Chapitre 2. Rappels sur les suites arithmétiques et les suites géométriques

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1 Chapitre Rappels sur les suites arithmétiques et les suites géométriques Nous allos ici rappeler les différets résultats sur les suites de ombres réels qui sot des suites arithmétiques ou des suites géométriques Le chapitre 9 du cours de termiale S est cosacré à l étude des ombres complexes Toutes les formules doées das ce chapitre pour des suites réelles serot valables plus gééralemet pour des suites de ombres complexes I Suites arithmétiques ) Défiitio des suites arithmétiques Défiitio Soit(u ) N ue suite de ombre réels La suite(u ) N est arithmétique si et seulemet si il existe u réel r tel que pour tout etier aturel, u + u +r Le ombre r s appelle alors la raiso de la suite arithmétique(u ) N Remarque Le ombre r qui apparaît das la défiitio précédete e déped pas de ou ecore r est costat quad varie O peut doer ue défiitio équivalete : Défiitio Soit(u ) N ue suite de ombre réels La suite(u ) N est arithmétique si et seulemet si la suite(u + u ) N est costate Commetaire La valeur de cette costate est alors la raiso de la suite arithmétique(u ) N C est la défiitio qui le plus souvet est utilisée das la pratique pour motrer qu ue suite est arithmétique ou est pas arithmétique O ote à ce sujet que : la suite(u ) N est est pas arithmétique si et seulemet si la suite(u + u ) N est pas costate Exercice Soit(u ) N la suite défiie par : pour tout etier aturel, u +7 Motrer que la suite(u ) N est arithmétique Préciser sa raiso et so premier terme Solutio Soit u etier aturel aturel u + u ( (+)+7) ( +7)( +7) ( +7) Aisi, pour tout etier aturel, u + u O e déduit que la suite(u ) N est ue suite arithmétique de raiso So premier terme est u 0 7 Commetaire Pour motrer que la suite(u + u ) N est costate, o peut motrer que u + u e déped pas de C est ce que ous avos fait Mais suivat le type d exercice, o peut aussi chercher à motrer que pour tout etier aturel, u + u + u + u Exercice Soit(u ) N la suite défiie par : pour tout etier aturel, u + Motrer que la suite(u ) N est pas arithmétique Solutio u 0, u et u 7 puis u u 0 et u u 7 5 E particulier, u u u u 0 Aisi, la suite(u + u ) N est pas costate et doc la suite(u ) N est pas arithmétique Commetaire La suite(u + u ) N est costate si et seulemet si pour tout etier aturel, u + u + u + u Doc, la suite(u + u ) N est pas costate si et seulemet si il existe au mois u etier aturel tel que u + u + u + u Das l exercice précédet, pour motrer que la suite (u + u ) N est pas costate, ous avos fouri explicitemet u rag tel que u + u + u + u, à savoir 0 Jea-Louis Rouget, 05 Tous droits réservés http ://wwwmaths-fracefr

