MODELES DE LA COURBE DES TAUX D INTERET. UNIVERSITE d EVRY Séance 4. Philippe PRIAULET

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1 MODELES DE LA COURBE DES AUX D INERE UNIVERSIE d EVRY Séance 4 Philippe PRIAULE

2 Plan de la Séance Les modèles sochasiques de déformaion de la courbe des aux: Approche déaillée Le modèle de Black: référence du marché pour l évaluaion de caps floors e swapions Présenaion de quelques opions exoiques de aux comprendre l arai des opions exoiques caps/floors à barrière incremenal fixed swap subsidised swap

3 Evaluaion e couverure de produis dérivés sandards dans le modèle de Black Ce son des opions européennes don les prix son obenus dans le modèle de Black les caps floors e collars - les swapions Ces opions son raiées de gré à gré Les opions sur fuures son égalemen évaluées e couveres dans ce modèle

4 Caps Floors e Collars - Définiion Définiion du cap Un cap es un conra où le vendeur prome de réribuer son poreur si le aux d inérê de référence vien à dépasser un niveau pré-déerminé le aux d exercice du cap à ceraines daes dans le fuur L acheeur d un cap uilise classiquemen ce produi pour se couvrir conre une hausse des aux d inérê par exemple pour couvrir un prê à aux variable conseni par une banque

5 Caps Floors e Collars - Définiion 2 Définiion du floor Le vendeur d un floor prome de réribuer son poreur si le aux de référence vien à passer sous le aux d exercice du floor L acheeur d un floor uilise classiquemen ce produi pour se couvrir conre une baisse des aux d inérê par exemple pour couvrir un placemen à aux variable Définiion du collar Il résule de l acha d un cap e de la vene d un floor 1 ou de la vene d un cap e de l acha d un floor 2 Il es uilisé afin de diminuer le coû d une proecion conre la hausse 1 e la baisse des aux 2

6 Caps Floors e Collars - erminologie Monan nominal: il es fixe en général aux de référence: il s agi du aux d inérê sur lequel repose le conra Les plus usuels en Europe son l Euribor 1 mois 3 mois 6 mois e 1 an aux d exercice: il s agi d un niveau prédeerminé Il rese fixe au cours du conra Fréquence de consaaion: il s agi de la fréquence selon laquelle le aux de référence es comparé au aux d exercice Les fréquences les plus usuelles son ous les mois ous les rois mois ous les six mois e ous les ans Maurié de l opion: elle peu aller de plusieurs mois usqu à 30 ans Prime: elle es exprimée en % du monan nominal

7 Caps Floors e Collars - Exemple Une sociéé conrace au 02/11/01 un cap: - de dae de débu le 01/12/01 - de maurié 2 ans - de monan nominal d euros - de aux d exercice 4% - don le aux de référence es l Euribor 6 mois Les consaaions on lieu ous les 6 mois ous les 6 mois aux daes suivanes 01/06/02 01/12/02 01/06/03 e au 01/12/03 e au 01/12/03 l acheeur du cap ouche: du cap ouche: du cap ouche: ô -4%]*1/2 ô -4%]*1/2 oraa-emporis

8 Caps Floors e Collars - Coaion Les caps floors e collars son évalués à parir du modèle de Black 1976 Le modèle de Black es une version du modèle BSM Black- Scholes-Meron adapé aux produis de aux d inérê Les caps son décomposés en caples voir exemple précéden e les floors en floorles Les caples e floorles son coés en volailié la volailié implicie de la formule de Black cf slide suivane

9 Caps Floors e Collars - Coaion 2 20% 19% 18% Implici Volailiy 17% 16% 15% 14% 13% 12% Caple Mauriy in Years

10 Volailié AM / Smile La volailié AM correspond à la volailié implicie du modèle de Black quand le srike de l opion es égal au niveau du aux forward sous-acen Lorsque le srike de l opion es différen du niveau du aux forward sous-acen on consae que la volailié de l opion es généralemen différene de celle consaée AM On peu alors racer la forme de la volailié en foncion du niveau du srike pour une maurié donnée; on appelle cela smile ou smirk en raison de la forme de cee courbe

