CONFIGURATIONS DU PLAN (quelques rappels)

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1 CONFIGURATIONS DU PLAN (quelques rappels).1polygones.1.1.parallélogramme Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux. S Un parallélogramme admet un centre de symétrie ; c'est le point d'intersection de ses diagonales. CONSÉQUENCES Dans un parallélogramme, les diagonales ont même milieu. Dans un parallélogramme, les côtés opposés ont la même longueur. Dans un parallélogramme, les angles opposés ont la même mesure. COMMENT RECONNAITRE UN PARALLÉLOGRAMME Si un quadrilatère à ses côtés opposés deux à deux parallèles, alors c est un parallélogramme. Si les diagonales d un quadrilatère ont même milieu, alors c est un parallélogramme. Si un quadrilatère non croisé a ses côtés opposés de même longueur, alors c est un parallélogramme. Si un quadrilatère non croisé a deux côtés opposés parallèles et de même longueur, alors c est un parallélogramme..1..parallélogrammes PARTICULIERS Le rectangle, le losange et le carré sont des parallélogrammes particuliers ; ils possèdent donc toutes les propriétés des parallélogrammes rectangle Un rectangle est un quadrilatère ayant quatre angles droits. SUPPLÉMENTAIRE DU RECTANGLE Les diagonales d'un rectangle ont la même longueur. COMMENT RECONNAITRE UN RECTANGLE Si un quadrilatère a trois angles droits, alors c est un rectangle. Si un parallélogramme a un angle droit, alors c est un rectangle. Si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur, alors c est un rectangle..1...losange Un quadrilatère ayant quatre côtés de même longueur est un losange. SUPPLÉMENTAIRE DU LOSANGE Dans un losange, les diagonales sont perpendiculaires. COMMENT RECONNAITRE UN LOSANGE Si un parallélogramme a deux côtés consécutifs de même longueur, alors c est un losange. 1

2 Si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires, alors c est un losange carré Un carré est un quadrilatère ayant quatre côtés de la même longueur et quatre angles droits. Remarque : Un carré est donc un losange et un rectangle. Un carré possède donc toutes les propriétés du losange et toutes celles du rectangle. Pour montrer qu'un quadrilatère est un carré, on montre que c'est un losange et un rectangle..1.3.polygones RÉGULIERS Un polygone régulier est un polygone dont tous les côtés ont la même longueur et dont tous les angles ont la même mesure. Il existe un cercle passant par tous les sommets d un polygone régulier ; on l appelle le cercle circonscrit au polygone régulier. Le centre de ce cercle est appelé le centre du polygone régulier..les DROITES REMARQUABLES DU TRIANGLE..1.MÉDIATRICES La médiatrice d un segment est la droite perpendiculaire à ce segment et passant par son milieu. Les médiatrices d un triangle sont les médiatrices des côtés du triangle. La médiatrice d'un segment est l'ensemble des points équidistants des extrémités de ce segment. POINT DE CONCOURS Dans un triangle, les trois médiatrices sont concourantes en un point O qui est le centre du cercle circonscrit à ce triangle. Trois angles aigus Un angle droit Un angle obtus F09 F10 F11 Intersection intérieure au triangle Intersection sur le triangle Intersection extérieure au triangle...cas PARTICULIER DU TRIANGLE RECTANGLE THÉORÈME DU TRIANGLE INSCRIT DANS UN DEMI CERCLE (dû à Thalès) L hypoténuse d un triangle rectangle est le diamètre de son cercle circonscrit. Démonstration