2 ) Calcul de u e foctio Ue suite arithmétique est défiie par ue relatio de récurrece : pour tout etier aturel, u + u +r Aisi, pour calculer u 7, o doit coaître u 6 et pour coaître u 6, o doit coaître u 5 U problème reste doc o résolu : exprimer directemet u e foctio de Ce problème est résolu par le théorème suivat Théorème Soit(u ) N ue suite arithmétique de raio r ) Pour tout etier aturel, u u 0 +r ) Pour tous etiers aturels et p, u u p +( p)r Démostratio Soit(u ) N ue suite arithmétique de raio r ) Motros par récurrece que pour tout etier aturel, u u 0 +r u 0 +0 ru 0 et doc la formule est vraie quad 0 Soit 0 Supposos que u u 0 +r et motros que u + u 0 +(+)r u + u +r(par défiitio d ue suite arithmétique de raisor) u 0 +r+r(par hypothèse de récurrece) u 0 +(+)r O a motré par récurrece que pour tout etier aturel, u u 0 +r ) Soiet et p deux etiers aturels u u 0 +r et u p u 0 +pr Doc u u p (u 0 +r) (u 0 +pr)r pr( p)r, puis u u p +( p)r Remarque Das le théorème précédet, l ordre das lequel sot les etiers et p est pas précisé et o a tout à fait le droit d appliquer la formule du ) quad p> Par exemple, o a u 9 u 6 +(9 6)ru 6 +r mais o a aussi u 7 u +(7 )ru 4r Théorème Soit(u ) N ue suite de ombres réels La suite(u ) N est arithmétique si et seulemet si il existe deux réels a et b tels que pour tout etier aturel, u a+b Démostratio Si la suite(u ) N est arithmétique, d après le théorème, pour tout etier aturel, u r+u 0 Par suite, si o pose ar et bu 0, alors pour tout etier aturel, u a+b Réciproquemet, soiet a et b deux ombres réels puis(u ) N la suite défiie par : pour tout etier aturel, u a+b Motros que la suite(u ) N est arithmétique Soit u etier aturel u + u (a(+)+b) (a+b)a+a+b a ba Aisi, la suite(u + u ) N est costate et doc la suite(u ) N est arithmétique Remarque La suite des etiers aturels (pour tout N, u ) est ue suite arithmétique C est la suite arithmétique de premier terme 0 et de raiso C est «la plus simple» de toutes les suites arithmétiques La suite des etiers pairs (pour tout N, u ) ou la suite des etiers impairs (pour tout N, u +) sot aussi des suites arithmétiques (de raiso ) Exercice Soit(u ) N ue suite arithmétique O sait que u 5 et u 9 4 Détermier u e foctio de Solutio Notos r la raiso de la suite arithmétique(u ) N O sait que u 9 u 5 +(9 5)ru 5 +4r et doc 4 +4r puis 4r 4+ ou ecore 4r ou efi r O sait alors que pour tout etier aturel, Jea-Louis Rouget, 05 Tous droits réservés http ://wwwmaths-fracefr

3 u u 5 +( 5)r ( 5) +5 + Pour tout etier aturel, u + Exercice 4 Soit(u ) N la suite défiie par : u 0 et pour tout etier aturel, u + 4 ) Motrer par récurrece que pour tout etier aturel, u existe et u < ) Pour tout etier aturel, o pose v u a) Motrer que la suite(v )) N est arithmétique Préciser so premier terme et sa raiso b) Détermier v e foctio de c) E déduire u e foctio de Solutio ) Motros par récurrece que pour tout etier aturel, u existe et u < Puisque u 0, la propriété est vraie quad 0 Soit 0 Supposos que u existe et u < et motros que u + existe et u + < Tout d abord, par hypothèse de récurrece, u < et e particulier u 4 O e déduit que u + existe Esuite, u < u 4< < < (car la foctio x est strictemet décroissate sur]0,+ [) x 4 4 < 4 4 u +< u + <(car 4 ) O a motré par récurrece que pour tout etier aturel, u existe et u < ) a) D après la questio ), pour tout etier aturel, u < et e particulier, pour tout etier aturel, u O e déduit que la suite(v ) N est bie défiie Soit u etier aturel puis v + u (4 u ) 4 8+u u 4 (u ) 4 ( ) 4 ( ) v + v (u ) u (u ) (u ) (u ) u (u ) (u ) (u ) Aisi, pour tout etier aturel, v + v O e déduit que la suite(v ) N est arithmétique de raiso So premier terme est v 0 u 0 b) La suite(v ) N est arithmétique de premier terme v 0 et de raiso r O sait que pour tout etier aturel, v v 0 +r +( ) + Jea-Louis Rouget, 05 Tous droits réservés http ://wwwmaths-fracefr