11 Caps Floors e Collars - Pricing Le pay-off d un caple à la dae es le suivan: C e le pay-off d un floorle à la dae : F où: R δ [ L ] 0; R δ E = Max[ 0; F E] = δ Max 1 δ 1 L 1 1 δ [ L ] 0; E R δ = Max[ 0; E F ] = δ δ Max es le aux euribor en de maurié mois es exprimé en fracions d années dans les calculs δ La variable que l on diffuse dans le modèle de Black es le aux forward linéaire F 1 On monre que ce aux es une maringale sous la probabilié forward neure cf séances 6-7 e MP p 203 à 210 Q

12 Caps Floors e Collars - Pricing 2 La diffusion du aux es la suivane: où dw es un mouvemen brownien sous la probabilié forward neure e es la volailié du aux forward ce que l on appelle la volailié du caple On en dédui en la formule du cap suivane somme des n caples dw F df = σ 1 1 Q = = Φ Φ = n d E d F B N CAP σ δ σ

13 Caps Floors e Collars - Pricing 3 où: e es la foncion de répariion de la loi normale cenrée réduie Formule du floor somme des n floorles Le prix d un collar es obenu à parir des deux formules précédenes Pour couvrir ces produis on calcule les grecques ie le dela le gamma le véga le rhô e le héa de chacun des caples ou floorles = + Φ + Φ = n d E d F B N FLOOR σ δ E F d + = ln σ σ Φ

14 Les Grecques du Caple On s inéresse au caple qui délivre le flux C en - le dela: dérivée première du caple par rappor au aux forward sous-acen - le gamma: dérivée seconde du caple par rappor à 1 F d B N Φ = Δ δ 1 F Φ = ' 1 1 d F B N σ δ γ

15 Les Grecques du Caple 2 - le vega: dérivée première du caple par rappor à la volailié - le rho: dérivée première du caple par rappor au aux d inérê - le héa: dérivée première du caple par rappor au emps ' 1 1 d F B N Φ = δ υ Caple = ρ [ ] ln 1 B R = 2 ' 1 1 d F B N Caple R Φ = σ δ θ

16 Les Grecques du Floorle On s inéresse au floorle qui délivre le flux F en - le dela: dérivée première du floorle par rappor au aux forward sous-acen - le gamma: dérivée seconde du floorle par rappor à 1 F d B N Φ = Δ δ 1 F Φ = ' 1 1 d F B N σ δ γ

17 Les Grecques du Floorle 2 - le vega: dérivée première du floorle par rappor à la volailié - le rho: dérivée première du floorle par rappor au aux d inérê - le héa: dérivée première du floorle par rappor au emps ' 1 1 d F B N Φ = δ υ Floorle = ρ R 2 ' 1 1 d F B N Floorle R Φ = σ δ θ

18 Exemple Numérique Une enreprise achèe un floorle le 19/04/02 don les caracérisiques son les suivanes: - monan nominal: d euros - aux de référence: Euribor 6 mois - aux d exercice: 470% - Maurié: 27/05/02 - Dae de paiemen du flux: 27/11/02 En supposan que l Euribor 6 mois forward es égal à 473% à la dae la volailié du floorle 15% e que le aux zéro-coupon venan à échéance le 27/11/02 es égal à 480% quels son le prix e les grecques de ce floorle dans le modèle de Black?

