A j un ensemble u plus dénombrble. Alors A := j J A j est u plus dénombrble. Preuve. Le cs J = est trivil puisqu lors A =. Si tous les A j sont vides, A l est ussi (quel que soit J). On suppose désormis que J n est ps vide et qu u moins un des A j est non vide. On v montrer que A est u plus dénombrble en construisnt une injection h de A dns N. On peut trduire les hypothèses en écrivnt qu il existe une injection 6 f : J N et que pour tout j tel que A j, il existe une injection g j : A j N. Admettons pour un instnt que l on peut construire une fmille (A j) j J d ensembles deux à deux disjoints tels que pour tout j J, A j A j et que A = j J A j = j J A j. On définit lors l ppliction h : A N comme suit. Si x A, il existe un unique j J tel que x A j. On pose lors : h(x) := p g j(x) f(j), 6. Toute injection d un ensemble dns N peut se trnsformer en injection du même ensemble dns N pr composition vec l bijection N N, n n + 1. Ch. Suquet, Cours I.P.E

16 Chpitre 1. Dénombrer et sommer où p k désigne le k-ième nombre premier. Remrquons que h(x) 2 puisquef(j) 1, l suite (p k ) est croissnte de premier terme p 1 = 2 et g j (x) 1. Pour vérifier l injectivité de h, soient x et y dns A tels que h(x) = h(y). En notnt l l unique indice tel que y A l, cette églité s écrit p g j(x) f(j) = p g l(y) f(l). En rison de l unicité de l décomposition d un entier n 2 en fcteurs premiers, ceci entrîne f(j) = f(l) et g j (x) = g l (y), puis pr injectivité de f, j = l et g j (x) = g j (y). Comme g j est injective, on en déduit que x = y. L injectivité de h est insi étblie. Il reste à justifier l construction de l fmille (A j) j J. On commence pr trnsporter l ordre de N sur J vi l ppliction f en écrivnt pour j, l J, que j l signifie que f(j) f(l). Ceci nous permet de noter les éléments de J en suivnt cet ordre J = {j, j 1,...}, où j j Ensuite on construit A j pr récurrence en posnt A j := A j, B j := A j A j 1 := A j1 (A \ B j ), B j1 := B j A j1 A j 2 := A j2 (A \ B j1 ), B j2 := B j1 A j Les détils de l vérifiction sont lissés u lecteur. Proposition 1.37 (dénombrbilité pr imge surjective). Soient A et B deux ensembles tels qu il existe une surjection f de A sur B. Alors si A est dénombrble, B est u plus dénombrble. Si A est fini, B est fini et crd B crd A. Preuve. Supposons A dénombrble. Définissons sur A l reltion d équivlence x x si f(x) = f(x ). Les clsses d équivlences pour cette reltion rélisent une prtition de A. Dns chque clsse d équivlence, choisissons un représentnt prticulier 7. Soit A l prtie de A formée de tous les représentnts insi choisis. Si x et x sont deux éléments distincts de A, ils sont dns deux clsses c et c disjointes, donc f(x) f(x ). L restriction de f à A est donc injective. Pr illeurs, puisque f est surjective, tout y B u moins un ntécédent x dns A. Si c est l clsse de x, il y dns cette clsse un (unique) élément de A qui lui ussi y pour imge pr f. Donc l restriction de f à A reste surjective et c est finlement une bijection de A sur B. L ensemble B est en bijection vec une prtie A de l ensemble dénombrble A, il est donc u plus dénombrble. Le cs A fini est une dpttion fcile de ce qui précède. 1.4 Rppels sur les séries Dns cette section nous rppelons sns démonstrtions les points essentiels de l théorie des séries numériques vue en deuxième nnée. Nous détillerons seulement l question de l convergence commuttive en rison de son rôle dns l théorie des fmilles sommbles. 7. Pr exemple en fixnt une numérottion de A pr les entiers (k x k ) et en décidnt de prendre dns l clsse c l élément x k d indice k miniml. On évite insi l invoction de l xiome du choix Ch. Suquet, Cours I.P.E

