Baccalauréat S Métropole 20 juin 2013

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1 Baccalauréat S Métropol 0 juin 0 EXERCICE Commun à tous ls candidats 4 points Puisqu l choix d l arbr s fait au hasard dans l stock d la jardinri, on assimil ls proportions donnés à ds probabilités.. a. L arbr pondéré traduisant ctt situation st : Stock 0,5 0,5 0,4 H H H 0,8 0, 0,5 0,5 0, 0,7 C F C F C F b. On chrch à calculr la probabilité d l intrsction H C, donc : P(H C )P(H ) P H (C )0,4 0,. On a donc P(H C )0,. c. Puisqu la jardinri n s fournit qu auprès d trois horticulturs, ls événmnts H, H t H formnt un partition d l univrs. On put donc appliqur la loi ds probabilités totals, t on n déduit : P(C )P(H ) P H (C )+P(H ) P H (C )+P(H ) P H (C ) 0,5 0,8+0,5 0,5+0,4 0, 0,55. d. On chrch ctt fois à calculr un probabilité conditionnll : P C (H ) P(H C ) 0,5 0,8 0,5. P(C ) 0,55. a. Nous avons un schéma d Brnoulli (l arbr choisi st-il un conifèr?), avc un probabilité d succès d 0, 55 qui st répété 0 fois d façon indépndant (puisqu l on suppos qu ls choix succssifs puvnt êtr assimilés à un tirag au sort avc rmis), donc la variabl aléatoir X suit bin un loi binomial d paramètrs 0 t 0, 55. b. La probabilité ( ) dmandé ici st cll d l événmnt X 5, t donc : 0 P(X 5) 0,55 5 ( 0,55) 5 Finalmnt P(X 5) 0,4. 5 c. Ctt fois, la probabilité dmandé st cll d X 8, qui st l événmnt contrair d la réunion ds événmnts disjoints X 9 t X 0. On a alors : P(X 8) P(X 9) P(X 0) 0,984.

2 EXERCICE Commun à tous ls candidats 7 points. a. On lit f () y B t pour f (), on lit l cofficint dirctur d la tangnt à la courb C au point d absciss, c st à dir l cofficint dirctur d la droit (C B), qui st horizontal, donc f ()0. b. La fonction f st dérivabl sur ]0 ; + [, n tant qu quotint d fonctions dérivabls sur ct intrvall (l dénominatur n s annulant pas sur ct intrvall). On a : ( ) 0+b x (a+ b ln x) f x b (a+ b ln x) (x) x x Soit ffctivmnt : f (b a) b ln x (x) x. a+ b ln() c. On n déduit : f () a+ 0a, or d après l. a., f (), donc a. Du coup, on a f (b ) b ln() () b, or d après l. a., f () 0, donc b.. a. On rprnd la form d f obtnu précédmmnt, n rmplaçant a t b par, t on a : f lnx (x) x ( ln x). x Puisqu pour tout x élémnt d ]0 ; + [, st un nombr strictmnt positif, on n déduit qu la dérivé d f a bin l mêm sign x qu ln x pour tout x élémnt d ]0 ; + [. b. Quand x tnd vrs 0 : lim ln x donc, par limit d un produit t x 0 d un somm : lim + lnx. Comm par aillurs lim x 0 +, x 0 x 0 alors, par limit d un quotint, on a lim f. 0 Quand x tnd vrs +, on va utilisr la form d f présnté dans la qustion : lim 0, t x + x lim 0, d après la propriété ds x + x croissancs comparés, t donc par limit d un somm, puis par produit par : lim f 0. + c. On put donc drssr l tablau ds variations d f : ln x x 0 + ln x + 0 f (x) 0. a. La fonction f st continu t strictmnt croissant sur l intrvall ]0 ; ] t st un valur strictmnt compris ntr lim 0 f t f (), Métropol 0 juin 0