19 Exemple Numérique 2 Son prix es égal à 3844 euros e nous obenons les grecques suivanes: Δ = γ = υ = ρ = 2371 θ = Pour une variaion du aux forward de 473% à 474%: a variaion de prix exace = b variaion de prix esimée par le dela: Δ 001% = c variaion de prix esimée par le dela e le gamma: 001% 2 Δ 001% + δ =

20 Exemple Numérique 3 2- Pour une variaion de la volailié de 15% à 16%: a variaion de prix exace = b variaion de prix esimée par le véga: υ 1 % = Pour une variaion du aux zéro-coupon de 480% à 580%: a variaion de prix exace = b variaion de prix esimée par le rho: ρ 1% = Un our plus ard le 20/04/02 passage du emps: a variaion de prix exace = b variaion de prix esimée par le héa: θ = 5803

21 Swapions - Définiion/erminologie Définiion Une swapion ou opion sur swap européenne es un conra qui perme à son poreur de renrer à une dae fixée dae de la maurié de l opion dans un swap aux caracérisiques prédéfinies erminologie Monan nominal: il es fixe en général Il exise deux ypes de swapions la swapion receveuse e la swapion payeuse: - la swapion receveuse donne à l acheeur le droi de recevoir la pae fixe du swap; - inversemen la swapion payeuse donne à l acheeur le droi de payer la pae fixe du swap

22 Swapions - Exemple aux d exercice: il s agi du aux fixe connu à l avance auquel l acheeur de l opion va payer ou recevoir la pae fixe Maurié de l opion: elle peu aller de plusieurs mois usqu à 10 ans Prime: elle es exprimée en % du monan nominal Exemple Soi une enreprise qui s es endeée à 5 ans au aux variable euribor 6 mois e qui souhaie dans un an avoir la possibilié de ransformer son endeemen à aux variable en un endeemen à aux fixe Elle achèe alors une swapion de maurié 1 an qui lui perme de renrer dans le swap payeur du fixe e receveur du variable

23 Swapions - Coaion en volailié Les swapions son coées en volailié la volailié implicie du modèle de Black 1250% 1200% 1150% Implici Volailiy 1100% 1050% 1000% 950% 900% Swapion Mauriy in Years

24 Swapions - Pricing Formule pour une swapion payeuse de monan nominal N qui repose sur un swap qui disribue des flux selon la fréquence annuelle où: Fs es le aux de swap forward calculé à la dae es la volailié de Fs es la dae d échéance de l opion = Φ Φ = n S S d F d F B N SWAPION 1 0 σ δ 1/δ σ S 0 F F d S S S + = ln σ σ

25 Swapions - Pricing 2 Formule pour une swapion receveuse de monan nominal N qui repose sur un swap qui disribue des flux selon la fréquence annuelle = + Φ + Φ = n S S d F d F B N SWAPION 1 0 σ δ 1/δ

26 Les Grecques de la Swapion Payeuse - le dela: dérivée première de la swapion par rappor au aux de swap forward sous-acen - le gamma: dérivée seconde de la swapion par rappor à F S 1 d B N n Φ = Δ = δ Φ = = ' 0 1 d F B N S S n σ δ γ F S

27 Les Grecques de la Swapion Payeuse 2 - le vega: dérivée première de la swapion par rappor à la volailié - le rho: dérivée première de la swapion par rappor au aux d inérê - le héa: dérivée première de la swapion par rappor au emps Φ = = ' 0 1 d F B N S n δ υ 2 ' 0 1 d F B N Swapion R S S n c Φ = = σ δ θ c R = Φ Φ = n S S d F d F B N 1 0 σ δ ρ

28 Exemple Numérique Une enreprise achèe une swapion payeuse le 19/04/02 don les caracérisiques son les suivanes: - monan nominal: d euros; - swap sous-acen: le swap Euribor 6 mois de maurié 4 ans qui délivren des paiemens ous les 6 mois sur les 2 paes; - aux d exercice: 536%; - Maurié: 27/05/02 - Dae de paiemen du flux: 27/11/02 En supposan que le aux de swap forward es égal à 536% à la dae la volailié de la swapion 20% e que la courbe des aux zéro-coupon es plae à 5% quels son le prix e les grecques de cee swapion dans le modèle de Black?