17 1.4. Rppels sur les séries Générlités Définition Soit (u k ) k N une suite de nombres réels ou complexes. Pour tout n N, on ppelle somme prtielle de rng n le nombre S n := n u k. k= Si S n tend vers une limite finie S qund n tend vers +, on dit que l série de terme générl u k converge et pour somme S, ce que l on écrit S = + k= u k := lim S n. n + Dns ce cs, R n := S S n est ppelé reste de rng n de l série. Si S n n ps de limite finie (i.e. tend vers ou + ou n ps de limite du tout), on dit que l série diverge. Remrque Pr un bus d écriture cournt, on désigne l série (convergente ou divergente) pr l nottion «+ k= u k», mis on ne peut fire intervenir cette expression dns des clculs que si elle représente vriment un nombre, i.e. si l série converge. Remrque 1.4. Si les u k sont complexes, posons x k := Re u k et y k := Im u k, S n := Re S n et S n := Im S n. L suite S n converge dns C vers S si et seulement si S n et S n convergent dns R vers respectivement S := Re S et S := Im S. On en déduit imméditement que l série de terme générl complexe u k = x k + iy k converge si et seulement si les séries de terme générl x k et y k convergent dns R et que dns ce cs + k= (x k + iy k ) = + x k + i + k= k= y k. Remrque L définition 1.38 se générlise imméditement u cs où les u k sont éléments d un espce vectoriel normé E, l convergence dns E de S n vers le vecteur S signifint lim n + S S n =. Proposition Si une série converge, son terme générl u n tend vers qund n tend vers l infini. Remrque L réciproque de l proposition 1.42 est fusse. Un contre exemple bien connu est l série hrmonique de terme générl u k = 1/k pour k 1 (et u = ). Remrque L contrposée de l proposition 1.42 s énonce : si u n ne tend ps vers qund n tend vers l infini, lors l série diverge. On prle dns ce cs de divergence grossière de l série. Ch. Suquet, Cours I.P.E

18 Chpitre 1. Dénombrer et sommer Exemple 1.45 (séries géométriques). Soit q un nombre réel ou complexe. L série géométrique stndrd + k= qk converge si et seulement si q < 1. Dns ce cs, s somme est donnée pr + q k = 1 ( q < 1). 1 q k= Cette formule permet de clculer l somme de n importe quelle série géométrique convergente (donc de rison q vérifint q < 1). Il suffit de mettre en fcteur le premier terme. Si (u k ) k N est une suite géométrique de rison q (i.e. u k+1 = qu k pour tout k vec q ne dépendnt ps de k), vérifint q < 1, on pour tout j N, + k=j u k = + k=j + u j q k j = u j q l = l= u j 1 q. Théorème 1.46 (critère de Cuchy). L série à termes réels ou complexes + k= u k converge si et seulement si ε >, N N, n, m N, S n S m < ε. Ce théorème n est que l ppliction du critère de Cuchy à l suite des sommes prtielles S n = n k= u k. Il se générlise imméditement u cs où les termes u k sont des éléments d un espce vectoriel normé complet 8, en remplçnt S n S m < ε pr S n S m < ε. Corollire 1.47 (convergence bsolue). Si l série + k= u k converge, lors l série + k= u k converge ussi. On dit qu elle est bsolument convergente. Le résultt s étend imméditement ux séries à termes dns un espce vectoriel normé complet en remplçnt u k pr u k. On prle lors de convergence normle. Remrque L réciproque du corollire 1.47 est fusse. Un contre exemple bien connu est l série lternée de terme générl u k = ( 1) k /k (k 1) qui converge lors que l série des vleurs bsolues est l série hrmonique qui diverge Séries à termes positifs Si tous les u k sont positifs, (S n ) n N est une suite croissnte cr pour tout n 1, S n S n 1 = u n. Il n y lors que deux cs possibles : ou bien S n une limite finie S dns R +, l série converge et pour somme S ; ou bien S n tend vers + et l série diverge. L divergence d une série à termes positifs équivut donc à l convergence vers + de l suite de ses sommes prtielles. Il est commode dns ce cs de considérer que l série «converge dns R +» et que s somme vut +. Ainsi lorsque les u k sont tous positifs, 8. C est le cs en prticulier pour les séries à vleurs dns R d. Un espce vectoriel normé complet est ppelé espce de Bnch. 18 Ch. Suquet, Cours I.P.E

