Chapitre 5 Les suites Chapitre 5 Les suites. N dans R, donc si U est une telle suite, on aura : est le n ème terme de la suite.

Transcription

1 ECG JP A F. FRANZOSI & A. WENGER 5. Défiitio et gééralités Défiitio : Ue suite réelle est ue applicatio de * N das R, doc si U est ue telle suite, o aura : U : N * R U ( ) U U est le ème terme de la suite. Exemple : Soit la suite U : 5 ; 7 ; 9 ; 9 ; ; Le ème terme de la suite est 9, doc U 9 Terme gééral : Lorsque l o peut doer facilemet ue formule pour calculer le ème terme d ue suite, o dit que l o doe le terme gééral de la suite. Exemple : Le terme gééral d ue suite U est : U 5 Doc : U 5 U U 5 7 U Exercice : Calculer les premiers termes des suites ci-dessous dot le terme gééral est : + a) A d) D g) G l( ) b) B + e) E h) c) C 5 f) F ( ) H 00 Exercice : Calculer le 57 ème termes des suites ci-dessous dot le terme gééral est : a) T e) b) U X 90 Y l log( ) f) ( ) log( ) c) V g) Z W + ( ) d) ( ) 0 5 Réposes : Ex : a) ; ; 6 ; 8 ; b) 7 ; ; 5 ; 9 ; c) - ; ; ; 7 ; d) ; ; 9 ; 5 6 ; e) ; ; 8 9 ; 6 6 ; f) - ; + ; - ; + ; g) 0 ; 0,69 ;,099 ;,86 ; h) 00 ; 0 ;,6 ;,6 Ex : a) T 57 5, ; b) U 57 85'0 ; c) V 57 0,0 ; d) W 57 0 ; e) X 57 0,6 ; f) Y 57,07 ; g) - -

2 ECG JP A F. FRANZOSI & A. WENGER 5. Suites arithmétiques Défiitio : Ue suite est arithmétique si chacu de ses termes (sauf le premier) est obteu e additioat au précédet u même ombre r, appelé raiso de la suite arithmétique. Forme géérale : U U + r (formule de récurrece) + Exemples : ) Soit la suite U : ) Soit la suite V : Terme gééral d ue suite arithmétique : Si das la suite arithmétique U, o coaît le premier terme U et la raiso r, le terme gééral s écrit alors : U U + r ( ) Exemples : ) Soit la suite arithmétique U : 7 ; 0 ; ; 6 ; 9 ; O a : U 7 et r. Alors le terme gééral s écrit : U 7 + ( ) ) Soit la suite arithmétique V : 00 ; 90 ; 80 ; 70 ; 60 ; O a: V 00 ; r 0. Le terme gééral est: V 00 0 ( ) Ue autre maière de voir : «O idetifie la raiso puis e ajuste pour obteir coveablemet le premier terme (et les autres).» ) Soit la suite A : 0 ; ; 8 ; ; 6 ; O a le terme gééral : A ) Soit la suite B : 50 ; 5 ; 0 ; 5 ; 0 ; O a le terme gééral : B 5. Suites géométriques Défiitio : Ue suite est géométrique si chacu de ses termes (sauf le premier) est obteu e multipliat le précédet par u même ombre r, appelé raiso de la suite géométrique. Forme géérale : U + r U (formule de récurrece) Exemples : ) Soit la suite U : ) Soit la suite V : : : : : Remarque : Diviser par ou multiplier par c est la même chose! Terme gééral d ue suite géométrique: Si das la suite géométrique U, o coaît le premier terme U et la raiso r, le terme gééral s écrit alors : ( ) U U r - -

