Dominique Tapsoba, Vincent Fortin, François Anctil et Mario Haché

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1 289 NOTE / NOTE Apport de la techique du krigeage avec dérive extere pour ue cartographie raisoée de l équivalet e eau de la eige : Applicatio aux bassis de la rivière Gatieau Domiique Tapsoba, Vicet Forti, Fraçois Actil et Mario Haché Résumé : L algorithme géostatistique du krigeage avec dérive extere (KDE) est appliqué à l estimatio spatiale de l équivalet e eau de la eige au sol (ÉEN). La dérive extere, le relief, est représetée par u modèle umérique d altitudes (MNA) de 0 km de résolutio. Sur le réseau dese de la période d itérêt (mi-mars 982) qui correspod au maximum de l accumulatio de la eige et aux débuts de la fote sur les bassis de la rivière Gatieau, la techique du KDE est comparée à celle du krigeage ordiaire (KO) moovariable. Les résultats idiquet ue amélioratio sesible de la précisio des estimatios faites par la techique du KDE, otammet das les zoes sous-échatilloées et e extrapolatios. U baromètre de quatificatio de la performace la racie de la moyee des erreurs quadratiques (RMEQ) de cette méthode face à différets iveaux de dégradatio des réseaux de mesures ivométriques est proposé. Mots clés : équivalet e eau de la eige, krigeage avec dérive extere, racie des erreurs moyees quadratique, modèle umérique d altitudes. Abstract: The geostatistical algorithm of krigig with exteral drift (KED) is applied to the spatial estimatio of sow water equivalet measured at sigle poits. A digital elevatio model with a 0-km resolutio is used as exteral drift. Over the dese etwork of the period of iterest (mid-march 982), which correspods to the maximum sow accumulatio ad the begiig of the sow melt i the Gatieau River basi, the KED techique is compared to the uivariate ordiary krigig (OK). The results idicate a sigificat estimatio precisio improvemet whe the KED techique is used, otably i the uder-sampled ad extrapolated zoes. A quatitative performace barometer the root-mea-square (RMS) error of this method with regards to the various degradatio levels of the sow depth measuremet etwork is proposed. Key words: sow water equivalet, krigig with exteral drift, root-mea-square errors, digital elevatio model. [Joural traslatio] Tapsoba et al. 297 Itroductio La fote du mateau eigeux e associatio ou o avec u évéemet pluvieux est le mécaisme resposable de la majorité des crues e régio ordique. C est pourquoi l évaluatio de l état du couvert ival e temps réel itéresse au plus haut poit les autorités resposables de la gestio des ressources hydriques. De faço opératioelle, ce sot les valeurs moyees de l équivalet e eau de la eige (ÉEN) qui itéresset au premier pla le prévisioiste. L évaluatio de ces valeurs moyees peut s effectuer soit par le calage d ue surface avec ue méthode destiée iitia- Reçu le 9 ovembre Révisio acceptée le 2 ovembre Publié sur le site Web des presses scietifiques du CNRC, à le 26 mars D. Tapsoba,2 et V. Forti. Istitut de Recherche d Hydro-Québec, 800, boul. Lioel-Boulet, Varees, QC J3X S, Caada. F. Actil. Départemet de géie civil, Uiversité Laval, Ste-Foy, QC GK 7P4, Caada. M. Haché. Istitut de la statistique du Québec, 200, chemi Saite-Foy, QC GR 5T4, Caada. Les commetaires sur le coteu de cette ote doivet être evoyés au directeur scietifique de la revue avat le 30 jui Auteur correspodat (courriel : Tapsoba.Domiique@ireq.ca). 2. Adresse actuelle : Iovatio techologique et gestio des systèmes hydriques, Hydro-Québec, 75, boul. Reé-Lévesque ouest, 9 e étage, Motréal, QC H2Z A4, Caada. Ca. J. Civ. Eg. 32: (2005) doi: 0.39/L04-0