19 1.4. Rppels sur les séries l écriture + k= u k toujours un sens comme représentnt un élément S de R + : S étnt un réel positif si l série converge u sens de l définition 1.38, S = + sinon. Il importe de bien comprendre que ceci est prticulier ux séries à termes positifs. Une série à termes de signe quelconque 9 peut très bien diverger sns que l suite des sommes prtielles tende vers + ou. Un exemple évident est l série de terme générl u k = ( 1) k. Théorème 1.49 (comprison). On suppose qu il existe un k N tel que pour tout k k, u k v k. Alors ) l convergence 1 de + k= v k implique celle de + k= u k ; b) l divergence de + k= u k implique celle de + k= v k. Prmi les pplictions du théorème de comprison figure l comprison à une série géométrique qui donné nissnce ux règles dites de D Alembert et de Cuchy (bsées respectivement sur l étude du comportement symptotique de u n+1 /u n et de u 1/n n ). Ces règles n ont d utre utilité que de résoudre des exercices d hoc et on peut fcilement s en psser. Théorème 1.5 (règle des équivlents). On suppose que u k et v k sont équivlents 11 qund n tend vers l infini et qu à prtir d un rng k, v k. Alors les séries + k= u k et + k= v k sont de même nture (toutes deux convergentes ou toutes deux divergentes). Attention, l hypothèse d équivlence de u k et v k n implique ps à elle seule que les deux séries soient de même nture si le signe de v k n est ps constnt à prtir d un certin rng. Comme contre exemple on peut proposer u k = ( 1) k k 1/2 et v k = u k +1/k (exercice). Théorème 1.51 (comprison série-intégrle). Soit f continue sur [k, + [, décroissnte et positive sur cet intervlle. L série + k=k f(k) converge si et seulement si n k f(t) dt une limite finie qund n tend vers +. L démonstrtion repose sur l encdrement n > k, n 1 k=k f(k + 1) n k f(t) dt n 1 k=k f(k) illustré pr l figure 1.3. Cet encdrement son intérêt propre pour contrôler le reste d une série à l ide d une intégrle générlisée (ou vice vers). En ppliqunt le théorème 1.51 vec f(t) = t α, α > et k = 1, on obtient l crctéristion de l convergence des séries de Riemnn. 9. Plus précisément une série dont l suite des termes présente une infinité de chngements de signe. 1. L convergence et l divergence dns cet énoncé sont entendues u sens de l définition Ce qui signifie que l on peut écrire u k = c k v k vec lim k + c k = 1. Ch. Suquet, Cours I.P.E

20 Chpitre 1. Dénombrer et sommer y 1 f(k) f(k + 1) k k + 1 t Fig. 1.3 Comprison série-intégrle : f(k + 1) k+1 f(t) dt f(k) k Corollire 1.52 (séries de Riemnn). L série + k=1 1 k α est { convergente pour α > 1, divergente pour < α 1. L série est ussi divergente pour α, puisqu lors son terme générl ne tend ps vers. Corollire 1.53 (séries de Bertrnd). L série + k=2 1 k(ln k) β est { convergente pour β > 1, divergente pour < β 1. Remrque Pour α 1 (ou pour α = 1 et β ), l nture de l série de Bertrnd + k=2 k α (ln k) β s obtient directement pr comprison vec une série de Riemnn Séries à termes de signe non constnt Après voir vu que l convergence de + k= u k implique celle de + k= u k, on peut se demnder s il existe des séries qui convergent sns converger bsolument. Remrquons d bord que si le signe de u k est constnt à prtir d un certin rng k, l étude de l convergence de + k= u k se rmène à celle d une série à termes positifs. En effet, + k= u k et + k=k u k sont de même nture et si u k pour k k, il suffit de considérer + k=k ( u k ). Ainsi pour une série à termes de signe constnt à prtir d un certin rng, l convergence équivut à l convergence bsolue et l divergence ne peut se produire que si S n tend vers + ou vers. Les seules séries susceptibles d être convergentes sns l être bsolument sont donc celles dont le terme générl chnge de signe une infinité de fois. Pr exemple, l série + k=1 ( 1)k /k converge mis ps bsolument. C est une ppliction du théorème des séries lternées. 2 Ch. Suquet, Cours I.P.E