3 ECG JP A F. FRANZOSI & A. WENGER Exemples : ) Soit la suite géométrique U : ; 6 ; 8 ; 5; 6 ; O a : U et r. Alors le terme gééral s écrit : U ) Soit la suite géométrique V : 800 ; 00 ; 00 ; 00 ; 50 ; O a : V 800 ; r. Le terme gééral est : 800 V 800 Exercice : Doer le terme gééral et le 50 ème terme des suites ci-dessous : a) A : 5 ; 7 ; 9 ; ; ; A A 50 b) B : ; 7 ; ; 9 ; 5 ; B B 50 c) C : 80 ; 70 ; 60 ; 50 ; 0 ; C C 50 d) D : 97 ; 86 ; 75 ; 6 ; 5 ; D D 50 Exercice : Doer le terme gééral et le ème terme des suites ci-dessous : a) E : ; 6 ; ; ; 8 ; E E b) F : ; ; 6 ; 08 ; ; F F c) G : 800 ; 00 ; 00 ; 00 ; 50 ; G G d) H : ; 8 ; 7 ; 9 ; ; H H e) I : 0 ; 5 ; 50 ; 55 ; 60 ; I I f) J : 70 ; 50 ; 0 ; 0 ; 90 ; J J Exercice 5 : a) Soit A ue suite arithmétique. O sait que A et A 7 8. Doer le terme gééral A b) Soit B ue suite arithmétique. Le ème terme vaut 9 et le ème 0. Doer le terme gééral. c) Soit C ue suite géométrique. Si le ème terme de la suite est 8 et le 6 ème, que vaut C? d) Soit D ue suite géométrique. Si le D 8 et le D 6 6, que vaut D? e) Soit E ue suite arithmétique. O sait que E 0 et E 6. Doer le terme gééral. - -

4 ECG JP A F. FRANZOSI & A. WENGER Réposes : Ex : a) A + ; A 50 0 ; c) C ; C 50 0 ; b) B 6 + 5; B ; d) D + 08 ; D 50 Ex : a) b) E ; d) H ; H 0, 00 ; ; F 6'96 ; e) I ; I 90 ; E ; 07 F 800 c) G ; G 0, 78 ; f) J ; J 70 ; Ex 5 : a) A 5 + ; b) B ; c) C 7 ; d) D 6 ; e) E Suites costates C est u cas particulier de la suite arithmétique, c est le cas où la raiso r de la suite égale zéro. Exemples : A : 6 ; 6 ; 6 ; 6 ; 6 ;. A 6 B : π ; π ; π ; π ; π ; π ; B Suites quadratique ou suites carrées Voici des exemples de suites quadratiques (carrées) : C : ; ; 9 ; 6 ; 5 ; C D : 0 ; ; 8 ; 5 ; ; D... E : -5 ; - ; ; 0 ; 9 ; E... F : 5 ; 8 ; ; 0 ; 9 ; F... Exercice 6 : Doer le terme gééral et le ème terme des suites ci-dessous : a) A : 5 ; 8 ; ; 0 ; 9 ; A A b) B : ; ; ; ; ; B B c) C : - ; ; 7 ; ; ; C C d) D : -9 ; -6 ; - ; - ; 5 ; D D e) E : 07 ; 0 ; 5 ; ; ; E E - -

5 ECG JP A F. FRANZOSI & A. WENGER Exercice 7 : Doer le terme gééral des suites ci-dessous : a) A : 5 ; 0 ; 0 ; 0 ; 80 ; A b) B : 5 ; 0 ; 5 ; 0 ; 5 ; B c) C : 7 ; 5 ; ; ; 9 ; C d) D : 5 ; 5 ; 5 ; 5 ; 5 ; D e) E : 5 ; ; - ; - ; -7 ; E f) F : log(5) ; log(5) ; log(5) ; log(5) ; log(5) ; F g) G : 80 ; 0 ; 0 ; 0 ; 5 ; G h) H : -00 ; -97 ; -9 ; -85 ; -76 ; H i) I : 000 ; 00 ; 0 ; 78 ; 07,6 ; I j) J : ; ; ; ; 5 ; J Solutios: Ex 6 : a) d) Ex 7 : a) A + ; 60 0 ; 6 D A ; b) B ; B ; c) D ; e) A 5 (géom.) ; b) B 5 E C + 06 ; 6 E ; ; C 5 (arithm.) ; c) C + 9 (arithm.) d) D 5 (costate); e) E + 8 ; f) F log(5) (costate) ; g) G (géom.) h) H 0 (carrée) ; i) I 000, (géom.) ; j) J (arithm.) Calcul de la place (rag) d u terme das la suite Si o coaît le terme gééral d ue suite et l u de ses termes, alors o peut coaître la place de ce terme das la suite. O parle aussi du rag. Pour cela il faudra résoudre ue équatio. Exemples : ) Soit U 7 8. O veut savoir à quelle place se trouve le terme 706? Pour répodre à cette questio, il faut résoudre O trouve : 0 c.à.d. à la 0 ème place! ( U ) ) Soit V 5. Quel est le rag du terme '805? O doit résoudre : O a : 5 '805 '805 5 ( ) log() log(656) O a : 9. So rag est ( log ) log ( 656 ) log(656) ( ) ( ) 8 log() ) Soit W 8 +. A quelle place se trouve le terme 85? O résout : O trouve : 05,5 N Comme ce est pas u ombre etier, o peut coclure que le 85 est pas u terme de cette suite! - 5 -

