[ édité le 16 octobre 2015 Enoncés 1

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1 [ édité le 6 octobre 25 Eocés Exercice [ 43 ] [Correctio] O pose ) k+ s = et u = l e s ) k k= a) Éocer le théorème des séries spéciales alterées, e faire la preuve. b) Prouver que les suites s ) et u ) coverget. c) Étudier la ature de u. Exercice 2 [ 56 ] [Correctio] a) Doer u développemet asymptotique à deux termes de u = p=2 l p p O pourra itroduire la foctio f : t l t)/t. b) A l aide de la costate d Euler, calculer = ) l Exercice 5 [ 325 ] [Correctio] Soit j N. O ote Φ j le plus petit etier p N vérifiat a) Justifier la défiitio de Φ j. b) Démotrer que Φ j +. j + c) Démotrer Φj+ Φ j e. j + p = Exercice 6 [ 2433 ] [Correctio] Soit α > et u ) la suite défiie par : j u > et, u + = u + α u a) Coditio écessaire et suffisate sur α pour que u ) coverge. b) Equivalet de u das le cas où u ) diverge. c) Equivalet de u l) das le cas où u ) coverge vers l. Exercice 3 [ 83 ] [Correctio] Soiet a, b R. Détermier la ature de la série l + a l + ) + b l + 2) Calculer la somme lorsqu il y a covergece. Exercice 4 [ 243 ] [Correctio] O ote u = π/4 ta t) dt. a) Détermier la limite de u. b) Trouver ue relatio de récurrece etre u et u +2. c) Doer la ature de la série de terme gééral ) u. d) Discuter suivat α R, la ature de la série de terme gééral u / α. Exercice 7 [ 2429 ] [Correctio] O fixe x R +. Pour N, o pose u =! x k= l + x ) k a) Etudier la suite de terme gééral lu + ) lu ). E déduire que la suite u ) coverge et préciser sa limite. b) Etablir l existece de α R tel que la série de terme gééral : lu + ) lu ) α l + ) coverge. c) Etablir l existece de A R tel que u A α. d) Etudier la covergece de la série de terme gééral u. Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

2 [ édité le 6 octobre 25 Eocés 2 Exercice 8 [ 2423 ] [Correctio] O pose u = p= p + ) α et v = p= ) p p + ) α a) Détermier la ature de la série de terme gééral u selo α. b) Détermier la ature de la série de terme gééral v selo α. Exercice 9 [ 2428 ] [Correctio] O pose fx) = l x x a) Nature des séries de termes gééraux f) puis ) f). b) Motrer la covergece de la série de terme gééral c) Calculer f) = ft) dt ) f) Idice : O pourra s itéresser à la quatité 2 f2k) k= Exercice [ 243 ] [Correctio] Soit a >, b > et pour N, A = 2 k= a + bk), B = k= B Trouver lim A e foctio de e. Exercice [ 2432 ] [Correctio] a) Etudier u où u = b) Etudier v où v = dx +x+ +x. x dx +x+ +x. fk) a + bk) / k= Exercice 2 [ 2434 ] [Correctio] Soit, pour x R, a) Nature la série de terme gééral u = fx) = cos x /3) x 2/3 + fx) dx f) b) Nature de la série de terme gééral f). idice : o pourra motrer que si /3) admet pas de limite quad + c) Nature de la série de terme gééral si /3) 2/3 Exercice 3 [ 248 ] [Correctio] Former u développemet asymptotique à trois termes de la suite u ) défiie par u = et N, u + = + u ) / Exercice 4 [ 397 ] [Correctio] Soit e = e ) N ue suite décroissate à termes strictemet positifs telle que la série e coverge. O pose O itroduit s = = e et r = k=+ e k pour N { + } G = d e /d ) {, } N = O dit que la suite e est ue base discrète lorsque G est u itervalle. a) Motrer que G est bie défii. Détermier so maximum et so miimum. b) O suppose das cette questio que e ) est ue base discrète. Motrer que e r pour tout N. c) O suppose que e r pour tout N. Soit t [ s, s]. O défiit la suite t ) par { t + e t = et t + = si t t t e sio Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

3 [ édité le 6 octobre 25 Eocés 3 Motrer que t t e + r et coclure. d) Das cette questio, o suppose e = /2 pour tout N. Détermier G. Quelles suites d ) permettet d obteir respectivemet,, /2, 2 et /3? Pour x G, y a-t-il ue uique suite d ) {, } N telle que x = = d e? Exercice 5 [ 563 ] [Correctio] Soit u ) ue suite de réels de [, ] de limite. Détermier les foctios f C[, ], R) vérifiat x [, ], fx) = = Exercice 6 [ 36 ] [Correctio] Détermier les foctios f C R, R) vérifiat Exercice 7 [ 38 ] [Correctio] Détermier u équivalet de I = f f = f fu x + x) 2 x + l x) dx Exercice 8 [ 2446 ] [Correctio] a) Soit f C [a, b], R). Détermier les limites des suites b b) Calculer, pour N, a ft) sit) dt) et π/2 b a si2t) cos t si t ft) cost) dt) dt o procédera par récurrece) c) E déduire si t t d) Etudier la limite puis u équivalet de ) π/2 l2 sit/2)) cost) dt Exercice 9 [ 3334 ] [Correctio] La foctio x x siet ) dt admet-elle ue limite e +? Exercice 2 [ 396 ] [Correctio] a) Soit z u ombre complexe o réel. Détermier la limite quad A + de A A dt t z b) Soiet P, Q R [X] tels que F = P/Q soit défiie et itégrable sur R. Pour a pôle de F, o ote R a le coefficiet de /X a) das la décompositio e élémets simples de F. Calculer la somme des R a pour a décrivat l esemble des pôles de F. c) E déduire F = 2iπ dt a P + R a où P + désige l esemble des pôles de F de partie imagiaire strictemet positive. d) Soiet m, N avec > m. Calculer x 2m dx + x2 Exercice 2 [ 572 ] [Correctio] Soit f C 2 [ ; + [, R). O suppose que f et f sot itégrables.. Motrer que f x) quad x Motrer que f.f est itégrable. Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

4 [ édité le 6 octobre 25 Eocés 4 Exercice 22 [ 525 ] [Correctio] Justifier l existece et calculer I = t [/t] dt Exercice 23 [ 2424 ] [Correctio] Covergece et calcul, pour z complexe tel que z <, de Exercice 24 [ 44 ] [Correctio] O étudie l équatio foctioelle = z 2 z 2+ E) : f2x) = 2fx) 2fx) 2 a) Quelles sot les solutios costates sur R? b) Soit h : R R. O pose fx) = xhx) pour tout x R. À quelle coditio sur h, la foctio f est-elle solutio de E)? c) O défiit par récurrece ue suite de foctios de R das R e posat : h : x et, pour tout N, x ) h + x) = h x x )) 2 h Pour x [, ], soit T x : y y xy 2 /2. Motrer que T x est -lipschitziee sur [, ] et que T x [, ]) [, ]. Motrer que la suite h ) N coverge uiformémet sur [, ]. d) Motrer que l équatio E) admet ue solutio cotiue et o costate sur [, ]. e) Motrer que l équatio E) admet ue solutio cotiue et o costate sur R +. Exercice 26 [ 24 ] [Correctio] Soit E = { f C 2 [, π], R)/f) = f ) = } a) Motrer que est ue orme sur E. b) Motrer que N est équivalete à N : f f + f ν : f f + f Exercice 27 [ 465 ] [Correctio] Soiet E = C [, ], R) et N : E R + défiie par Nf) = f 2 ) + a) Motrer que N défiit ue orme sur E. b) Comparer N et.. f 2 t)dt Exercice 28 [ 249 ] [Correctio] a) Quelles sot les valeurs de a R pour lesquelles l applicatio défiit ue orme sur R 2. b) Si N a et N b sot des ormes, calculer x, y) N a x, y) = x 2 + 2axy + y 2 N a x, y) if x,y) N b x, y) et sup N a x, y) x,y) N b x, y) Exercice 25 [ 242 ] [Correctio] Soiet l espace E = { f C [, ], R)/f) = } et N l applicatio défiie sur E par Nf) = N 3f + f ) a) Motrer que E, N) est u espace vectoriel ormé puis qu il existe α > tel que N f) αnf). b) Les ormes N et N sot-elles équivaletes? Exercice 29 [ 477 ] [Correctio] Soit E u espace vectoriel réel ormé. O pose fx) = max, x ) x Motrer que f est 2-lipschitziee. Motrer que si la orme sur E est hilbertiee alors f est -lipschitziee. Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

5 [ édité le 6 octobre 25 Eocés 5 Exercice 3 [ 8 ] [Correctio] O mui le R-espace vectoriel des suites réelles borées de la orme u = sup u N Détermier si les sous-esembles suivats sot fermés ou o : A = {suites croissates}, B = {suites covergeat vers }, C = {suites covergetes}, D = { suites admettat pour valeur d adhérece } et E = {suites périodiques}. c) O suppose E de dimesio fiie, établir Imu Id) keru Id) = E d) O suppose de ouveau E de dimesio quelcoque. Motrer que si Imu Id) keru Id) = E alors la suite v ) coverge simplemet et l espace Imu Id) est ue partie fermée de E. e) Etudier la réciproque. Exercice 3 [ 75 ] [Correctio] Pour A M K), o ote à la trasposée de la comatrice de A. a) Calculer det Ã. b) Etudier le rag de Ã. c) Motrer que si A et B sot semblables alors à et B le sot aussi. d) Calculer Ã. Exercice 32 [ 29 ] [Correctio] Motrer qu ue forme liéaire est cotiue si, et seulemet si, so oyau est fermé. Exercice 33 [ 245 ] [Correctio] Soit A ue partie o vide de R telle que pour tout x réel il existe u et u seul y A tel que x y = dx, A). Motrer que A est u itervalle fermé. Exercice 34 [ 3285 ] [Correctio] Soiet E u espace ormé de dimesio quelcoque et u u edomorphisme de E vérifiat x E, ux) x Pour tout N, o pose v = + k= a) Simplifier v u Id). b) Motrer que Imu Id) keru Id) = {} u k Exercice 35 [ 43 ] [Correctio] E désige u espace vectoriel euclidie et f u edomorphisme de E. a) Soit x E et r >. Justifier que la boule B f x, r) est compacte. Que dire de fb f x, r))? b) Soit x E et u réel r tel que < r < x. O ote K = B f x, r) et o suppose fk) K. O fixe a K et o pose, pour tout N y = f k a) Justifier que y ) est ue suite d élémets de K et que fy ) y ted vers E. E déduire qu il existe u vecteur w K tel que fw) = w. c) O repred les otatios précédetes et o suppose toujours fk) K. Motrer que Spf et Spf [ ; ]. d) À l aide d u exemple choisi e dimesio 3, motrer que f est pas écessairemet diagoalisable. e) Das cette derière questio, o choisit dim E = 3, B = e, e 2, e 3 ) base orthoormée de E et } K = {x.e + y.e 2 + z.e 3 / x2 a 2 + y2 b 2 + z2 c 2 avec a, b, c > ) O suppose fk) = K. Motrer que ou est valeur propre de f. k= Exercice 36 [ 246 ] [Correctio] Soiet A et B das M p R). Motrer que ) )) A B lim exp exp = expa + B) + Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

6 [ édité le 6 octobre 25 Eocés 6 Exercice 37 [ 46 ] [Correctio] O cosidère ue série etière complexe a z de rayo de covergece R >. O ote f sa somme défiie pour z < R par fz) = = a z a) Rappeler la défiitio du rayo de covergece d ue série etière et motrer que a z coverge ormalemet sur D, r) = {z C, z r} si < r < R. b) Soit r u réel tel que < r < R, motrer que la foctio 2π Im fre iθ ) ) z r ze iθ dθ est développable e série etière et exprimer la somme de cette série etière e foctio de fz) et de f). c) Détermier les foctios f, développables e série etière sur D, R), et qui e preet que des valeurs réelles sur u esemble de la forme {z C, z = r} pour < r < R. Exercice 38 [ 333 ] [Correctio] Soit f : ] R, R[ R avec R > ) de classe C vérifiat N, x [, R[, f ) x) Motrer la covergece de la série! f ) )x Exercice 4 [ 3244 ] [Correctio] Soit f la foctio somme das le domaie réel d ue série etière a x de rayo de covergece R =. O suppose l existece d u réel l = lim x fx) a) Peut-o affirmer que la série umérique a coverge et que sa somme vaut l? b) Que dire si l o sait de plus a = o/)? [Théorème de Tauber] Exercice 4 [ 2849 ] [Correctio] Ue ivolutio d u esemble E est ue applicatio f : E E vérifiat f f = Id E. Pour, o ote I le ombre d ivolutios de,. O coviet : I =. a) Motrer, si 2, que b) Motrer que la série etière O ote Sx) sa somme. c) Motrer, pour x ], [, que I = I + )I 2 I! x coverge si x ], [. S x) = + x)sx) d) E déduire ue expressio de Sx), puis ue expressio de I. pour tout x ] R, R[. Exercice 39 [ 245 ] [Correctio] O ote N, p) le ombre de permutatios de [[, ]] qui ot exactemet p poits fixes. O pose e particulier D) = N, ), puis fx) = = D) x! a) relier N, p) et D p). b) Justifier la défiitio de f sur ], [ puis calculer f. c) Calculer N, p). d) Etudier la limite de! N, p)) quad ted vers +. Exercice 42 [ 2452 ] [Correctio] Soit p ) ue suite strictemet croissate d etiers aturels telle que = op ). O pose fx) = x p a) Doer le rayo de covergece de la série etière x p et étudier la limite de x)fx) quad x ted vers par valeurs iférieures. b) Ici p = q avec q N et q 2. Doer u équivalet simple de f e. Exercice 43 [ 2483 ] [Correctio] Soit α >. = Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