29 Exemple Numérique 2 Son prix es égal à 2876 euros e nous obenons les grecques suivanes: Δ = γ = υ = ρ = 6593 θ = Pour une variaion du aux de swap forward de 536% à 537%: a variaion de prix exace = b variaion de prix esimée par le dela: Δ 0 01% = c variaion de prix esimée par le dela e le gamma: 001% 2 Δ 001% + δ =

30 Exemple Numérique 3 2- Pour une variaion de la volailié de 20% à 21%: a variaion de prix exace = b variaion de prix esimée par le véga: υ 1 % = Pour une variaion du aux zéro-coupon de 5% à 6%: a variaion de prix exace = -65 b variaion de prix esimée par le rho: ρ 1% = Un our plus ard le 20/04/02 passage du emps: a variaion de prix exace = b variaion de prix esimée par le héa: θ = 6039

31 Quelques Opions Exoiques de aux Ce son des opions crées sur-mesure par les banques pour leurs cliens Elles son uilisées généralemen: - par les enreprises afin de créer des srucures de couverure plus adapées aux risques encourus; - par les gérans de porefeuille afin d augmener le rendemen de leurs acifs; - par ceraines insiuions financières afin de combler le «mismach» enre leur acif e leur passif Ils en exisen de rès nombreuses

32 Quelques Opions Exoiques de aux 2 Nous allons éudier les suivanes: - les caps/floors à barrière; - les «incremenal fixed swaps»; - les N-caps e floors - les opions sur spread - les «subsidised swaps» Ces opions son évaluées e couveres à l aide de méhodes numériques Mone Carlo Schéma aux différences finies reillis dans les modèles de marché BGM Jamshidian e/ou dans les versions markoviennes du modèle HJM

33 Comprendre l arai des produis srucurés exemple: l analyse des aux forwards CMS Les aux forwards son les variables modélisées dans les modèles de aux Pour les produis les plus simples swap vanille swap CMS le pricing consise à proeer les aux forwards Des niveaux de aux forwards «aberrans» peuven donner des poins d enrée dans cerains produis srucurés Exemple: Swap CMS ou CMS spread linked bonds

34 Analyse des aux Forwards CMS 30yr conre CMS 2yr 60% 55% 50% 45% 40% 35% 30% Forward 2Y Forward 30Y 25% 20% 22/04/03 17/04/05 13/04/07 08/04/09 04/04/11 30/03/13 26/03/15 21/03/17 17/03/19 12/03/21 08/03/23

35 Analyse des aux Forwards Spread CMS 30yr - CMS 2yr 25% 20% 15% 30-Yr CMS - 2-Yr CMS Spread 10% 05% 00% -05% -10% 04/01/99 08/01/02 12/01/05 17/01/08 21/01/11 25/01/14 29/01/17 03/02/20

36 Exemple Swap CMS Les deux graphiques précédens suggèren que renrer dans un swap dépar forward au 01/01/09 de maurié 10 ans ou plus qui reçoi le 30 ans e paie le 2 ans représene une opporunié inéressane Nous consruisons ce swap pour une maurié de 10 ans L acheeur du swap reçoi le 30 ans fla e paie le 2 ans fla On pourrai aussi consruire une obligaion don le coupon serai lié à ce spread CMS Pour uger du couple rendemen/risque associé à cee sraégie nous implémenons une analyse par scénario avec 5 différens scénarios de courbe inchangé mouvemen parallèle +100 bp e -100 bp bear flaening e bull seepening e 4 horizons différens 3 mois 6 mois 2 ans e 5 ans

37 Les scénarios «bear flaening» e «bull seepening» 60% 55% 50% 45% 40% 35% 30% 25% 20% 15% Curve as of 04/22/03 Bull Seepening Bear Flaening