2 290 Ca. J. Civ. Eg. Vol. 32, 2005 lemet à l iterpolatio poctuelle, mais que l o peut itégrer umériquemet sur la surface, soit par l extesio directe d ue techique d estimatio poctuelle à l estimatio de valeurs moyees e itroduisat ue itégratio aalytique das la formulatio même de l iterpolateur. Que ce soit doc pour cartographier des variables hydrométéorologiques ou pour évaluer des lames d eau moyees sur les uités de base des modèles hydrologiques, l hydrologie opératioelle doit s appuyer sur des méthodes d iterpolatios efficaces dot l erreur soit e moyee ulle et de variace aussi faible que possible. Parmi les algorithmes d iterpolatio existats, l approche géostatistique (Mathero 963; Chilès et Delfier 999; Isaaks et Srivastava 989) peut répodre à cette exigece. Pour des réseaux de mesures au sol de très faibles desités, les méthodes géostatistiques otammet le krigeage, permettet ue meilleure estimatio spatiale des variables hydrométéorologiques que les méthodes classiques (Borga et Vizzaccaro 997; Dirks et al. 998). E plus de fourir l erreur associée aux estimatios, l itérêt des algorithmes géostatistiques est qu ils preet e compte le comportemet spatial spécifique des variables hydroclimatologiques aisi que des corrélatios évetuelles avec d autres variables ou co-facteurs, qui gouveret leurs maifestatios das l espace. L itégratio de ces co-facteurs peut se faire avec l algorithme du krigeage avec dérive extere (KDE) das le cadre de la géostatistique multivariable (Wackeragel et al. 2002; Wackeragel 2003). Pourtat, les cetres de prévisio hydrologique utiliset ecore trop souvet des méthodes simplistes comme les polygoes de Thiesse pour l évaluatio de l ÉEN. L objet du préset article est d illustrer sur u bassi versat caadie les avatages du KDE e cosidérat le relief comme co-facteur et de démotrer que cette techique est mûre pour ue utilisatio opératioelle par les ageces proviciales qui fot de la prévisio hydrologique. Ue méthode statistique permet esuite d évaluer la performace de cet algorithme selo l effectif des sites dispoibles sur u réseau de base. Approche méthodologique : le krigeage avec dérive extere. L équivalet e eau de la eige au sol est u paramètre hydrologique relativemet facile à mesurer mauellemet par carottage, mais très difficile à mesurer précisémet de faço automatique ou par télédétectio. E u poit, ce paramètre représete la coloe d eau résultat de la fote d ue carotte de eige prélevée sur toute l épaisseur du mateau eigeux. E raiso des coûts reliés aux campages de terrai, les poits de mesures sot souvet très distats les us des autres. De plus, les valeurs mesurées peuvet être très variables e raiso de la variabilité spatio-temporelle des coditios météorologiques, mais aussi e foctio de cofacteurs comme le couvert végétal, le relief, la vitesse et l orietatio des vets. Tout l itérêt de la prise e compte d u ou plusieurs co-facteurs sous réserve d ue corrélatio satisfaisate etre l ÉEN et le ou les co-facteurs cosidérés réside das le fait que celui-ci ou ceux-ci vot cotribuer à apporter ue iformatio supplémetaire das l estimatio de l ÉEN, surtout das les zoes où l o dispose de peu ou pas d observatios. U co-facteur cou sur l itégralité de la grille d iterpolatio est u cas idéal. Das le cadre de cette étude, le co-facteur qui était dispoible et qui répodait à cette coditio idéale est le relief. Il est représeté par u modèle umérique d altitudes (MNA) d ue résolutio de 0 km e logitude et e latitude extrait de la baque du fichier modial des altitudes produit par le US Geological Survey. Il est bie cou que, par ature même, la distributio des variables climatologiques est, pour certai ombre d etre elles et cosidérées à u pas de temps adéquat, très liée à la cofiguratio de la topographie eviroate. Ue étude idique par exemple que 8,9 % de la variace de l ÉEN das les rocheuses caadiees est expliquée par l altitude