7 [ édité le 6 octobre 25 Eocés 7 a) Doer le rayo de covergece R de f α x) = = α x O désire trouver u équivalet de f α lorsque x R. b) O suppose que α est u etier p. Calculer f, f. Doer avec u logiciel de calcul formel l expressio de f 2,..., f 5. Trouver les équivalets recherchés. Motrer qu il existe Q p R [X] tel que f p x) = Q px) x) p+ o calculera f p). E déduire l équivalet recherché. c) O suppose α > quelcoque. Doer le développemet e série etière de x) +α O otera b ses coefficiets. Motrer qu il existe Aα) > tel que α Aα)b. O étudiera la ature de la série de terme gééral l + )α b + E déduire que f α x) est équivalete à quad x ted vers R. Aα) x) +α l α b Exercice 46 [ 2448 ] [Correctio] Pour >, o pose a = π/4 ta t dt a) Trouver la limite de a ). b) Trouver ue relatio simple etre a +2 et a. c) O pose u x) = a α x Doer la ature de la série de terme gééral u x) e foctio de x et de α. d) O pose fx) = Exprimer f à l aide des foctios usuelles. Exercice 47 [ 32 ] [Correctio] Soit f : x = = a x ) si x a) Détermier le rayo de covergece R de la série etière défiissat f. b) Etudier la covergece e R et e R. c) Détermier la limite de fx) quad x. d) Motrer que quad x x)fx) Exercice 44 [ 332 ] [Correctio] Etablir que la foctio x shx est développable e série etière et préciser le rayo de covergece. Exercice 45 [ 995 ] [Correctio] Réaliser le développemet e série etière e de x cette foctio. dt t 2 +x 2 et recoaître Exercice 48 [ 2449 ] [Correctio] Soit a ) la suite défiie par a = et a =! a) Rayo de covergece de a x. b) Somme de a x. k= t k) dt pour N Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

8 [ édité le 6 octobre 25 Eocés 8 Exercice 49 [ 3989 ] [Correctio] O pose fx) = = l )x et gx) = =2 l ) x a) Détermier les rayos de covergece de f et de g. b) Motrer que g est défiie et cotiue sur [, [. c) Trouver ue relatio etre x)fx) et gx). d) Motrer que f est cotiue sur [, [ et trouver des équivalets de f et g e. Exercice 5 [ 374 ] [Correctio] Soit ue série etière a z de rayo de covergece R >. a) Détermier le rayo de covergece de la série etière O pose doc, pour t das R, ft) = a! z = a! t b) Motrer qu il existe r > tel que pour tout x > r, t ft)e xt soit itégrable sur [, + [ et exprimer cette itégrale sous forme de série etière e /x. Exercice 5 [ 389 ] [Correctio] a) Doer l itervalle de défiitio I de la foctio s qui au réel x associe sx) = = x b) Quel est le sige de s sur I R +? Quelle est la limite de s e l extrémité droite de I R +? c) Ecrire x)s x) sous forme d ue série et e déduire le sige de s sur I. d) Etudier la covexité de f défiie sur R + par E déduire que la foctio s est covexe. fx) = x + x ) x Exercice 52 [ 252 ] [Correctio] Pour z C et N, o pose P z) = z ) 2 k a) Motrer que P z) P z ). E déduire que la suite P z)) N est borée. Idice : o pourra peser à itroduire l P z ). b) E étudiat la covergece de la série P + z) P z)), établir la covergece de la suite P z)) N. O itroduit la foctio f : z lim P z) + k= c) Motrer que f est cotiue e. d) Motrer que f est l uique foctio cotiue e vérifiat z C, fz) = z)fz/2) et f) = e) Motrer que f est développable e série etière. Exercice 53 [ 3483 ] [Correctio] Soit α u réel irratioel fixé. O ote R α le rayo de covergece de la série etière x siπα) a) Démotrer que R α. b) O cosidère la suite u ) défiie par Démotrer que pour tout etier u = 2 et, u + = u ) u u u + + ) E déduire que la série de terme gééral /u coverge. Das la suite, o pose α = et o admet que α est irratioel. u = Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

9 [ édité le 6 octobre 25 Eocés 9 c) Démotrer qu il existe ue costate C strictemet positive telle que, pour tout etier : πu + k=+ C u k u u d) Démotrer que R α =. e) Questio subsidiaire : démotrer que α est effectivemet irratioel. Eocé fouri par le CENTRALE-SUPELEC CC)-BY-NC-SA Exercice 54 [ 926 ] [Correctio] Calculer lim e t si t) dt Exercice 55 [ 54 ] [Correctio] O cosidère les foctios f et g défiies sur R + par : fx) = e xt si t dt et gx) = + t2 x + t dt a) Motrer que f et g sot de classe C 2 sur R + et qu elles vérifiet l équatio différetielle Exercice 57 [ 939 ] [Correctio] Soiet α >, N. O pose u α) = π/2 si t) α cos t) dt a) Nature de la série de terme gééral u ). b) Plus gééralemet, ature de la série de terme gééral u α). c) Calculer u α) pour α = 2, 3. = Exercice 58 [ 554 ] [Correctio] Existece et calcul de sachat g) = π/2. gx) = Exercice 59 [ 2439 ] [Correctio] Soiet a C, a et Z. Calculer 2π e t2 cosxt)dt e it e it a dt y + y = x b) Motrer que f et g sot cotiues e c) E déduire que si t t Exercice 56 [ 2435 ] [Correctio] Etudier la limite de où f : [, ] R est cotiue. dt = π 2 ft ) dt Exercice 6 [ 2438 ] [Correctio] a) Démotrer la covergece de la série de terme gééral b) Comparer c) E déduire : = a et a = a =! t e t dt te t te t ) 2 dt Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

10 [ édité le 6 octobre 25 Eocés Exercice 6 [ 2445 ] [Correctio] O pose I = pour tout etier >. a) Trouver la limite l de I ). b) Doer u équivalet de l I ). c) Justifier l + y) y + t dt dy = k= ) k k + ) 2 d) Doer u développemet asymptotique à trois termes de I ). Exercice 62 [ 32 ] [Correctio] O cosidère ϕ : x e itx + t 2 dt a) Motrer la défiie et la cotiuité de ϕ sur R. b) Motrer que ϕ est de classe C sur R et motrer que c) Motrer que pour x >, ϕ x) = i te itx + t 2 dt ϕ ue iu x) = i x 2 + u 2 du et détermier u équivalet de ϕ x) quad x +. d) La foctio ϕ est-elle dérivable e? Exercice 63 [ 3736 ] [Correctio] O pose fα) = dx x α + x) a) Etudier l esemble de défiitio de f. b) Doer u équivalet de f e. c) Motrer que le graphe de f admet ue symétrie d axe x = /2. d) Motrer que f est cotiue sur so esemble de défiitio. e) Calculer la bore iférieure de f. Eocé fouri par le cocours CENTRALE-SUPELEC CC)-BY-NC-SA Exercice 64 [ 3 ] [Correctio] O cosidère l équatio différetielle E : y e x y = a) Soit y ue solutio de E sur R. Etudier la covexité de y 2. E déduire que si y) = y) = alors y est ulle sur R. b) Soiet y et y 2 deux solutios de E telles que y ), y )) =, ) et y 2 ), y 2)) =, ) Démotrer que y, y 2 ) est u système fodametal de solutios de E. c) Soit f CR, R). Démotrer que l équatio différetielle admet ue uique solutio y telle que Exercice 65 [ 3387 ] [Correctio] O cosidère l équatio différetielle E : y e x y = fx) y) = y) = E) : y + cos 2 t)y = a) Justifier l existece d ue solutio u de E) telle que u) = et u ) =. b) Démotrer l existece de deux réels α, β vérifiat α < < β, u α) > et u β) < E déduire que u possède au mois u zéro das R et R +. c) Justifier l existece de réels γ = max {t < /ut) = } et δ = mi {t > /ut) = } d) Soit v ue solutio de E) liéairemet idépedate de u. E étudiat les variatios de W = uv u v motrer que v possède au mois u zéro das]γ, δ[. e) Soit w ue solutio o ulle de E). Démotrer que w admet ue ifiité de zéros. O pourra itroduire pour N, la foctio w : R R, t wt π) [Eocé fouri par le CENTRALE-SUPELEC CC)-BY-NC-SA] Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

11 [ édité le 6 octobre 25 Eocés Exercice 66 [ 392 ] [Correctio] Soiet q C [a, + [, R + ) et E) l équatio différetielle y = qx)y. a) Soit f ue solutio de E) telle que fa) > et f a) >. Motrer que f et f sot strictemet positives et que f ted vers + e +. b) Soiet u et v les solutios de E) telles que { { ua) = va) = u a) = et v a) = Calculer u v uv. Motrer que, sur ]a, + [, u/v et u /v sot mootoes de mootoies cotraires. Motrer que u/v et u /v tedet e + vers la même limite réelle. c) Motrer qu il existe ue uique solutio g de E), strictemet positive, telle que ga) = et telle que g décroisse sur [a, + [. d) Détermier g lorsque qx) = /x 4 sur [, + [. O pourra poser yx) = xz/x). Exercice 67 [ 392 ] [Correctio] a) Soit N M C) ilpotete d idice p. Motrer que I, N, N 2,..., N p ) est ue famille libre. Exprimer e tλi+n) b) Soit A M C) ayat pour uique valeur propre λ C. Motrer que N = A λi est ilpotete. Motrer que les solutios du système différetiel X = AX sot toutes borées sur R si, et seulemet si, λ est imagiaire pur et A = λi. c) Soit A M C) de polyôme caractéristique X λ )... X λ m ) m les λ k état deux à deux disticts. Soit f l edomorphisme de C caoiquemet associé à A. Motrer que C = m kerf λ k Id C ) k k= E déduire l existece d ue base de C das laquelle la matrice de f est diagoale par blocs. d) Avec les otatios de c). Motrer que les solutios de X = AX sot borées si, et seulemet si, les λ k sot imagiaires purs et que A est diagoalisable. e) Motrer qu ue matrice atisymétrique réelle est diagoalisable. Exercice 68 [ 2455 ] [Correctio] a) Résoudre l équatio différetielle y + y = cost) b) Soit a ue série absolumet covergete. Résoudre l équatio différetielle y + y = = a cost) Exercice 69 [ 5 ] [Correctio] Soit f C R +, R) et g ue solutio sur R + de l équatio différetielle xy y = fx) a) Démotrer que g se prologe par cotiuité e. Détermier ue coditio écessaire sur f ) pour que la foctio aisi prologée soit dérivable e. Démotrer que cette coditio est pas suffisate. b) f est supposée de classe C 2 et la coditio précédete est vérifiée. Démotrer que g est de classe C 2. Exercice 7 [ 56 ] [Correctio] Soit E) l équatio différetielle l x)y + y x = a) Résoudre E) sur ], [ et sur ], + [. b) Soit g la foctio défiie sur ], + [ \ {} par gx) = l + x) x Motrer que g se prologe sur ], + [ e ue foctio de classe C. c) Démotrer que E) admet ue solutio de classe C sur ], + [. Exercice 7 [ 246 ] [Correctio] O pose cos x cos y ϕx, y) = pour x y x y a) Motrer que ϕ admet u prologemet par cotiuité à R 2 oté ecore ϕ. b) Motrer que ϕ est de classe C puis C. Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

12 [ édité le 6 octobre 25 Eocés 2 Exercice 72 [ 2466 ] [Correctio] O cosidère f : x, y) = a) Détermier le domaie de défiitio D de f. b) Etudier l existece de f f x et y sur D. x + y 2 Exercice 73 [ 327 ] [Correctio] Détermier les foctios f : R + R de classe C 2 telle que vérifie Exercice 74 [ 6 ] [Correctio] Trouver les extrema sur R 2 de F : R \ {} R ) x,... x ) f x x2 i= 2 F x 2 i = fx, y) = x 2 + xy + y 2 + 2x 2y Exercice 75 [ 2463 ] [Correctio] Détermier les extremums de x l x + y l y sur ], + [ 2. Exercice 78 [ 246 ] [Correctio] Motrer que f : R R de classe C est homogèe de degré p si, et seulemet si, x,..., x ) R, i= Exercice 79 [ 352 ] [Correctio] Soiet E = C R, R), E le dual de E et x i f x i x,..., x ) = pfx,..., x ) D = { d E / f, g) E 2, dfg) = f)dg) + g)df) } a) Motrer que D est u sous-espace vectoriel de E. b) Motrer que D est o réduit à {}. c) Soit d D et h ue foctio costate. Que vaut dh)? d) Soit f E. Motrer x R, fx) = f) + f x i tx) dt x i Vérifier que l applicatio x f x i tx) dt est das E. e) Soit d D. Etablir l existece de a,..., a ) R tel que f) Détermier la dimesio de D. f E, df) = i= i= a i f x i ) Exercice 76 [ 2465 ] [Correctio] Soit u triagle ABC et M parcourat l itérieur de ce triagle. O veut détermier e quelle positio le produit des 3 distaces de M à chacu des côtés du triagle est maximal. Idicatios : e pas oublier de justifier l existece de ce maximum, la répose est le cetre de gravité du triagle. Exercice 77 [ 7 ] [Correctio] Soit a >. Motrer que f : x, y) x + y + a xy admet u miimum strict sur R + ) 2 Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