6 ECG JP A F. FRANZOSI & A. WENGER Exercice 8 : a) A 6 ; à quelle place se trouve le terme 558? b) B 8 ; quel est le rag du terme -5? c) C 5 ; à quelle place se trouve le terme 80? 656 d) D ; Le terme 9 est-il das cette suite? Si oui, quel est so rag? e) + 7 ; à quelle place se trouve le terme 7'98? f) E F 7 ; quel est le rag du terme 0'? Exercice 9 : 5 a) A + ; à quelle place se trouve le terme '77? b) B 0 ; quel est le rag du terme '000'000? c) C log( ) ; à quelle place se trouve le terme? d) e) f) D E + + ; Le terme 58 est-il das cette suite? Si oui, quel est so rag? 7 ; à quelle place se trouve le terme? F 0 ; quel est le rag du terme 0'000'000? g) G log( + 900) ; à quelle place se trouve le terme? h) i) j) k) ; quel est le rag du terme? ; à quelle place se trouve le terme 09? H I J K ; Le terme est-il das cette suite? Si oui, quel est so rag? + 9 ; Le terme 6 est-il das cette suite? Si oui, quel est so rag? Exercice 0 : Soit la suite U : 0 ; ; 6 ; 9 ; ; a) Trouver les termes suivats. d) A quelle place (rag) se trouve le terme 50? b) Trouver le terme gééral. e) Le terme '67 appartiet-il à cette suite? c) Trouver le '000 ème terme. Si oui, à quelle place? Exercice : Soit la suite V : - ; ; 7 ; ; ; a) Détermier le 6 ème terme. d) Quel est le rag du terme 898? b) Trouver le terme gééral. e) Existe-t-il u terme valat 999? c) Calculer V 7 et V 9 Exercice : Soit la suite W : ; 6 ; ; ; 8 ; a) Trouver les termes suivats. d) Calculer W 7 b) Trouver le terme gééral. e) A quelle place se trouve le terme '07? c) Trouver le ème terme. f) Le terme 98'0 se trouve-t-il das cette suite? Si oui, à quelle place? Exercice : Soit la suite X : 600 ; 550 ; 500 ; 50 ; 00 ; a) Trouver le terme gééral. c) A quelle place se trouve le terme -8750? b) Calculer le 5 ème terme. d) '70 est-il das cette suite? Si oui, quelle est so rag? Exercice : Soit la suite Y dot le terme gééral est : Y 0 a) 0'000 est-il das cette suite? b) A quelle place se trouve le terme '000'000'000? c) A quelle place se trouve le terme le plus proche de 5'97? - 6 -