38 Résula de l analyse par scénario Si la courbe rese inchangée il suffi de laisser passer le emps pour gagner de l argen Le «bull seepening» scénario es le scénario le plus profiable Bull Seep Bear Fla Unch In 3 Monhs In 6 Monhs In 2 years In 5 years

39 Caps e Floors à Barrière Les caps e floors à barrières européens son des caps e floors européens classiques qui fournissen un cash-flow selon que le aux de référence aein ou non une barrière déerminée à maurié de l opion Il y a 4 différens ypes de caps e floors à barrière: - le cap up-and in: le cap es acivé dès lors que le aux de référence aein ou dépasse la barrière supérieure au srike; - le cap up-and-ou: le cap es désacivé dès lors que le aux de référence aein ou dépasse la barrière supérieure au srike; - le floor down-and-in: le floor es acivé dès lors que le aux de référence aein ou passe sous la barrière inférieure au srike; - le floor down-and-ou: le floor es désacivé dès lors que le aux de référence aein ou passe sous la barrière inférieure au srike

40 Exemple de Cap Up-and-Ou Le 02/01/01 une enreprise qui a conracé un prê de maurié deux ans indexé sur l Euribor 3 mois s aend à une hausse raisonnable des aux Pluô que de conracer un cap de srike 5% elle achèe le cap up-and-ou suivan: - monan nominal: euros - aux de référence: Euribor 3 mois - srike: 5% - barrière: 6% - dae de démarrage: 08/01/01 - maurié: 08/01/03 - fréquence de consaaion: ous les 3 mois

41 Exemple de Cap Up-and-Ou 2 Payoff de l opion au 08/04/01: Pay off 7 90 = 10 Max 08/ 01/ 01< 360 [ 0; L08/ 01/ 01 5% ]1L 6% où L08/ 01/ 01 es le aux Euribor 3 mois au 08/01/01 e 1 A = 1 si l événemen A se passe e zéro sinon Le cap à barrière es idenique à un cap classique si le aux euribor au 08/01/01 n aein pas la barrière Il es désacivé dès lors que cee barrière es aeine ou dépassée En supposan que la prime es égale à 008% du monan nominal nous raçons le P&L de ce cap up-and-ou

42 Exemple de Cap Up-and-Ou P&L in $ % 35% 40% 45% 50% 55% 60% 65% 70% 75% 80% Value of he 3-monh Libor on 01/08/01

43 Incremenal Fixed Swaps Un incremenal fixed swap es un swap don la pae fixe peu êre ransformée en la combinaison d une pae fixe e d une pae variable en foncion du niveau du aux variable Quand le aux variable augmene la composane fixe augmene en proporion Une enreprise endeée à aux variable e payeuse de la pae fixe bénéficiera ainsi d une couverure efficace en cas de hausse des aux ou en profian d un coû de financemen rédui si les aux resen bas Le aux de swap d un incremenal fixed swap es supérieur à celui d un swap sandard

44 Exemple d Incremenal Fixed Swap Soi l incremenal fixed swap de monan nominal d euros qui repose sur le aux euribor 3 mois La proporion fixe sur la pae fixe es déerminée comme sui: Niveau de l Euribor Proporion à aux fixe 3 mois 55% < Euribor 100% 45% < Euribor 55% 75% 35% < Euribor 45% 50% Euribor 35% 0% La pae fixe es payée annuellemen andis que la pae variable es payée ous les 3 mois Le aux fixe de ce swap es égal à 63%

45 Exemple d Incremenal Fixed Swap 2 Le swap es comme sui: pae fixe = 10 7 pae variable = [ y 63% + 1 y Euribor] Euribor où y es la proporion à aux fixe qui dépend du niveau du aux Euribor 3 mois Le aux de swap du swap sandard es égal à 6% e nous calculons le coû de financemen d une enreprise endeée à aux variable Euribor 3 mois dans les 3 siuaions suivanes: - quand elle ne fai rien; - quand elle conrace le swap sandard où elle paie la pae fixe; - quand elle conrace l incremenal fixed swap précéden