13 [ édité le 6 octobre 25 Correctios 3 Correctios Exercice : [éocé] a) Si v ) est ue suite alterée dot la valeur absolue décroît vers alors la série v coverge. Ce résultat s obtiet e costatat l adjacece des suites extraites de rags pairs et impairs de la suite des sommes partielles. b) La suite s ) coverge e vertu du critère spécial éocé ci-dessus. E fait, il est «cou» que s ) ted vers l 2 et doc u ) ted vers. c) O peut écrire s = l 2 r avec O a r = k=+ r r + = ) + et r + r + = ) k+ k k=+ ) k+ ) kk + ) = O 2 car par, applicatio du critère spécial à la série ) k+ kk+), o peut majorer le reste par la valeur absolue du premier terme qui l exprime. O e déduit ) r = ) 2 + O 2 O sait et doc avec Aisi, lx) = x x + O x ) 2) u = e s 2 + O e s 2) 2) e s 2 = 2 e r ) = 2r + Or 2 ) = )+ u = )+ ) + O 2 ) + O 2 La série u coverge car c est la somme d ue série vérifiat le critère spécial et d ue autre absolumet covergete. Exercice 2 : [éocé] a) f est décroissate sur [e, + [. Pour p 4, p+ doc u = l l v avec p + 4 l t l p p dt t p l t p t dt l t t dt v l t 3 t dt doc v 2 l )2. Etudios w = u 2 l )2, w w = l l t t dt doc w ) est décroissate. D autre part les calculs précédets doet w ) miorée et doc o peut coclure que w coverge. Aisi b) doc 2N = 2N = ) l ) l = N = u = 2 l )2 + C + o) l2) = N = l2) 2 2N = l) N = = l 2 l2 ) 2 N = Par le développemet asymptotique précédet, o obtiet : 2N = ) l et après simplificatio De plus 2N+ = + u N u 2N = l 2. l + l2)γ + 2 l )2 + C 2 l 2)2 C + o) 2N = ) l ) l l2)2γ l 2) 2 = 2N = ) l + o) l2)2γ l 2) 2 Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

14 [ édité le 6 octobre 25 Correctios 4 doc N est-ce pas magifique? Exercice 3 : [éocé] O a = ) l = l2)2γ l 2) 2 l + a l + ) + b l + 2) = + a + b) l + a + 2b ) + O 2 Il y a covergece si, et seulemet si, + a + b = et a + 2b = ce qui correspod à a = 2 et b =. Das ce cas : N l + a l + ) + b l + 2) = = N = N+ N+2 l 2 l + l =2 =3 Exercice 5 : [éocé] a) Puisque o peut affirmer que l esemble { p = p + + p N, p = } j est ue partie o vide de N. Celle admet doc u plus petit élémet, oté Φ j. b) Par défiitio de Φ j, o a j Or, par comparaiso avec ue itégrale Φ j = Φ j = Φj + dt t = + l Φ j puis c) Par défiitio de Φ N j, o a l + a l + ) + b l + 2) = l +l 2 2 l 2 2 ln+)+ln+)+ln+2) l 2 = O e déduit Φ j e j puis Φ j j + Φ j = +. j Φ j = Exercice 4 : [éocé] a) Par covergece domiée par la foctio ϕ : t, o obtiet u. b) u + u +2 = π/4 ta t) ta t) dt = + c) O vérifie aisémet u + et u + u. Par applicatio du critère spécial des séries alterées, ) u coverge. d) Par mootoie u + u +2 2u u + u 2 O e déduit u 2 puis par comparaiso de séries à termes positifs, u α coverge si, et seulemet si, α >. Or, sachat que Φ j +, o a Par suite Or doc puis Φ j = = l Φ j + γ + o) et Φ j = = lφ j ) + γ + o) lφ j ) + γ + o) j l Φ j + γ + o) lφ j ) = l Φ j + o) j = l Φ j + γ + o) Φ j = e j γ+o) Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

15 [ édité le 6 octobre 25 Correctios 5 O e déduit Φ j+ Φ j = ej+ γ+o) e j γ+o) = e +o) e c) O suppose α >. Posos v = u l. O a v + v = α u α l Exercice 6 : [éocé] a) Notos la suite u ) est bie défiie, strictemet positive et croissate. Si α >, o a u + u + α u puis par récurrece u k= k α u Aisi u ) coverge. Si u ) coverge. Posos l = lim u, o observe l >. O a u + u = α u α l or la série de terme gééral u + u est covergete doc α >. b) O suppose α. O a u 2 + u 2 = 2 α + 2α u 2 2 α doc par sommatio de relatio de comparaiso de séries à termes positifs divergetes u 2 2 k α or par comparaiso série-itégrale, et O coclut alors u k= k= k α α α quad α < k= 2 α l quad α = k α si α < et u 2 l si α = doc par sommatio de relatio de comparaiso de séries à termes positifs covergetes v k+ v k = v l α α l α puis k= Exercice 7 : [éocé] a) avec x > doc k= v = α l α l u + l u x 2 l u k+ l u k k= puis u. b) Pour α = x/2, lu + ) lu ) α l + ) ) = O 2 doc il y a covergece de c) Puisque lu+ ) lu ) α l + ) lu + ) lu ) α l + ) = l u + + ) α l u α la suite de terme gééral l u coverge puis u α A avec A >. α d) Par comparaiso de séries à termes positifs, u coverge si, et seulemet si, α < i.e. x > 2. Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

16 [ édité le 6 octobre 25 Correctios 6 Exercice 8 : [éocé] a) Pour défiir u, il est écessaire de supposer α >. Par comparaiso avec ue itégrale, o motre u α α Par comparaiso de séries à termes positifs, u coverge si, et seulemet si, α > 2. b) Pour défiir u, il est écessaire de supposer α >. Par applicatio du critère spécial des séries alterées, v état le reste de la série ) p p+) est du sige de ) et v α +). α De plus doc v v + = v v + = p= p= Par le théorème des accroissemets fiis ) p + p + + ) α ) p p + + 2) α p= ) ) p p + + ) α p + + 2) α p + + 2) α p + + ) α = α c ) α+ avec c ]p + +, p + + 2[. La suite c ) est croissate doc o peut appliquer le critère spécial des séries alterées à ) ) p p + + ) α p + + 2) α et coclure que sa somme est du sige de so premier terme. Au fial, v ) est décroissat et e appliquat ue derière fois le critère spécial des séries alterées, o coclut que v coverge. Exercice 9 : [éocé] a) f) diverge et ) f) coverge e applicatio du critère spécial. b) Pour 4, doc f) ft) dt f ) ft) dt f) f ) f) avec =4 f ) f) = f3) doc la série de terme gééral ft)dt f) coverge et il e est de même de la série de terme gééral f) ft)dt. c) O a avec Or = 2 k= fk) = f) + k= ) f) = ) k fk) = 2 k=2 et e exploitat l2k) = l 2 + l k 2 f2k) = l 2 k= O e déduit Au fial 2 k= lim 2 + k= f2k) k= k fk) ft) dt + k k + f2k) k= Exercice : [éocé] O a = A = a + k= 2 k= l k k ) k fk) 2 k= fk) ft) dt = 2 l )2 + C = l 2 l + l2)γ + o) + 2 l )2 + C fk) = l2)γ 2 l 2)2 + o) ) l = l2)2γ l 2) 2 b + ), l B = 2 Posos ft) = la + bt) foctio croissate. A l aide d ue comparaiso série-itégrale la + bk) k= fk) = la + b) + o) k= Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

17 [ édité le 6 octobre 25 Correctios 7 doc puis l B ) a + b = l B l A = l + o) l 2 A a + b/2 B A 2 e Le terme etre crochet est ul il suffit d écrire x = h avec h, pour étudier la limite e ) Il reste v = l x + )dx + Par développemet e série etière de la foctio u l u) Exercice : [éocé] a) L itégrale défiissat u est bie défiie car elle porte sur ue foctio sur le segmet [, ]. O peut aussi la compredre comme ue itégrale impropre covergete sur [, [ dx u = + x + + x = dx [,[ + x + + x et par sommatio géométrique dx + x + + x = [,[ [,[ x dx x+ Posos f x) = x x + Sur [, [, la suite de foctios f ) coverge simplemet vers la foctio f : x x. Les foctios f et f sot cotiues par morceaux et x x + x x = = ϕx) avec ϕ itégrable. Par covergece domiée u x)dx = 2 et doc la série u diverge grossièremet. b) O amorce les calculs comme au dessus pour écrire v = x dx + x + + x = x x)dx x+ Par itégratio par parties impropre justifiée par deux covergeces x [ x)dx = ] x+ + l x+ ) x) l x + )dx + Posos v = k= k x+)k dx g k x) = k x+)k La série de foctios g k coverge simplemet sur [, [ e vertu de la décompositio e série etière précédete. Les foctios g k et la foctio somme + g k : x l x + ) sot cotiues par morceaux. Efi, les foctios g k sot itégrables sur [, [ et + k x+)k dx = k + )k + ) < + k= k= k= O peut doc itégrer terme à terme pour écrire doc v = + k k= Or puis fialemet k= x +)k dx = + k= k + )k + ) + ) k 2 k= v C + ) 2 La série à termes positifs v est doc covergete. k + )k + ) Exercice 2 : [éocé] a) a) Ue comparaiso série itégrale est iadaptée, f est pas mootoe comme e témoige ses chagemets de sige. E revache : u = + fx) f) dx Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

18 [ édité le 6 octobre 25 Correctios 8 Or par le théorème des accroissemets fii, avec c x ], x[. Après calcul de f x), o e déduit fx) f) = f c x )x ) L égalité doe u + = exp l + 2 l )) + v u + = exp 2 l + v + O l ) 2 / )) puis u = O 4/3 ). fx) f) 3 4/ /3 b) La série de terme gééral + diverge. E effet si si /3) covergeait vers l alors par extractio si) aussi et ft) dt diverge car ft) dt = 3 si /3) il est classique d établir la divergece de si)). O e déduit que cos /3 ) 2/3 diverge. c) Il suffit de repredre la même étude pour parveir à la mêmeu = + fx) dx f) coclusio. Exercice 3 : [éocé] O observe que u + u =. Puisque ue série à termes positifs divergete o peut, par sommatio de relatio de comparaiso, affirmer u + k 2 2 E composat avec le logarithme épérie cet équivalet de limite ifii, o obtiet l u + 2 l puis Par suite u + puis k= l u + 2 l u + = + 2 l ) l + o Or 2u + 2 doc exp l2) + v + O l ) 2 / )) puis v l2). Aisi u + = + 2 l l 2 ) + o Exercice 4 : [éocé] a) Puisque d e e avec covergece de e, o peut affirmer que les élémets de G sot des sommes de séries absolumet covergetes. Les élémets de G sot doc bie défiis et puisque d e e = s = o a G [ s, s]. Efi s G avec d ) N = ) N et s G avec d ) N = ) N. b) Si e est ue base discrète alors G = [ s, s]. Par l absurde, supposos qu il existe N N tel que e N > r N. Itroduisos compredre x = si N = ). Soit y = x = = N k= S il existe k N tel que d k = alors = e k [ s, s] d e avec d {, } Posos v = u + 2 l y = d e 2e k = s 2e k Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

19 [ édité le 6 octobre 25 Correctios 9 Or doc Si d k = pour tout k N alors y = e k e N y < s 2e N = x + r N e N < x N e k + = =N+ d k e k x + e N r N > x Das tous les cas, y x et doc x / G. C est absurde. c) Raisoos par récurrece sur N. Cas = : o a bie t t = t s = e + r Supposos la propriété vérifiée au rag. Si t t alors t t + = t t e r et Aisi Si t > t alors et l étude est aalogue. Récurrece établie. O e déduit que t t puis que t G. E coclusio t t + e r t t + r = e + + r + t + t = t t e e est ue base discrète si, et seulemet si, N, e r d) La coditio précédete est vérifiée et, puisque s = 2, o obtiet G = [ 2, 2]. O peut écrire et = + = ) 2, = = =2 = ) 2, 2 = =3 2 E remarquat o peut proposer = ) 2 = = =2 ) Il peut y avoir uicité de la suite d ) c est le cas pour x = s) ou o c est le cas pour x = où lorsque d ) coviet, d ) coviet aussi). Exercice 5 : [éocé] Soit f ue foctio solutio. Puisque celle-ci est cotiue sur u segmet, elle y admet u miimum e u certai x [, ]. O a alors fu x + x ) fx ) fx ) = 2 2 = fx ) = = O e déduit 2 N, fu x + x ) = fx ) E passat à la limite quad +, o obtiet f) = fx ) Aisi f) est la valeur miimale de f sur [, ] U raisoemet symétrique assure aussi que f) est la valeur maximale de f sur [, ]. O e déduit que f est costate. La réciproque est immédiate. Exercice 6 : [éocé] Si f est solutio alors e dérivat f f = f o obtiet x R, f x) = f x) f fx)) puis e exploitat à ouveau f f = f, o obtiet x R, f fx)) = f fx)) 2 Puisque la foctio f f est cotiue, o peut affirmer que celle-ci est costate égale à ou. Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

20 [ édité le 6 octobre 25 Correctios 2 Cas f f = La relatio f x) = f x) f fx)) doe f x) = et o e déduit que f est costate. Cas f f = Nous savos que I = Imf = fr) est u itervalle o vide. Puisque f x) = pour tout x I, o peut affirmer qu il existe C R tel que fx) = x + C pour tout x I. Or o a ffx)) = fx) + C car fx) I) et ffx)) = fx) doc C =. Aisi x I, fx) = x Pour coclure, il reste à motrer I = R. Par l absurde supposos l itervalle I majoré et posos m = sup I. Par cotiuité de f et de f e m, o a fm) = m et f m) = Puisque f m) =, f pred des valeurs strictemet supérieures à fm) = m. Ceci cotredit la défiitio de m. De même, o obtiet qu il est absurde d affirmer que I est mioré et doc o coclut I = R. Fialemet, si f est solutio alors f est costate ou égale à l idetité. La réciproque est immédiate. Notos que sas l hypothèse classe C, de ombreuses foctios peuvet être solutios comme la suivate prologée par cotiuité e. Notos que cette foctio est positive et croissate. Itroduisos a, b ], [ dot les valeurs serot détermiées ultérieuremet. O peut écrire + )I = A + B + C avec A = a Par mootoie de f, + ) x fx) dx, B = A Pour a = ε avec ε = l car O e déduit Par la croissace de f b a a, o a + ) x fx) dx et C = + )x = a + f) l)a + = e ll )++) l ε) ll ) + + ) l ε ) l ) A = o l b + ) x fx) dx C b + )x fb) Pour b = η avec η = l ), o a b + et fb) l dx = b+ fb) Exercice 7 : [éocé] Posos f : ], [ R défiie par Ue foctio cotiue vérifiat f f = f l x) x fx) = = x + = de sorte que Efi, toujours par la croissace de f, et puisque b + a + fb) ) C o l B b+ a + fa) b + a + et fb) fa) l Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