7 ECG JP A F. FRANZOSI & A. WENGER Solutios : Ex 8 : a) ; b) '5 ; c) 9 ; d) 7 ; e) 89 ; f) 0 Ex 9 : a) 8 ; b) 6 ; c) 0'000 ; d) Oui : ( 65 ) ; e) '87 ; f) g) 00 ; h) 7 ( '89 ) ; i) ; j) Oui : '0 ; k) No (,0 N ) Ex 0 : a) 5 ; 8 ; ; b) U 7 + ; c) U ; d) ème place ; e) o Ex : a) ; b) V Ex : a) 96 ; 9 ; b) ; c) 7 7 V ; V 9 59 ; d) 0 ème place ; e) o W ; c) 6 W ; d) W 7 9 ; e) ème place ; f) Oui, 6 ème place ; Ex : a) X ; b) X ; c) 88 ème place ; d) o Ex : a) No car, N ; b) 9 ; c) O a,7. Etre la ème et la 5 ème place : Y 0'000 et Y 5 00'000. Doc la ème place est la plus proche Suites alterées Voici des exemples de suites alterées : A : ; + ; ; + ; ; + ; A... B : + ; ; + ; ; + ; ; B... C : ; +6 ; 9 ; + ; 5 ; +8 ; D : +0 ; ; +8 ; 5 ; + ; 5 ; Terme gééral d ue suite alterée Pour trouver le terme gééral d ue suite alterées o procède comme suit : S assurer que la suite est bie alterée! Si le premier terme est égatif, mettre ( ) e facteur. Si le premier terme est positif, mettre ( ) + e facteur. Compléter par le facteur maquat e oubliat tous les siges. (Traiter la suite comme si elle était pas alterée.) Exemple : Trouver le terme gééral de la suite U : + ; 9 ; + ; 9 ; + ; 9 ; O a que : Cette suite est bie alterée. Le er terme est positif, doc le facteur sera ( ) + O cosidère la suite sas les siges : ; 9 ; ; 9 ; ; 9 ; c est ue suite arithmétique! + U ( ) 5 Doc : ( ) Exemples : C : ; +6 ; 9 ; + ; 5 ; +8 ; C... D : +0 ; ; +8 ; 5 ; + ; 5 ; D

8 ECG JP A F. FRANZOSI & A. WENGER Exercice 5 : Doer le terme gééral des suites ci-dessous : a) A : 500 ; 00 ; 00 ; 00 ; 00 ; A b) B : ; 7; ; 9 ; 8 ; B c) C : 000 ; 00 ; 0 ; 78 ; 07,6 ; C d) D : 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 50 ; D e) E : ; 5 ; 0 ; 7 ; 6 ; E f) F : 6 ; 6 ; 6 ; 6 ; 6 ; F g) G : 0 ; 0 ; 80 ; 60 ; 0 ; G Exercice 6 : Doer le terme gééral des suites ci-dessous : a) A : ; 7 ; 0 ; ; 6 ; A b) B : 7 ; 0 ; 5 ; ; ; B c) C : 0 ; 0 ; 0 ; 80 ; 60 ; C d) D : 5 ; ; ; 7 ; ; D Solutios: A Ex 5: a) ( ) ( ) d) D ( ) ( 5) g) + + b) B ( ) ( + ) e) E ( ) ( + ) c) + C ( ) 000, f) F + Ex 6: a) A ( ) ( ) + c) b) B ( ) ( 6) C + ( ) 6 ( ) 0 + d) pas alterée : D 9 G ( ) Suites ratioelles Défiitio : Ue suite ratioelle est ue applicatio de la suite est u ombre ratioel. * N das Q, doc si U est ue telle suite, chaque terme de Exemples : Soit la suite U : Soit la suite V : ; 9 ; 9 5 ; 6 ; 5 7 ; 6 ; ; ; ; 8 ; 60 Terme gééral : Lorsqu ue suite est ratioelle, pour trouver le terme gééral de cette suite, il faut traiter séparémet le umérateur et le déomiateur et détermier das chaque cas le terme gééral. Pour termier o réuit ces deux résultats

9 ECG JP A F. FRANZOSI & A. WENGER Exemple : Soit la suite U : ; 5 9 ; 0 5 ; 7 ; 6 7 ; Le suite du umérateur N : ; 5 ; 0 ; 7 ; 6 ; a pour terme gééral : N + Le suite du umérateur D : ; 9 ; 5 ; ; 7 ; a pour terme gééral : D 6 Le terme gééral de la suite U est : U + 6 Exercice 7 : Doer le terme gééral des suites ci-dessous : a) A : b) B : ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; A B c) C : ; ; ; ; ; C d) D : ; ; ; ; ; D e) E : ; ; ; ; ;... E f) F : 0 ; ; ; ; ; F g) G : ; ; ; ; ;... G h) H : ; ; ; ; ; H i) I : ; ; ; ; ;... I Solutios: + 6 Ex 7: a) A b) B + c) C d) D e) E ( ) f) F + i) 80 5 g) G ( ) h) H I ( ) - 9 -