3 ABC triangle rectangle en A. On construit le symétrique A de A relativement au milieu de l hypoténuse. Le quadrilatère ABA C est alors un parallélogramme avec un angle droit, c est donc un rectangle. Comme les diagonales d un rectangle sont de la même longueur on a démontré le théorème. CONSÉQUENCE : caractérisation du triangle rectangle (voir.5 ci-dessous)..3.hauteurs La hauteur relative à un côté d un triangle est la droite perpendiculaire à ce côté (à son prolongement) et passant par le sommet opposé à ce côté. POINT DE CONCOURS Dans un triangle, les trois hauteurs sont concourantes en un point H qui est appelé l'orthocentre de ce triangle. Trois angles aigus Un angle droit Un angle obtus F17 F18 F19 Intersection intérieure au triangle Intersection sur le triangle (H=A) Intersection extérieure au triangle..4.bissectrices La bissectrice d un angle est la droite qui partage cet angle en deux angles de même mesure. C est son axe de symétrie. Les bissectrices d un triangle sont les bissectrices des trois angles (intérieurs) du triangle. POINT DE CONCOURS Dans un triangle, les trois bissectrices sont concourantes en un point I qui est le centre du cercle inscrit dans ce triangle. Les trois côtés sont tangents au cercle inscrit. Si un point est sur la bissectrice d un angle alors il est équidistant des côtés de cet angle. Si un point est équidistant des côtés d un angle alors il est sur la bissectrice de cet angle. 3

4 ..5.MÉDIANES La médiane relative à un côté d un triangle est la droite passant par le milieu de ce côté et par le sommet opposé à ce côté. POINT DE CONCOURS Dans un triangle, les trois médianes sont concourantes au centre de gravité de ce triangle. Le centre de gravité d un triangle se trouve aux deux tiers de chaque médiane en partant du sommet. Remarque : Dans un triangle ABC, isocèle en A, la hauteur issue de A (c'est-à-dire, relative au côté [BC]) est aussi médiane, médiatrice de [BC] et bissectrice de A. Cette droite est l'axe de symétrie du triangle isocèle. Dans un triangle équilatéral, chacun des axes de symétrie est aussi hauteur, médiane, bissectrice et médiatrice de ce triangle. Le centre du cercle inscrit, le centre du cercle circonscrit, le centre de gravité et l'orthocentre sont donc confondus..3triangle rectangle.3.1.médiane Propriété 1.Si un triangle a pour sommets les extrémités d un diamètre et un point d un cercle alors il est rectangle en ce point..si un triangle est rectangle, alors la longueur de la médiane relative à l hypoténuse est égale à la moitié de la longueur de l hypoténuse. 3.Dans un triangle, si la longueur de la médiane relative à un côté est égale à la moitié de la longueur de ce côté, alors le triangle est rectangle et a pour hypoténuse ce côté..3..théorème DE PYTHAGORE LE THÉORÈME Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs deux autres côtés. LA CONTRAPOSÉE Si le carré de la longueur du plus grand côté d un triangle n est pas égal à la somme des carré des longueurs des deux autres côtés alors ce triangle n est pas rectangle. 4

5 LA RÉCIPROQUE Si le carré de la longueur du plus long côté d un triangle est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors le triangle est rectangle et le plus long côté est son hypoténuse..3.3.relations métriques Propriété Si ABC est rectangle en A et H est le pied de la hauteur issue de A, alors 1. AH = BH HC. (la médiane est moyenne géométrique des segments formés sur l hypoténuse.). BC = AC + AB (théorème de Pythagore) 3. AB = BH BC (symétriquement AC = CH BC ) Remarque Le point 1. est un cas particulier de la propriété : «La distance MP, d un point quelconque d une circonférence à une corde donnée [AB] est moyenne géométrique entre les distances ME et MF du même point M aux tangentes (AC) et (BC) menées par les extrémités de la corde donnée».4théorème DE THALÈS (théorème des lignes proportionnelles) LE THÉORÈME Soit ABC un triangle. Soit M un point de (AB), distinct de A. Soit N un point de (AC), distinct de A. Si les droites (BC) et (MN) sont parallèles, alors AM AN MN = = AB AC BC LA RÉCIPROQUE Soit ABC un triangle. Soit M un point de (AB), distinct de A. Soit N un point de (AC), distinct de A. Si AM = AN AB AC et si les points A, B, M sont alignés dans le même ordre que les points A, C, N alors ( BC ) // ( MN ) CAS PARTICULIERS LES DROITES DES MILIEUX 1. Les droites qui passent par les milieux de deux côtés d un triangle sont parallèles au troisième. (Réciproque du th. de Thalès) 5