21 [ édité le 6 octobre 25 Correctios 2 o parviet à et fialemet + )I l I l Remarque : Par le chagemet de variable t = l x), x = e t I = e t ) + e t dt t E développat par la formule du biôme ) I = ) k e t e k+)t dt k t k= et o peut motrer par découpage d itégrale et u chagemet de variable affie que e t e k+)t e t e k+)t dt = lim dt = lk + ) t ε ε t Ce qui précède permet alors d établir ) + + ) k lk + ) k l k= Exercice 8 : [éocé] a), cf. lemme de Lebesgue. b) Posos I = π/2 si2t) cos t si t Cette itégrale existe car u prologemet par cotiuité est possible e. O observe si2 + )t) si2t) = 2 si t cos2 + )t et doc I + I = π/2 La suite I ) est costate égale à I = π/2 dt 2 cos2 + )t) cos t dt = 2 cos 2 t dt = π 2 c) O a π/2 si2t) cos t si t π/2 si2t) dt dt = t π/2 avec ft) = cot t t qui se prologe e ue foctio de classe C sur [, π/2]. Aisi π/2 si2t) dt π t 2 Or π/2 si2t) t dt = π si u u du si2t)ft) dt doc la covergece de l itégrale de Dirichlet état supposée coue, o obtiet d) O a π/2 l2 sit/2)) cost) dt = Par itégratio par parties, π/2 La foctio t l Par itégratio par parties, π/2 sit/2) l t/2 La foctio t l π/2 si t t dt = π 2 ) sit/2) l cost) dt + t/2 lπ/2) siπ/2) π/2 π/2 si u u lt) cost) dt lt) cost) dt = du ) sit/2) t/2 se prologe e ue foctio de classe C 2 sur [, π/2]. ) cost) dt = 2 2 l π ) siπ/2) π/2 )) sit/2) t/2 état de classe C sur [, π/2], o a π/2 sit/2) l t/2 et doc π/2 l2 sit/2)) cost) dt )) sit) dt = o ) l 2) siπ/2) π 2 )) sit/2) l sit t/2 Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

22 [ édité le 6 octobre 25 Correctios 22 Exercice 9 : [éocé] Par itégratio par parties x D ue part sie t ) dt = x e t sie t )e t dt = [ cose t )e t] x x cose t )e t dt cose x )e x x + et d autre part t cose t )e t est itégrable sur [ ; + ] car t 2 cose t )e t doc l itégrale sie t ) dt coverge. t + Exercice 2 : [éocé] a) O écrit z = a + ib avec a, b R. E multipliat par la quatité cojuguée puis doc A A A A dt A t z = t a + ib A t a) 2 + b 2 dt [ dt t z = 2 l t a) 2 + b 2) ] A [ + i arcta t a ] A A b A A A dt t z A + { iπ si Imz > iπ sio b) Les pôles de F sot assurémet o réels. La partie etière de F est écessairemet ulle car F est itégrable. Das la décompositio e élémets simples de F, les termes e /X a) k avec k 2 détermiet des expressios itégrables. Puisque F est aussi itégrable, o peut affirmer par différece que le terme a P R a t a) avec P l esemble des pôles de F ) est itégrable sur R. Or t a P R a t a) t + a P R a Il est doc écessaire que R a = a P c) Les termes e /X a) k avec k 2) de la décompositio e élémets simples de F iduiset des itégrales sur R ulles. Par coséquet F = a P R a t a dt = lim A + a P Puisque les parties polaires sot deux à deux cojuguées puis Mais doe a P A A R a t a dt = a P + A A F = 2iπ R a = a P a P + R a + R a = 2 A A R a t a + R a t ā dt a P + ImR a ) Fialemet F = 2iπ a P + ReR a ) = a P + R a R a t a dt d) Puisque m +, l itégrabilité est acquise. Les pôles de la fractio sot simples et ce sot les avec k {,..., 2 }. Pour chaque k {,..., 2 }, R zk = X 2m + X 2 z k = e i2k+) 2 π X 2m + X 2 ) X=zk = z2m+ k 2 Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

23 [ édité le 6 octobre 25 Correctios 23 Les pôles de parties imagiaires positives sot obteus pour k {,..., } et après sommatio géométrique o obtiet Exercice 2 : [éocé]. O a x 2m + x 2 dx = π si f x) = f ) + 2m+)π 2 x f t) dt doc f x) admet ue limite fiie l quad x +. Si l > alors pour x assez grad f x) l/2 puis fx) lx/2 + m ce qui empêche la covergece de ft) dt. Si l < o obtiet aussi ue absurdité. Il reste doc l =. 2. Puisque la foctio f est cotiue et coverge e +, cette foctio est borée et doc t ft)f t) est itégrable sur [ ; + [. Exercice 22 : [éocé] La foctio f : t t [/t] est défiie et cotiue par morceaux sur ], + [. Pour t >, [/t] = et doc ft) =. Aisi f est itégrable sur [, + [. Pour t >, /t [/t] /t et doc ft) t + ], ]. O a Or puis / ft) dt = k= I = lim ft) dt + / /k /k+) / ft) dt = 2 Par décompositio e élémets simples / ft) dt = 2 k= t [/t] dt = k= ). Aisi f est itégrable sur k= 2k + kk + ) 2 /k /k+) k ) k + + k + ) 2 kt dt et après réorgaisatio O e déduit Exercice 23 : [éocé] / ft) dt = 2 I = π2 2 k= k 2 Puisque z <, o peut écrire par sommatio géométrique et doc = = z 2+ k z 2+ k= z 2 + = z 2 z 2+k = z 2+ = k= z 2 2k+) = k= Tout etier aturel o ul p s écrit de faço uique sous la forme p = 2 2k + ) avec, k N O peut doc affirmer que N est la réuio des esembles deux à deux disjoits suivats A = {2 2k + )/k N} Puisque la famille z p ) p N est sommable, o peut sommer par paquets et écrire Fialemet p= z p = = = m A z m = z 2 2k+) = k= z 2 = z p = z z 2+ z p= Exercice 24 : [éocé] a) Si f est costate égale à C alors l équatio E) est vérifiée si, et seulemet si, C = 2C 2C 2. Cette derière équatio est vérifiée pour C = et C = /2 seulemet. Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

24 [ édité le 6 octobre 25 Correctios 24 b) Après substitutio et étude séparée du cas x =, o obtiet f solutio de E) si, et seulemet si, h vérifie h2x) = hx) xhx) 2 c) L applicatio T x est de classe C et T xy) = xy. Sur [, ], o vérifie T xy) et la foctio T x est doc -lipschitziee sur [, ]. Au surplus, la foctio T x est croissate sur [, ] avec T x ) = et T x ) = x/2. O e déduit T x [, ]) [, ]. Par ue récurrece immédiate, o vérifie N, x [, ], h x) [, ] Pour et x [, ], o a par lipschitziaité x ) x ) h + x) h x) h h 2 2 E répétat cette majoratio h + x) h x) x ) x ) x h 2 h = La série télescopique h + x) h x) coverge doc absolumet et la suite h x)) est doc covergete. La suite de foctios h ) coverge doc simplemet vers ue foctio h. Au surplus hx) h x) = k= + h k+ x) h k x) k= 2 k+ = 2 + La covergece de la suite h ) est doc uiforme sur [, ]. d) La foctio h est limite uiforme d ue suite de foctios cotiues, elle est doc cotiue sur [, ]. E passat à la limite la relatio o obtiet l idetité x [, ], h + x) = h x 2 ) x x ) 2 2 h 2 x ) x [, ], hx) = h x x ) h 2 Puisque h ) = pour tout N, o a h) = et la foctio h est pas ulle. O peut alors défiir la foctio f : x xhx) qui est cotiue, o costate et vérifie x ) x ) 2 x [, ], fx) = 2f 2f 2 2 e) O peut esuite défiir ue solutio sur [, 2] e posat x ) x ) 2 x ], 2], fx) = 2f 2f 2 2 Cette solutio est bie cotiue e car lim fx) = 2f x + 2 ) 2f De même, o prologe la solutio sur [, 4], [, 8], etc. ) 2 = f) 2 Exercice 25 : [éocé] a) Les propriétés Nf + g) Nf) + Ng) et Nλf) = λ Nf) sot faciles. Si Nf) = alors la résolutio de l équatio différetielle f + 3f = avec la coditio iitiale f) = doe f =. Aisi l applicatio N est bie ue orme sur E. O remarque x fx) = e 3x ft)e 3t ) x dt = e 3x 3ft) + f t))e 3t dt Par suite fx) e 3 Nf) pour tout x [, ] et doc N f) αnf) avec α = e 3. b) Pour f x) = x, N f) = et Nf) = N x 3x + x ) = Les ormes N et N e sot pas équivaletes. Exercice 26 : [éocé] a) L applicatio N : E R + est bie défiie et o vérifie aisémet Nλf) = λ Nf) et Nf + g) Nf) + Ng). Supposos maiteat Nf) =, la foctio f est alors solutio de l équatio différetielle y + y = vérifiat les coditios iitiales y) = y ) = ce qui etraîe f =. Fialemet N est ue orme sur E. b) O a évidemmet N ν. Iversemet, soit f E et g = f + f. La foctio f est solutio de l équatio différetielle y + y = g vérifiat les coditios iitiales y) = y ) =. Après résolutio via la méthode de variatio des costates, o obtiet fx) = x six t)gt) dt Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

25 [ édité le 6 octobre 25 Correctios 25 O e déduit fx) x g π g et doc f πnf). De plus f f + f + f doc νf) π + )Nf). Exercice 27 : [éocé] a) Posos ϕf, g) = f)g) + f t)g t)dt. ϕ est ue forme biliéaire symétrique, ϕf, f) et si ϕf, f) = alors f) = et pour tout t [, ], f t) = doc f =. ϕ est doc u produit scalaire et N apparaît comme état la orme associée. b) Pour tout x [, ], fx) f) + x f t)dt 2Nf), doc f 2Nf).Pour fx) = sixπ), f = et Nf) = π/ 2 +. Les deux ormes e sot doc pas équivaletes. Exercice 28 : [éocé] a) N a, ) et N a, ) doivet exister et être strictemet positifs. Cela fourit les coditios écessaires 2a + 2 > et 2 2a > d où a ], [. Motros que cette coditio est suffisate. Supposos a ], [ et cosidéros ϕ : R 2 R 2 R défiie par ϕ x, y), x, y )) = xx + yy + axy + ayx. L applicatio ϕ est ue forme biliéaire symétrique sur R 2 et pour x, y), ), ϕ x, y), x, y)) a ) x 2 + y 2 ) > e vertu de 2axy a x 2 + y 2). Aisi ϕ est u produit scalaire sur R 2 et N a est la orme euclidiee associée. b) Le cas a = b est immédiat. Quitte à échager, o peut désormais supposer a < b. Par homogééité, o peut limiter l étude de Nax,y) N b x,y) avec t ] π/2, π/2]. Posos O a ft) = ) 2 Na cos t, si t) + a si 2t = N b cos t, si t) + b si 2t f a b) cos2t) t) = 2 + b si 2t) 2 au couple x, y) = cos t, si t) Les variatios de f sot faciles et les extremums de ft) sot e t = π/4 et t = π/4. Ils valet a +a b et +b. O e déduit N a x, y) + a if x,y) N b x, y) = + b et N a x, y) a sup x,y) N b x, y) = b das le cas a < b). Exercice 29 : [éocé] Si x, y alors fy) fx) = y x. Si x et y > alors fy) fx) = y y x = y y y + y x Si x, y > alors fy) fx) = y y x x = y x y + x y + y x 2 y x y x Au fial f est 2-lipschitziee. Supposos maiteat que la orme. soit hilbertiee. Si x, y alors fy) fx) = y x Si x et y > alors ) fy) fx) 2 y x 2 = y 2 2 y x y) y Or x y) x y y doc fy) fx) 2 y x 2 y y ) = y ) 2 Si x, y > alors fy) fx) 2 y x 2 = 2 y 2 x 2 2 Or x y) x y doc y x x y + 2 y y x y x y) x y fy) fx) 2 y x 2 = 2 y 2 x x y ) = x y ) 2 Au fial f est -lipschitziee. Exercice 3 : [éocé] A est fermé car si u p = u p ) est ue suite d élémets de A covergeat vers ue suite u = u ) pour la orme. alors pour tout N et tout p N, u p u p + qui doe à la limite u u + et doc u A. Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

