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1 I APPROCHE DE LA FIABILITE PAR LES PROBABILITES : Définiion selon la NF X 6 5 : la fiabilié es la caracérisique d un disposiif exprimée par la probabilié que ce disposiif accomplisse une foncion requise dans des condiions d uilisaion données e pour une période de emps déerminée.. Probabilié : c es le rappor : Nb casfavorables Nb caspossibles On noera R() la probabilié de foncionnemen à l insan. Le symbole R provien de l anglais Reliabiliy. On noera F() la foncion définie par F()=-R(). C es la probabilié complémenaire. F() es la probabilié de défaillance à l insan. F()+R()=. 2. Foncion requise : ou accomplir une mission ou rendre le service aendu. La définiion de la foncion requise implique un seuil d admissibilié en deçà duquel la foncion n es plus remplie. 3. Condiions d uilisaion : définiion des condiions d usage, c es à dire l environnemen e ses variaions, les conraines mécaniques, chimiques, physiques, ec. Il es éviden que le même maériel placé dans 2 conexes de foncionnemen différens n aura pas la même fiabilié. 4. Période de emps : définiion de la durée de mission T en uniés d usage. Ex : on se fixe un minimum R(Tm) =,9 pour une durée de mission Tm = 8 heures ; à ou insan Ti de la mission es associée une fiabilié R(i). Ex : moeur de voiure préparé pour les 24 heures du Mans : Probabilié : c es celle de erminer ; fiabilié requise=,98 Foncion requise : 2 km/h de moyenne (seuil minimal) Condiions d uilisaion : de jour, de nui, avec de la pluie, n raviaillemens, ec. Période de emps : au bou de 24 heures (durée de la mission) II EXPRESSIONS MATHEMATIQUES : 2 Foncions de disribuion e de répariion : Noion de variable aléaoire : on appelle variable aléaoire X une variable elle qu à chaque valeur x de la VA X on puisse associer une probabilié F(x). Une VA peu êre : Coninue : inervalle de emps enre 2 défaillances consécuives Discrèe : nombre de défaillance sur un inervalle de emps Soi une loi de probabilié relaive à une VA coninue T. Cee loi es caracérisée par sa foncion de disribuion (appelée aussi densié de probabilié) f() e par sa foncion de répariion F() elles que : df( ) P( T d) f ( ) lim d d d La foncion F() représene la probabilié qu un évènemen (défaillance) survienne à l insan T dans l inervalle [,]. F( ) P( T ) Comme f ( ). d P( T d) F( ) f ( ) d P( T i) Remarque : si la VA es discrèe, l expression devien : i n F( n) f( i) P( T n) La fiabilié -

2 22 Applicaion à la fiabilié : Un disposiif mis en marche la ère fois à = ombera inexorablemen en panne à un insan T non connu à priori. T (dae de la panne), es une VA de la foncion de répariion F(). F() probabilié de défaillance avan un insan i R() probabilié de bon foncionnemen à i R() + (F() = ( ) f d f ( ) d 23 Taux de défaillance : On défini le aux de défaillance de la manière suivane : nombre de défaillans sur un inervalle de emps ()= nombre de survivans au débu de la période x inervalle de emps On défini : N le nombre iniial de disposiifs Ns() es le nombre de disposiifs survivans à l insan Ns( + Δ) es le nombre de disposiifs survivans à l insan + Δ Au niveau d une défaillance, 2 cas peuven se produire : Les défaillans son remplacés Les défaillans ne son pas remplacés Les défaillans son remplacés : Ns() sera oujours égal à N : On nomme C(Δ) le nombre de défaillans duran Δ. D après la formule générale du aux de défaillance, on a : Les défaillans ne son pas remplacés : C( ) ()= N.. Ns( ) Ns( ) ()= Ns (). Ce aux de défaillance es une valeur moyenne sur une période Δ connue. Or, au même ire que F() e R(), il es inéressan de connaîre l évoluion de λ() au cours du emps. C es le aux de défaillance insanané : On fai endre Δ d e (Ns() Ns( + Δ)) dn. dn sera précédé du signe «-» car il y a moins de survivans à ( + Δ) qu à. dn dn ()= ().d= N(). d N () ().d es appelé probabilié condiionnelle de défaillance sur [, +d]. Applicaions : Cas N : les défecueux son remplacés. Une éude a éé menée sur 7 véhicules pendan une période allan de 8km à 9km. 4 défaillances on éé réparées. Déerminer le aux de défaillance pour cee période. La fiabilié - 2