21 1.4. Rppels sur les séries Théorème 1.55 (des séries lternées). Soit (u k ) k N une suite lternée (i.e. pour tout k, u k et u k+1 sont de signes contrires) telle que u k décroisse et tende vers. Alors ) l série + k= u k converge, b) pour tout n N, les sommes prtielles consécutives S n et S n+1 encdrent 12 l somme S et le reste R n = + k=n+1 u k vérifie R n u n+1. Exemple Pour < α 1, l série + k=1 ( 1)k k α converge mis ps bsolument. Pour α > 1 elle est bsolument convergente. Exemple L série + k=1 ( 1)k / ln k converge mis ps bsolument. Remrque Même si une série lternée est bsolument convergente, le b) du théorème reste intéressnt pour le clcul numérique de l somme S Opértions sur les séries L somme des séries de terme générl u k et v k est l série de terme générl (u k + v k ). Le produit de l série de terme générl u k pr l constnte est l série de terme générl u k. Le produit de deux séries ser étudié plus trd à l ide des fmilles sommbles. Proposition Les ffirmtions suivntes sont vérifiées pour des séries à termes réels ou complexes ou dns un espce vectoriel normé. ) L somme de deux séries convergentes + k= u k et + k= v k est une série convergente et + k= (u k + v k ) = + k= u k + b) Le produit de l série convergente + k= u k pr l constnte est une série convergente et + k= u k = c) L somme d une série convergente et d une série divergente est une série divergente. d) L somme de deux séries divergentes peut être convergente ou divergente. Dns une somme d un nombre fini de termes, les propriétés de commuttivité et d ssocitivité de l ddition permettent de chnger l ordre des termes sns chnger l vleur de l somme, de fire des groupements de termes sns chnger l vleur de l somme. 12. Attention, une fois sur deux on ur S n+1 S n. + k= u k. + k= v k. Ch. Suquet, Cours I.P.E

22 Chpitre 1. Dénombrer et sommer Que deviennent ces propriétés pour les séries considérées comme sommes d une infinité de termes? En gros l réponse est : si l série est bsolument convergente, tout se psse bien, sinon on peut voir des situtions très pthologiques. Le seul cs où l on n it ps besoin de convergence bsolue pour retrouver une sitution conforme ux propriétés des sommes d un nombre fini de termes est celui de l sommtion pr pquets de tille finie fixe. Proposition 1.6 (sommtion pr pquets de tille finie fixe). Soit (u n ) n N une suite tendnt vers à l infini. Fixons un entier p 2 et définissons les «pquets de p termes consécutifs» p 1 v j = u jp+i, j N. i= Alors les séries + k= u k et + j= v j sont de même nture et ont même somme lorsqu elles convergent. Remrque Sns l hypothèse de convergence vers de l suite (u n ), le résultt devient grossièrement fux, contre exemple u n = ( 1) n. Remrque Si + k= u k est bsolument convergente, l série des pquets + j= v j l est ussi. L réciproque est fusse, comme on peut le voir en groupnt deux pr deux les termes de l série + k= ( 1)k /(k + 1), obtennt insi l série de terme générl positif v j = (2j + 1) 1 (2j + 2) 2 équivlent à 4j 2. Définition 1.63 (convergence commuttive). L série + k= u k est dite commuttivement convergente et de somme S si pour toute bijection f : N N l série + k= u f(k) converge et pour somme S. Dns ce cs nous pouvons utiliser l nottion S = k N u k u lieu de S = + k= u k, puisque l somme de l série ne dépend ps de l ordre dns lequel on effectue l sommtion. L écriture vec indextion pr «k N» ne présuppose ucun ordre d écriture des termes 13. Théorème L convergence bsolue d une série à termes réels ou complexes, implique s convergence commuttive. Nous llons démontrer le théorème en exminnt successivement les cs des séries à termes positifs, réels et complexes. 13. Pr nlogie vec l écriture i I u i, où I est un ensemble fini d indices. Dns ce cs le résultt de l ddition des u i pour i I ne dépend ps de l ordre des termes et d illeurs l ensemble I n nul besoin ici d être ordonné. 22 Ch. Suquet, Cours I.P.E