26 [ édité le 6 octobre 25 Correctios 26 B est fermé car si u p = u p ) est ue suite d élémets de B covergeat vers ue suite u = u ) pour la orme. alors pour tout ε > il existe p N tel que u u p ε/2 et puisque u p, il existe N N tel que et doc N, u p ε/2 u u u p + u p ε Aisi u et doc u B. C est fermé. E effet si u p = u p ) est ue suite d élémets de C covergeat vers ue suite u = u ) pour la orme. alors e otat l p la limite de u p, la suite l p ) est ue suite de Cauchy puisque l p l q u p u q. Posos l la limite de la suite l p ) et cosidéros v p = u p l p. v p B et v p u l doc u l B et u C. D est fermé car si u p = u p ) est ue suite d élémets de D covergeat vers ue suite u = u ) pour la orme. alors pour tout ε > il existe p N tel que u u p ε/2 et puisque est valeur d adhérece de u p, il existe ue ifiité de tels que u p ε/2 et doc tels que u u u p + u p ε Aisi est valeur d adhérece de u et doc u D. E est pas fermé. Notos δ p, la suite détermiée par δ p = si p et sio. La suite δ p est périodique et toute combiaiso liéaire de suites δ p l est ecore. Posos alors p u p = 2 k δk k= qui est élémet de E. La suite u p coverge car u p+q u p p+q k=p+ et la limite u de cette suite est pas périodique car u = lim p p + k= 2 k 2 p 2 k = et que u < pour tout puisque pour que u = il faut k pour tout k N. Exercice 3 : [éocé] a) O sait Si A est iversible alors doe ÃA = Aà = det A.I det Ã. det A = det A) det à = det A) L applicatio A det à état cotiue et coïcidat avec l applicatio elle aussi cotiue A det A) sur GL K) qui est dese das M K), o peut assurer que det à = det A) pour tout A M K). b) Si A est iversible alors à aussi doc rga) = rgã) = Si rga) 2 alors A e possède pas de détermiat extrait o ul d ordre et doc à =. Aisi rga) 2 rgã) = Si rga) = alors dim ker A = or Aà = det A.I = doe Imà ker A et doc rgã). Or puisque rga) =, A possède u détermiat extrait d ordre o ul et doc à O. Aisi rga) = rgã) = c) Soit P ue matrice iversible. Pour tout A GL K), et P AP iversible doc Aisi P ÃP )P AP ) = det A.I P ÃP = P AP à = P P AP P Les applicatios A à et A P P AP P sot cotiues et coïcidet sur la partie dese GL K) elles sot doc égales sur M K). Si A et B sot semblables alors il existe P iversible vérifiat P AP = B et par la relatio ci-dessus P ÃP = P AP = B doc à et B sot semblables. d) Si A est iversible alors à = deta)a et à = det Ã)à = deta) 2 A Par coïcidece d applicatios cotiues sur ue partie dese, pour tout A M K), à = deta) 2 A Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

27 [ édité le 6 octobre 25 Correctios 27 Exercice 32 : [éocé] Si la forme liéaire est cotiue assurémet so oyau est fermé car image réciproque du fermé {}. Iversemet, supposos que ϕ est ue forme liéaire discotiue. Pour tout k R +, il existe alors x E tel que ϕx) > k x E preat k = N, o défiit aisi ue suite x ) d élémets de E vérifiat pour tout N ϕx ) > x Posos alors y = ϕx ) x O a par costructio ϕy ) = et y / doc y E. Cosidéros efi z = y y O a ϕz ) = et doc z ker ϕ. Or z y avec y / ker ϕ. Aisi ker ϕ est pas fermé car e cotiet pas toutes les limites de ses suites covergetes. Exercice 33 : [éocé] Soit x ) A N covergeat vers x R. Il existe u uique y A tel que x y = dx, A). Or dx, A) = doc x = y A. Aisi A est fermé. Par l absurde supposos que A e soit pas u itervalle. Il existe a < c < b tel que a, b A et c / A. Posos α = sup {x A/x c} et β = if {x A/x c}. O a α, β A, α < c < β et ]α, β[ C R A. Posos alors γ = α+β β α 2. O a dγ, A) = 2 = γ α = γ β ce qui cotredit l hypothèse d uicité. Absurde. Exercice 34 : [éocé] a) Par télescopage ) u k u Id) = u + Id k= doc v u Id) = u + Id ) + ) b) Soit x Imu Id) keru Id). O peut écrire x = ua) a et o a ux) = x. O e déduit v u Id)a) = x Or car O e déduit x =. c) Par la formule du rag v u Id)a) = u + a) a ) + u + a) a u + a) + a 2 a dim Imu Id) + dim keru Id) = dim E et puisque les deux espaces sot e somme directe, ils sot supplémetaires. d) Soit z E. O peut écrire z = x + y avec x Imu Id) et y keru Id). O a alors v z) = v x) + y avec, comme das l étude du b), v x). O e déduit v z) y. Aisi la suite de foctios v ) coverge simplemet vers la projectio p sur keru Id) parallèlemet à Imu Id). Puisque pour tout x E, o a v x) + u k x) x = x + k= o obtiet à la limite px) x. O e déduit que la projectio p est cotiue puis que Imu Id) = ker p est ue partie fermée. e) Supposos la covergece simple de la suite de foctios v ) et la fermeture de Imu Id). Soit z E. Posos y = D ue part, puisque uv z)) = + o obtiet à la limite lim v z) et x = z y. + k= k= u k+ z) = v z) + u + z) z ) + uy) = y car l applicatio liéaire u est cotiue et u + z) z. O e déduit y keru Id). Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

28 [ édité le 6 octobre 25 Correctios 28 D autre part et z v z) = ) Id u k )z) + k= ) k ImId u k ) = Im Id u) u l ImId u) = Imu Id) l= doc z v z) Imu Id). O e déduit x = limz v z)) Imu Id) car Imu Id) est fermé. Fialemet, o a écrit z = x + y avec x Imu Id) et y keru Id) Exercice 35 : [éocé] a) B f x, r) est ue partie fermée et borée e dimesio fiie doc compacte. L applicatio liéaire f état cotiue car au départ d u espace de dimesio fiie), l image fb f x, r)) est aussi compacte. b) La partie K est covexe et doc fk) aussi car f est liéaire. Les vecteurs f k a) état tous élémets de K, la combiaiso covexe défiissat y détermie u élémet de K. Après simplificatio fy ) y = f a) a) La partie K état borée, la suite f a) a) l est aussi et doc fy ) y E. + Efi, la suite y ) évolue das le compact K, elle admet doc ue valeur d adhérece w K : y ϕk) w k + et la propriété fy ϕk) ) y ϕk) k + doe à la limite fw) = w. c) E / K et doc w E. L égalité fw) = w assure que est valeur propre de f. Soit λ ue valeur propre de f et v u vecteur propre associé avec v < r. Le vecteur x + v est élémet de K et doc ses itérés f x + v) = f x) + λ v le sot ecore. Puisque le compact K est boré, les suites f x + v)) et f x)) le sot aussi et doc λ v) l est ecore. O e déduit λ. E d) Choisissos l edomorphisme f de R 3 caoiquemet représeté par A = L edomorphisme f est pas diagoalisable et cepedat, e choisissat x =,, ) et r = /2, la coditio fk) K est remplie. e) Puisque fk) = K, les vecteurs e /a, e 2 /b et e 3 /c sot des valeurs prises par f. O e déduit que l edomorphisme f est écessairemet bijectif. Soit λ ue valeur propre de f et v u vecteur propre associé. Quitte à réduire la orme de v, o peut supposer v K. O a alors f v) = λ.v K pour tout N ce qui oblige λ. Sachat f K) = K, u raisoemet symétrique doe λ et doc λ =. Efi, e dimesio impaire, u edomorphisme réel admet écessairemet ue valeur propre! Exercice 36 : [éocé] O a doc Aisi exp exp exp ) A = k= A k k! k = I p + A + o ) ) ) A B exp = I + ) A + B) + o ) A exp )) B = I + )) A + B) + o Puisque I et A + B) + o ) commutet, o peut développer par la formule du biôme de Newto et obteir : I + A + B) + o )) = ) A + B + o ))k k k Posos f k : N M p K) défiie par ) f k ) = k k A + B + o))k si k et f k ) = sio O remarque que k= I + )) A + B) + o = f k ) k= Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

29 [ édité le 6 octobre 25 Correctios 29 Motros la covergece ormale de la série des f k. Puisque A + B + o) A + B, la orme de A + B + o) est borée par u certai M. O observe alors f k k! M k e choisissat ue orme multiplicative sur M p K). La série f k coverge ormale sur N, cela permet de permuter limite et somme ifiie. Or, pour k fixé, f k ) A+B)k k! quad +, doc I + )) A + B) + o A + B)k + k! k= Exercice 37 : [éocé] a) R est la bore supérieure das R {+ } de l esemble { r [, + [ / a r ) N est borée } Soit < r < R. O peut itroduire ρ tel que r < ρ et a ρ ) N soit ue suite borée. Pour tout z D, r), o a a z a r = a ρ r ρ) = O ) ) r ρ Ce majorat uiforme état sommable car r/ρ < ), o obtiet la covergece ormale voulue. b) Pour z < r, o peut décomposer e série géométrique + r ze iθ = = e iθ z r+ Sachat la foctio f borée sur le compact {z C/ z = r}, il y a covergece de la série 2π Imfre iθ ))e iθ z dθ r + ce qui permet ue itégratio terme à terme 2π Im fre iθ ) ) r ze iθ dθ = 2π = Im fre iθ ) ) ) z e iθ dθ r + O obtiet aisi u développemet e série etière sur D, r). Pour l expliciter, o calcule le terme itégral e procédat à ue itégratio terme à terme justifiée par l absolue covergece de a r 2π Im fre iθ ) ) e iθ dθ = k= 2π a k r k sikθ)e iθ dθ Pour k, le terme itégral est ul, pour = k =, il est aussi ul et, pour = k, 2π O peut alors coclure 2π sikθ)e iθ dθ = i Im fre iθ ) ) r ze iθ 2π a r dθ = iπ r + =iπ r = si 2 kθ) dθ = iπ f) fz)) c) Si f est ue telle foctio, l itégrale au-dessus est ulle et doc fz) = f) pour tout z < r O e déduit a = f) et a = pour. La foctio f est alors costate et réelle... ) Exercice 38 : [éocé] Pour x [, R[, la série! f ) )x est ue série à termes positifs. Par la formule de Taylor reste itégrale fx) = k= f k) ) x x k + k! et puisque le reste itégrale est positif, o a k= f k) ) x k fx) k! x t) f +) t) dt! Puisque ses sommes partielles sot majorées, la série à termes positifs! f ) )x est covergete. Pour x ] R, ], o a f ) ) x = f ) ) x!! et la série! f ) )x est absolumet covergete doc covergete. Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

30 [ édité le 6 octobre 25 Correctios 3 Exercice 39 : [éocé] a) b) D)! doc O a p= D)! N, p) =! doc ) N, p) = D p) p qui implique R. p= e x fx) = x puis fx) = e x x c) doc puis d) Fialemet p! p)! D p) = d où par produit de Cauchy e x + x = D =! = k= ) k k! ) k k= k! x N, p) =! p ) k p! k! k= N, p)! + p!e Exercice 4 : [éocé] a) Pour a = ), o a fx) = / + x), l = /2 et la série a diverge. b) Pour N N et x [, [, o peut écrire avec N a l = A N + B N C N = A N = fx) l, B N = N N a a x et C N = = = Pour ε >, il existe u rag au-delà duquel =N+ a x et alors pour tout N Posos alors et o a D autre part C N ε N =N+ x x = N C N ε ε N x) N N B N = a x ) x) a = N = E vertu du théorème de Cesaro N N a = et doc il existe N tel que pour N B N ε = N a Efi, puis f ted vers l e, il existe 2 N tel que pour N 2 Fialemet, pour N max,, 2 ) A N = f /N) l ε N a l 3ε = O peut doc affirmer que la série a coverge et = a = l = a ε Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

31 [ édité le 6 octobre 25 Correctios 3 Exercice 4 : [éocé] a) Ue ivolutio de {,..., } peut fixer l élémet ou o. Il y a exactemet I ivolutios de {,..., } fixat. Si ue ivolutio e fixe pas, elle l échage avec u autre élémet a de {,..., }. Il y a valeurs possibles pour a, l ivolutio alors obteue evoyat sur a et a sur réalise aussi par restrictio ue ivolutio sur {,..., } \ {a, } : il y e a exactemet )I 2. Au fial, o obtiet I = I + )I 2 b) Ue ivolutio est bijective et il y a exactemet! permutatios de {,..., }. O a doc I!. Puisque I /! = O), le rayo de covergece de la série etière est supérieur à. c) Par décalage d idice + x)sx) = E combiat les deux sommes = + x)sx) = + I I! x + )! x = = E vertu de la relatio obteue précédemmet + x)sx) = + = I I x! I + x = S x)! d) La résolutio de cette équatio différetielle liéaire, sachat S) =, doe Or puis, par produit de Cauchy I 2p = p k= Sx) = e x+ 2 x2 e x+ 2 x2 = e x e 2 x2 = 2k)! 2 k k! = ) 2p et I 2p+ = 2k x! = p k= x 2 2! 2k)! 2 k k! ) 2p + 2k Exercice 42 : [éocé] a) Notos a le coefficiet géérale de la série etière étudiée a m = s il existe tel que m = p et a m = sio. O observea = O) doc R et a doc R puis R =. Soit ε >, il existe u rag N N tel que pour N, εp. O a alors : Quad x, et N x)fx) x) x p + x) x) = N x) x p =N doc pour x suffisammet proche de, = x /ε x x /ε ε x)fx) 2ε x /ε Cela permet d affirmer x)fx). x b) Ici, il faut peser à ue comparaiso série-itégrale... Pour x ], [, la foctio t x tq est décroissate. Par la démarche classique, o obtiet x tq dt fx) + x tq dt Or x tq dt = avec a = q l x doc x tq dt = a e tq l x dt = et o e calculera pas cette derière itégrale. Par l ecadremet qui précède, o peut affirmer sachat l x x fx) e uq du + q e uq du x =N e aq t q dt Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