4 c) Soit u etier aturel u v u + u + u + u (+) + + u +4 u Pour tout etier aturel, u + + ) Ue propriété des suites arithmétiques Théorème Soit(u ) N ue suite arithmétique ) Pour tout etier aturel o ul, u +u + u ou ecore u u +u + ) Plus gééralemet, pour tout etier aturel p et tout etier aturel p, u p +u +p u ou ecore u u p+u +p Démostratio O ote r la raiso de la suite arithmétique(u ) N Soit p u etier aturel puis soit u etier aturel supérieur ou égal à p D après le théorème, Doc u +p u +((+p) )ru +pr et u p u +(( p) )ru pr u p +u +p u pr+u +pru, et doc aussi u u p+u +p Ceci démotre ) Le résultat de ) s obtiet alors e appliquat le résultat de ) avec p Commetaire Le théorème sigifie que chaque terme u d ue suite arithmétique est la moyee arithmétique du terme qui le précède et du terme qui le suit ou plus gééralemet de deux termes dot les uméros sot symétriques par rapport à Par exemple, les premiers termes de la suite(u ) N telle que pour tout etier aturel, u, sot Le ombre 5 est précédé du ombre et est suivi du ombre 8 La moyee arithmétique de et 8 est effectivemet De même, deux rags avat, o trouve 7 et deux rags après, o trouve 9 et la moyee arithmétique de 7 et 9 est effectivemet Exercice 5 a, b, c, d et e sot ciq etiers qui, das cet ordre, sot ciq termes cosécutifs d ue suite arithmétique O sait que a est le plus petit des ciq etiers O sait que la somme de ces ciq ombres est égale à 40 et le produit de ces ciq ombres est égal à 0 Détermier les ciq ombres a, b, c, d et e Solutio Notos r la raiso de la suite arithmétique O sait que a+b+c+d+e40 ou ecore(a+e)+(b+d)+c40 Mais a+ec et b+dc O obtiet c+c+c40 ou ecore 5c40 ou efi c Le produit a b c d e est ecore égal à(c r)(c r)c(c+r)(c+r) Par suite, abcde0 (8 r)(8 r)8(8+r)(8+r)0 (8 r)(8+r)(8 r)(8+r) 0 8 (64 r )(64 4r )540 4(64 r )(6 r )540 (64 r )(6 r ) (64 r )(6 r ) r 64r +r 4 85 r 4 80r +690 (r ) 80r +690 Jea-Louis Rouget, 05 Tous droits réservés 4 http ://wwwmaths-fracefr

5 Le ombre r est doc solutio de l équatio(e) : x 80x+690 Résolvos cette équatio So discrimiat est L équatio(e) admet deux solutios : x et x Esuite, le ombrer est solutio de(e) si et seulemet sir 9our 7 ce qui équivaut àr {,, 7, 7} Puisque ac r est le plus petit des ciq ombres, o a r 0 et doc r {, 7} Puisque a est u etier, il e reste plus que r et doc a, b5, c8, d et e4 Réciproquemet, ces ciq ombres sot ciq etiers qui sot ciq termes cosécutifs d ue suite arithmétique de raiso Leur somme est égale à 40 et leur produit à 0 a, b5, c8, d et e4 4) Sommes de termes cosécutifs d ue suite arithmétique Théorème Pour tout etier aturel o ul, +++ (+) Remarque La otatio +++0 est claire Elle sigifie Mais la otatio est pas claire pour les premières valeurs de e particulier quad ou ou +++ est la somme des premiers etiers à partir de Doc quad, cette somme est la somme des trois premiers etiers à partir de, somme qui commece à et fiit à c est-à-dire ++, quad, cette somme est la somme des deux premiers etiers à partir de qui commece à fiit à c est-à-dire + et quad, la «somme» e comporte qu u seul terme et est doc égale à Ue meilleure otatio pour désiger la somme des premiers etiers est mais est sas ambiguïté quad ou ou k k Cette otatio est plus abstraite Démostratio Motros par récurrece que pour tout etier aturel o ul, +++ (+) Puisque (+) Soit Supposos que +++ (+), la formule est vraie quad ++++(+)(+++)+(+) (+) (+)+(+) et motros que ++++(+) (+)((+)+) +( + )(par hypothèse de récurrece) (+)((+)+) (+)(+) O a motré par récurrece que pour tout etier aturel o ul, +++ (+) Démostratio Soit u etier aturel o ul +++ est le ombre de poits du triagle : Classiquemet, u triagle est ue moitié de rectagle : Jea-Louis Rouget, 05 Tous droits réservés 5 http ://wwwmaths-fracefr