3 donc l application du corollair au théorèm ds valurs intrmédiairs garantit l xistnc d un uniqu solution à l équation f (x) sur l intrvall ]0 ; ], qui sra noté α. b. Par balayag à la calculatric, on obtint f (5) > t f (6) <, donc comm la fonction f st continu sur [5 ; 6], l théorèm ds valurs intrmédiairs garantit l xistnc d au moins un solution à l équation f (x) sur l intrvall [5 ; 6], t puisqu l on avait admis qu il n y avait qu un sul solution β à ctt équation sur ] ; + [, ctt solution st donc ntr 5 t 6. Enfin, puisqu ni 5 ni 6 n ont un imag xactmnt égal à, on put dir qu β st strictmnt ntr 5 t 6. L nombr ntir n chrché st donc a. On obtint : étap étap étap étap 4 étap 5 a 0 0 0,5 0,75 0,475 b 0,5 0,5 0,5 0,5 b a 0,5 0,5 0,5 0,065 m 0,5 0,5 0,75 0,475 f (m),,09 0,0 0,79,0 L tablau a été complété par la lign «f (m)» pour montrr ls affctations à a ou à b. L tablau précédnt sra probablmnt considéré comm corrct, mais si on intrprèt la qustion très rigourusmnt, d un point d vu algorithmiqu, on doit supposr qu l étap st l initialisation, t ls étaps d à 5 corrspondant aux itérations d à 4. Dans c cas, pour l étap n a pas d valur m, t la valur b a va srvir à savoir si l itération suivant va êtr util ou non. Dans c cas, on va écrir dans la colonn ls valurs n mémoir à la fin d l itération d la boucl «Tant qu», c qui donn l tablau suivant : étap étap étap étap 4 étap 5 a 0 0 0,5 0,75 0,475 b 0,5 0,5 0,5 0,5 b a 0,5 0,5 0,5 0,065 m 0,5 0,5 0,75 0,475 b. Ct algorithm rnvoi ls dux borns obtnus pour ncadrr l nombr α par dichotomi, avc un amplitud au plus égal à 0,. c. Pour qu l algorithm donn un ncadrmnt d β avc la mêm précision, il faut modifir l initialisation, n mttant : Affctr à a la valur 5. Affctr à b la valur 6. Puis, dans l traitmnt, modifir l tst «Si» pour qu il soit : "Si f (m)>", afin d prndr n compt la décroissanc d f sur l intrvall [5 ; 6]. (Un autr possibilité srait d affctr 6 à a t 5 à b, t d modifir l «tant qu» pour avoir «tant qu a b> 0,» t alors a srait la born haut d l ncadrmnt, t b la born bass). Métropol 0 juin 0

4 5. a. Pour répondr à ctt qustion, on commnc par détrminr l air du rctangl, d largur t d hautur : son air st donc d unités d air. Il faut nsuit détrminr l air délimité par la courb C dans l rctangl OABC, t pour cla, il faut commncr par détrminr qu ll st l absciss d l intrsction d la courb avc l ax ds abscisss, t donc résoudr : f (x)0 (+ln x)0, c st à dir résoudr : ln x, qui par application d la fonction xponntill, donn un uniqu solution, qui st. [ ] Sur l intrvall ;, la fonction f st positiv t continu, t donc l air délimité par la courb C, l ax ds abscisss t ls droits d équations x t x st donné par : f (x) dx, n unités d air. Pour qu la courb C partag l rctangls n dux domains d airs égals, il faut alors qu l air sous ctt courb soit la moitié d l air du rctangl, c st à dir un unité d air. La résolution du problèm rvindra bin à démontrr : f (x) dx. b. On a f (x) x + ln x. En posant u ln, on rconnait alors : x f u + u u. Un primitiv d f sur ]0 ; + [ st donc : F u+ u, c st à dir F (x) ln x+ (ln x). [ ] ( ) On a alors f (x) dx F (x) F () F [ ( ) ( ( )) ] f (x) dx ln+(ln) ln + ln 0 ( +). On arriv donc bin à la conclusion qu l rctangl OABC st bin partagé n dux domains d mêm air par la courb C. EXERCICE Commun à tous ls candidats 4 points. Vrai : Si on pos A, l point d affix i t B l point d affix dans l plan complx, alors puisqu M st l point d affix z, on a : z i z M z A AM. D mêm z+ MB, t donc l nsmbl ds points M rchrché st l nsmbl ds points équidistants d A t d B, c st à dir la médiatric du sgmnt [AB], c st donc bin un droit.. Faux : On rmarqu qu +i ( ) + i ( cos π + isin π ) i π. En utilisant ls propriétés ds moduls t ds argumnts ds nombrs Métropol 4 0 juin 0