3 C( ) 4 No. 7.(9 8) 4 ( ),585. / pannes km Cas N 2 : les défecueux ne son pas remplacés. On ese un lo de 5 élecrovannes soumises en coninu à 8 impulsions par minue. A la 5 ème heure, il en rese 33. A la 6 ème heure, il en rese 27. Déerminer le aux de défaillance sur cee classe, par heure e par impulsion. Ns( ) Ns( ) Ns( ) ( ) 8. def / heure 3,79. def / imp. Si les élecrovannes éaien remplacées, on obiendrai : C( ) ( ) 2. def / heure No. 5x «Probabilié d avoir une panne enre e d» = «probabilié de survivre à l insan» x «probabilié condiionnelle de défaillance enre e +d». Cee expression es idenique à : f( ). d R( ). ().d f()=r(). () Il vien donc l expression du aux de défaillance en foncion de la loi de fiabilié e la densié de probabilié : f() ()= R() III EXPRESSIONS DES LOIS DE FIABILITE : df( u) fu ( ) du f ( u) df( u) df( u) df( u) ( u) ( u). du R( u) R( u). d( u) ( F( u)). du F( u) Inégrons les 2 membres enre e : df( u) df( u) ( u). du ( u). du F( u) F( u) ( u). du ln( Fu) ln( F( )) ln( F()) A =, il n y a pas de défaillance, donc F() =, donc ln(-f()) = ln = ( u). du ( u). du ln( F( )) e F( ) R( ) On obien donc les expressions générales des lois de fiabilié : R() e ( u). du F( ) R( ) e df() f ( ) ( ). e d ( u). du ( u). du MTBF E( T ). f ( ). d La MTBF es définie comme éan l espérance mahémaique de la VA T. La fiabilié - 3

4 IV LOIS DE COMPOSITION EN FIABILITE : ASSOCIATIONS DE MATERIELS : Le problème qui se pose à la mainenance au niveau de la fiabilié es son amélioraion consane. Il peu pour cela inervenir sur la echnologie du composan, agencer les composans ou sous-sysèmes de manière à les rendre plus fiables par l uilisaion de redondances don on disingue 3 grandes caégories : Les redondances acives Les redondances passives ou «sand-by» Les redondances majoriaires 4 Redondance acive : Une redondance acive es réalisée par la mise en parallèle d élémens assuran les mêmes foncions e ravaillan en même emps. On a donc à faire à un sysème appelé par les fiabilises «sysème parallèle». Hypohèses de dépar : Les défaillances son indépendanes les unes des aures La fiabilié de chaque sous-sysème ou de chaque élémen a éé déerminée Sysème série : On di qu un sysème es un sysème série d un poin de vue fiabilié si le sysème ombe en panne lorsqu un seul de ses élémens es en panne. E E2 Ei En Rs P( S) P( S S2... Si... Sn) P( S). P( S2)... P( Si )... P( Sn) n Rs Ri Cee associaion es caracérisique des équipemens en ligne de producion. Sysème // : On di qu un sysème es un sysème // d un poin de vue fiabilié si, lorsqu un ou plusieurs de ses élémens omben en panne, le sysème ne ombe pas en panne. Pour calculer la foncion fiabilié d un sysème // à n élémens, ils es plus aisé de passer par la E foncion défaillance F. E2 Ei En F R P( S) P( S) F P( S). P( S2)... P( Si)... P( Sn) F. F2... Fi... Fn F ( R).( R2)...( Ri )...( Rn) Rs ( R).( R2)...( Ri)...( Rn) Rs ( Ri) n i Dans un sysème //, la fiabilié du sysème es plus grande que la plus grande des fiabiliés des élémens composan le sysème. On uilise ce fai pour améliorer la fiabilié ; cela réalise une redondance acive. Si on désire effecuer un calcul en foncion du emps, on doi inroduire la foncion R(). R e Si (), alors 42 Redondance passive : n. Rs ( e ) i i La fiabilié - 4

