Géométrie vectorielle Multiplication d un vecteur par un réel - Colinéarité

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1 Mltiplication d n ecter par n réel - olinéarité I Mltiplication d n ecter par n réel a) Définition désigne n ecter non nl et k n nombre réel non nl. Le prodit d ecter par le réel k est le ecter k tel qe : k et ont même direction Lorsqe k > 0 k a le même sens qe la longer de k est le prodit de k par la longer de. k Lorsqe k < 0 k est de sens opposé à celi de la longer de k est le prodit de l opposé de k par la longer de. k centre de graité d n triangle : Le centre de graité d triangle est le point G tel qe G = I o G = -GI, lorsqe I est le milie de [] (c est à dire qe (I) est la médiane isse de ). tres tradctions : IG = 1 1 I ; GI= - G. le théorème des miliex est n triangle. Si M est le milie de [] et N celi de [] alors MN = 1. En effet : MN = M + N d après la relation de hasles = car M est le milie de [] et N celi de [] = 1 ( + ) = 1 d après la relation de hasles 1

2 Mltiplication d n ecter par n réel - olinéarité règles de calcl Propriétés : k = 0 éqiat à k = 0 o = 0 Por tos réels k, k et tos ecters, : k( + ) = k + k k(k ) = (kk ) (k + k ) = k + k 1. = + = ( + ) = - = - = - M = 0 éqiat à M = 0, c est à dire = M. II olinéarité de dex ecters a) ecters colinéaires D Définition : Dire qe dex ecters non nls = et = D sont colinéaires signifie q ils ont la même direction. ela signifie qe les droites () et (D) sont parallèles o confondes. Propriété : Dire qe les ecters non nls et sont colinéaires éqiat à dire q il existe n nombre réel k non nl tel qe = k. Remarqe : Par conention, on dit qe le ecter nl est colinéaire à tot ecter. b) parallélisme et alignement Dire qe les droites () et (D) sont parallèles éqiat à dire q il existe n nombre réel k non nl tel qe D = k. Dire qe les points distincts, et sont alignés éqiat à dire q il existe n nombre réel k non nl tel qe = k.

3 Mltiplication d n ecter par n réel - olinéarité Exercice 1 : Dans la figre ci-contre : D est n parallélogramme de centre I, est le milie d segment [E], G est le centre de graité d triangle E, et F = + D. Déterminer les relations reliant E etd, Get, pis EIetEG. alcler IE+ IF, pis montrer qe E, G et F sont alignés. Soltion : E= car est le milie de [E] = D = -D car D est n parallélogramme. G = car G est le centre de graité d triangle E. EG= EI car G est le centre de graité d triangle E, donc EI = EG. IE+ IF = I+ E+ I+ F d après la relation de hasles = I + E+ + D = ( I+ ) + + D ( E = car est le milie de [E]) = I + ( + D = car D est n parallélogramme) = + = 0 ( I = car I est le milie de []) On en dédit qe I est le milie de [EF]. On a alors EF= EI et de pls EI = EG donc EF = EG et les points E, F et G sont alignés.

4 Mltiplication d n ecter par n réel - olinéarité Exercice : est n triangle, les points I et J sont tels qe 1 I = et J = 1. Exprimer I et J en fonction de et.. En dédire qe les droites (I) et (J) sont parallèles. Soltion : 1. I = I + d après la relation de hasles = J = + J d après la relation de hasles J = - +. D après les égalités précédentes, on obtient : J = I Donc les ecters J et I sont colinéaires et les droites (J) et (I) sont parallèles. c) condition de colinéarité Propriété : Dans n repère (O ; i, j ) fixé, dire qe les ecters non nls x y et x' y' sont colinéaires éqiat à dire qe xy x y = 0. 1 si - 1 et -, alors xy x y = = = 0 Donc et sont colinéaires. - 1 si et - 4, alors xy x y =- 1-4 = = Donc et ne sont pas colinéaires. Exercice : Le plan est mni d n repère (O ; i, j ). On considère les points (- ; ), (4 ; -1) et (1 ; 4). Déterminer les points D(4 ; y) et M(x ; ) tels qe : 4

5 Mltiplication d n ecter par n réel - olinéarité D est n trapèze, de bases parallèles [] et [D], et M est n point de la droite (). Soltion : () et (D) sont parallèles signifie qe les ecters et D sont colinéaires. x x y ; 4 (-) y -1 ; 6-4 et D x D x y ; D 4 1 D y y 4 ; D y 4 et Dsont colinéaires signifie qe 6 (y 4) (-4) = 0 6y 1 = 0 Donc y = et D(4 ; ). M est n point de () signifie qe les points M, et sont alignés et donc qe les ecters et M sont colinéaires. 6-4 et M x M x y ; M x (-) M y ; M x + -1 et M sont colinéaires se tradit par : 6 (-1) (-4) (x + ) = 0 + 4x = 0 donc x = - 1 et M(-1 ; ).