6 + + Le ombre total de poits du rectagle est (+) et doc le ombre de poits du triagle est (+) Démostratio Soit u etier aturel o ul Posos S +++ O calcule S +S e regroupat itelligemmet les termes : O obtiet aisi k + + ( ) + + ( ) k (+) + (+) + + (+) + + (+) + (+) S S +S (+++)+(+++)(+)+(+ )+(+ )++(+) (+)+(+)++(+) (+) termes et doc ecore ue fois S (+) Commetaire Puisque les ombres (+), N, sot les ombres de poits à l itérieur d u triagle, ces ombres s appellet ombres triagulaires (de même que les ombres, N, s appellet les ombres carrés) Commetaire La démostratio est e fait la même démostratio que la démostratio Vous pouvez visualiser sur le dessi de la démostratio le fait que les sommes +, +( ), +( ), soiet toutes égales à + Théorème 4 Soiet et p deux etiers aturels tels que p Il y a p+ etiers aturels compris etre p et, p et compris Démostratio Soiet et p deux etiers aturels tels que p Il y a etiers k tels que k Comme +, le résultat est vrai quad p Puisqu il y a etiers etiers k tels que k, il y a + etiers k tels que 0 k Comme 0++, le résultat est égalemet vrai quad p0 Supposos maiteat p Il y a p etiers k tels que k p et etiers k tels que k Il reste doc (p ) p+ etiers k tels que p k p p p (p ) Par exemple, etre les etiers 7 et 4, (7 et 4 compris), il y a etiers Théorème 5 Soit(u k ) k N ue suite arithmétique Soiet et p deux etiers aturels tels que p (premier terme+derier terme) (ombre de termes) u k u p ++u kp (u p+u )( p+) Démostratio O gééralise la démostratio du théorème O calcule (u p ++u )(u p ++u )+(u ++u p ) Pour tout etier k tel que 0 k p, u p+k +u k u p +kr+u kru p +u Jea-Louis Rouget, 05 Tous droits réservés 6 http ://wwwmaths-fracefr

7 Aisi, toutes les sommes u p +u, u p+ +u,, u +u p sot égales u p +u premier terme+derier terme u p + u p+ + + u p+k + + u + u u + u + + u k + + u p+ + u p (u p +u ) + (u p +u ) + + (u p +u ) + + (u p +u ) + (u p +u ) O obtiet doc (u p ++u )(premier terme+derier terme) (ombre de termes) ce qui démotre le résultat Exercice 6 Calculer les sommes suivates : ) ) ) 67 k k k k0 (k )++5++ ( N ) (k+), ( N) Solutio ) (+67) (67 +) ) Soit N (+ ) ) Soit N k0 (k+) ( 0++ +) (+) 00 5 (+4)(+) 750 II Suites géométriques ) Défiitio des suites géométriques Défiitio Soit(u ) N ue suite de ombre réels La suite(u ) N est géométrique si et seulemet si il existe u réel q tel que pour tout etier aturel, u + q u Le ombre q s appelle alors la raiso de la suite géométrique(u ) N Remarque Le ombre q qui apparaît das la défiitio précédete e déped pas de ou ecore q est costat quad varie Commetaire A partir de cette défiitio, o voit qu ue partie du cours sur les suites géométriques sera obteu à partir du cours sur les suites arithmétiques e remplaçat mécaiquemet le symbole+par le symbole Dès la défiitio suivate, les choses s avèret plus compliquées que prévues La différece u + u utile pour caractériser les suites arithmétiques va se trasformer e le quotiet u + u das le cours sur les suites géométriques et il est pas questio que le terme u soit égal à 0 Il existe que deux possibilités pour que l u des termes de la suite géométrique(u ) N soit ul La première possibilité est que u 0 0 Das ce cas, tous les termes de la suite(u ) N sot uls La deuxième possibilité est que q0 Das ce cas, tous les termes de la suite(u ) N sot uls à partir du rag Si u 0 0 et q 0, il est clair par récurrece que tous les termes de la suite(u ) N sot o uls Défiitio 4 Soit(u ) N ue suite de ombre réels e s aulat pas La suite(u ) N est géométrique si et seulemet si la suite( u + est costate u ) N Commetaire La valeur de cette costate est alors la raiso de la suite géométrique(u ) N O ote que la suite(u ) N est pas géométrique si et seulemet si la suite( u + est pas costate u ) N Exercice 7 Soit(u ) N la suite défiie par : pour tout etier aturel, u Motrer que la suite(u ) N est géométrique Préciser sa raiso et so premier terme Jea-Louis Rouget, 05 Tous droits réservés 7 http ://wwwmaths-fracefr