5 Dans ce cas, un seul élémen foncionne, les aures son en aene. Ceci a l avanage de diminuer ou de supprimer le vieillissemen des élémens ne ravaillan pas. En conreparie, on a l inconvénien d êre obligé d avoir un organe de déecion des pannes e de commuaion d un sysème sir un aure. Le calcul d un sysème à redondance passive ou «sand-by» se fai en enan compe de la variable emps. Il fau donc connaîre au préalable, pour chaque composan, son aux de défaillance λ() e sa loi de fiabilié R(). Calcul d un sysème à redondance passive à 2 élémens en // : E Hypohèse : le aux de défaillance des élémens E e E2 es consan e es égal à e e e2. Cee hypohèse a pour conséquence que les lois de fiabilié son de ype exponeniel : DC E2 R ( ) e e e 2 e e2 e R ( ) e On fai aussi l hypohèse que la fiabilié de l organe DC es égale à. Il sera facile par la suie de la prendre en compe par la suie dans le calcul, ce organe éan en série avec le sysème {E, E2}. R ( ) e e R ( ) e e e2 e e 2 f ( ) e e f ( ) e e e2 e e e2 e2 Le sysème foncionnera avec E ou E2, ces événemens éan muuellemen exclusifs (E sans E2 ou E2 sans E, mais jamais les 2 en même emps). R(S) = [Prob(S marche sachan que E marche) x Prob(E marche)] + [Prob(S marche sachan que E ne marche pas) x Prob(E ne marche pas )] Prob(E ne marche pas ) probabilié que E soi défaillan Prob(S marche sachan que E marche) = (an que E marche, S foncionnera oujours) R ( ) Prob(E marche) probabilié que E foncionne e Probabilié que E ombe en panne sur l inervalle [, ] à l insan T = e e e T f ( ) d e. dt e e 2 Probabilié que S marche sachan que E ne marche plus à parir de T = ( ) e2 e T R ( T ) e La fiabilié - 5

6 e et e 2 ( T ) e et e 2. e 2. T s( ) e. e.. R xe e dt xe e e dt xe xe e e 2. et e 2. T e e 2. ( ee 2 ) T s( ) e e R e. e. e. e. dt e. e. e. dt ( ee2) T e e 2. ( ee 2 ) T e e2. e Rs( ) e e. e. e. dt e e. e. ( e e ) ( ee2) 2. e e e Rs( ) e e. e. ( e e 2) ( e e 2) ( ee2) 2. e e e Rs( ) e e. e. ( e e2) R R R s ( ) s ( ) s ( ). e. e. e. e. e e e e 2. e 2. ( ee 2 ) e e2 e e e e2. e. e. e. e e e e 2. e 2. e. e 2. e e2 e e e e2. e. e. e. e. e. e 2 e e e 2. e. e 2. e e e2 e e e e2 e e 2 e e2 Si on prend en compe l élémen de déecion e de commuaion DC, on obien alors : R s () DC e e e e e. e2 e e e2 Remarque : si on considère que ous les élémens on le même aux de défaillance λ, on obien alors l expression suivane : R e e DC.. (). s.(. ) Pour n élémens de aux de défaillance ideniques monés en //, on rouve : 43 Redondance majoriaire : R s () in i ( ). (. ) DC e. i i! La redondance majoriaire es elle que la foncion es assurée si au moins la majorié des élémens es en éa de foncionnemen. Cee redondance concerne surou des signaux de grande sécurié, e en pariculier les équipemens élecroniques. Le signal de sorie es celui de la majorié des composans. Le cas le plus simple compore 3 élémens. On considère que l organe D de décision a une fiabilié égale à. E R S =probabilié d avoir plus de 2 élémens en foncionnemen correc Si Re=Re2=Re3=R E2 D E3 k3 R C. R.( R) 3R 2R S k2 k k 3k Si on généralise à n (impair obligaoiremen pour avoir une majorié) élémens, on obien : kn k k nk n RS Cn. R.( R) avec c 2 kc La formule de calcul de «c» perme d obenir la majorié des élémens. En enan compe de la fiabilié du composan de décision : La fiabilié - 6