et la pete (Loijes 972). De ombreux travaux meés par Daly (Daly et al. 994) et par le Natioal Geophysical Data Ceter (989) cocluaiet que pour de ombreuses régios ue meilleure approximatio des effets orographiques sur u grad ombre de variables hydro-climatologiques pouvait être obteue avec ue grille de la résolutio adoptée das cette étude. La prise e compte d u ou plusieurs co-facteurs ou variables auxiliaires fait appel à la techique du krigeage multivariable (Wackeragel et al. 2002; Wackeragel 2003). Il e existe deux types : la techique du co-krigeage (Hevesi et al. 992a, 992b) et celle du krigeage avec dérive extere (Hudso et Wackeragel 994; Wackeragel 2003). Ces deux techiques reposet sur des hypothèses différetes. La techique du co-krigeage avec itégratio du relief a été appliquée avec succès par Carroll et Cressie (996, 997) pour l estimatio de l ÉEN sur des petits bassis alpis. Das le cas du krigeage avec dérive extere, cadre de cette étude, la variable auxiliaire, soit ici la topographie, est cosidérée comme ue deuxième variable aléatoire et est iterprétée comme la dérive ou la tedace géérale que peut suivre le comportemet de l ÉEN sur le bassi versat. Soit : [] Zx () = Rx () + a+ bvx () tel que E( Z( x)) = a + bv( x) où a et b sot costates, V(x) la variable auxiliaire, les altitudes, est coue à tous les œuds de la grille d iterpolatio mais variable, et R(x) est supposée être u résidu itrisèque de moyee E(R(x)) = 0. L ÉEN est alors modélisé comme ue variable o statioaire dot la moyee o costate est localemet égale à ue foctio liéaire de la topographie, la dite dérive extere. Ue fois la forme de la dérive défiie, o ajuste u modèle de variogramme au résidu R(x) sous-jacet icou. Cet ajustemet se fait de faço automatique avec le logiciel ISATIS (2002) selo la théorie des foctios aléatoires d ordre k (Wackeragel 2003). Cette approche reviet à choisir le modèle de variogramme du résidu. Aisi parmi ue liste a priori des modèles statistiquemet cohérets et possibles, o retiet le modèle le plus adapté à la forme de la dérive et à la statioarité sous-jacete des icrémets du résidu, selo des critères d ajustemets mathématiques. Les tests de validatio croisée permettet esuite d idetifier le modèle de variogramme qui doe les résultats les plus satisfaisats. Le pricipe de la validatio croisée est le suivat : ue doée de l ÉEN est retirée du jeu de

3 Tapsoba et al. 29 Fig.. Représetatio plae du modèle umérique des altitudes, des limites des ciq bassis versats qui composet le bassi de la rivière Gatieau e traits cotius.

4 292 Ca. J. Civ. Eg. Vol. 32, 2005 Fig. 2. Carte obteue par la méthode du krigeage avec dérive extere et le trait e poitillé matérialisat le trasect. doées iitial, et la valeur à l edroit où elle se trouvait est estimée à partir des doées restates et du modèle testé. La doée est remise das le jeu de doées, et cette procédure est répétée pour toutes les doées de l ÉEN. Cette procédure fourit des valeurs estimées aux poits de mesure pour comparaiso avec les valeurs réelles observées. O peut doc cotrôler statistiquemet la qualité de l estimatio résultat du modèle par le biais d u uage de corrélatio etre les doées réelles et les valeurs estimées ou par l aalyse des erreurs commises. Ue fois le modèle de variogramme du résidu défii, o estime l ÉEN Z*( x0) à partir des mesures voisies de l ÉEN Zx ( i ), tout e y itégrat la forme de la dérive : [2] Z* ( x0) E( Z( x0)) = λ i{ Z( xi) E( Z( xi))} i= Z*( x0) ( a + bvx ( 0)) = λ i{ Zx ( i) [ a+ bvx ( i)]} i= Le fait de formuler l estimateur e soustrayat la dérive reviet à travailler das le cadre de la géostatistique itrisèque. Sous les deux cotraites suivates : [3] EZx {( 0) Z*( x0)} = 0 [4] Var{ Zx ( 0) Z* ( x0)} est miimale O développe u système liéaire d équatios à résoudre e terme λ i : [5] j = j = λ γ ( x x ) µ µ V( x) = γ ( x x ) λ j j R = j j 0 j = i j 2 i R i 0 λ V(x ) = V( x ) i =,,

