Puissances d un nombre relatif

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1 Clsse de ème Chitre 5 I Puissces de Puissces d u ombre reltif I Puissce de d exost etier ositif O sit que Défiitio : ² = = 0 deux zéros 2 fcteurs = = 00 trois zéros fcteurs = = 000 qutre zéros fcteurs Plus géérlemet, si est u etier ositif, lors désige le roduit de fcteurs tous égux à Ce qui doe : (D) = = 00 fcteurs zéros Lire «élevé à l uissce» ou «à l uissce» ou ecore «exost» O dit que est l exost de l uissce de Remrque : Pour sser d ue uissce de à ue uissce d exost suérieur, o multilie r Ds l utre ses, o divise E rticulier : ² 0 0 = = = et = = = Ce qui doe : = et 0 = I2 Puissce de d exost etier égtif O sit que 0,= = = zéro 0,0 = = = 0 ² 2 zéros 0,00 = = = 00 zéros 0,000 = = = zéros 2 Abdelltif ABOUHAZIM Collège Modétour Les Ulis

2 Chitre Clsse de ème 2 Défiitio 2 : Plus géérlemet, si est u etier ositif, lors ( ) est u ombre etier égtif - désige l iverse de Ce qui doe : (D2) = = 0,00 le est situé à l ème ositio rès l virgule zéros Exemles : 0,0000 où le est e 5ème ositio 5 = = = zéros 8 U cet millioième = = = I Proriétés Soiet et deux etiers reltifs quelcoques Alors o (P) : (P2) : (P) : = + = ( ) = Démostrtios (P) : (P2) : (P) : = = = fcteurs fcteurs + fcteurs + ( ) + fcteurs fcteurs fcteurs = = = fcteurs termes = = = fcteurs I Ecriture d u ombre déciml à l ide d ue uissce de Proriété Soit u ombre etier ositif quelcoque Multilier u ombre déciml r, reviet à décler l virgule de rgs vers l droite (e comlétt r des zéros si écessire) Multilier u ombre déciml r -, reviet à décler l virgule de rgs vers l guche (e comlétt r des zéros si écessire) Diviser r reviet à multilier r - et diviser r - reviet à multilier r Abdelltif ABOUHAZIM Collège Modétour Les Ulis

3 Chitre Clsse de ème Exemles 8,5 x = 850 et 8,5 : = 0,085 Proriété 5 Tout ombre déciml N o ul eut s écrire d ue ifiité de mières sous l forme d u roduit d u (utre) ombre déciml r ue uissce de comme suit : N = x où est u ombre déciml et u etier reltif Exemle : N = 5000 N = 5 00 = 5 N = 50 0 = 50 N =,5 000 =,5 N = 0, = 0,5 N = 2 5 I5 Nottio scietifique Proriété 6 Tout ombre déciml N o ul eut s écrire d ue mière uique sous l forme d u roduit d u ombre déciml dot l distce à zéro est comrise etre et et ue uissce de comme suit : N = x où est u ombre déciml yt qu u seul chiffre différet de zéro vt l virgule et u etier reltif Exemles : Nombre , Ecriture scietifique,5, 22 Recherche rtique d ue écriture scietifique : N = 52 O cherche d bord l s du er ombre 52 =,52 x 2 2 N =,52 uis o regroue les uissces de N =,5 2+ N =,52 s de N Abdelltif ABOUHAZIM Collège Modétour Les Ulis

4 Chitre Clsse de ème I6 Oértios et uissces de Proriété 6 ) Produit de uissces : ( ) ( b ) = b + 2 ) Quotiet de uissces : = = b b b ) Somme et différece de uissces : + b = + b P = 5 2 ( ) (5 ) 5 2 P = ( 5) ( ) P = 5 P = 5 P =, 5 P =, clé du roblème = ( + b) (où > ) L méthode cosiste à mettre e fcteur l uissces de yt le lus etit exost Exemles : Q = 50 Q = 50 Q = 2, Q = 2, S = S = + 2 S = S = (0 + 2) S = S =, S = O décomose 5 O regroue 6, s de S Pour dditioer des ombres écrits à l ide de uissces de, o met e fcteur l uissce de yt le lus etit exost Exemle tye Brevet : Clculer A et doer le résultt e ottio scietifique vec A = 5 2 A = 2 5 ( ) 5 A = 5 ( ) o sére les fcteurs r tye A = 2 o clcule et o simlifie chque fcteur 5 ( ) 5 A = A = 56 = 56 = 56 6 A = 5,6 A = 5 5, 6 s 8 ( 6) ( ) 5 Abdelltif ABOUHAZIM Collège Modétour Les Ulis

5 Chitre Clsse de ème 5 II Puissces d u ombre reltif : II Puissces d exost etier ositif : Défiitio : Si est u ombre etier suérieur ou égl à 2 et u ombre reltif, lors désige le roduit de fcteurs tous égux à Ce qui doe : = De lus : fcteurs = et si 0 0 0, lors = 0 est s défii se lit «élevé à l uissce» ou «à l uissce» ou ecore «exost» O dit que est l exost de l uissce de Exemles : = = = = 6 ( )² = ( ) ( ) = ( ) = ( ) ( ) = 2 ( ) II2 Puissces d exost etier égtif : Défiitio : Soit u etier ositif, do ( ) est égtif Soit u ombre reltif o ul Le ombre est égl à l iverse de 0 Alors Autremet dit, our tout ombre reltif 0 : Exemles : 2 = = 2 8 ( ) ( )² 2 = = ( 2) ( 2) 2 5 = = = 5 2 = II Proriétés Soiet et b deux ombres reltifs o uls ( 0 et b 0 ) et et deux etiers reltifs quelcoques Alors o (P) : = + (P2) : = ( 0) (P) : ( ) = (P) : ( b) = b (P5) : = ( b 0) b b Abdelltif ABOUHAZIM Collège Modétour Les Ulis

6 Chitre Clsse de ème 6 Démostrtios our et > 0 : (P) : (P2) : (P) : (P) : (P5) : b = = = fcteurs fcteurs + fcteurs + fcteurs fcteurs fcteurs = = = fcteurs termes + + ( ) = = + = fcteurs + ( b) = ( b) ( b) ( b) = ( ) ( b b b) = b b fcteurs ( b) fcteurs = = = b b b b b b b fcteurs fcteurs fcteurs fcteurs II Puissces et oértios Ordre de riorité des oértios Ds ue suite de clculs ss rethèses, les uissces sot rioritires r rort à toutes les oértios Ds ue suite de clculs, o effectue les oértios ds l ordre suivt : ) Oértios etre rethèses ; 2 ) Les uissces ) Les multilictios et les divisios ; ) Les dditios et les soustrctios Exemles : ) Clculer : A = B = (5 2) 2 C = 5 (2 2) D = 5 (2 2 ) = 5 8 = 2 2 = 5 (8 2) = = 5 (8 ) = 5 = 0 28 = = 5 6 = 80 = 5 6 = 80 A = 2 B = 2 C = 260 D = ) Ecrire sous l forme d ue seule uissce : (5 ) E = = = = = = 5 = (2 ) ( 2) 8 F = = = = = = = Abdelltif ABOUHAZIM Collège Modétour Les Ulis