32 [ édité le 6 octobre 25 Correctios 32 Exercice 43 : [éocé] a) R =. b) f x) = x x, f x) = x x) 2. O obtiet les expressios de f 2,..., f 5 par seqormalsumˆk*xˆ, =..ifiity)), k=2..5); C O peut présumer u équivalet de la forme α x). +α O peut obteir les premières valeurs de C α par seqevalsimplifysumˆk*xˆ, =..ifiity)*-x)ˆk+)), x=), k=..5); Cela laisse présumer C α = ) α+ α!. Pour x ], [, f px) = + p+ x doc xf px) = f p+ x). = E raisoat par récurrece sur p N, o défiit la suite Q p ) de polyômes de sorte que Q = X et Q p+ X) = X X)Q px) + p + )XQ p X). O observe Q p+ ) = p + )Q p ) de sorte que Q p ) = p!. O peut alors affirmer f p x) p! x x). +p c) A partir du développemet cou de + u) α, o obtiet b = α+)α+2)...α+)!. l +)α b + l α b = α l + b+ l b = O ) doc la série l +) α 2 b + l α b est absolumet covergete. O e déduit que la suite de terme gééral l α b coverge puis que α b ted vers ue costate Aα) >. O peut alors coclure e exploitat le résultat suivat : a b avec a >, R = et a diverge etraie + a x b x. Pour établir ce résultat : - d ue part, o motre que + - d autre part, o écrit = = a x x +, = x = a x + b x N a b + ε + a x e = = choisissat N de sorte que a b εa pour N. O peut alors coclure que f α x) Exercice 44 : [éocé] Posos Aα) x) +α. fx) = shx La foctio f est défiie et de classe C sur ], R[ avec R = argsh. = Soit x ] R, R[. Puisque shx <, o peut écrire + fx) = shx = sh x Chacue des foctios x sh x est développable e série etière sur R ce qui permet d écrire sh x = k= = a,k x k Puisque les coefficiets du développemet e série etière de la foctio sh sot tous positifs, o a aussi a,k pour tout, k. Pour x ] R, R[, o peut doc écrire + ) fx) = a,k x k Puisque la série k= k a,k x k = a,k x k = k = k= a,k x k coverge et puisque la série sh x ) coverge aussi, o peut par le théorème de Fubii échager les deux sommes ce qui doe k ) fx) = a,k k= Aisi la foctio f est développable e série etière sur ] R, R[. Le rayo de covergece de la série etière aisi itroduite est alors au mois égale à R et e fait exactemet égal à R car f diverge vers + e R et e peut doc être prologée par cotiuité e R. Exercice 45 : [éocé] O a dt = t 2 + x 2 u=/t = du + ux) 2 = x k = Pour x <, il y a covergece ormale sur [, ] doc ) u 2 x 2 du dt + t 2 + x 2 = ) 2 + x2 = arcta x x = Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

33 [ édité le 6 octobre 25 Correctios 33 Exercice 46 : [éocé] a) Par covergece domiée par la foctio ϕ : t, o obtiet a. b) O a π/4 a + a +2 = ta t) ta t) dt = + c) Par mootoie a + a +2 2a a + a 2. O e déduit a 2 puis u x) x 2. α+ Le rayo de covergece de la série etière a x est doc égale à. Pour x =, u x) coverge si, et seulemet si,α >. Pour x =, u x) diverge grossièremet si α. Pour α >, 2 ) k k a α k = α + ) k k a α k + a k+2 ) + o) k= k= Or coverge par applicatio de critère spécial des séries alterées car ) α +) α +) décroît vers pour assez grad) doc u x)coverge. d) Puisque a + a +2 = +, o a O e déduit puis Exercice 47 : [éocé] a) Posos = a +2 x + a x l x) = x fx) + fx) π 4 l 2 2 x l x) x 2 = x fx) = x l x) + π 4 + x l 2 2 x 2 + a = si Puisque a + /a, o peut affirmer R =. b) La suite a ) décroît vers doc par le critère spécial des séries alterée, la série etière coverge e x =. Puisque a /, par équivalece de séries à termes positifs, la série etière diverge e x =. c) Par positivité des termes sommés, o a pour x [, ], fx) N = ) si x Or Puisque N = ) si x x N = N = ) si + N + Pour tout M R, il existe u rag N tel que et pour x au voisiage de puis O peut doc affirmer que d) O a x)fx) = et par décalage d idice Puisque N = N = = x)fx) = si)x + ) si M + si )x M fx) M fx) x + ) si ) ) si x si x + =2 = [ ) )] si si x ) ) ) si si = O 3/2 la série etière e secod membre est défiie et cotiue e par covergece ormale de la série de foctios associée. O e déduit x)fx) x si) + + =2 [ ) )] si si = Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

34 [ édité le 6 octobre 25 Correctios 34 Il est aussi possible de procéder par les e ε exploitat si εpour assez grad et Exercice 48 : [éocé] a) O a doc R. a =! a! doc R. Fialemet R =. b) Soit x ], [. Sx) = = t = x = x k t) dt! k= t t) a x = k=2 = k )dt! k= k= k dt 4 ) t k)x dt or par covergece uiforme de la suite de foctios de la variable t sur [, ] covergece uiforme obteue par covergece ormale grâce à x < ) o peut permuter somme et itégrale. Sx) = =! k= t k)x dt = [ + x) + x) t t dt = l + x) ] t= t= = x l + x) Exercice 49 : [éocé] a) Par applicatio de la règles de d Alembert, les rayos de covergece de séries etières défiissat f et g sot égaux à. b) g est assurémet défiie et cotiue sur ], [ e tat que somme de série etière. La série etière défiissat g coverge aussi sur [, ] par applicatio du critère spécial et x [, ] l ) x k l ) k + k=+ Il y a doc covergece uiforme de la série de foctios cotiues défiissat g sur [, ]. Aisi g est défiie et cotiue sur [, [. O peut aussi souliger que g est pas défiie e car c) Pour x ], [, l x)fx) = =2 ) + c) O peut prologer f par cotiuité e via l l )) x = gx) fx) = gx) x g ) x 2 Cepedat la somme défiissat f est pas, à propremet parler, défiie e. O a l ) = ) o 2 doc pour x ], [ et doc gx) = =2 x gx) = l x) + =2 =2 )) o 2 x )) o 2 x Le terme sommatoire défiit ue foctio cotiue sur [, ] par covergece ormale) et doc gx) l x) x puis l x) fx) x x Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

35 [ édité le 6 octobre 25 Correctios 35 Exercice 5 : [éocé] a) Soit r ], R[. La série umérique a r est absolumet covergete. Pour tout z C, a! z = a r z ) = o a r )! r car par croissace comparée z )! r + Par comparaiso de séries absolumet covergetes, o peut affirmer que la série umérique a z est absolumet covergete pour tout z C. Le rayo de covergece de la série etière étudiée est +. b) O a ft)e xt = = a! t e xt = f t) avec f t) = a! t e xt = La série de foctios f coverge simplemet sur [, + [. Les foctios f et la foctio t ft)e xt sot cotiues par morceaux sur [, + [. Les foctios f sot itégrables sur [, + [ car t 2 f t) et t + f t) dt = a! Par itégratio par parties gééralisées successives et doc t e xt dt =! x + f t) dt = a x + t e xt dt Si x > /R alors la série a /x + est covergete et, par le théorème de Fubii, o peut affirmer que la foctio t ft)e xt est itégrable et ft)e xt dt = = a x + Exercice 5 : [éocé] a) s est la somme d ue série etière de rayo de covergece R =. La série diverge e x = par série de Riema avec /2 ) et coverge e x = par applicatio du critère spécial des séries alterées. O coclut I = [, [. b) Puisque s est la somme d ue série etière, o peut dériver terme à terme sur ], [ et s x) = x = + x = Sur I R +, cette somme est positive. La foctio s est doc croissate sur [, [. Si celle-ci était majorée par u réel M, ous aurios pour tout N N x [, [, N = = x x M = E passat à la limite quad x, o obtiet N = M Ceci est absurde car la série à termes positifs / diverge et e peut doc avoir ses sommes partielles majorées. La foctio s est doc croissate et o majorée, elle diverge doc vers + e. c) Pour x ], [ x)s x) = = + + x x x = = Pour x, o peut écrire x = t avec t et alors x)s x) = = ) a t = + ) x avec a = +. O vérifie que la suite a ) est décroissate de limite ulle et doc le critère spécial s applique à la série alterée ) a t. Sa somme est doc du sige de so premier terme ce qui fourit x)s x). O e déduit x ], ], s x) d) Après étude u peu lourde) du sige de f x), o peut affirmer que f est cocave et croissate. Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

36 [ édité le 6 octobre 25 Correctios 36 Pour x [, [, o a clairemet s x). Pour x ], ], cosidéros puis x)s x)) = = x) x)s x)) = f)x = = = f + )x f + ) f)) x Posos b = f + ) f). O vérifie b et b + b car la cocavité de f fourit b + b +2 2 b + Le critère spécial de série alterée s applique à ouveau, la somme est du sige de so premier terme et cela fourit puis s x) car o sait s x). Fialemet s est covexe. x) x)s x)) Exercice 52 : [éocé] a) Puisque z 2 k + z 2 k l iégalité P z) P z ) est immédiate. Par produit à facteurs strictemet positifs, o a P z ) > et o peut doc itroduire l P z ) = l + z ) 2 k Or k= l + z ) 2 + z 2 et ce terme est doc sommable. O peut alors écrire puis b) O a l P z ) M = = P z) e M P + z) P z) P z) l + z ) 2 z z em Le majorat est sommable, la série télescopique P + z) P z) est doc covergete et la suite P z)) est de même ature. c) Pour z, o a P + z) P z) em avec M = l + ) 2 = et doc sup P + z) P z) em z 2 + Ce terme est sommable, la série télescopique P + z) P z) coverge doc ormalemet, et doc uiformémet, sur le domaie défii par la coditio z. O e déduit que la suite de foctios P z)) N coverge uiformémet sur ce même domaie. Or chaque foctio P est cotiue e et doc sa limite simple f est cotiue e. d) La foctio f vérifie évidemmet les coditios éocées. Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

37 [ édité le 6 octobre 25 Correctios 37 Iversemet, si ue foctio g vérifie les coditios proposées alors Par récurrece gz) = z)gz/2) = z) z/2)gz/4) =... gz) = P z)gz/2 + ) Par cotiuité de g e, u passage à la limite doe gz) = fz). e) Par aalyse-sythèse, la recherche d ue foctio somme de série etière a z solutio coduit à et u rayo de covergece ifii. a = 2 k= 2 k Exercice 53 : [éocé] Souligos que les termes sommés pour défiir la série etière ot u ses car l irratioalité de α doe N, siπα) a) Puisque siπα) la série etière x siπα) diverge grossièremet e et doc R α. b) Par ue récurrece facile, o motre u + pour tout N. O a alors c) O a k=+ = + u k u + u = u + u u + ) k=+ et puisque la suite u ) est croissate avec k=+ + u k u + + u k+ u + k=+ k=+ k + ) k u + K = + k + ) k k= k + ) k u k K u + O e déduit πu + k=+ u k Kπu u + = Kπ u u d) Cosidéros m = u N. Quad +, o a pour x > E effet Or et doc d où puis u k= u k = mα = u k= x m simπα) k= u k + u u k k=+ u u u = + uk+ + 2N u k u u 2 u k k= simπα) = si [ πu + ] u k k=+ simπα) C u u xm simπα) C xu ) u + u O e déduit que x siπα) diverge pour tout x > et doc R α =. e) Par l absurde, supposos α Q. Il existe alors u etier q N tel que qα N. Pour tout N, o a alors qu α N or avec comme vu ci-dessus O e déduit qu α = qu u qu k= k= + k=+ u k + qu u k N u k N u k k=+ Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

38 [ édité le 6 octobre 25 Correctios 38 Or C est absurde. < qu + k=+ u k < qku u + Exercice 54 : [éocé] La foctio itégrée e coverge pas simplemet e les t = π/2 + π cotourer cette difficulté o raisoe à l aide de valeurs absolues. e t si t) dt e t si t dt O a avec f t) = e t si t) CS ft) { si t π/2 [π] ft) = e t sio Les foctios f et f sot cotiues par morceaux et f t) e t = ϕt) [2π]. Pour avec ϕ cotiue par morceaux itégrable sur [, + [ doc par covergece domiée : lim Exercice 55 : [éocé] a) Posos e t si t) dt = fx, t) = e xt + t 2 ft) dt = f Les foctios f, x et 2 f x existet et sot cotiues sur R + R. 2 Pour chaque x, les foctios t fx, t) et t f x x, t) sot itégrables. Soit [a, b] ], + [. Sur [a, b] [, + [, o a La foctio ϕ est itégrable sur [, + [. 2 f x, t) x2 t2 e at + t 2 e at = ϕt) Par domiatio sur tout segmet, o peut affirmer que la foctio f est défiie et de classe avec f t 2 e xt x) = + t 2 dt O a alors Posos Les foctios g, g x fx) + f x) = gx, t) = si t x + t e xt dt = x et 2 g x 2 existet et sot cotiues sur R + R. La foctio x gx, t) dt est bie défiie sur R + itégrale covergete via itégratio par parties) La foctio t g x x, t) est itégrable et sur [a, b] [, + [ 2 g 2 x, t) x 2 a + t) 3 = ψt) La foctio ψ est itégrable sur [, + [. Par domiatio sur tout segmet, o peut affirmer que g est de classe C 2 et Par ue itégratio par parties [ g x) = si t ] + x + t) 2 b) Pour x R +, g x) = + doc f est défiie et cotiue sur R +. mais gx) g) = x 2 si t x + t) 3 dt cos t + x + t) 2 dt = fx, t) + t 2 x si t tx + t) dt = si t tx + t) dt x x et + x si t tx + t) dt + x cos t x + t) 2 dt = x gx) si t + tx + t) dt + dt = x lx + ) x l x x + t) dt t 2 ) x si t tx + t) dt Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

39 [ édité le 6 octobre 25 Correctios 39 doc g est cotiue e. c) D ue part D autre part et e preat x doc g x) fx) g x) x e xt dt = x x + 2 si t x + t) 3 dt 2 si t x x + t) 2 dt 2 si t dt + t) 2 x + gx) = x g x) x + Aisi f g + ce qui permet via résolutio de l équatio différetielle de coclure O e déduit g) = f) i.e. f = g si t t dt = π 2 Exercice 56 : [éocé] Cosidéros la suite des foctios u : [, ] R détermiée par u t) = ft ). Les foctios u sot cotiues par morceaux et par cotiuité de f u t) + ut) = déf { f) si t [, [ f) si t = La suite de foctios u ) coverge simplemet sur [, ] vers la foctio u cotiue par morceaux. Efi, la foctio f état cotiue sur u segmet, elle y borée ce qui permet d itroduire M = sup ft) t [,] Puisque t [, ], u t) M avec t M itégrable sur [, ], o peut appliquer le théorème de covergece domiée et affirmer ft ) dt ut) dt = f) Exercice 57 : [éocé] a) O a u ) = π/2 si tcos t) dt = La série de terme gééral u ) est divergete. b) Pour α, t ], π/2], si t) α si t [ ] π/2 + cos+ t = + et doc u α) u ). O e déduit que la série de terme gééral u α) est alors divergete. Pour α >. La série des u α) est ue série à termes positifs et doc u k α) = k= π/2 u k α) k= α cos t)+ si t) dt cos t π/2 si t) α cos t dt avec l itégrale majorate qui est covergete puisque si t) α cos t 2tα t 2 = 2 quad t + t2 α Puisque la série à termes positifs u α) a ses sommes partielles majorées, elle est covergete. c) Par ce qui précède, o peut itégrer terme à terme car il y a covergece de la série des itégrales des valeurs absolues des foctios. O peut alors écrire π/2 = Pour α = 2 π/2 Pour α = 3 π/2 si α t cos t dt = si 2 t cos t dt = si 3 t cos t dt = π/2 π/2 π/2 si α t cos t dt + cos t dt = π 2 + si t + cos t) dt = 3 2 Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