5 Tapsoba et al. 293 Fig. 3. Carte obteue par la méthode du krigeage ordiaire moovariable de l équivalet e eau de la eige de la période de mi-mars 982. où µ et µ 2 sot les paramètres de Lagrage, et γ R est le variogramme du résidu R. Le premier membre du système cotiet la corrélatio spatiale etre les poits de mesure, et le deuxième membre cotiet la corrélatio spatiale etre les poits de mesure et le poit à estimer. Les deux derières équatios, proveat de la cotraite de o-biais, permettet de filtrer la dérive das la forme de l estimateur : [6] Z*( x0) = λ iz( xi) i= Les coefficiets icous de la dérive, a et b, e figuret i das la forme de l estimateur i das le système à résoudre. Aisi les podérateurs obteus, qui respectet la forme de la dérive sas jamais l estimer explicitemet, sot directemet affectés aux doées de l ÉEN pour obteir la valeur estimée de l ÉEN au œud de la grille. Les doées de l étude Le bassi de la rivière Gatieau se compose de ciq sousbassis (fig. ). Les doées utilisées pour illustrer les méthodes d estimatios présetées plus haut sot celles de mimars 982. Cette date a été reteue pour tester l approche utilisée, car elle correspod à l aée où le réseau était le plus dese. Elle correspod aussi e réalité à ue période comprise etre le et le 7 mars 982. L extesio cosidérable du bassi et la difficulté d accès à de ombreux sites fot qu ue campage de relevés s étale sur plusieurs jours. Les relevés obteus das cet itervalle de temps peuvet être agglomérés, si, bie sûr, aucue chute ou fote importate e sot rapportées à l itérieur du dit itervalle. Cette approche est très courate das l applicatio des méthodes d estimatios de l ÉEN (Carroll et al. 999; Cowles et al. 200). Elle se justifie aussi par le fait que pour ue date uique, l effectif des sites observés sur l esemble du réseau est très faible. Sur u tel réseau d observatios, il est difficile d ajuster u semivariogramme empirique admissible (Jourel et Huijbregts 978). Résultats cartographiques Vu le ombre très limité de statios à l itérieur du bassi (0), la techique du KDE et du krigeage ordiaire est appliquée aussi aux 8 autres statios situées das u voisiage suffisammet proche du bassi. La carte obteue à l aide du krigeage multivariable avec dérive extere est présetée sur la figure 2. Comme o peut le voir aisémet, cette méthode d iterpolatio doe ue représetatio plus réa-

6 294 Ca. J. Civ. Eg. Vol. 32, 2005 Fig. 4. Carte des écarts types de krigeage fourie par le krigeage avec dérive extere et les sites de mesures de l équivalet e eau de la eige (ÉEN) e poits de la période de mi-mars 982. La taille des poits est proportioelle à la valeur de l ÉEN au site. liste de la distributio spatiale de l ÉEN que celle issue du krigeage ordiaire moovariable globalemet mois cotrastée (fig. 3). Sur la carte obteue par la techique du KDE, les valeurs faibles de l ÉEN sot distribuées suivat le tracé du cours d eau à l extrême sud du bassi, tadis que pour la même zoe, o observe sur la carte obteue par l iterpolatio moovariable u cercle cocetrique autour du site de mesure. Das les zoes peu ou pas échatilloées, l orgaisatio spatiale des valeurs de l ÉEN reflète à des degrés divers celle de la topographie (fig. ). Sur les cartes des figures 4 et 5, les écart-types de krigeage représetet les dispersios possibles des valeurs réelles et icoues autour des valeurs obteues par iterpolatio multivariable (fig. 4) et moovariable (fig. 5). Les localisatios des 28 sites correspodat à la période d étude y sot idiquées par des poits oirs. La taille des poits est proportioelle aux valeurs de l ÉEN observées aux sites. Plus ces