10 ECG JP A F. FRANZOSI & A. WENGER Quelques autres suites Suite cubique C : ; 8 : 7 ; 6 ; 5 ; C... Suite expoetielle E : ; ; 7 ; 56 ; '5 ; E... Suite factorielle F : ; ; 6 ; ; 0 ; F... (voir ch. 6) Exercice 8* : Doer le terme gééral des suites ci-dessous : a) K : ; 6 ; 8 ; 56 ; 65 ; K b) L : ; ; 6 ; 0 ; 5 ; L c) M : 0 ; ; 0 ; ; 0 ; M d) N : ; 0 ; ; 0 ; ; N e) P : ; ; ; ; 60 ; P Remarques :! ( ) ; par exemple : 6! ( + ) ( ) + ; par exemple : Solutios : Ex 8: a) K ; b) L ( + ) ; c) M ( ) + ; d) N ( ) + + ; e)! P 5.0 Suites défiies par récurrece Lorsqu o doe le premier terme d ue suite, puis la règle de calculer le ème terme partir du ème ème ( ) terme, ou du ( ), etc. ; ce procédé s appelle la récurrece! Aisi avec ue formule de récurrece, e coaissat U, o peut calculer U, puis U, Exemple : O doe la formule de récurrece: U U et U 5 O calcule : U U U 5 5 U U U 5 5 U U U 5 5 O recoaît ue suite géométrique de raiso

11 ECG JP A F. FRANZOSI & A. WENGER Exemple : Soit la suite ; ; ; ; 5 ; 8 ; ;... O peut trouver les termes suivats : ; ; ; ; 5 ; 8 ; ;... ;... ;... ;... ;... ;... O obtiet le 00 ème terme e Ce qui s'écrit : U Et de maière géérale : Remarque : Cette suite porte le om d u mathématicie Lequel? Exercice 9 : Pour chaque suite doée par récurrece, calculer les premiers termes. a) U ( ) + et U U V b) V et V 5 W c) W + et W d) X ( ) et X X Exercice 0 : Pour chaque suite doée par récurrece, calculer les premiers termes. a) U U + et U b) V V + et V c) W + et W W d) Y ( ) Z + et Y Y Z e) ( ) + et Z 6 f) A ( ) g) B + et A A et B B h) C ( ) et C 5 C i) D + et D 9 E D E j) ( ) + et E Exercice : Pour chaque suite doée par récurrece, doer le terme gééral. a) U + 6 et U U V b) V et V c) W W + et W d) X + et X 7 X - -

12 ECG JP A F. FRANZOSI & A. WENGER Exercice : O doe la récurrece suivate : U U U + avec U 7 et U 0 6 a) Calculer U, U et U 5 b) Détermier le terme gééral U de cette suite. c) Calculer U 6 Exercice : O doe la récurrece suivate : a) Calculer U, U et U 5 b) Détermier le terme gééral U de cette suite. c) Calculer U 60 U U U avec U 5 et U 8 8 Exercice : O doe la récurrece suivate : U U U + 9 avec U et U a) Calculer U, U et U 5 b) Détermier le terme gééral U de cette suite. c) Combie y-a-t-il de termes das cette suite qui sot compris etre 0'000 et 0'000? Exercice 5 : U O doe la récurrece suivate : U + + avec U 0 a) Trouver les 5 premiers termes b) Trouver le terme gééral de cette suite. c) Trouver le 00 ème terme. Exercice 6 : ( ) U O doe la récurrece suivate : U avec U a) Trouver les 5 premiers termes (laisser e fractios). b) Trouver le terme gééral de cette suite. c) Calculer le 00 ème terme. Exercice 7 : Soit la suite défiie par : U U avec U 5 a) Calculer les 5 premiers termes de cette suite. b) Détermier le terme gééral de cette suite. c) Calculer le ème terme. Exercice 8 : Soit la suite défiie par : U U avec U 5 a) Calculer les 5 premiers termes de cette suite. b) Détermier le terme gééral de cette suite. c) Calculer le ème terme. Exercice 9 : Soit la suite défiie par : U U + avec U Mêmes questios que l exercice

