Réponse d un dipôle RC à un échelon de tension

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1 1- Le dipôle C es une associaion en série d un condensaeur e d un conduceur ohmique ( ou résisor) : I- Inroducion 2- L échelon de ension : es le passage insanané d une ension de la valeur à une valeur consane non nulle. u() es une ension appliquée aux bornes du dipôle C, à = s on ferme l inerrupeur. Si : * Pour < ; u = * Pour ; u = E. On di alors qu on applique un échelon de ension au dipôle C. 3-Manipulaions : a- Manipulaion 1 : on considère le circui élecrique suivan : Aenion : l oscilloscope es numérique On réalise l acquisiion de la ension aux bornes du résisor on obien le chronogramme suivan : II- Éude expérimenale On remarque la ension u passe insananémen à sa valeur maximale. b- Manipulaion 2 : on considère le circui élecrique suivan : En Ligne Pour s inscrire : Page 1 sur 8

2 On réalise l acquisiion de la ension u C aux bornes du condensaeur, en ferman l inerrupeur K, on obien sur l écran de l oscilloscope le chronogramme suivan : Éude expérimenale On remarque que : la ension u C augmene progressivemen e après un reard emporel elle aein sa valeur maximale qui es égale à E. Conclusion : La présence du condensaeur dans le circui a créé ce reard emporel. c- Manipulaion 3 : on considère le circui élecrique suivan : Éude expérimenale On appuie sur le bouon inverse de la voie 2 car la ension acquise sur cee voie es u C ; comme vous remarquez sur le schéma du circui : u voie Y1 =u e u voie Y2 = - u C On réalise l acquisiion des ensions u C () e u () on obien le chronogramme suivan sur l écran de l oscilloscope : En Ligne Pour s inscrire : Page 2 sur 8

3 On remarque que lorsque la ension u C aein sa valeur maximale, la ension aux bornes du résisor u aein sa valeur nulle. ( c à d : lorsque le condensaeur es complèemen chargé u C =E, u =.i = e comme donc i = : un condensaeur chargé ne laisse pas passer le couran élecrique, il se compore comme un inerrupeur ouver ). 3- Conclusion : La réponse d un dipôle C es la charge progressive du condensaeur : charge avec un reard emporel. 1- Équaion différenielle en u C : (on doi représener les flèches des ensions avan d éablir l équaion différenielle). Le condensaeur es iniialemen déchargé, à la dae =, on ferme l inerrupeur K. d après la loi des mailles : III- Éude héorique u + u c - E= avec u =i ; i + u c - E = or dq d(cu c) Cduc i e comme q C.u C donc i donc du du c c duc uc E C uc E, on pose =C : uc E ou emarque : Équaion différenielle en i() ( Pour avoir l équaion différenielle en i(), il suffi de dériver l équaion précédene ). On a : i u E on dérive cee équaion : C di duc duc duc i or i C d ' où C En Ligne Pour s inscrire : Page 3 sur 8

4 di i donc ; on muliplie l ' équaion par C C di on obien : C i 2- Soluion de l équaion différenielle : L équaion différenielle précédene a pour soluion u C = A - Be -. Avec A ; B e son des consanes posiives. Déerminons A ; B e : 1 ère éape : Le condensaeur es iniialemen vide u C () =. A - Be = A + B = donc B= A d ou u C = A Ae -. 2 ème éape : lorsque + ; le condensaeur es complèemen chargé : u C ( ) = E. A Ae - = E or e - =. Éude héorique A = E d où A=E e B= E. Donc u C = E Ee -. u C = E( 1 e - ). 3 ème éape : Cee soluion vérifie l équaion différenielle duc C uc E, on remplace u C par son expression d(e Ee ) C E Ee E CE( (-)e - ) + E( 1 e - ) = E CEe - + E -E e - = E CEe - -E e - = Ee - ( C - 1 ) = or Ee - > d où C - 1 = C = on noe C d ' où C. u C = E(1- e -/ ). En Ligne Pour s inscrire : Page 4 sur 8

5 3- Expression e graphe de q() ; de u () e de i() : a- Expression de q() b- Expression de u () : u = E u c = E - E(1 e ) = E E + q() = Cu C () = CE(1- e -/ ). Ee d où u =Ee c- Expression de i() Éude héorique d- Graphe de q(), de u () e de i() : u i donc E i= e (s) + (s) + (s) + q(c) CE u (V) E i(a) E q(c) CE E=U max u (V) I max E i(a) E (s) (s) a- Définiion : La consane de emps es une grandeur caracérisique du dipôle C, elle nous renseigne sur la rapidié avec laquelle s effecue la charge ou la décharge d un condensaeur. IV- La consane de emps d un dipôle C b- Unié de : u V donc es en V A.s C avec{ i A d'où es en. s (secon q A.s C or qi. donc C es en A V uc V de) donc es un emps. c- Déerminaion de : Par calcul : Ayan les valeurs de (en Ω) e de C(en F), on peu calculer direcemen (en s) ; =C. En Ligne Pour s inscrire : Page 5 sur 8

6 Graphiquemen : o 1 ère méhode (uilisaion de la angene à l origine) : on peu monrer que es l abscisse du poin d inersecion de la angene à la courbe de u c ()[de même pour u (), i() e q()] à la dae = avec l asympoe (lorsque +). u (V) u c(v Tangene E=u max E=Uc Tangene Asympoe Poin d inersecion Asympoe (s) (s) Poin d inersecion o 2 ème méhode (lecure graphique) : 1 er cas : à parir du graphe de u c () Pour =, quelle es la valeur de u c? u ( ) E(1 e ) E( e ),.E car e, c Exemple : On a E= 4 V d où,63.4 =2,52 V donc l abscisse du poin d ordonnée 2,52 V es égale à 4 2,52 u c (V) (s) En Ligne Pour s inscrire : Page 6 sur 8

7 2 ème cas : à parir du graphe de u () Pour =, quelle es la valeur de u? 4 u (V) 1 u ( ) E.e E.e, 37.E Exemple : On a E= 4 V d où,37.4 =1,48 V donc l abscisse du poin d ordonnée 1,48 V es égale à. 1,48 (s) d- Durée de charge d un condensaeur On peu considérer qu un condensaeur es complèemen chargé lorsque sa ension u,99e E(1 e ),99 E ; c on divise l ' équaion par E : 1e,99 1,99 e e, 1 ln(, 1) 4,6 4,6 donc 5 5 C. Le emps de charge augmene avec e avec C. Pour < 5, on a le régime ransioire. Pour 5, on a le régime permanen. La durée de charge d un condensaeur es indépendane de la fem E du généraeur. 1- Manipulaion 1 : On mainien le même condensaeur e on réalise deux expériences avec deux résisances différenes 1 e 2. V- Influence de e de C sur la durée de charge Expérience 1 1 C cons an e Expérience 2 2 > 1 2 C > 1 C > > > 1 En Ligne Pour s inscrire : Page 7 sur 8

8 2- Manipulaion 2 : Influence de e de C sur la durée de charge d un condensaeur On mainien le même résisor e on réalise deux expériences avec deux condensaeurs différenes C 1 e C 2. Expérience 1 C C1 cons an e Expérience 2 C C C > 1 C 2 >C 1 2 > > > 1 En Ligne Pour s inscrire : Page 8 sur 8