7 kn k k nk R R. C. R.( R) avec c S D n kc 44 Applicaion : Un processus es représené par le processus suivan : n 2 M,85 M2,99 M3,99 M4,99 M5,99 T,8 T2,99 T3,99 La fiabilié du sysème enier es le produi de oues les fiabiliés élémenaires : Rs =,64 Pour améliorer cee fiabilié, on peu appliquer des redondances sur les sysèmes les moins fiables : M e T. Une des soluions peu consiser à uiliser 3 T e 2 M. Economiquemen, il va de soi que cee soluion coûerai rop cher. On se conenera de redonder les élémens faibles des sysèmes M e T T M M2,99 M3,99 M4,99 M5,99 T T2,99 T3,99 M T Rs x x x (,85),99 (,8),99,9 Résula saisfaisan. La fiabilié - 7

8 V ANALYSE DE LA FIABILITE PAR LA LOI EXPONENTIELLE : 5 Définiion de la loi exponenielle : Rappel sur la durée de vie d un maériel : x de défaillance Maurié ( ). ( ) u du e comme ( ) R e u ce. du. u. R() e e e Densié de probabilié : Foncion de répariion : f( ).. e On consae que duran la période de maurié d un équipemen, λ() es consan ou sensiblemen consan. C es le champ d applicaion de la loi exponenielle qui repose sur l hypohèse λ = consane. Les défaillances émergen sous l acion de causes diverses e indépendanes. Si λ=ce, alors MTBF = / λ en fiabilié Si μ=ce (aux de réparaion), alors MTTR = / μ en mainenabilié R() F( ) R( ) e Espérance mahémaique : E() MTBF 52 Durée de vie associée à un seuil de fiabilié :.. e Il es inéressan de savoir à quel insan la fiabilié aeindra un seuil déerminé.. R( ) e ln R( )..ln R( ).ln R () Ex : un composan a une MTBF de 2 heures. A quelle dae «j» ce composan aura une fiabilié de 9%? j.ln.ln 2 ln 2 heures R( ) MTBF R( ) x,9 Au bou de 2 heures, on esime donc que 9% des composans survivron. 53 Représenaion graphique de la loi exponenielle : Si R(). e, alors ln R( ). en logarihmes népériens e -. logr()= en logarihmes décimaux. 2,3 R() Loi exponenielle sur échelle linéaire Loi exponenielle sur papier semi logarihmique logr() Droie de pene /2,3 /e=,368, m=/ ou 2,3/ La fiabilié - 8

9 54 Esimaion du aux de défaillance : Porer sur papier semi logarihmique les N poins formés des couples (i, Ri) Tracer la courbe de régression des N poins Si les N poins son sensiblemen alignés, alors la loi de fiabilié es exponenielle Déerminer λ par la pene de la courbe En déduire MTBF = / λ En déduire R(). e VI ANALYSE DE LA FIABILITE PAR LA LOI DE WEIBULL : 6 Définiion de la loi de Weibüll : C es une loi de fiabilié à 3 paramères qui perme de prendre en compe les périodes où le aux de défaillance n es pas consan (jeunesse e vieillesse). Cee loi perme : Une esimaion de la MTBF Les calculs de λ() e de R() e leurs représenaions graphiques Grâce au paramère de forme β d oriener un diagnosic, car β peu êre caracérisique de cerains modes de défaillance Les 3 paramères de la loi son : β Paramère de forme > sans dimension: Si β>, le aux de défaillance es croissan, caracérisique de la zone de vieillesse Si β=, le aux de défaillance es consan, caracérisique de la zone de maurié Si β<, le aux de défaillance es décroissan, caracérisique de la zone de jeunesse η Paramère d échelle > qui s exprime dans l unié de emps γ paramère de posiion, - < γ < +, qui s exprime dans l unié de emps : γ> : survie oale sur l inervalle de emps [, γ] γ= : les défaillances débuen à l origine des emps γ< : les défaillances on débué avan l origine des emps ; ce qui monre que la mise en service de l équipemen éudié a précédé la mise en hisorique des TBF Relaions fondamenales : Densié de probabilié : Foncion de répariion : F( ) e f ( ).. e avec Loi de fiabilié : R( ) F( ) e Remarque : pour γ= e β=, on rerouve la disribuion exponenielle, cas pariculier de la loi de Weibüll : MTBF Taux de défaillance : f ( ) f ( ) ( ).. e. ( ). R( ) F( ) e MTBF e écar ype : E() MTBF A B Où A e B son des paramères issus de ables. La fiabilié - 9