23 1.4. Rppels sur les séries Preuve du th. 1.64, cs d une série à termes positifs. Nous tritons d bord le cs d une série à termes positifs pour lquelle l convergence bsolue se réduit à l convergence et signifie que l suite croissnte des sommes prtielles S n une limite finie S dns R +. Soit f une bijection N N. Définissons les deux suites d entiers (p n ) n N et (q n ) n N comme suit. Pour p n nous prenons le plus petit entier p tel que {f(k); k p} recouvre {,..., n}. L existence de tels p et donc de p n découle clirement de l surjectivité de f. Pour q n on prend mx{f(k); k p n }. Autrement dit p n sert à recouvrir {,..., n} de l mnière l plus économique pr les premiers termes de l suite des f(k) et q n sert à «boucher les trous» de l suite d entiers insi formée. On insi n N, {,..., n} {f(k); k p n } {,..., q n }. (1.1) On clirement n p n et n q n donc p n et q n tendent vers l infini vec n. De plus ces deux suites sont croissntes de pr leur construction. Posons S n := n u k, T n := k= n u f(k). k= En rison de l positivité des u k et de (1.1), nous disposons de l encdrement n N, S n T pn S qn. (1.11) Si S n converge vers S, l sous-suite (S qn ) converge ussi vers S et (1.11) implique lors l convergence de (T pn ) vers S. En rison de l positivité des u k, l suite (T n ) est croissnte. Nous venons de voir qu elle une sous-suite qui converge vers S, c est donc toute l suite (T n ) qui converge vers S. Nous venons d étblir que + k= u f(k) converge et pour somme S = + k= u k. Comme l bijection f est quelconque, ceci chève l preuve du théorème 1.64 dns le cs d une série à termes positifs. Remrque Pour étblir (1.11), nous n vons ps utilisé l hypothèse de convergence de l série de terme générl u k, mis seulement l positivité des u k. Pr conséquent (1.11) reste vlble si l série à termes positifs + k= u k diverge. Dns ce cs S n tend vers +, donc ussi T pn et l suite croissnte (T n ) ynt une sous-suite tendnt vers +, c est toute l suite (T n ) qui tend vers l infini. Ainsi on + k= u f(k) = + = + k= u k. Pour l commodité de référence et en rison du rôle essentiel joué pr les séries à termes positifs dns ce cours, nous rssemblons dns l énoncé suivnt les résultts obtenus dns l preuve du théorème 1.64 (cs u k ) et dns l remrque Proposition Si (u k ) k N est une suite de réels positifs, on pour toute bijection f : N N, + k= u k = + k= u f(k), cette églité ynt lieu dns R +. Ainsi si les u k sont positifs, l nottion k N u k est toujours légitime et représente l somme S R + de l série. Ch. Suquet, Cours I.P.E

24 Chpitre 1. Dénombrer et sommer Dns l preuve du théorème 1.64, le cs d une série à termes réels de signe quelconque v se rmener à celui d une série à termes positifs en utilisnt l décomposition d un réel en prtie positive et prtie négtive. Ceci requiert une digression prélble (de l définition 1.67 à l remrque 1.7). Définition 1.67 (prties positive et négtive). Pour tout x réel, s prtie positive notée x + et s prtie négtive notée x sont les réels positifs définis pr x + := mx(, x), x := mx(, x). On lors pour tout x réel x = x + x, (1.12) x = x + + x. (1.13) Pr exemple si x = 3,12, x + = 3,12 et x =, si x = 2,3, x + = et x = 2,3. Il importe de bien noter que l prtie négtive d un réel est un nombre positif ou nul. Voyons d bord comment intervient cette décomposition pour une série bsolument convergente. Lemme Si + k= u k est une série à termes réels bsolument convergente et de somme S, les séries à termes positifs + k= u+ k et + k= u k sont convergentes et on + k= u k = + k= + (u + k u k ) = + u + k u k. (1.14) Preuve. Pr (1.13), on u + k u k et u k u k. Les séries de terme générl u + k et u k sont donc convergentes pr le théorème de comprison. L première églité dns (1.14) résulte lors de (1.12) ppliquée à x = u k. L deuxième églité s obtient pr l proposition 1.59 ) et b). Remrque L réciproque est vrie : si les séries à termes positifs + k= u+ k et + k= u k sont convergentes, l série + k= u k est bsolument convergente et on (1.14) grâce à l proposition Ceci montre que l on ne peut ps se psser de l hypothèse de convergence bsolue dns le lemme Il est d utre prt fcile d exhiber un contre exemple : l série de terme générl u k = ( 1) k /k. Remrque 1.7. L églité «+ k= u+ k = ( + k= u k) +» est grossièrement fusse! Elle n est même ps vrie pour des sommes finies. Comprez (+b) + et + +b + pour = 1 et b = 2 pour vous en convincre. Preuve du th dns le cs d une série à termes réels. Soit + k= u k une série bsolument convergente à termes réels et f une bijection quelconque N N. On utilise l décomposition u f(k) = u + f(k) u f(k). Pr le lemme 1.68, l convergence bsolue de l série de terme générl u k implique l convergence des séries à termes générux positifs u + k et u k. L preuve du théorème 1.64 dns le cs des termes positifs nous fournit lors l k= k= 24 Ch. Suquet, Cours I.P.E