Fonctions de IR dans IR

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1 Fonctions der dansr G03.1 JMS Fonctions de IR dans IR 1 ) Intervalles Intervalle fermé : [a;b] = { R tq a b } ( peut prendre les valeurs a et b) Intervalle semi-ouvert : [a;b[ = { R tq a < b } ne peut pas prendre la valeur b Intervalle ouvert : ]a;b[ = { R tq a < < b } ne peut pas prendre les valeurs a et b Remarques : ]a;+ [ = { R tq a < }, c'est un intervalle ouvert. ]- ;b] = { R tq b }, c'est un intervalle semi-ouvert. R = ]- ;+ [, c'est un intervalle ouvert. 2 ) Fonction ou application Déf Une fonction (ou une application) de E vers F est une relation de E vers F qui, à chaque élément de E associe un unique élément y de F. L'ensemble E s'appelle le domaine de définition de la fonction f. Eemple1 : soit f la fonction définie par f() = 1/. Déf La représentation graphique de la fonction f est l'ensemble { M (;y) P tel que D f et y = f() }. Eemple2 : la figure ci-dessous est-elle la représentation graphique d'une fonction? y 3 y 2 y 1 0

2 G03.2 JooBle - GIM 3 ) Propriétés des fonctions a) Fonction majorée, minorée, bornée Déf On dit que f est majorée par M sur le domaine D si : D f() M. La borne supérieure des valeurs de f sur D est le plus petit des majorants de f sur D. Déf On dit que f est minorée par m sur le domaine D si : D f() m. La borne inférieure des valeurs de f sur D est le plus grand des minorants de f sur D. Déf On dit que f est bornée sur le domaine D lorsque f est à la fois majorée et minorée sur D. [ 1; + 2[ R Eemple : f : 2. a) Déterminez un majorant puis un minorant de f sur [-1;+2[. b) Déterminez la borne supérieure puis la borne inférieure de f sur [-1;+2[. b) Fonction monotone sur un intervalle Déf Soit une fonction f : D R et soit I un intervalle inclus dans D. On dit que f est croissante sur I si ( 1 ; 2 ) I 2, 1 < 2 f( 1 ) f( 2 ). (on parle de fonction strictement croissante lorsque l'inégalité est stricte). On dit que f est décroissante sur I si ( 1 ; 2 ) I 2, 1 < 2 f( 1 ) f( 2 ). (on parle de fonction strictement croissante lorsque l'inégalité est stricte). [ 1; + 2[ R Eemple : étudiez la monotonie de f : 2. f() - f(y) = 2 - y 2 = ( + y)( - y) donc : si (; y) [-1; 0] 2 et < y alors f() - f(y) 0 si (; y) [0; +2[ 2 et < y alors f() - f(y) 0 Par conséquent f est décroissante sur [-1; 0] et croissante sur [0; +2[.

3 Fonctions der dansr G03.3 c) Fonction paire, impaire, périodique Déf Soit une fonction f : D R. On dit que f est paire lorsque : D, - D et f(-) = f(). On dit que f est impaire lorsque : D, - D et f(-) = -f(). On dit que f est périodique de période T lorsque : D, +T D et f(+t) = f(). Eemples : fonction paire fonction impaire fonction périodique Remarque : ces propriétés permettent de réduire le domaine de définition pour l'étude de la fonction. Eemple : déterminez le domaine d'étude de la fonction sinus. 4 ) Fonction composée Déf Etant données une application f de E vers F et une application g de F vers G, on appelle composée des applications f et g et on note gof ("g rond f") l'application de E vers G définie par gof() = g[f()]. Remarque : L'ensemble de départ de gof est celui de f. L'ensemble d'arrivée de gof est celui de g. Eemple1 : on considère les fonctions f et g définies par f() = 3-5 et g() = sin(). Calculez gof() et fog(). Eemple2 : on considère les fonctions f, g, h définies par f() = 2 ; g() = 3 ; h() = 1. Calculez hogof().