40 [ édité le 6 octobre 25 Correctios 4 Exercice 58 : [éocé] Posos ux, t) = e t2 cosxt). La foctio u est défiie sur R [, + [ et admet ue dérivée partielle u 2 x, t) = te t sixt) x x R, t ux, t) est cotiue par morceaux et itégrable sur [, + [ car égligeable devat /t 2 e +. x R, t u x x, t) est cotiue par morceaux sur [, + [. t [, + [, x u x x, t) est cotiue sur R. Efi x, t) R [, + [, u x, t) x = ϕt) te t2 avec ϕ : [, + [ R cotiue par morceaux et itégrable sur [, + [. Par domiatio, la foctio g est de classe C et g x) = te t2 sixt)dt Procédos à ue itégratio par parties avec les foctios C ut) = 2 e t2 et vt) = sixt) Puisque le produit uv coverge e et +, l itégratio par parties impropre est possible et [ ] + g 2 x) = 2 e t sixt) xe t2 cosxt) dt 2 Aisi o obtiet g x) = 2 xgx) g est solutio d ue équatio différetielle liéaire d ordre et g) = π/2 o coclut π ϕx) = 2 e 4 x 2 Exercice 59 : [éocé] Si a < alors 2π e it 2π e it a dt = e i )t 2π dt = ae it k= a k e i k+))t dt Par covergece ormale de la série 2π e it + e it a dt = k= Si a > alors 2π e it e it a dt = 2π a Exercice 6 : [éocé] a) a + /a /e <. b) Posos 2π a k e i k+))t dt = e it + e it /a dt = I = k= a k+ t e αt dt Par itégratio par parties, o obtiet I =! α + c) O a et la série = a = a = = { 2πa si sio 2π d où t e t dt t e t dt t e t dt = a coverge doc o peut itégrer terme à terme et o obtiet avec d où la coclusio. = a = te t ) t e t = = = = t e t dt t e t = e i+k)t dt = te t te t { 2πa si sio Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

41 [ édité le 6 octobre 25 Correctios 4 Exercice 6 : [éocé] a) Posos u t) = / + t ) sur ], ]. La suite de foctios u ) coverge simplemet vers la foctio u : t. Les foctios u et la foctio u sot cotiue par morceaux. Efi t ], ], u t) = ϕt) avec ϕ : ], ] R + itégrable. Par covergece domiée Aisi, puis l I = l 2 ) π o 2 I = l 2 ) + π o 2 b) O a I = l I = Par itégratio par parties, Puisque u t) dt + l I = l 2 o peut affirmer l I l 2. c) Pour y ], [, t + t dt = l + t )dt l + y) y = k= u t) dt = = l t t + t dt l + t ) dt t dt = + ) k y k k + Par covergece de la série des itégrales des valeurs absolues, l + y) y dy = k= ) k k + ) 2 Sas peie, + ) k k+) = π2 2 2 sachat + = π k= = d) Par le chagemet de variable C strictemet croissat y = t l + t ) dt = l + y) dy y Par covergece domiée domiatio par sa limite simple), l + y) dy y l + y) y dy = π2 2 Exercice 62 : [éocé] a) Posos f : R R R défiie par fx, t) = La foctio f est défiie et cotiue sur R 2. Pour tout x, t) R 2, o a eitx + t 2 fx, t) + t 2 = ψt) avec ψ itégrable sur [, + [. O e déduit que ϕ est défiie et cotiue sur R. b) Par itégratio par parties La foctio ϕx) = ix + 2te itx ix + t 2 ) 2 dt x 2te itx + t 2 ) 2 dt est de classe C sur R e vertu de la domiatio ) 2te itx 2t 2 x + t 2 ) 2 = + t 2 ) t 2 O e déduit que ϕ est de classe C sur R avec ϕ x) = ix 2 ix 2 Or par itégratio par parties 2te itx + t 2 ) 2 dt + x 2t 2 e itx + t 2 ) 2 dt 2te itx ] + [ + t 2 ) 2 = eitx e itx + t 2 + ix + t 2 dt Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

42 [ édité le 6 octobre 25 Correctios 42 doc ϕ x) = x e itx + t 2 dt + x Efi, ue derière itégratio par parties doe ϕ x) = [ 2t x + t 2 eitx 2t 2 e itx + t 2 ) 2 dt = x ] + 2t + i + t 2 eitx dt t 2 + t 2 ) 2 eitx dt et la relatio voulue... c) Par le chagemet de variable u = tx, o obtiet l expressio proposée. O peut décomposer ϕ x) = i D ue part, par itégratio par parties avec et + D autre part avec et Au fial ue iu x 2 + u 2 du + ue iu x 2 + u 2 du ue iu [ ] ue iu + x 2 + u 2 du = x 2 u 2 x 2 + u 2 x 2 + u 2 ) 2 eiu du [ ue iu x 2 + u 2 ] + x 2 u 2 x 2 + u 2 ) 2 eiu du = ei x 2 + x ei + u 2 x 2 x 2 + u 2 ) 2 du = x 2 + x + ue iu x 2 + u 2 du = u x 2 + u 2 du + ue iu ) x 2 + u 2 du [ ] u x 2 + u 2 du = 2 lx2 + u 2 ) ue iu ) x 2 + u 2 du e iu u l x x + du < + ϕ x) = i l x + ol x) + O) i l x x + d) E vertu de ce qui précède Imϕ x)) l x + x O e déduit que la foctio réelle Imϕ est pas dérivable e, il e est a fortiori de même de ϕ. Exercice 63 : [éocé] a) La foctio x /x α + x) est défiie et cotiue par morceaux sur ], + [ avec x α + x) x + x α et x α + x) x + x α+ Cette foctio est doc itégrable si, et seulemet si, α ], [. La foctio itégrée état de surcroît positive, l itégrale défiissat fα) coverge si, et seulemet si, α ], [. b) O a Or et pour α /2 O a doc fα) + fα) = dx x α+ = dx + x α + x) dx + x α+ + x) dx x + x) = C dx x α + x) dx = C x + x) dx x α+ + x) dx x α+ + O) = α + O) α c) Par le chagemet de variable C bijectif x = /t, o obtiet fα) = f α) d où la symétrie affirmée. d) Posos uα, x) = x α + x) Pour chaque x ], + [, la foctio α uα, x) est cotiue et pour chaque α ], [ la foctio x uα, x) est cotiue par morceaux. Efi pour α [a, b] ], [ avec a > ), o a ux, α) x a + x) si x [, + [ Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

43 [ édité le 6 octobre 25 Correctios 43 et Aisi ux, α) x b + x) si x ], ] ux, α) ϕ a,b x) pour x ], + [ e posat ϕ a x) = ua, x) + ub, x) qui est itégrable. Par domiatio sur tout segmet, o peut affirmer que f est cotiue sur ], [. e) Par le chagemet de variable x = /t, o peut écrire dx + x α + x) = dt t α + t) et alors fα) = x α + x α x + x) dx O vérifie que pour x, la foctio α x α + x α est décroissate sur ], /2] puis croissate sur [/2, [. La foctio f a doc la même mootoie et so miimum est doc dt f/2) = = π t + t) via le chagemet de variable u = t. Exercice 64 : [éocé] L équatio E est ue équatio différetielle liéaire d ordre 2 homogèe. a) y 2 est deux fois dérivable et y 2 ) x) = 2yx)y x) + 2 y x)) 2 = 2e x yx)) y x)) 2 Par suite la foctio y 2 est covexe. Si y) = y) = alors, sachat que y 2 est covexe, le graphe de y 2 est e dessous de chacue de ses cordes et doc y 2 est ulle sur [, ]. O e déduit que y est ulle sur [, ] et e particulier y) = y ) =. Or la foctio ulle est la seule solutio de l équatio différetielle E vérifiat les coditios iitiales y) = y ) =. O e déduit que la foctio y est ulle sur R. b) Le wroskie e des solutios y, y 2 est w) = y ) y 2 ) y ) y 2) = y 2) Si y 2 ) = alors, sachat y 2 ) =, le résultat qui précède etraîe y 2 =. Or y 2) =. C est impossible et doc w) = y 2 ). O e déduit que y, y 2 ) est u système fodametal de solutios de E. Notos que l o démotre par le même argumet que y ). c) Soit ỹ ue solutio particulière de l équatio E. La solutio géérale de E est de la forme yx) = ỹx) + λ y x) + λ 2 y 2 x). Cette solutio vérifie y) = y) = si, et seulemet si, ỹ) + λ 2 y 2 ) = et ỹ) + λ y ) = Ces deux équatios détermiet λ et λ 2 de faço uique puisque y ), y 2 ). Exercice 65 : [éocé] a) E) est ue équatio différetielle liéaire d ordre 2 défiie sur R. Les coditios iitiales proposées détermiet alors ue solutio uique défiie sur R. b) Puisque la foctio u est cotiue et u) =, la foctio u est strictemet positive au voisiage de et par la satisfactio de l équatio différetielle, o peut affirmer que u est strictemet égative au voisiage de. La foctio u état alors strictemet décroissate au voisiage de et vérifiat u ) =, les existeces de α et β sot assurées. Par l absurde, supposos que la foctio u e s aule par sur R +. La foctio u est alors positive et u est égative sur R +. La foctio u état doc décroissate sur R +, o a E itégrat t β, u t) u β) x β, ux) uβ) u β)x β) Or cette affirmatio est icompatible avec u passage à la limite quad x +. O e déduit que u s aule au mois ue fois sur R + et cette aulatio est écessairemet sur R + ) De même, o justifie que u s aule au mois ue fois sur R et o peut même motrer que la foctio u est paire... ) c) Cosidéros l esemble A = {t > /ut) = } C est ue partie o vide et miorée de R, elle admet doc ue bore iférieure δ. Par la caractérisatio séquetielle d ue bore iférieure, il existe ue suite t ) A N, telle que t δ Puisque ut ) =, o obtiet à la limite uδ) =. Evidemmet δ et δ doc δ A et aisi δ est u miimum de A. De même o obtiet γ. Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

44 [ édité le 6 octobre 25 Correctios 44 d) Grâce à l équatio différetielle W = u v uv = Le wroskie W est doc costat mais peu importe... puisque les solutios u et v sot idépedates, le wroskie e s aule pas et il est doc de sige costat. Or W γ) = u γ)vγ) et W δ) = u δ)vδ) Puisque u est strictemet positive sur ]γ, δ[, u est strictemet égative et u strictemet décroissate sur ce même itervalle. O e déduit u γ) > et u δ) < ce qui etraîe que vγ) et vδ) sot de siges stricts cotraires. O e déduit que v s aule sur ]γ, δ[. e) Plus gééralemet, qu ue solutio de E) soit coliéaire à u ou o, o peut affirmer que celle-ci possède u zéro das [γ, δ]. Or o vérifie que les foctios w sot solutios de E) et doc chacue possède au mois u zéro das [γ, δ]. O e déduit que la foctio w possède au mois u zéro das chaque itervalle [γ + π, δ + π] ce qui assure l existece d ue ifiité de zéros. Exercice 66 : [éocé] a) Par l absurde, supposos que f s aule et itroduisos b = if {t [a, + [ /ft) = } Par cotiuité de f, o a fb) = et sachat fa) >, o aussi. t [a, b], ft) O e déduit f t) = qt)ft) et doc f est croissate sur [a, b]. Sachat f a) >, la foctio f est croissate sur [a, b]. Ceci est icompatible avec la valeur fb) =. C est absurde. O e déduit que f e s aule pas sur [a, + [ et est doc strictemet positive. Comme au dessus, o retrouve que f est croissate et doc strictemet positive. Efi fx) = fa) + x a f t) dt fa) + f a)x a) x + + b) u v uv ) = u v uv =. La foctio u v uv est doc costate égale à qui est sa valeur e a). Puisque va) = et v a) =, les foctios v et v sot strictemet positives sur u itervalle de la forme ]a, a + h] avec h > ). E appliquat la questio précédete avec a + h plutôt que a, o assure que v et v sot strictemet positives sur ]a, + [. O peut doc itroduire les foctios u/v et u /v. Aussi u ) ) u = v v 2 et v = u v u v v 2 = q v 2 O a u v u v = uv u v vv = vv avec v + et v v a) =. O e déduit que les foctios u/v et u /v ot + la même limite e + ces limites existet assurémet par mootoie). Aussi cette limite est fiie car la foctio u/v est au dessus de la foctio u /v. Nous oteros l cette limite. c) Les solutios de E) sot les foctios de la forme g = λu + µv car u, v) forme u système fodametale de solutios de l équatio liéaire E). La coditio ga) = impose λ =. Les coditios g strictemet positive et décroissate imposet respectivemet u + µv > et u + µv La costate µ est alors écessairemet l. Fialemet g = u lv. La réciproque est immédiate. d) Le chagemet de foctio proposé traspose l équatio x 4 y x) = yx) e z /x) = z/x). La solutio géérale de l équatio E) sur [, + [ est doc yx) = x λe /x + µe /x) Par développemet limité yx) = x λ + µ) + o)) x + Pour que la foctio g décroisse e restat positive, il est écessaire que λ + µ =. Sachat y) = λe + µ/e, o obtiet gx) = ex e /x e 2 e /x) O aurait aussi pu calculer et repredre ce qui précède. ux) = xe /x et vx) = x 2 e /x + e /x+) Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