13 ECG JP A F. FRANZOSI & A. WENGER Solutios : Ex 9: a) ; 6 ; 8 ; 6 ; b) -5 ; - ; - ; -68 ; c) ;,5 ;,5 ;,5 ; d) ; ; 7 ; 87 Ex 0: a) U : ; ; ; ; f) A : ; ; 9 ; 70 ; b) V : ; 7 ; ; 7 ; g) B : ; ½ ; ; ½ ; c) W : ; ; ; ; h) C : 5 ; 5 ; 65 ; 90'65 ; d) Y : ; 7 ; 90 ; 8'0 ; i) D : 9 ; 5 ;,6 ;,058 ; e) Z : 6 ; ;,0 ;,0 ; j) E : ;,70 ;,577 ;,56 ; Ex : a) U 6 ; b) ; c) W ; d) X 9 Ex : a) 5 ; ; ; b) Ex : a) ; 0 ; 9 ; b) V U U + 6 ; c) U 6 6'575 6 ; c) U 60 6'80 Ex : a) 7 ; 0 ; ; b) U ; c) N ' termes Ex 5: a) 0 ; ; 8 ; ; 6 ; b) U + 6 ; c) U 00 6 Ex 6: a) / ; / ; / ; / ; /5 ; b) U ; c) U Ex 7: a) 5 ; 0 ; 0 ; 0 ; 80 ; b) 5 ; c) U 0'960 Ex 8: a) 5 ; 8 ; ; ; 7 ; b) U + ; c) U '00 Ex 9: a) ; 7 ; ; 9 ; 8 ; b) U U + ; c) U 0'89 5. Sommes 5.. Somme des premiers termes d ue suite arithmétique Si U est ue suite arithmétique de raiso r et de premier terme U, alors la somme des premier termes de cette suite, otée S, est doée par la formule suivate : S U + U Exemple : Soit la suite arithmétique U : 5 ; ; 9 ; 6 ; ; 0 ; 7 ; 5 ; O veut calculer la somme des 8 premiers termes de cette suite. O a : U 5 ; U 8 5 ; Doc : S8 8 6 Exercice 0 : Calculer les sommes ci-dessous : a) b) c) d)

14 ECG JP A F. FRANZOSI & A. WENGER Exercice : Calculer les sommes suivates : 9 50 log + log + log log + log a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b) log ( ) log ( ) log ( )... log ( ) log ( ) c) log ( 7 ) log ( 7 ) 6... log ( 7 ) Exercice : Soit la suite U : ; 7 ; 0 ; ; 6 ; 9 ; Détermier : a) la raiso r d) le 00 ème terme b) le premier terme U e) S 00 c) le terme gééral f) la somme des 7 premiers termes. Exercice : Le terme gééral d ue suite arithmétique U est doée par : U Détermier : a) la raiso r d) S 8 b) U 8 e) le rag du terme 95 Exercice : Calculer les sommes suivates : a) b) c) d) Calculer la somme des 89 premiers termes de la suite : U : ; 7 ; ; - ; ; 7 ; ; - ; ; 7 ; ; - ; e) Calculer la somme des 06 premiers termes de la suite : V : - ; ; 5 ; 6 ; - ; ; 5 ; 6 ; - ; ; 5 ; 6 ; - ; f) Calculer la somme des 9 premiers termes de la suite : W : ; ; 7 ; -5 ; 8 ; ; ; 7 ; -5 ; 8 ; ; ; 7 ; -5 ; 8 ; g) Calculer la somme des 67 premiers termes de la suite : X : - ; ; ; - ; ; ; - ; ; ; - ; ; ; - -