dispersios, c est-à-dire les variaces de krigeage, sot faibles, plus les valeurs iterpolées sot e moyee près de la réalité, et doc plus les cartes sot précises. Aisi les fortes valeurs de la variace de krigeage permettet de localiser les zoes sous-échatilloées sur les cartes iterpolées. Les valeurs miimales sot aisi à proximité des sites de mesures. La cofiace que ous pouvos avoir e l estimatio état alors grade e ces poits. La carte d écart types est doc comme o peut le costater u idicateur qualitatif de la qualité de l estimatio. De ce fait même, l aalyse de ces différetes cartes motre clairemet que la méthode du KDE, à la différece de celle du krigeage ordiaire (KO), coduit à ue meilleure estimatio de l ÉEN sur l esemble du bassi versat et otammet das les zoes sous- où o échatilloées. Ue comparaiso des résultats par le test de validatio croisée (Tableau ) pour l estimatio avec et sas dérive extere motre que la prise e compte des iformatios idirectes améliore sesiblemet la précisio des valeurs de l ÉEN. Les estimatios sot d autat plus précises que la variace de l erreur stadardisée (équatio [7]) est proche de (Cressie 993). [7] N N Z Z* σ 2 N est la taille de l échatillo, Z et Z* représetet respectivemet les valeurs de ÉEN observées et estimées, et σ est la variace du krigeage. La techique du KDE idique ue valeur de 0,89 cotre 0,74 pour celle du KO moovariable,

7 Tapsoba et al. 295 Fig. 5. Carte des écarts types de krigeage fourie par le krigeage ordiaire moovariable et les sites de mesures de l équivalet e eau de la eige (ÉEN) e poits de la période de mi-mars 982. La taille des poits est proportioelle à la valeur de l ÉEN au site. Tableau. Résultats du test de validatio croisée pour la techique du krigeage avec dérive extere et la méthode du krigeage ordiaire moovariable. Validatio croisée Krigeage ordiaire moovariable Krigeage avec dérive extere Erreur moyee 0, ,00038 RMEQ 0,0267 0,0206 RMEQ-SDT 0,7445 0,8987 Nota : RMEQ, racie de la moyee des erreurs quadratiques; SDT, stadardisée. ce qui idique ue meilleure performace de la techique du KDE. Évaluatio de la performace de la méthode das ue situatio o optimale La mesure de l équivalet e eau de la eige, sur la zoe d étude, à la différece des autres variables comme la température, les débits et les précipitatios, écessite le déplacemet de persoes sur le terrai. Aussi la superficie des bassis versats, le relief et bie d autres facteurs ecore redet ces sites difficiles d accès, surtout e période hiverale. La voie aériee est très souvet le moye utilisé pour s y redre. Ces campages de mesures comme o peut le devier aisémet écessitet doc des ivestissemets importats tat sur le pla fiacier que humai. Pour ces différetes raisos, u ombre variable de sites est visité chaque aée e foctio des ressources dispoibles. Si o part du pricipe que la mesure de l ÉEN est fiable et que les ressources sot limitées, peut-o miimiser le ombre des sites de mesures et espérer éamois obteir ue estimatio acceptable de l ÉEN sur l esemble du bassi versat? Pour répodre à cette questio, il a été utile de costruire u baromètre de quatificatio de l icertitude des estimatios e foctio d u ombre variable de statios observées. La démarche que ous avos adoptée est la suivate. O retire u ombre de sites parmi les N sites qui composet u réseau de référece. Pour u ombre fixé, o réalise u ombre p de tirages aléatoires de statios. Chaque tirage géère doc u réseau résiduel de l = N statios ayat ue cofiguratio (desité et statios variables) particulière. O applique l algorithme d iterpolatio qui a été validé sur le réseau complet à chacue des p grilles. Chaque grille comporte m œuds. L icertitude est évaluée e calculat la racie de la moyee des erreurs quadratiques (RMEQ) par la formule suivate :