6 . Les segments qui ont pour extrémités les milieux de deux côtés d un triangle, mesurent la moitié du troisième. (1. et th. de Thalès) 3. Les droites qui passent par le milieu d un des côtés d un triangle et qui sont parallèles à un deuxième côté passent par le milieu du troisième. (Th. de Thalès)..5ANGLES.5.1.SOMME DES ANGLES D'UN TRIANGLE Dans un triangle, la somme des mesures des angles (intérieurs) est 180 degrés..5..angles ET DROITES Définition Deux droites (d 1 ) et (d ) coupées par une même sécante (d) forment huit angles F05 Deux de ces angles, l un formé avec (d1), l autre avec (d) seront dits : Alternes-internes Alternes-externes Correspondants S ils sont - de part et d autre de la sécante - à l intérieur des deux droites (d 1 ) et (d ). Exemples S ils sont - de part et d autre de la sécante - à l extérieur des deux droites (d 1 ) et (d ). Si - ils sont du même côté de la sécante - L un est entre les deux droites l autre non. Dans la figure F05 4 et 6 ; 3 et 5 1 et 7 ; et 8 1 et 5 ; 4 et 8 et 6 ; 3 et 7 Sont alternes-interne Sont alternes-externes Sont correspondants (angles de même mesure) Si deux droites parallèles sont coupées par une même sécante alors les angles alternes internes ont la même mesure. alors les angles alternes externes ont la même mesure. alors les angles correspondants ont la même mesure. Pour démontrer que deux angles ont la même mesure. (réciproque) Si deux droites sont coupées par une même sécante et forment avec elles 6

7 des angles alternes internes de même mesure des angles alternes externes de même mesure des angles correspondants de même mesure F1 Alors elles sont parallèles F13 F ANGLES INSCRITS - ANGLES AU CENTRE Pour un cercle, on appelle angle au centre tout angle ayant pour sommet son centre. Soit A et B deux points distincts du cercle C de centre O. AOB est un angle au centre du cercle C. Il intercepte l arc de cercle» AB. F03 Soit A, B et C trois points du cercle de centre O. BAC est un angle inscrit dans le cercle, il intercepte l arc de cercle»bc. f04 La mesure d un angle inscrit est égale à la moitié de celle de l angle au centre qui intercepte le même arc. 1 BAC = BOC F05 Deux angles inscrits qui interceptent le même arc ont la même mesure. BAC = BDC f06 7

8 Soient B et C deux points d un cercle, M et N deux points du même cercle se trouvant de part et d autre de la corde [BC]. Les angles BMC et BNC sont supplémentaires. BMC + BNC = 180º CAS PARTICULIER Lorsque la corde [BC] est un diamètre du cercle, on retrouve le théorème du triangle inscrit dans un demi cercle : F07 Si un triangle a pour sommets les extrémités d un diamètre et un point d un cercle alors ce triangle est rectangle en ce point. Ceci est la réciproque de la propriété du cercle circonscrit à un triangle rectangle (voir médiatrice).6trigonométrie cos µ AB B = ; µ AC sin B = ; µ AC sin Bµ tan B = = BC BC AB cos Bµ Si les angles B µ et C µ sont complémentaires alors cos Bµ = sin Cµ. Pour tout angle (aigu) B µ, µ cos B + sin Bµ et µ 1 1+ tan B = cos Bµ Dans le triangle ABC rectangle en A, B µ et C µ sont complémentaires, donc : coscµ = sin Bµ 8