15 ECG JP A F. FRANZOSI & A. WENGER Exercice 5* : (Idicatio : systèmes de équatios à icoues) Répodre aux questios sachat que das chaque cas, il s agit de suites arithmétiques. a) U 7 7 et S 6 '776, que vaut la raiso r? b) U 5 5 et U 9 9, que vaut la raiso r? c) S 8 '07 et S 67 5'6, que vaut la raiso r? d) U 87 6 et S 05 6'880, que vaut la raiso r? e) S 9 87 et r, que vaut le premier terme U? Solutios : Ex 0: a) ; b) 0'00 ; c) 7'0 ; d) 0'800 Ex : a) 8,8 ; b) 70,7 ; c) 79,80 Ex : a) r ; b) U ; c) U + ; d) U 00 0 ;e) S 00 5' 50 ; f) S 7 8'99 Ex : a) r ; b) U 8 5 ; c) S 8 78 ; d) le rag est 99 Ex : a) '099 ; b) 59'0 ; c) 7'775 ; d) 68 ; e) 59 ; f) 5 ; g) 6 Ex 5: a) r 6 ; b) r ; c) r 7 ; d) r 5 ; e) U Somme des premiers termes d ue suite géométrique Si U est ue suite géométrique de raiso r et de premier terme U, alors la somme des premier termes de cette suite, otée S, est doée par la formule suivate : S r U r Exemple : Soit la suite géométrique U : ; 6 ; ; ; 8 ; 96 ; 9 ; O veut calculer la somme des 5 premiers termes de cette suite. O a : r ; U ; 5 Doc : S '0 Exercice 6 : Pour chacue des suites géométriques ci-dessous, calculer la somme des premiers termes. a) U : 7 ; ; 8 ; 56 ; ; ; b) V : 5 ; 5 ; 5 ; 5 ; 05 ; 5 ; c) W : 0 ; 50 ; 50 ; '50 ; 6'50 ; '50 ; d) X : 6 ; ; 96 ; 8 ; '56 ; 6' ; e) Y : '000 ; '00 ; '0; '78 ; 07,6 ; Exercice 7 : Calculer la somme des 0 premières puissaces de

16 ECG JP A F. FRANZOSI & A. WENGER Exercice 8 : Soit ue suite géométrique U, sachat que r et S 7 '7, calculer le premier terme U. Exercice 9 : Soit ue suite géométrique U, sachat que U 6 '07 et U, calculer S 9. Solutios : Ex 6 : a) S 58'70'9 ; b) S,5 0 ; 6 c) S,980 0 ; d) S, 07 0 ; e) S 6' 6,86 Ex 7 : S 0 06 ; Ex 8 : U ; Ex 9 : r ; S 9 6' Problèmes Exercice 0 : O costate qu ue populatio d isectes augmete de 0 % chaque jour. a) Que deviedra ue populatio de 0'000 isectes après jours. b) Etablir le loi exprimat le ombre d isectes que cotiet ue populatio e foctio du temps (e jours). c) Quel temps faudra-t-il pour qu ue populatio d isectes passe de 7'800 à '000 isectes? Exercice : Il existe des filtres qui absorbet 0 % des poussières coteues das l air. a) Que deviedrot '000 kg de poussière après avoir traversé filtres? b) Etablir la loi exprimat la quatité de poussière coteue das l air e foctio du ombre de filtres traversés. c) Calculer le ombre miimum de filtres écessaires pour rameer la masse de poussière coteue das ue masse d air de '00 kg à 500 kg. Exercice : Il existe ue coduite d eau qui perd % d eau par kilomètre. a) Que deviedra ue quatité de 60'000 litres d eau trasportée sur Km? b) Etablir la loi exprimat la quatité d eau restate e foctio de la logueur parcourue. c) Calculer le ombre miimum de kilomètres à parcourir pour que la quatité d eau trasportée passe de 50'000 litres à 0'000 litres. Exercice : O costate que le ombre de bactéries augmete de 8 % chaque heure. a) Que deviedrot 0'000 bactéries après 7 heures? b) Etablir le loi exprimat le ombre bactéries coteues das ue culture e foctio du temps (e heures). c) Quel temps faudra-t-il pour qu u ombre de bactéries passe de '500 à 7'80? Solutios : Ex 0 : a) 5'80 isectes ; b) P P0, ; c),6 jours Ex : a) ', kg ; b) M M 0 0,9 ; c) 5 filtres Ex : a) 55',090 litres ; b) V V0 0,98 ; c) 6 km Ex : a) 7'8 bactéries ; b) N N0,08 ; c) 7,890 h 7h 5mi sec - 6 -