8 296 Ca. J. Civ. Eg. Vol. 32, 2005 Fig. 6. Erreurs sur les estimatios de l équivalet e eau de la eige (ÉEN) e foctio du ombre de sites elevés pour quelques oeuds de grilles suivat u trasect ord-sud à la logitude moyee de m. La légede idique pour chaque profil l ordoée (e mètres) du œud correspodat sur le trasect. [8] REMQ = 2 ( X x i ) p p i= Das cette équatio, x i est la valeur de l ÉEN estimée à u œud doé sur ue grille i, etx est la valeur de l ÉEN au œud correspodat sur la grille de référece. O cosidère X comme la cible ou la «vraie» valeur de l ÉEN au sol. Bie que cette cosidératio e soit pas tout à fait exacte, elle e demeure pas mois réaliste, car X est quad même la meilleure valeur dot o dispose. De plus so estimatio est faite à partir du réseau complet de référece. Cette faço de quatifier la performace de la méthode d iterpolatio das ue situatio de dégradatio du réseau est pas etièremet réaliste. Das la pratique, la dégradatio d u réseau est pas aléatoire, e tout cas das le cas des réseaux ivométriques. La probabilité qu ue statio soit coservée ou retirée au cours d ue campage est plus ou mois grade selo sa localisatio et ou selo sa plus ou mois grade accessibilité. E gééral les statios situées à proximité des routes ou près d ue zoe d itérêt, comme u barrage, ot plus de chace d être relevées que celles situées e altitude ou qui e sot accessibles que par voie aériee. Das cette étude ous avos supposé cette dégradatio aléatoire avec probabilité égale pour chacue des statios de maière à pouvoir géérer u échatillo de réseaux dégradés de tailles suffisates pour autoriser des aalyses statistiques acceptables. Das tous les cas, ous e disposos pas d iformatios pertietes ous permettat de predre e compte la plus ou mois grade accessibilité liée à tel ou à tel autre site. Cosidérat le réseau de mi-mars 982 comme réseau de référece, avec N = 28, p = 200, ot été simulés des réseaux dégradés comportat 3, 6, 9, 2, 5, 8, 2 statios (l), soit respectivemet des valeurs de de 25, 22, 9, 6, 3, 0, 7. Le choix de la valeur de p est basé sur les résultats de plusieurs essais qui ot idiqué ue stabilisatio des RMEQ après 200 tirages. Le choix des ombres de sites à elever est pas o plus subjectif mais repose sur les caractéristiques du réseau au cours des 3 derières aées. Pour avoir ue idée rapide et sythétique des résultats, les profils des RMEQ e foctio du degré de dégradatio du réseau de référece pour quelques œuds de grilles sot costruits selo u trasect (fig. 6). Ce trasect matérialisé par u trait discotiu sur la figure 2, traverse le bassi du sud au ord e passat à la logitude moyee m. Chaque profil décrit les variatios de l icertitude sur l estimatio pour u œud de grille doé. Il y a doc œuds de grille représetés par le trasect. Pour u ombre de sites elevés iférieur à 4, soit 50 % de l effectif du réseau de référece, les variatios de RMEQ sot quasi-liéaires, mais, au delà, elles s accroisset, ce qui idique ue augmetatio de la variace des champs. Coclusio Les résultats de cette étude motret que la prise e compte de la topographie du bassi versat permet d améliorer l estimatio de l ÉEN. La topographie est cepedat pas la seule variable qui peut expliquer la variabilité spatiale de l ÉEN. L idetificatio et l itégratio das l algorithme d iterpolatio d autres variables explicatives fortemet corrélées avec l ÉEN pourraiet mieux préciser les estimatios. La carte de la variace et la méthode de quatificatio de la performace de la méthode d iterpolatio présetée das cette ote aidet à défiir la maille de recoaissace e vue d ue précisio fixée, et à mettre e balace les icertitudes sur l écoomie d u projet et le surcoût d u échatilloage complémetaire. Cet aspect est d ue très grade utilité pour les gestioaires.