45 [ édité le 6 octobre 25 Correctios 45 Exercice 67 : [éocé] a) Supposos λ I + λ N + + λ p N p = O E multipliat par N p o obtiet λ N p = O car N p = O. Or N p O doc λ =. O motre de même successivemet que λ =,..., λ p =. O coclut que la famille I, N, N 2,..., N p ) est libre. Puisque λi et N commutet, o a e tλi+n) = e tλi e tn = e λt I + t )! N + t2 2! N tp p )! N p b) Le polyôme caractéristique de A est scidé das C [X] et possède ue uique racie λ, o a doc χ A X) = X λ) E vertu du théorème de Cayley Hamilto N = A λi ) = O La matrice N s avère doc ilpotete. Les solutios du système différetiel X = AX sot les foctios t Xt) = e ta X) = e λt.e tn X) Si N est ulle et λ ir, il est clair que toutes les solutios sot borées. Iversemet, supposos les solutios toutes borées. E choisissat X) ker N\ {O }, la solutio t e ta X) = e λt X) est borée sur R et écessairemet λ ir. Notos p l idice de ilpotece de N et choisissos X) / ker N p. La solutio t e λt.e tn X) devat être borée avec e λt =, la foctio t X) + tnx) + + tp p ) N p X) est elle aussi borée. Or N p X) et doc cette solutio e peut pas être borée si p >. O e déduit p = puis N = O. c) Les polyômes X λ k ) k sot deux à deux premiers etre eux. Par le théorème de Cayley Hamilto et le lemme de décompositio des oyaux, o obtiet C = m kerf λ k Id C ) k k= Ue base adaptée à cette décompositio fourit ue représetatio matricielle de f diagoale par blocs. Plus précisémet, les blocs diagoaux sot de la forme λ k Id k + N k avec N k k = O k d) La matrice A est semblable à et o peut doc écrire A = P P avec P iversible Les solutios de l équatio X = AX correspodet aux solutios de l équatio Y = Y via Y = P X. Les solutios de X = AX serot borées si, et seulemet si, celles de Y = Y le sot. E raisoat par blocs et e exploitat le résultat du b), o peut affirmer que les solutios de X = AX sot borées sur R si, et seulemet si, les λ k sot imagiaires purs et les N k tous uls ce qui reviet à dire que A est diagoalisable). e) Supposos A atisymétrique réelle. Puisque A et t A commutet t e ta )e ta = e tta+ta = e O = I Soit X : t e ta.x) ue solutio de l équatio X = AX. O a Xt) 2 = t Xt)Xt) = t X) t e ta )e ta X) = X) 2 Les solutios sot toutes borées et doc A est diagoalisable à valeurs propres imagiaires pures. Exercice 68 : [éocé] a) La solutio géérale de l équatio homogèe associée est yt) = λ cos t + µ si t O peut avoir l ituitio de trouver ue solutio particulière de la forme yt) = α cost) et, e effet o obtiet, yt) = 2 cost) Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

46 [ édité le 6 octobre 25 Correctios 46 solutio particulière lorsque. La solutio géérale est alors yt) = λ cos t + µ si t + 2 cost) Quad =, o applique la méthode de variatio des costates. O obtiet ue solutio particulière e résolvat { λ t) cos t + µ t) si t = Par les formules de Cramer, o obtiet Alors λ t) si t + µ t) cos t = cost) λ t) = si t cos t et µ t) = cos 2 t) λt) = 2 si2 t et µt) = t sit) cost) covieet et l o obtiet la solutio particulière puis la solutio géérale b) Soit yt) = t 2 si t yt) = λ cos t + µ si t + 2 t si t ft) = a + a + 2 t si t + a 2 cost) Sas difficultés, o peut dériver deux fois sous le sige somme car il y a covergece ormale de la série des dérivées secodes et covergeces simples itermédiaires. O peut alors coclure que f est de classe C 2 et solutio de l équatio différetielle étudiée. La solutio géérale de celle-ci est alors =2 yt) = λ cos t + µ si t + ft) Exercice 69 : [éocé] a) O résout l équatio différetielle liéaire étudiée et, par la méthode de variatio de la costate, o obtiet la solutio géérale suivate gx) = λx + x x ft) t 2 dt Par ue itégratio par parties, o peut écrire Quad x +, o a et o obtiet gx) = λx fx) + xf) + x x x f t) t x f t) t dt f,[,] x l x gx) f) Quad x + fx) f) x f t) gx) g)) = λ + f) + dt x x t Le terme fx) f) x coverge vers f ). Si f ) alors l itégrale f t) ],] t dt diverge et doc le terme x f t) t dt diverge. O e déduit qu alors g est pas dérivable e. L égalité f ) = est ue coditio écessaire à la dérivabilité de g e. Cette coditio est pas suffisate. E effet cosidéros ue foctio de classe C telle que f x) x + l x L itégrale f t) ],] t dt demeure divergete alors que f ) =. b) Puisque f est de classe C 2 et vérifie f ) = o peut écrire fx) = f) + x 2 ϕx) pour tout x > avec ϕ : ], + [ R de classe C 2 et covergeat vers f )/2 e +. O a alors pour tout x > gx) = λx + xf) f) + x x dt ϕt) dt g est de classe C 3 sur ], + [ car ϕ y est de classe C 2. O prologe g par cotiuité e e posat g) = f) g x) = λ + f) + xϕx) + x ϕt) dt Quad x +, g coverge et doc g est de classe C sur [, + [. g x) = 2ϕx) + xϕ x) Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

47 [ édité le 6 octobre 25 Correctios 47 Or doc ϕ x) = f x) x 2 g x) = f x) x fx) f) 2 x 3 = f x) f ) x O e déduit que g est de classe C 2 sur [, + [ x + f ) Exercice 7 : [éocé] a) E) est ue équatio différetielle liéaire d ordre. Après résolutio via variatio de la costate, o obtiet la solutio géérale yx) = x + λ l x b) Par opératios, la foctio g est de classe C sur [/2, + [. Pour x ], [ o a le développemet e série etière et si x, o obtiet l + x) = gx) = = = ) ) + x Si l o pose g) =, la relatio précédete reste valable pour x = et aisi o a prologé g e ue foctio développable e série etière sur ], [. Ce prologemet est doc de classe C sur ], [ puis sur ], + [. c) La foctio g est à valeurs strictemet positives et o peut doc itroduire la foctio f défiie sur ], + [ par fx) = gx ) La foctio f est de classe C et sur ], [ ou ], + [ fx) = x l x Aisi f est solutio de E) sur ], [ et ], + [ et efi o vérifie aisémet que l équatio différetielle E) est aussi vérifiée quad x =. x Exercice 7 : [éocé] a) O pose ϕa, a) = si a et o observe que ϕx, y) ϕa, a) quad x, y) a, a) avec x y et avec x = y. b) E vertu de ) ) p q p + q cos p cos q = 2 si si 2 2 o a ) ) x y x + y ϕx, y) = sic si 2 2 avec sic de classe C car développable e série etière. Exercice 72 : [éocé] a) Si y alors la série défiissat fx, y) coverge si, et seulemet si, x < Si y > alors la série défiissat fx, y) coverge si, et seulemet si, x < y 2 ). x car x +y = 2 y 2 Fialemet D = { x, y) R 2 / x < max, y 2 ) }. b) u x, y) = x +y. Soit a [, [ et D 2 a = { x, y) R 2 / x a max, y 2 ) }. Pour x, y) D a : u x, y) x = x + y 2 Si y alors x a et u x, y) x = x + y 2 a + y 2 a Si y > alors x ay 2 et u x, y) x = x + y 2 a y y 2 a y 2 a Das les deux cas u x x, y) a qui est le terme gééral d ue série covergete. u x, y) y = 2y 2 x + y 2 ) 2 2x + y 2 car y 2 + y 2 Si y alors x a et u x, y) y 2a 2a + y2 Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

48 [ édité le 6 octobre 25 Correctios 48 Si y > alors x ay 2 et Das les deux cas covergete. Par covergece ormale, f x a [, [, f x et f y u x, y) y 2a y 2 2a + y2 u y x, y) 2a qui est le terme gééral d ue série et f y existet sur D a et comme ceci vaut pour tout existet sur D. Exercice 73 : [éocé] Par compositio de foctios de classe C 2, la foctio F est de classe C 2 sur R \ {}. O calcule les dérivées partielles de F i= F x x,..., x ) = i f x 2 x i x x x2 2 F x 2 ) i x 2 x,..., x ) = i x f x 2 x2 + + x2 O e déduit 2 ) F x 2 = f x x2 + i ) + x2 + + ˆx 2 i + + x2 x x2 ) 3/2 f ) f x 2 x x x2 Puisque t = x x2 parcourt R + quad x,..., x ) parcourt R \ {}, l équatio = est vérifiée si, et seulemet si, f est solutio sur R + de i= 2 F x 2 i l équatio différetielle Après résolutio o obtiet f t) + ) f t) = t ft) = λ + µ avec λ, µ R si 2 et ft) = λ l t + µ si = 2 t 2 Exercice 74 : [éocé] 2, 2) seul poit critique. E posat x = 2 + u et y = 2 + v, puis u = r cos θ et v = r si θ fx, y) f 2, 2) = u 2 + uv + v 2 = r 2 + cos θ si θ) Il y a u miimum global e 2, 2). Exercice 75 : [éocé] L étude des poits critiques doe, ) seul poit critique. La foctio t t l t admet u miimum e, doc x, y) x l x + y l y admet u miimum e, ). Exercice 76 : [éocé] Méthode aalytique : L itérieur du triagle et so bord formet u compact. La foctio cosidérée est cotiue sur celui-ci doc admet u maximum. Celui-ci e peut être au bord car la foctio pred des valeurs strictemet positives alors qu elle est ulle sur le bord. Il existe doc u maximum à l itérieur du triagle et celui-ci aule la différetielle de la foctio. E itroduisat u repère, A, ), B, ) et Ca, b) ce qui est possible qui à appliquer ue homothétie pour que AB = ) la foctio étudiée est fx, y) = ybx ay)bx ) a )y) O x 2 + résout ) + le système formé par les équatios x2 f x f x, y) = et x, y) = y Le calcul est très lourd sas logiciel de calcul formel mais o parviet à coclure. Méthode géométrique plus élégate) : Le poit M peut s écrire comme barycetre des poits A, B, C affectés de masses a, b, c vérifiat a + b + c =. L aire du triagle MBC) est doé par Or doc Det BM, BC) 2 BM = a BA + bbb + cbc Det BM, BC) = adet BA, BC) E otat A l aire du triagle ABC et d A le distace de M à la droite BC), o obtiet a = d A.BC A De faço aalogue, b = d BAC A et c = d CAB A Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

49 [ édité le 6 octobre 25 Correctios 49 avec des otatios etedues. Par suite, maximiser le produit d A d B d C équivaut à maximiser le produit abc avec les cotraites a + b + c = et a, b, c La maximisatio de ab a b) avec a, b et a + b coduit à a = b = /3, d où c = /3 et le poit M est au cetre de gravité. Exercice 77 : [éocé] L étude des poits critiques doe 3 a, 3 a) seul poit critique. Posos α = 3 a. fx, y) fα, α) = x + y + α3 xy 3α = x2 y + xy 2 + α 3 3αxy xy Etudios ϕ : α x 2 y + xy 2 + α 3 3αxy. Cette applicatio admet u miimum e xy de valeur x 2 y + xy 2 2xy xy = xyx + y 2 xy) = xy x y) 2 doc pour tout x, y >, fx, y) fα, α) De plus, il y a égalité si, et seulemet si, x = y et α = xy i.e. x = y = α. Exercice 78 : [éocé] Supposos f homogèe de degré p i.e. t >, ftx,..., tx ) = t p fx,..., x ) E dérivat cette relatio par rapport à t et e évaluat e t =, o obtiet Iversemet, posos i= x i f x i x,..., x ) = pfx,..., x ) gt) = ftx,..., tx ) Si f vérifie l équatio aux dérivées partielles proposée, la foctio t gt) est solutio de l équatio différetielle et, après résolutio, o obtiet tg t) = pgt) gt) = t p g) ce qui doe f homogèe de degré p. Notos que pour =, fx) = x 3 vérifie la relatio et est pas homogèe de degré 3 que das le ses précisé iitialemet. Exercice 79 : [éocé] a) immédiat. b) L applicatio d h : f D h f) fait l affaire pour importe quel h R o ul. c) Si h est costate égale à λ alors pour toute foctio f E o a par liéarité et par défiitio des élémets de D, dfh) = λdf) dfh) = f)dh) + λdf) E employat ue foctio f e s aulat pas e, o peut affirmer dh) =. d) Soit x R, puisque la foctio ϕ : t [, ] ftx) est de classe C, o a ce qui doe ϕ) = ϕ) + fx) = f) + i= ϕ t) dt x i f x i tx) dt Soit K u compact de R. Toutes les dérivées partielles e x de x, t) f x i tx) sot cotiues sur K [, ] doc borées. Par domiatio sur tout compact, o peut affirmer que la foctio f i : x f x i tx) dt est de classe C. e) Notos p i : x x i. Par liéarité de d, o a df) = car df)) = et p i ) =. E posat a i = dp i ) et sachat f i ) = dp i f i ) = i= dp i )f i ) i= f ) dt = f ) x i x i Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

50 [ édité le 6 octobre 25 Correctios 5 o obtiet f E, df) = i= a i f x i ) f) L applicatio qui à h R associe d h est doc ue surjectio de R sur D. Cette applicatio est liéaire et aussi ijective predre f : x h x) pour vérifier d h = h = ) c est doc u isomorphisme et dim D = Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd