Notes de cours : Chapitre II : Limites. 1 Limite d une fonction en + ou. 1.1 Limite infinie en l infini

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1 1 UNIVERSITÉ DE CERGY Année U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie Finance et Gestion L1-S1 : MATH101 : Pratique des Fonctions numériques Notes de cours : Chapitre II : Limites Notations : Dans tout ce chapitre, si x 0 est un nombre réel, on notera I x0 un voisinage de x 0 (c-a-d. un intervalle ouvert contenant x 0 ), et Ix 0 = I x0 {x 0 }. Si x 0 = +, alors I x0 désigne un intervalle ouvert du type ]γ; + [ et si x 0 =, I x0 est du type ] ; γ[. 1 Limite d une fonction en + ou 1.1 Limite infinie en l infini Définition 1. On dit que f(x) tend vers + lorsque x tend vers + (ou que f a pour ite + en + ) si : 1. l on peut rendre f(x) aussi grand que l on veut pourvu que x soit suffisamment grand. 2. tout intervalle du type [A; + [ contient toutes les valeurs de f(x) pour x suffisamment grand. 3. A R +, a R, x I (x > a f(x) A) On note : f(x) = +. Figure 1 courbe d une fonction de ite + en +

2 1.2 Limite finie en l infini 2 Exemples 1. de référence : Chacune des fonctions suivantes a pour ite + quand x tend vers + : x x ; x mx + p si m > 0 ; x x n, n N ; x ln x, x e x ; x a x si a > 1 ; x x α si α > 0. Exemples 2. Donner par analogie la définition : d une fonction qui a pour ite en + d une fonction qui a pour ite en d une fonction qui a pour ite + en Illustrer chacun des cas. 1.2 Limite finie en l infini Définition 2. On dit que f(x) tend vers l lorsque x tend vers + (ou que f a pour ite l en + ) si : 1. l on peut rendre f(x) aussi proche de l que l on veut, pourvu que x soit suffisamment grand. 2. quand tout intervalle ouvert contenant l contient toutes les valeurs de f(x) pour x suffisamment grand. 3. ε > 0, A R, x I (x > A l ε f(x) l + ε) On note : f(x) = l Figure 2 courbe d une fonction de ite l en + Exemples 3. de référence : Chacune des fonctions suivantes a pour ite 0 quand x tend vers + : x 1 x ; x 1 x ; x 1 x n, n N ; x x α si α < 0 ; x a x si 0 < a < 1.

3 3 2 Limite d une fonction en un réel x 0 Soit x 0 un réel et f une fonction définie sur un intervalle contenant x 0 ou sur un intervalle de borne x 0 du type ou ]x 0 ; γ[ ou ]γ; x 0 [. 2.1 Limite infinie en x 0 Définition 3. On dit que f(x) tend vers + lorsque x tend vers x 0 (ou que f a pour ite + en x 0 ) 1. si l on peut rendre f(x) aussi grand que l on veut pourvu que x soit suffisamment proche de x quand tout intervalle du type [A; + [ contient toutes les valeurs de f(x) pour x suffisamment proche de x si A R +, α R +, x I ( x x 0 < α f(x) > A) On note : x x0 f(x) = +. Exemple 4. Figure 3 courbe d une fonction de ite + en x = x 0 1 Montrons, en utilisant la définition, que x = +. (ici x 2 0 = 0) Réponse : Soit A > 0, posons α = 1 A Soit x R tel que 0 < x < 1 A, alors 1 x > A > 0 donc est strictement croissante sur R + 1 ) c-a-d. x > A, car 2 x 2 = x 2. 1 Cette démarche étant valable pour tout A > 0, on a donc x = x 2 > A (la fonction «x x2»

4 2.2 Limite finie en x Limite finie en x 0 Définition 4. Soit l un réel : on dit que f(x) tend vers l lorsque x tend vers x 0 (ou que f a pour ite l en x 0 ) 1. si l on peut rendre f(x) aussi proche de l que l on veut pourvu que x soit suffisamment proche de x quand tout intervalle ouvert contenant l contient toutes les valeurs de f(x) pour x suffisamment proche de x si ε R +, α R +, x I ( x x 0 < α f(x) l ε) Remarque : Une fonction peut posséder une ite en x 0, même si elle n est pas définie en x 0. Cependant, si f admet une ite en x 0 ET si f est définie en x 0, alors, on a nécessairement (avec cette définition...) x x0 f(x) = f(x 0 ) (voir chapitre «continuité»). Théorème 1. Si f admet une ite en x 0 (réel ou infini), alors cette ite est unique. Admis Théorème 2. Soir f une fonction qui est la somme, le produit, le quotient ou la composée (voir plus loin) des fonctions de référence suivantes : des fonctions polynômes. de la fonction «valeur absolue». de la fonction «racine carrée». de la fonction «logarithme népérien». des fonctions exponentielles de base a > 0. des fonctions puissances. Si f est définie en x 0 D f, alors f admet une ite en x 0 et cette ite est f(x 0 ) : Exemples x 3 x 2 2x 1 2x2 4x 2 f(x) = f(x 0 ) x x 0 = 1 2. ln x + 5 = 0 x 4 x Limite à droite / à gauche Exemple 6. la fonction «partie entière» Définition 5. Soit x un réel, il existe un unique entier (relatif) n tel que n x < n + 1. Cet entier est appelé «partie entière» de x. On le note E(x). La fonction «partie entière», notée E, définie sur R, associe à chaque réel sa partie entière. Exemples 7. E(π) = 3 et E( 4, 35) = 5.

5 2.3 Limite à droite / à gauche 5 Illustration : Figure 4 Courbe de la fonction «partie entière» Etude de la ite en x 0 = 0 Peut-on avoir l = 0? Non car si 1 < x < 0, E(x) = 1 donc E(x) ne peut être aussi proche que l on veut de 0. Peut-on avoir l = 1? non car si 0 < x < 1, E(x) = 0 donc E(x) ne peut être aussi proche que l on veut de 1. Enfin aucune autre valeur réelle ne peut être la ite de la fonction E en 0. Par contre, si l on distingue la ite à droite de 0 (c-a-d. lorsque x > 0) de la ite à gauche de 0, on peut dire que la fonction «partie entière» a pour ite 0 (respectivement 1). Définition 6. ATTENTION! ici, l étude des ites se fait sur des intervalles ouverts : Soit f une fonction définie à gauche de x 0 (c-a-d. il existe un intervalle ]x 0 γ; x 0 [ D f avec γ > 0) (respectivement à droite de x 0 (c-a-d. il existe un intervalle ]x 0 ; x 0 + γ[ D f ). On dit que f a pour ite l à gauche de x 0 (respectivement à droite de x 0 ) : 1. quand tout intervalle ouvert contenant l contient toutes les valeurs de f(x) pour x suffisamment proche de x 0 et x < x 0 (respectivement et x > x 0 ) 2. la restriction de f à ]x 0 γ; x 0 [ (resp. ]x 0 ; x 0 + γ[) admet l pour ite 3. si ε R +, α R +, (x 0 α < x < x 0 f(x) l ε) respectivement si ε R +, α R +, (x 0 < x < x 0 + α f(x) l ε) On note : x x 0 f(x) = l ou x x0 x<x 0 f(x) = l (respectivement x x + 0 f(x) = l ou x x0 x>x 0 f(x) = l). Théorème 3. Soit f une fonction définie sur un voisinage épointé de x 0, noté Ix 0 pas définie en x 0 ). On a l équivalence (c-a-d. f n est f(x) = l x x 0 x x0 f(x) = l = x x0 f(x) x<x 0 x>x 0

6 6 Exemple = + car x2 x<0 x 2 = x>0 1 = + (à prouver par composition par exemple). x2 Conséquence : Si une fonction possède en x 0 une ite à droite et une ite à gauche différentes, alors f n a pas de ite en x 0. Remarque : Si f est définie sur un voisinage I x0 de x 0. On a l équivalence : où l est un nombre réel. f(x) = l x x 0 x x0 f(x) = x x0 f(x) = f(x 0 ) = l x<x 0 x>x 0 Exemple 9. Montrons que la fonction f suivante admet une ite en x 0 = 2 f(x) = x 2 1 si x ] ; 2[ f(2) = 3 f(x) = 4x + 1 si x ]2; + [ On a d une part f(x) = x 2 1 = 3 et d autre part x 2 x<2 x 2 x<2 x 2 x>2 Donc f(x) = f(x) = f(2) : f admet une ite réelle en x 0 = 2 x 2 x<2 x 2 x>2 3 Opérations sur les ites On rappelle ici les principales opérations sur les ites vues au lycée Limite de la somme de deux fonctions x0 f + g x0 f x0 g + l + + F.I. + F.I. l + l + l Limite du produit de deux fonctions x0 f g x0 f x0 g 0 l > 0 l < F.I. F.I. l > 0 0 ll ll + l < 0 0 ll ll + + F.I. + + F.I. + + f(x) = 4x + 1 = 9 = 3 x 2 x>2

7 7 x0 g Limite du quotient de deux fonctions x0 f g x0 f 0 l > 0 l < F.I. ± ± ± ± l l l > l l l l l < l l F.I. F.I F.I. F.I. Le symbole «F.I.» signifie «forme indéterminée», c est-à-dire que l on ne peut pas connaître a priori la ite. Le symbole ± signifie que l on doit connaître le signe de g(x) au voisinage de zéro pour pouvoir conclure. Exemple x 3 + x + 1 x 2 2x 3 Théorème 4. haut degré. = + et x 3 x + 1 x 2 2x 3 = (à rédiger) 1. La ite en l infini d une fonction polynôme est celle de son monôme de plus 2. La ite en l infini d une fonction rationnelle (c-a-d. quotient de deux polynômes) est celle du quotient des monômes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur. Exemples x 2x4 + 3x 2 5x + 7 = x 2x4 = 2x 3 2x 2 + x 1 4x 4 + x 3 x 2 + x + 1 = 2x 3 4x = x = 0. Théorème 5. Composition de ites Dans cet énoncé, x 0, l et L désignent des réels ou ±. Soient f et g deux fonctions telles que f(x) = l et g(x) = L. Alors la fonction composée h = g f admet une ite en x 0 et x x 0 x l h(x) = L x x 0 Schéma : f g x f(x) = y g(y) = (g f)(x) x 0 l L

8 Figure 5 Illustration du théorème des gendarmes (ici x0 = + ) 8 Exemples 12. Détermination de quelques ites : 1. x2 + x + 1 =? x x x2 +x+1 = x x2 = + et x = +, donc par composition, x2 + x + 1 = x + 2. e 1 x 2 =? 1 x 3. ln ln = + et 2 ex = +, donc par composition, ( x 2 ) + x 7 =? x 2 2x + 3 x 2 + x 7 x 2 2x + 3 = x 2 = 1, donc par composition x2 ( x 2 ) + x 7 = ln 1 = 0 x 2 2x + 3 e 1 x 2 = + Théorème 6. Limite par encadrement Dans cet énoncé x 0 et l désignent un réel ou + ou. Soient f, g et h trois fonctions définies sur un voisinage I x0 I x0, f(x) g(x) h(x). Si x x0 f(x) = x x0 h(x) = l Alors x x0 g(x) = l. de x 0 et vérifiant en outre : x

9 9 Remarques : 1. Dans le cas où f, g et h ne sont définies qu à gauche (respectivement à droite) de x 0, l énoncé s entend en prenant les ites à gauche (respectivement à droite) des fonctions f, g et h. 2. Ce théorème porte le nom de «théorème des gendarmes». Exemple 13. [ [ 2 Soit f la fonction définie sur 3 ; + par f(x) = 1. Pour tout x 2 3, on a 9x2 4 x D une part : 9x et x > 0, donc f(x) 0 D autre part : 9x2 4 = 3x et x x 3. Donc f(x) 3x x 3, c-a-d. f(x) 3 x 2 Conclusion : x 2 3, 0 f(x) 3 x On connaît x car 0 1 9x2 9x = 0, donc d après le théorème des gendarmes, x 2 f(x) = 0. Théorème 7. Théorèmes de comparaison x 0 désigne un réel ou + ou. Soient f et g deux fonctions définies sur un voisinage I x0 de x 0 et vérifiant en outre : x I x0, f(x) g(x). Si f(x) = + Alors g(x) = +. x x0 x x0 Si g(x) = Alors f(x) =. x x0 x x0 Exemple 14. Soit f une fonction définie sur R, telle que pour tout x 0 ; f(x) x 3. On connaît la ite x x3 =, donc f(x) = x La démonstration du théorème suivant sera faite dans le chapitre «Dérivation», nous donnons cependant les résultats très utiles suivants : Théorème 8. x 1 ln x x 1 = x 1 x = 1 2 e x 1 x = 1 α 0, (1 + x) α 1 x = α

10 10 4 Croissances comparées Les résultats suivants sont admis : Théorème 9. ln x x = 0+ x ln x = 0 x>0 e x x = + x xex = 0 Ces résultats se généralisent pour tout α > 0 et tout β > 0 : (ln x) α = 0 + x β ln x α = 0 x β x>0 e x x = + β x x β e x = 0 Exemple 15. Comparaison des fonctions f : f(x) = 3 x et g : g(x) = x 3 au voisinage de + ( e (3x x 3 ) = ex ln 3 x 3 x ln 3 ) ( e x ln 3 ) = x3 1 = x 3 x3 (x ln 3) (ln 3 3)3 1. x ln 3 = + et X + e X = +. Donc par composition, X 3 Enfin on peut conclure par somme et produit que (3x x 3 ) = + e x ln 3 (x ln 3) 3 = +. 5 Conséquences graphiques : Asymptote à une courbe Définition 7. Soit f une fonction définie sur un voisinage de +. C f y = l pour asymptote horizontale si f(x) = l. admet la droite d équation 4 2 C f y = l Figure 6 Asymptote horizontale

11 11 Exemples f : x 1 x. La droite d équation y = 0 est A.H. à C f aux voisinages de + et de. 2. f : x x2 x La droite d équation y = 1 est A.H. à C f aux voisinages de + et de. Définition 8. Soit f une fonction définie sur un voisinage de a. C f admet la droite d équation x = a pour asymptote verticale si x a f(x) = ±. 2 C f O x = a Figure 7 Asymptote verticale Exemples f : x x x 2 : la droite d équation x = 2 est A.V. à C f 2. f : x x x 2 : les droites d équations x = 4 et x = 4 sont A.V. à C f Définition 9. Soit f une fonction définie sur un voisinage de +. C f y = ax + b pour asymptote oblique si (f(x) (ax + b)) = 0. admet la droite d équation

12 12 y = ax + b 4 2 C f Exemples 18. Figure 8 Asymptote oblique 1. f : x x2 + 1 x + 1. La droite d équation y = x 1 est A.O. à C f aux voisinages de + et de. 2. f : x x2 1. La droite d équation y = x est A.O. à C f aux voisinages de + et de. x Exemple 19. La population d une ville moyenne a été modélisée par la formule suivante : f(x) = 50+5(1 e 0,2x ) où x représente le rang de l année à partir de x = 0 pour l année 1990, et f(x) représente la population de cette ville en milliers d habitants. (Ainsi, en 1990, cette ville comportait habitants). 1. Étudier les variations de f sur l intervalle [0; + [ Pour tout x 0, f (x) = 5 ( 0, 2)e 0,2x = e 0,2x > 0 : f est donc strictement croissante sur R + 2. Justifier que la courbe représentative C de f possède une asymptote en +. Donner une interprétation de votre résultat : La droite D d équation y = 55 est asymptote horizontale à C : en effet, pour tout x 0, f(x) 55 = 5e 0,2x et e 0,2x = 0 Cela signifie que la population de cette ville s accroît et tend vers habitants.

13 13 MATH101 : Pratique des Fonctions numériques Notes de cours : Chapitre III : continuité Notations : On reprend dans ce chapitre les notations du chapitre précédent : si x 0 est un nombre réel, on notera I x0 un voisinage de x 0 (c-a-d. un intervalle ouvert contenant x 0 ), et Ix 0 = I x0 {x 0 }. Si x 0 = +, alors I x0 désigne un intervalle ouvert du type ]γ; + [ et si x 0 =, I x0 =] ; γ[. 6 Définitions Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I et x 0 un réel appartenant à I. Théorème 10. Si x 0 est un réel de I et si f admet une ite en x 0, alors cette ite est nécessairement f(x 0 ). Définition 10. Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I et x 0 un réel appartenant à I. f est dite continue en x 0 si elle admet une ite réelle en x 0. Ce qui signifie que si x est proche de x 0 alors f(x) reste proche de f(x 0 ). Figure 9 Fonction continue / discontinue en x 0 Cas de discontinuité : 1. La fonction «partie entière (» est discontinue en 0. En effet, elle n a pas de ite en La fonction f : x sin si x 0 et f(0) = 0 : f n a pas de ite en 0 x) 3. La fonction δ définie sur R par δ(x) = 0 si x 0 et δ(0) = 1. Définition 11. Si I est un intervalle ouvert, on dit que f est continue sur I si elle est continue en tout réel de I.

14 14 ( 1 Figure 10 Courbe de f : x sin x) On peut introduire les notions de continuité à gauche et à droite d un réel : Définition 12. Soient x 0 R et f une fonction définie sur un intervalle I x0. f est dite continue à droite (respectivement continue à gauche) en x 0 si x x0 f(x) = f(x 0 ) (respect. x x0 f(x) = f(x 0 )). x>x 0 x<x 0 Théorème 11. f est continue en x 0 si et seulement si f est continue à droite et à gauche en x 0. Définition 13. Si f est définie sur I = [a, b], dire que f est continue sur I signifie qu elle est continue en tout réel de ]a, b[ et que f est continue à droite en a et à gauche en b. Exemples 20. Les fonctions suivantes sont-elles continues en x 0? 1. f est définie sur R par f(x) = x 1 si x < 0 et f(x) = x 2 si x 0. (x 0 = 0) On a d une part f(x) = x 1 = 1 et d autre part f(x) = x 2 = 0 = f(0) x<0 x<0 Ainsi f(x) f(x) : f n est pas continue en 0 x<0 x>0 2. g est définie sur R par g(x) = x 2 + x + 3 si x 1 et g(x) = 5e x 1 si x > 1. (x 0 = 1). On a d une part g(x) = x 2 + x + 3 = 5 = g(1) et d autre part g(x) = 5e x 1 = 5 x 1 x<1 x 1 x<1 Ainsi g(x) = g(1) = g(x) : g est continue en x 0 = 1 x 1 x<1 x 1 x>1 x>0 Théorème 12. On admet que les fonctions suivantes sont continues 1. Les fonctions polynômes sont continues sur R. 2. La fonction «valeur absolue» est continue sur R. 3. La fonction «racine carrée» est continue sur R Les fonctions rationnelles sont continues sur leur ensemble de définition. 5. La fonction «logarithme népérien» est continue sur R Les fonctions exponentielles de base a > 0 sont continues sur R. 7. Les fonctions puissances sont continues sur R +. Contre-exemple : La fonction «partie entière» est discontinue en tout entier de Z, et continue en tout réel non entier. x>0 x 1 x>1 x>0

15 15 7 Prolongement par continuité Définition 14. Soit f une fonction continue sur un intervalle Ix 0, non définie en x 0 et admettant une ite réelle l en x 0. On définit alors la fonction f sur I x0 par f(x) = f(x) si x x 0 et f(x 0 ) = l. f est alors définie et continue sur I x0. On dit que f est le prolongement par continuité de f en x 0. Exemples Soit f la fonction définie sur R par f(x) = e 1 x 2. On a : = et x 2 x ex = 0, donc par composition, 1 f(x) = 0. On peut prolonger f par continuité en 0 en posant f(x) = 2. Soit g la fonction définie sur R {1} par g(x) = ln(x2 ) x 1. Par quotient, ln(x 2 ) x 1 On a vu au chapitre précédent que x 1 ln(x 2 ) donc x 1 x 1 = 2 ln x x 1 x 1 = 2 { f(x) si x 0 0 si x = 0 = + : on ne pourra pas prolonger g par continuité en 0 ln x x 1 = 1, On peut prolonger g par continuité en 1 en posant g(x) = { g(x) si x R {1} 2 si x = 1 8 Opérations sur les fonctions continues Les théorèmes suivants sont admis : Théorème 13. Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle I et λ un réel. Si f et g sont continues en x 0 I, alors f + g, λf, f.g et f sont continues en x 0. Si f et g sont continues sur I, alors f + g, λf, f.g et f sont continues sur I Théorème 14. Soit f une fonction définie sur un intervalle I et x 0 I. Si f est continue en x 0 et f(x 0 ) 0, alors 1 f est continue en x 0. Si f est continue sur I et pour tout x I, f(x) 0 alors 1 f est continue sur I. Théorème 15. Si f est continue en x 0 I et strictement positive en x 0, alors pour tout α R, f α est continue en x 0 Si f est continue sur I et strictement positive sur I, alors pour tout α R, f α est continue sur I

16 16 Théorème 16. Soit f une fonction définie sur un intervalle I et g une fonction définie sur un intervalle J tels que pour tout x I, f(x) J (f(i) J). Si f est continue en x 0 I et g est continue en y 0 = f(x 0 ) alors, la fonction composée g f est continue en x 0. Si f est continue sur I et g est continue sur J, alors g f est continue sur I. Exemple 22. La fonction h : h(x) = x 2 + 2x + 3 est continue sur [ 1; 3]. En effet h = g f est la composée de la fonction polynôme f : x x 2 + 2x + 3 suivie de la fonction g : x x. Le discriminant de f(x) est = 16 ; g possède deux racines x 1 = 1 et x 2 = 3. Le signe de f(x) est donc le suivant : x x 2 + x La fonction f est continue et positive sur [ 1; 3], et la fonction g est continue sur R +, donc la composée h = g f est continue sur [ 1; 3] 9 Propriétés des fonctions continues sur un intervalle 9.1 Théorème des valeurs intermédiaires et applications Théorème 17. Soit f une fonction continue sur un intervalle I = [a, b]. Soit β un réel compris entre f(a) et f(b). Il existe au moins un réel α [a, b] tel que f(α) = β. Figure 11 Théorème des valeurs intermédiaires

17 9.2 Extrema d une fonction 17 Une autre formulation du théorème précédent est : Théorème 18. L image d un intervalle par une fonction continue est un intervalle Cas particulier : β = 0 Théorème 19. Soit f une fonction continue sur un intervalle I = [a, b] telle que f(a).f(b) < 0, alors Il existe au moins un réel α [a, b] tel que f(α) = 0. Cas Particulier : Cas d une fonction strictement monotone Théorème 20. Soit f une fonction continue sur un intervalle I = [a, b] et strictement monotone sur [a, b]. Soit β un réel compris entre f(a) et f(b). Il existe exactement un réel α [a, b] tel que f(α) = β. Exercice : Extrait du partiel de juin Soit f la fonction définie par f(x) = 2 x + ln(x2 ) 1. Donner l ensemble de définition de f, noté D f. 2. Déterminer la ite de f en, en +, puis en x ln x 3. Montrer que pour tout x de D f, f(x) =. En déduire la ite de f en 0 +. x 4. Démontrer que pour tout x de D f, f 2(x 1) (x) =. En déduire les variations de f sur son x 2 ensemble de définition. 5. Montrer que l équation (E) : f(x) = 0 possède une unique solution réelle α. Théorème 21. Rappels : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. 1. Si x I, f (x) > 0 (respectivement f (x) < 0) alors f est strictement croissante sur I (respect. décroissante sur I) 2. Si x I, f (x) 0 (respectivement f (x) 0) et f s annule en des réels isolés (c-a-d. qui peuvent être séparés par des intervalles non vides), alors f est strictement croissante sur I (respect. décroissante sur I) 9.2 Extrema d une fonction Les théorèmes suivants sont des conséquences du théorème des valeurs intermédiaires, et seront admis : Théorème 22. Soit f une fonction continue sur un intervalle I = [a, b], alors f est bornée et atteint ses bornes. Théorème 23. L image d un intervalle fermé borné [a, b] par une fonction continue f est un intervalle fermé borné [m, M], où m (respectivement M) est le minimum (respect. maximum) de f sur [a, b]

18 9.2 Extrema d une fonction 18 MATH101 : Pratique des Fonctions numériques Notes de cours : Chapitre IV : Dérivabilité 1 Dérivabilité d une fonction en un réel x 0 Rappels : Définition 15. Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I et x 0 un réel appartenant à I. f est dite dérivable en x 0 si f (x,x0 ) = f(x) f(x 0) admet une ite réelle (= finie) l lorsque x x x 0 tend vers x 0. Dans ce cas, cette ite est notée f (x 0 ) et est appelée nombre dérivé de f en x 0 Remarque : f (x,x0 ) représente le coefficient directeur de la sécante (MM 0 ) où M(x, f(x)) et M 0 (x 0, f(x 0 )). Dire que f (x,x0 ) possède une ite quand x tend vers x 0 revient à dire que la courbe représentative de f possède au point M 0 une tangente de coefficient directeur f (x 0 ). (tangente non verticale) Ainsi, lorsque f est dérivable en x 0 l équation de la tangente à C f est y = f (x 0 )(x x 0 ) + f(x 0 ) (remarquer que cette droite a pour coefficient directeur f (x 0 ) et passe par M 0 ). Exemples Soit f : f(x) = x 2. Pour x 0 = 1, on a f (x,1) = x2 1 = x + 1 donc x 1 f (x,1) = 2. f est x 1 dérivable en 1 et f (1) = 2. La tangente à C f au point A(1, 1) a pour équation : y = 2(x 1) + 1 soit : y = 2x + 1 x 1 2. Soit f : f(x) = x 1. Pour x 0 = 1, on a f (x,1) = = 1 si x > 1 et 1 si x < 1. Donc x 1 f (x,1) ne possède pas de ite en x 0 = 1 et f n est pas dérivable en 1. Remarque : Avec le changement de variable x 0 = x + h, on a l énoncé suivant : f est dérivable en x 0 si et seulement si f(x 0 + h) f(x 0 ) admet une ite finie lorsque h tend vers zéro. h Application à la détermination de ites : On rappelle les ites admises au chapitre II Théorème 24. x 1 ln x x 1 = 1 e x 1 x = x 1 x = 1 2 α 0, (1 + x) α 1 x = α