10 62 Durée de vie associée à un seuil de fiabilié : Il es inéressan de savoir à quel insan la fiabilié aeindra un seuil déerminé, en pariculier les roulemens à billes. R( ) e ln R( ) ln ln. ln R( ) R( ) R( ) 63 Papier Weibüll : C es un papier log / log qui compore 4 axes : AXE a AXE b AXE A AXE B AXE A Axe A : axe des emps sur lequel on pore les valeurs i des TBF Axe B : valeurs des probabiliés de défaillance Fi calculées par la méhode des rangs moyens ou des rangs médians. On esime R() par R() = F() Axe a : axe des emps en logarihmes népériens : ln() Axe b : axe qui perme l évaluaion de β 64 Déerminaion graphique des paramères de la loi :. Préparaion des données : déerminaion des couples (i, Fi) par les rangs moyens ou les rangs médians 2. Tracé du nuage de poins 3. Tracé de la droie de Weibüll 4. Déerminaion de β, η, γ 5. Déerminaion des équaions de la loi de Weibüll 6. Calcul de la MTBF 7. Exploiaion des données issues de la loi La fiabilié -

11 Exemple d applicaion : Préparaion des données : Tracé du nuage de poins : Ordre i TBF Fi 65, 2 33, , , , ,89 η=77 heures β=,4 D2 D Tracé de la droie de Weibüll D : le racé se fai sans difficulé «au jugé». Déerminaion des paramères de la loi : Le fai d obenir direcemen une droie D sans faire de redressemens indique que γ= (paramère de posiion) La droie D2, // à D, passan par l origine coupe l axe «b» en un poin β=,4. C es la valeur du paramère de forme La droie D coupe l axe des emps à =η=77 heures. C es le paramère de la loi de Weibüll Equaions de la loi : R() e,4 77 Déerminaion de la MTBF : La fiabilié -