8 Solutio Soit u etier aturel aturel u 0 puis u + u Aisi, pour tout etier aturel, u + u O e déduit que la suite(u ) N est ue suite géométrique de raiso So premier terme est u 0 Exercice 8 Soit(u ) N la suite défiie par : pour tout etier aturel, u 7+6 Motrer que la suite(u ) N est pas géométrique Solutio u 0 6, u et u 4 puis u u 0 6 et u 4 E particulier, u u u u u 0 Aisi, la suite( u + est pas costate et doc la suite(u ) u N est pas géométrique ) N Commetaire La suite( u + est costate si et seulemet si pour tout etier aturel, u + u + u ) N u + u Doc, la suite( u + est pas costate si et seulemet si il existe au mois u etier aturel tel que u ) N u + u + Das l exercice précédet, pour motrer que la suite( u + est pas costate, ous avos u + u u ) N fouri explicitemet u rag tel que u + u +, à savoir 0 u + u ) Calcul de u e foctio de Théorème 6 Soit(u ) N ue suite géométrique de raiso q 0 ) Pour tout etier aturel, u u 0 q ) Pour tous etiers aturels et p, u u p q p Démostratio Soit(u ) N ue suite arithmétique de raiso o ulle q ) Motros par récurrece que pour tout etier aturel, u u 0 q Puisque q 0, q 0 puis u 0 q 0 u 0 et doc la formule est vraie quad 0 Soit 0 Supposos que u u 0 q et motros que u + u 0 q + u + u q(par défiitio d ue suite géométrique de raisoq) u 0 q q(par hypothèse de récurrece) u 0 q + O a motré par récurrece que pour tout etier aturel, u u 0 q ) Soiet et p deux etiers aturels u u 0 q et u p u 0 q p Si u 0 0, o a u u p 0 puis u u p q p Si u 0 0, alors u p 0 (car q 0) et o peut écrire puis u u p q p u u 0 q u p u 0 q p q q pq p, Jea-Louis Rouget, 05 Tous droits réservés 8 http ://wwwmaths-fracefr