5 . complxs, on a : ( +i ) 4 4 4iπ. Un argumnt du nombr complx étudié st donc 4π l nombr n st pas rél. qui n st congru ni a 0 ni à π modulo π, donc Méthod Vrai : Après avoir choisi un rpèr orthonormé, calculons l produit scalair p ds dux vcturs : p EC ( ) BG E F + FC BG, d après la rlation d Chasls. p E F BG + FC BG, par distributivité du produit scalair sur l addition d vcturs. Par aillurs, ls vcturs BG t E F sont orthogonaux, car c drnir st orthogonal à la fac BCGF qui contint l prmir vctur. D plus ls vcturs BG t FC sont égalmnt orthogonaux, car ils sont construits sur ls diagonals d un carré BCGF, qui sont prpndiculairs ntr lls (comm touts ls diagonals d losangs). Finalmnt, p st la somm d dux produits scalairs nuls, donc p st lui mêm nul, c qui, par définition signifi qu ls droits (BC ) t (CG) sont orthogonals. Méthod : Ls facs BCGF t AE HD sont ds carrés, donc ls sgmnts [BG] t [FC ] d un part, [E D] t [AH] d autr part sont prpndiculairs. L plan médiatur d [BG] contint donc ls points E, D,C, F. Donc n particulir (BC ) t (CG) sont orthogonals ( Méthod : En prnant l rpèr A ; AB, AD, ) AE, on trouv qu EC t 0 BG. D où EC BG 0 t la conclusion. 4. Vrai : La droit dont on nous propos un rprésntation paramétriqu st dirigé par un vctur n d coordonnés ( ; ; ), c st à dir par un vctur qui st normal à P, d après l équation d clui-ci. Comm d plus, l point S st sur ctt droit dont on nous donn la rprésntation paramétriqu (c st l point d paramètr sur ctt droit), on put n déduir qu la rprésntation paramétriqu donné st bin cll d la droit décrit. x + t x ++ t Autr méthod : Avc t R, y + t y ++ t x +(+ t) y +(+ t) z +(+ t) z +t z ++t x + t ) y + t (n posant z +t t + t) qui traduit bin la rlation SM t n soit un équation d la prpndiculair à P contnant S. Métropol 5 0 juin 0

6 EXERCICE 4 Pour ls candidats n ayant pas suivi l nsignmnt d spécialité 5 points. a. On calcul ls prmirs trms, par xmpl n utilisant l mod récurrnc d la calculatric, t on obtint : u +, u + 8 9,89 u + 6 7,59 u i ,40 b. On put donc émttr la conjctur qu la suit st croissant. On pourra n tout cas affirmr qu ll n st pas décroissant.. a. Nous allons procédr par récurrnc : Idntification d la propriété : Pour tout ntir naturl n, posons la propriété P n suivant : u n n+. Initialisation : Puisqu l on a u 0 t 0+, on vérifi bin : u 0 0+ : la propriété P 0 st bin vrai. Hérédité : Pour un ntir k naturl donné, on suppos la propriété P k vrai. On a u k+ u k+ k+. Par hypothès d récurrnc : u k k+ En multipliant par un nombr positif : u k (k+ ) Soit u k k+ Puis, n ajoutant un mêm nombr dans chaqu mmbr : u k+ k+ k+ + k+ C qui donn : u k+ k+ k+4. On a donc u k+ (k+)+, c st à dir qu la propriété P k+ st vrai. Nous avons donc démontré l caractèr héréditair d la véracité ds propriétés P n. Conclusion : Puisqu la propriété P 0 st vrai t qu nous avons prouvé l hérédité, on put n déduir qu pour tout ntir naturl n, on a P n vrai, c st à dir qu pour tout ntir naturl n, on a bin u n n+. b. u n+ u n u n+ n+ u n u n+ n+ On a donc bin u n+ u n ( u n+n+) (n+ u n). Comm on l a montré à la qustion précédnt, pour tout n naturl, on a u n n+ c qui équivaut à dir qu la différnc n+ u n st positiv, t ll l rst n étant multiplié par, donc la différnc ntr dux trms consécutifs étant positiv, on confirm bin qu notr conjctur était corrct : la suit (u n ) n N st bin croissant, dès l rang 0.. a. Exprimons, pour un ntir n naturl qulconqu, v n+ n fonction d v n : Métropol 6 0 juin 0