19 9.2 Extrema d une fonction 19 Définition 16. Soit f une fonction définie sur I x0. Si le taux d accroissement de f a une ite finie à droite (respectivement à gauche) en x 0, f est dite dérivable à droite (respect. à gauche) de x 0. On note f d(x f(x) f(x 0 ) 0 ) = x x0 x>x 0 x x 0 et f g(x f(x) f(x 0 ) 0 ) = x x0. x<x 0 x x 0 REMARQUE IMPORTANTE : Une fonction peut très bien être dérivable à droite et à gauche en x 0 mais ne pas être dérivable en x 0. (Voir la figure 1.1 ci-dessous : f d(2) = 0 et f g(2) = 4). Figure 12 Point anguleux Autres exemples de fonctions non dérivables en x 0 Figure 13 Point de rebroussement / Tangente verticale Théorème 25. Une fonction f définie sur I x0 à gauche et à droite de x 0 et f d(x 0 ) = f g(x 0 ). est dérivable en x 0 si et seulement si f est dérivable Théorème 26. Soit f une fonction définie sur I x0. Si f est dérivable en x 0 alors f est continueen x 0. la réciproque est fausse : penser à la fonction «valeur absolue» qui est continue, mais non dérivable en zéro.

20 20 10 Variations - extrema d une fonction dérivable Théorème 27. Rappels : Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I. 1. Si x I, f (x) 0 alors f est croissante sur I. 2. Si x I, f (x) 0 alors f est décroissante sur I. 3. Si x I, f (x) = 0, alors f est constante sur I. On a un énoncé un peu plus précis : Définition 17. Les réels {x i, i J} sont dits isolés si pour tout indice i de I, il existe un intervalle ouvert I i contenant x i tel que les intervalles { I i, i J} soient disjoints deux à deux. Théorème 28. Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I. 1. Si x I, f (x) 0 et f ne s annule qu en des réels isolés, alors f est strictement croissante sur I. 2. Si x I, f (x) 0 et f ne s annule qu en des réels isolés, alors f est strictement décroissante sur I. Exemple 24. La fonction «cube» f : x x 3. x R, f (x) = 3x 2 0 et f ne s annule qu en x = 0, donc f est strictement croissante sur R. Définition 18. Soit f une fonction définie sur D f. 1. On dit que f admet un maximum local en x 0, s il existe un voisinage I x0 tel que x 0 I x0, f(x) f(x 0 ). 2. On dit que f admet un minimum local en x 0, s il existe un voisinage I x0 tel que x 0 I x0, f(x) f(x 0 ). 3. On dit que f admet un extremum en x 0 si f admet un minimum ou un maximum en x 0. Théorème 29. Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I x0, si f admet un extremum en x 0, alors f (x 0 ) = 0. Conséquence graphique : Sous les conditions du théorème, la tangente à C f est horizontale. Remarque : La réciproque du théorème précédent est fausse : par exemple soit f : x x 3, f (0) = 0 mais f n admet pas d extremum en x = 0. Théorème 30. Soit f une fonction définie et dérivable sur I x0, si f (x 0 ) = 0 et si f (x) change de signe en x 0, alors f admet un extremum en x 0. Théorème 31. Soit f une fonction deux fois dérivable sur I x0. 1. Si f (x 0 ) = 0 et f (x 0 ) > 0, alors f admet un minimum en x Si f (x 0 ) = 0 et f (x 0 ) < 0, alors f admet un maximum en x 0. Exercice : Soit f définie sur R + par f(x) = (ln x) 3 3 ln x. Calculer f (x) puis déterminer les variations de f sur R +.