12 Les ables annexes donnen les valeurs de A e B pour β=,4 : A=,9 e B=,66. On en dédui MTBF A,9 x77 7 heures e B,66 x77 58 heures. Remarque sur la forme du nuage de poins : Si le nuage de poins approxime une droie, la déerminaion de γ es insananée puisque γ=. Dans le cas où ce n es pas une droie mais une courbe (concave ou convexe) qui es approximée, il exise des méhodes de redressemen de la courbe pour obenir une droie e donc γ. Dans ce cas, l uilisaion de logiciels spécialisés es conseillée. VII METHODES D APPROXIMATION DES VALEURS DE LA FONCTION DE REPARTITION : On dispose pour nos éudes de fiabilié d un cerain nombre de données expérimenales ou réelles sur les TBF ; TBF don on veu éudier la foncion de répariion. Ces données représenen un échanillon «n» de la populaion que l on veu appréhender. Elles doiven êre classées par ordre croissan de durée (en heures, jours, ec), suivan l unié la plus adapée. i L esimaion de la foncion de densié pour une durée i es donnée par : f ( i) n Or, ce n es pas la foncion de densié qui nous inéresse mais la foncion de répariion F(i). Cee foncion de répariion peu êre esimée selon plusieurs méhodes don 2 son pariculièremen applicables pour les lois de fiabilié (exponenielle e Weibüll) : ce son les méhodes des rangs médians e des rangs moyens. Le choix enre l une ou l aure des méhodes es foncion de la aille «n» de l échanillon. Si n 2, on uilise la méhode des rangs médians e Si 2 i,3 F( i) n,4 i n, on uilise la méhode des rangs moyens e F( i) n Des ables donnen les valeurs de F(i) direcemen en foncion de la aille n de l échanillon. VIII APPLICATION DE WEIBULL : OPTIMISATION D UNE PERIODE D INTERVENTION SYSTEMATIQUE : La quesion qui revien sans cesse dans un service mainenance pour un équipemen es : fau-il choisir de garder le correcif ou de mere en œuvre un prévenif sysémaique? Pour répondre à cee quesion, il exise plusieurs ouils (abaques de Noire par exemple) don l uilisaion de la loi de Weibüll. La mise en praique de cee loi va permere de répondre aux 2 quesions suivanes : Exise--il une période d inervenion sysémaique T elle que la mainenance prévenive soi plus économique que la mainenance correcive? Si oui, quelle es cee période opimisée θ? Ce ouil d opimisaion sera nommé ouil «r, β». 7 Mise en œuvre de la méhode : Sur un sysème réparable, don un consiuan «fragile» es inerchangeable, commen faire pour déerminer la période θ de remplacemen prévenif? Il fau en er lieu connaîre : La loi comporemenale R() du consiuan Le coû «p» du correcif qui, par hypohèse, es égal au coû de l inervenion prévenive liée au remplacemen du consiuan défecueux Le coû indirec «P» des conséquences de la défaillance On appellera r=p/p le raio de «criicié économique» de la défaillance. Domaine de validié : 2 < r <. Evaluaion du coû C de l inervenion correcive : Le coû moyen d une inervenion correcive es p + P. Le coû moyen par unié d usage devien : C p P MTBF Evaluaion du coû C2(θ) d une inervenion prévenive sysémaique : Si θ es la période de remplacemen sysémaique du composan, le coû aura 2 ermes : La fiabilié - 2

13 Le coû de l inervenion p Le coû du correcif résiduel lié au risque de défaillance avan θ e évalué par sa probabilié F() avec < θ. Ce coû es égal à : P. F( ) P.( R( )). Le coû moyen par unié d usage es donc p P.( R( )) C2( ) m( ) composans ne dépassan pas θ, puisqu ils on éé changés à cee dae. Crière de choix :, avec m(θ) la durée de vie moyenne des m( ) R( ) d. Le prévenif sysémaique sera choisi s il exise une période θ elle que C2(θ)<C ou encore Principe de l opimisaion de θ : On éudie les variaions de Si C2( ) C C2( ) C quand θ varie., alors il n y a pas de soluions C2( ). C Si le rappor à minimum inférieur à, la valeur = θ correspondan au minimum es opimisée On forme le rappor : C2( ) p P( R( )) MTBF. C m( ) p P R(θ) es modélisable par une loi de Weibüll à 2 paramères (γ=). R( ) e La MTBF es aussi une foncion de η e β : Si on pose x e P r p On consae que le rappor, alors C2( x) C MTBF. C2( ) p P( R( )) MTBF. C m( ) p P avec une foncion mahémaique complexe. devien : x C2( x) re. x C e. d r es dépendan de 2 paramères : β qui caracérise la forme de la disribuion e r, paramère économique, qui caracérise le rappor des coûs indirecs / direcs (criicié des défaillances). La fiabilié - 3

14 Exploiaion du rappor C2( x) C En plus des 2 paramères ciés précédemmen, le rappor fai aussi inervenir le emps. On race alors sur un graphique une série de courbes C2( x) C : f( x) pour des valeurs successives de θ e de r. On obien alors des abaques elles que celle ci-conre : 72 Méhodes de gesion des maériels : Gesion individuelle en mainenance prévenive sysémaique : en cas de défaillance résiduelle, le remplacemen du composan défaillan iniialise une nouvelle période θ pour l échéancier. C es la méhode la plus fréquene. Défaillance durée Gesion collecive en mainenance prévenive sysémaique : en cas de défaillance résiduelle, le remplacemen du composan défaillan ne modifie pas l échéancier prévu. Défaillance Cee noion de gesion des équipemens nous inéresse dans le cas de l opimisaion d une période de remplacemen, La fiabilié - 4

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