46 Exemple d Incremenal Fixed Swap 3 Le coû de financemen es résumé dans le ableau suivan: Niveau de l Euribor Ev Ev + SPV Ev + IFS 3 mois 55% < Euribor Euribor 6% 63% 45% < Euribor 55% Euribor 6% 4725%+025%Euribor 35% < Euribor 45% Euribor 6% 315%+05Euribor Euribor 35% Euribor 6% Euribor Nous raçons sur la slide suivane le graphique des rois coûs de financemen comparés

47 Exemple d Incremenal Fixed Swap 4 9% 8% 7% Financing Cos 6% 5% 4% 3% Floaing-Rae Deb Swapped Floaing-Rae Deb Incremenal Fixed Swap 2% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% Libor Level

48 Les N-Caps e Floors Le N-cap N-floor es:une version modifiée du cap up-and-ou floor down-and-ou Quand la barrière es aeine le cap le floor es remplacé par un aure cap floor de srike supérieur inférieur Le prix d un N-cap N-floor es supérieur à celui d un cap upand-ou floor down-and-ou mais inférieur à celui d un cap floor Logiquemen la proecion obenue par un N-cap N-floor se siue enre celle d un cap up-and-ou floor down-and-ou e d un cap floor

49 Exemple de N-Floor Une enreprise qui déien un porefeuille obligaaire de maurié 5 ans indexé sur l Euribor 1 an anicipe que les aux von baisser dans le fuur Il achèe un N-floor de maurié 5 ans de srike 5% de barrière 4% avec un deuxième srike à 35% Les paiemens son annuels e le monan nominal es égal à d euros Payoff de chacun des floorles: Payoff [ ] + 5% L % L 1 7 = 10 1 L > 4% 1 L 4% 1 1 où L 1 es le aux Euribor 1 an consaé un an auparavan Nous raçons sur la slide suivane le graphique de ce payoff

50 Exemple de N-Floor Pay-Off % 25% 30% 35% 40% 45% 50% 55% 60% 65% 70% Reference Rae Level

51 Les Subsidized Swaps Un subsidized swap es la combinaison d un swap sandard payeur du fixe e de la vene d un cap Ce produi es pariculièremen adapé pour une enreprise endeée à aux variable: - si le aux variable rese inférieur au srike du cap l enreprise paie sur la période le aux fixe moins la prime du caple; - si le aux variable es supérieur au srike du cap l enreprise paie sur la période le aux variable moins la différence enre le srike du cap plus la prime du caple moins le aux fixe du swap

52 Exemple de Subsidized Swap Une enreprise a conracé une dee de monan nominal d euros de maurié 2 ans indexée sur l Euribor 3 mois Elle renre dans un subsidized swap: - elle paie le aux fixe à 5% d un swap sandard conre Euribor 3 mois de monan nominal d euros e durée 2 ans - e vend un cap de mêmes durée e monan nominal de aux de référence l Euribor 3 mois e de srike 65% La prime de chacun des caples es égal à 02% du monan nominal Nous calculons le coû de financemen d une enreprise endeée à aux variable Euribor 3 mois dans les 3 siuaions suivanes: - quand elle ne fai rien; - quand elle conrace le swap sandard où elle paie la pae fixe; - quand elle renre dans un subsidized swap

53 Exemple de Subsidized Swap 2 Le résula en ermes de coû de financemen es résumé dans le ableau suivan: Niveau de l Euribor Ev Ev + Ev + Sub Swap 3 mois SPV Euribor 65% Euribor 5% 480% 65% < Euribor Euribor 5% Euribor-170% Nous raçons sur la slide suivane le graphique des rois coûs de financemen comparés

54 Exemple de Subsidized Swap 3 9% 8% 7% Financing Cos 6% 5% 4% 3% Floaing-Rae Deb Swapped Floaing-Rae Deb Subsidised Swap 2% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% Libor Level