9 Remarque Das le théorème 6, o a supposé q 0 Ce est pas uiquemet pour pouvoir écrire q C est aussi à cause de la otatio q qui a aucu ses quad q0 et 0 (0 0 e veut rie dire) Remarque Das le théorème précédet, l ordre das lequel sot les etiers et p est pas précisé et o a tout à fait le droit d appliquer la formule du ) quad p> (et q 0) Par exemple, o a u 9 u 6 q 9 6 u 6 q mais o a aussi u 7 u q 7 u q 4 Exercice 9 Soit(u ) N la suite défiie par : u 0 et pour tout etier aturel, u + u 4 Pour tout etier aturel, o pose v u ) Motrer que la suite(v ) N est géométrique Préciser so premier terme et sa raiso ) Détermier v e foctio de ) E déduire u e foctio de Solutio ) Soit u etier aturel v + u + u 4 u 6(u )v Aisi, pour tout etier aturel, v + v O e déduit que la suite(v ) N est géométrique de raiso So premier terme est v 0 u 0 ) La suite(v ) N est géométrique de premier terme v 0 et de raiso q O sait que pour tout etier aturel, ) Soit u etier aturel u v v v 0 q + Pour tout etier aturel, u + + Exercice 0 Soit(u ) N la suite défiie par : u 0 et pour tout etier aturel, u + ) Motrer par récurrece que pour tout etier aturel, u existe et <u < ) Pour tout etier aturel, o pose v u u a) Motrer que la suite(v ) N est géométrique Préciser so premier terme et sa raiso b) Détermier v e foctio de c) E déduire u e foctio de Solutio ) Motros par récurrece que pour tout etier aturel, u existe et <u < Puisque u 0, la propriété est vraie quad 0 Soit 0 Supposos que u existe et <u < et motros que u + existe et <u + < Tout d abord, par hypothèse de récurrece, u < et e particulier u 4 O e déduit que 0 puis que u + existe Esuite, et u + u + () 4+u u, () ( 4+u ) (u ) Jea-Louis Rouget, 05 Tous droits réservés 9 http ://wwwmaths-fracefr

10 Par hypothèse de récurrece, <u < Par suite, u >0 et >0 puis u >0 Ceci fourit u + >0 ou ecore u + > De même, u <0 et >0 puis (u ) <0 Ceci fourit u + <0 ou ecore u + < O a motré par récurrece que pour tout etier aturel, u existe et <u < ) a) D après la questio ), pour tout etier aturel, <u < et e particulier, pour tout etier aturel, u O e déduit que la suite(v ) N est bie défiie Soit u etier aturel v + u + u + ( ) ( ) u (u ) u (u ) u u v 4+u ( 4+u ) u (u ) Aisi, pour tout etier aturel, v + v O e déduit que la suite(v ) N est géométrique de raiso So premier terme est v 0 u 0 u 0 b) La suite(v ) N est géométrique de premier terme v 0 et de raiso q O sait que pour tout etier aturel, c) Soit u etier aturel v v 0 q ( ) u u v u v (u ) u u v v u u v v u ( v ) v D après la questio précédete, v E particulier, v ou ecore v 0 puis u ( v ) v u v + u v + u u + + u + + Pour tout etier aturel, u Commetaire Das la questio )a), ous avos calculé v + et ous sommes parveu à v C est bie meilleur que d avoir calculé le rapport v + qui obligeait à écrire des superpositios de fractios pour rie : v u + v + u + et qui accessoiremet ous obligeait à vérifier d abord que v v u 0 u Théorème 7 Soit(u ) N ue suite de ombres réels e s aulat pas La suite(u ) N est géométrique si et seulemet si il existe deux réels o uls a et q tels que pour tout etier aturel, u a q Démostratio Si la suite(u ) N est géométrique, d après le théorème 6, pour tout etier aturel, u u 0 q Par suite, si o pose au 0, alors pour tout etier aturel, Jea-Louis Rouget, 05 Tous droits réservés 0 http ://wwwmaths-fracefr