9 Tapsoba et al. 297 Remerciemets Les auteurs tieet à remercier Charles Mathieu et Marie-Claude Bouchard d Hydro-Québec Productio pour leur cotributio à la réalisatio de ce travail. Bibliographie Borga, M., et Vizzaccaro, A O the iterpolatio of hydrologic variables: formal equivalece of multiquadratic surface fittig ad krigig. Joural of Hydrology, 95( 4) : Carroll, S.S., et Cressie, N A compariso of geostatistical methodologies used to estimate sow-water equivalet. Water Resources Bulleti, 32 : Carroll, S.S., et Cressie, N Spatial modelig of sow-water equivalet usig covariaces estimated from spatial ad geomorphic attributes. Joural of Hydrology, 90 : Carroll, S.S., Carroll T.R., et Posto, R.W Spatial modelig ad predictio of sow-water equivalet usig groud-based, airbore, ad satellite sow data. Joural of Geophysical Research, 04(D6) : Chilès, J.-P., et Delfier, P Geostatistics, modelig spatial ucertaity. Das Wiley series o probability ad statistics. Wiley, New York. 695 p. Cowles, M.K., Zimmerma, D.L., Christ, A., et McGiis, D.L Combiig sow water equivalet data from multiple sources to estimate spatio-temporal treds ad compare measuremet systems. Joural of Agricultural, Biological, ad Evirometal Statistics, 7(4) : Cressie, N Statistics for spatial data, revised editio. Wiley, N.Y. 900 p. Daly, C., Neilso, R.P., et Phillips, D.L A statisticaltopographic model for mappig climatological precipitatio over moutaious terrai. Joural of Applied Meteorology, 33(2) : Dirks, K.N., Hay, J.E., Stow, C.D., et Harris, D Highresolutio studies of raifall o Norfolk Islad Part II: iterpolatio of raifall data. Joural of Hydrology, 208(3 4) : Hevesi, J.A., Istok, J.D., et Flit, A.L. 992a. Precipitatio estimatio i moutaious terrai usig multivariate geostatistics:. Structural aalysis. Joural of Applied Meteorology, 3(7) : Hevesi, J.A., Flit, A.L., et Istok, J.D. 992b. Precipitatio estimatio i moutaious terrai usig multivariate geostatistics: 2. Isohyetal maps. Joural of Applied Meteorology, 3(7) : Hudso, G., et Wackeragel, H Mappig temperature usig krigig with exteral drift: theory ad a example from Scotlad. Iteratioal Joural of Climatology, 4 : Isaaks, E.M., et Srivastava, R.M A itroductio to applied geostatistics. Oxford Uiversity Press, New York. ISATIS ISATIS software maual. 4 e éd. Géovariaces et École atioale supérieure des mies de Paris, Fotaiebleau. Jourel, A.G., et Huijbregts, C.J Miig geostatistics. Academic Press, Lodres. 595 p. Loijes, H.S Sow distributio i a alpie watershed of Rocky Moutais, Caada. Das Distributio of precipitatio i moutaious areas. Vol. I. Proceedigs of the World Meteorological Orgaisatio Symposium, Geilo. World Meteorological Orgaisatio, WMO No. 326, Geève. p Mathero, G Priciples of geostatistics. Ecoomic Geology, 58 : Natioal Geophysical Data Ceter Geophysics of North America: User s guide. Natioal Oceaic ad Atmospheric Admiistratio, US Departmet of Commerce, Washigto, D.C. 85 p. Wackeragel, H Multivariate geostatistics. A itroductio with applicatios, 3 e éd. Spriger-Verlag, Berli. 387 p. Wackeragel, H., Bertio, L., Sierra, J.P., ad Gozalez del Rio, J Multivariate krigig for iterpolatig data from differet sources. Das Quatitative methods for curret evirometal issues. Sous la directio de C.W. Aderso, V. Barett, P. Chatwi et A.H. El Shaarawi. Spriger-Verlag, Lodres.