4 G03.4 JooBle - GIM 5 ) Fonction réciproque Déf Soit une fonction f : D D'. f est injective si : (a;b) D 2, f(a) = f(b) a = b. (2 éléments de D ayant la même image sont nécessairement identiques) f est surjective si : y D', D tel que f() = y. (tout élément de D' est l'image d'au moins un élément de D) f est bijective si : f est injective et surjective. Th Si f est une fonction continue strictement monotone sur un intervalle I. Alors f(i) est un intervalle de même type que celui de I (ouvert, fermé, semi-ouvert). Alors f est une bijection de I sur f(i). De plus sa bijection réciproque est continue, strictement monotone et de même sens (croissante/décroissante). Déf Soit f une fonction bijective. Sa bijection réciproque est l'application f -1 : D' D qui à tout élément y D' associe son antécédent D. D y D ' 1 f () = y f (y) = ]0;2] ]0;4] Eemple : f :. 2 Montrez que f est bijective puis déterminez sa bijection réciproque. Remarque : dans un repère orthonormé, les représentations graphiques de f et f -1 sont symétriques par rapport à la première bissectrice.

5 Fonctions der dansr G ) Fonctions réciproques des fonctions circulaires a) Fonction Arc sin (fonction réciproque de la fonction sinus) Arc sin est une bijection de [-1; +1] sur - π 2 ; + π 2. Pour [-1;+1], Arc sin(-) = -Arc sin() et cos[arc sin()] = 1-2. b) Fonction Arc cos (fonction réciproque de la fonction cosinus) Arc cos est une bijection de [-1; +1] sur [0 ; π]. Pour [-1;+1], Arc cos(-) = π - Arc cos() et sin[arc cos()] = 1-2. c) Fonction Arc tan (fonction réciproque de la fonction tangente) Arc tan est une bijection de IR sur - π 2 ; Pour IR, Arc tan(-) = - Arc tan() ; + π 2. sin[arc tan()] = 1+ 2 et cos[arc tan()] = d) Compléments : voir page G ) Plan d'étude d'une fonction Domaine de définition. Domaine d'étude. Etude de l'allure de la courbe au voisinage des bornes : eistence d'une limite, eistence d'une demi-tangente et position de la courbe par rapport à cette demi-tangente. eistence d'une asymptote et position de la courbe par rapport à cette asymptote. Tableau de variation. Tracé avec étude locale de la courbe lorsque c'est nécessaire (Points d'infleion, points d'intersection avec les aes ou les asymptotes). 8 ) Recherche d'une asymptote Lorsque o est un réel et que courbe. lim f() =, la droite d'équation = o est asymptote à la Lorsque y o est un réel et que lim f() = y o, la droite d'équation y = y o est asymptote à la courbe. On étudie alors l'epression f() - y o pour connaître la position de la courbe par rapport à l'asymptote.

6 G03.6 JooBle - GIM Lorsque * si * si lim f() =, on étudie l'epression f() f () lim =, la courbe présente une branche parabolique d'ae Oy. f () lim = 0, la courbe présente une branche parabolique d'ae O. f () * si lim = a avec a IR *, la droite d'équation y = a est la direction asymptotique de la courbe. On étudie alors l'epression f() - a. Si lim f() - a = b avec b IR, la droite d'équation y = a + b est asymptote à la courbe. On étudie alors l'epression f() - a - b pour connaître la position de la courbe par rapport à l'asymptote. Remarque : un développement limité de f au voisinage de l'infini peut s'avérer intéressant pour conclure rapidement. Eemple : fonction logarithme népérien dans le chapitre "Fonctions logarithmes". : 9 ) Correspondance entre n et 1/n Domaine de définition de n Domaine de définition de 1/n n pair [0;+ [ [0;+ [ n impair ]- ;+ [ [0;+ [ Correspondance n = 1/n = + n 1/ n pour [0, [ n 1/ n = pour ],0] Remarques : 2-8 n'est pas défini, mais 3-8 = = et 3 3 =