11 u a q De plus, puisque la suite(u ) N e s aule pas, les ombres a et q sot o uls Réciproquemet, soiet a et q deux réels o uls puis(u ) N la suite défiie par : pour tout etier aturel, u a q Motros que la suite(u ) N est géométrique Soit u etier aturel u + u a q+ a q q+ q Aisi, la suite( u + est costate et doc la suite(u ) u N est géométrique ) N ) Ue propriété des suites géométriques Théorème 8 Soit(u ) N ue suite géométrique ) Pour tout etier aturel o ul, u u + u Si de plus, la suite(u ) N est positive, o e déduit que u u u + ) Plus gééralemet, pour tout etier aturel o ul p et tout etier aturel p, u p u +p u Si de plus, la suite(u ) N est positive, o e déduit que u u p u +p Démostratio Notos q la raiso de la suite géométrique(u ) N ) Soit u etier aturel o ul Si q0, alors u u q0 et u + u q0 Doc u u + 0u Si q 0, u u + u q qu u ) Soiet p u etier aturel o ul puis u etier aturel supérieur ou égal à p Si q0, alors u u p q p 0 (car p ) et u +p u q p 0 Doc u p u +p 0u Si q 0, u p u +p u q p qp u u Exercice a, b et c sot trois etiers qui, das cet ordre, sot trois termes cosécutifs d ue suite géométrique O sait que a est le plus petit des trois etiers O sait que la somme de ces trois ombres est égale à 9 et le produit de ces trois ombres est égal à 79 Détermier les trois ombres a, b et c Solutio Notos q la raiso de la suite géométrique O sait que a b c79 ou ecore(a c) b79 Comme a cb, o obtiet b b79 ou ecore b 79 ou efi b9 La somme a+b+c est ecore égale à b q +b+bq ou ecore 9( ++q) Par suite, q a+b+c9 9( q ++q)9 (q++ 9 ) q q++ q q +q+q q 0q+0 Le discrimiat de l équatio(e) : x 0x+0 est ( 0) Jea-Louis Rouget, 05 Tous droits réservés http ://wwwmaths-fracefr

12 L équatio(e) admet deux solutios : x et x Si q, o obtiet a b q 97 et cqb 9 et si q, o obtiet a b q 9 et cqb 97 Comme a est le plus petit des trois etiers, o a écessairemet a, b9 et c7 Réciproquemet, ces trois ombres sot trois etiers qui sot trois termes cosécutifs d ue suite géométrique de raiso, a état le plus petit des trois etiers Leur somme est égale à 9 et leur produit à 79 a, b9 et c7 Commetaire Le résultat du théorème 8 ous suggérait de predre le ombre b comme référece e écrivat : a b q et cb q et o pas le ombre a e écrivat : ba q et ca q 4) Sommes de termes cosécutifs d ue suite géométrique Théorème 9 Pour tout ombre réel q et tout etier aturel o ul, q + siq +q++q q + siq q + q + siq siq Démostratio Soit u etier aturel Posos S+q++q Si q, S termes + termes Si q, S+q++q et qsq++q +q + et doc S qs q + S + q + + q qs q + + q + q + S qs q + Aisi, S( q) q + et fialemet S q+ car q Efi, e multipliat le umérateur et le q déomiateur de la fractio par, o obtiet aussi S q+ q Commetaire O a doé deux écritures de la somme quad q O préfèrera l écriture q+ q q est u réel strictemet plus grad que comme q ou q,7 quad Théorème 0 Soit(u ) N ue suite géométrique de raiso q Soiet et p deux etiers aturels tels que p de termes qombre u k u p ++u premier terme u p q p+ kp q q Démostratio Soiet et p deux etiers aturels tels que p Puisque q, u p ++u u p +u p q++u p q p (d après le théorème 6) u p (+q++q p ) u p q p+ q (d après le théorème 9) Exercice Calculer les sommes suivates : 0 ) k ) k0 k Solutio ) 5 k, ( N ) 0 k0 k Jea-Louis Rouget, 05 Tous droits réservés http ://wwwmaths-fracefr

13 ) Soit N Pour tout etier aturel o ul k, k 5 5 ( k ) k 5 k5 ( ) Doc 5 ( ( ) ) 5 ( ( ) ) Exercice (u ) N est la suite de l exercice 9, page 9 Calculer u 0 +u ++u, ( N) Solutio Das l exercice 9, o a obteu : pour tout etier aturel, u + + Soit u etier aturel u 0 +u ++u ( +)+( +)++( + +) ( ) termes + ++ (+ ) Jea-Louis Rouget, 05 Tous droits réservés http ://wwwmaths-fracefr