7 v n+ u n+ (n+ ) u n+ n+ n u n n (u n n) Donc v n+ v n. La rlation d récurrnc obtnu confirm qu la suit (v n ) n N st bin géométriqu d raison q t d prmir trm v 0 u 0 0. b. On put donc n déduir un ( xprssion ) xplicit du trm général n d la suit v : v n v 0 q n. Enfin, puisqu l on a, pour tout n, v n u n n, on n déduit : u n v n + n, t donc on aboutit bin à l xprssion dmandé : ( ) n u n + n. c. Puisqu la raison q st strictmnt compris ntr t, on n déduit qu la limit d la suit v st 0, t donc par limit d un somm d suits, la limit d la suit u st donc +, t la suit u st donc divrgnt. 4. a. S n st la somm d n+ trms d la suit u n. Mais, comm par aillurs, on put considérr qu chaqu trm u n st la somm d v n t d n, donc n réordonnant ls trms, S n st la somm d dux «sous-somms» : cll ds n+ prmirs trms d la suit v t cll ds n + prmir ntirs naturls. La prmièr sous-somm st un somm ds n+ prmirs trms d un suit géométriqu, t vaut donc : ( ) n+ n+ ( ( ) q n+ ) v 0 ( ) 6. q La scond sous-somm st la somm ds n + prmirs ntirs naturls, c st à dir la somm ds n+ prmirs trms d un suit arithmétiqu d prmir trm 0 t d raison, donc ll vaut : 0+n n(n+ ) (n+ ) (résultat classiqu). ( ( ) n+ ) n(n+ ) Finalmnt, on a S n 6 +. ( ( ) n+ ) n(n+ ) 6 + b. On n déduit : T n n ( ( ) n+ ) n(n+ ) 6 T n n + n ( ( ) n+ ) ( ( ) n+ ) 6 6 T n n + n + n n n + + n. Métropol 7 0 juin 0

8 ( ) n+ Puisqu, un fois ncor, q st ntr t, on a : lim 0. n + Donc par limit d un somm d suits, puis d un produit d suits : ( ( ) n+ ) lim 6 6. n + Par aillurs, lim n + n +, donc par limit d un quotint d suits, ( ( ) n+ ) 6 lim n + n 0. D plus lim n + t lim 0, t donc finalmnt, par limit n + n d un somm d suits, on arriv à conclur qu la suit T convrg vrs. EXERCICE 4 Candidats ayant suivi l nsignmnt d spécialité 5 points. Pour tout ntir naturl n, v n+ 0,95 v n + 0,0 c n t c n+ 0,05v n + 0,99c n. ( ) ( ) 0,95 0,0 a. Si A t X alors 0,05 0,99 b ( ) a b ( ) ( ) 0,95 0,0 0,95a+ 0,0b 0,05 0,99 0,05a+ 0,99b Ls réls c t d tls qu A X Y sont : c 0,95a+ 0,0b t d 0,05a+ 0,99b Ls résultats précédnts prmttnt d écrir qu pour tout ntir naturl n, X n+ AX n où X n ( ) v n c n. On put donc n déduir qu pour tout ntir naturl n, X n A n X 0. ( ). a. Calculons P Q : ( 5 ) 5 ( ) Calculons Q P : ( ) 5 ( ) 5 ( ) On constat qu ls dux produits donnnt (6I ) donc si au liu d multiplir P par Q on multipli P par 6 Q on obtint I, donc 6 Q P. b. Calculons P AP 6 Q AP d abord, on calcul Q A : Métropol 8 0 juin 0

9 ( ) 0,95 0,0 0,05 0,99 ( ) ( ) a b 5 c d a 0,95+0,05 ; b 0,0+0,99 ; c 5 0,95+0,05 4,7, d 0,05+0,99 0,94 ( ) Q A 4,7 0,94 nsuit on fait (Q A)P c st ( ) 4,7 0,94 ( ) 5 ( ) ,64 Rst à multiplir c produit par 6 ; on obtint P AP qui st bin un matric diagonal D. ( ) 0 0 0,94 c. Démontrons, par récurrnc qu pour tout ntir naturl n supériur ou égal à, A n PD n P. Pour n il s agit d démontrr qu APDP ; or P AP D donc n multipliant à gauch par P, on a : P(P AP)PD, or par associativité cla s écrit ncor (P(P )AP PD donc I AP PD donc AP PD, n multipliant à droit par P,on obtint : (AP)P PDP, donc A PDP : l initialisation st prouvé. Supposons qu il xist un ntir naturl n tl qu A n PD n P, alors multiplions à droit par A : A n+ PD n P A, mais c drnir A c st A PDP donc A n+ PD n P PDP, or P P I donc A n+ PD n I DP, A n+ PD n DP t nfin A n+ PD n+ P c qui prouv l hérédité. Conclusion : pour tout ntir naturl n supériur ou égal à, A n PD n P. 4. Ls résultats ds qustions précédnts prmttant d établir qu v n 6 ( +5 0,94 n ) v ( 0,94 n ) c 0. t comm la suit géométriqu (0,94 n ) n N tnd vrs 0 vu qu q 0,94 donc <q < la suit (v n ) n N tnd vrs 6 (+5 0) v 0+ 6 ( 0)c 0 donc vrs Métropol 9 0 juin 0

10 6 (v c 0 ) t donc par stabilité d la population total,la suit 6 (v n ) n N tnd vrs 5 6 (v c 0 ). 6 Métropol 0 0 juin 0