8.2 Calcul intégral à plusieurs variables

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1 8.2 Calcul intégral à plusieurs variables La notion d intégrale d une fonction à une variable, telle qu on l a vue jusqu ici, peut être généralisée à des fonctions à plus grand nombre de variables. Nous commencerons par définir l intégration d une fonction à deux variables (intégrale double), puis à trois (intégrale triple). Nous mentionnerons aussi l intégration de fonctions dans des systèmes de coordonnées particuliers, comme les systèmes de coordonnées polaires (en dimension 2), cylindriques et sphériques (en dimension 3) L intégrale double L intégrale double en coordonnées cartésiennes Soit f(x, y) une fonction à deux variables définie dans un domaine D du plan R 2. Soit D un sous-domaine de D, et l on supposera pour commencer que est un rectangle : = [, x ] [y min, y ] < x, y min < y. Dans la suite, on admettra que la fonction f est continue, et qu elle est bornée dans le sous-domaine. Comme on l a vu, le graphe de f dans le sous-domaine est une surface Σ, qui flotte au-dessus (ou au-dessous) de (figure 8.10). x z y FIG Domaine d intégration rectangulaire. On s intéresse à calculer le volume du corps (pris dans l espace à trois dimensions) limité par : le rectangle (au fond), la surface Σ (en haut), les plans verticaux x =, x = x, y = y min, y = y (comme faces latérales). Pour procéder au calcul de ce volume, on va commencer par découper l intervalle [, x ] en n parties, = x 0 < x 1 < x 2 <... < x n = x. De même, on découpe l intervalle [y min, y ] en m parties, 188

2 y min = y 0 < y 1 < y 2 <... < y m = y. Les longueurs respectives des sous-intervalles produits par ces décompositions sont données par et par x 1 = x 1 x 0, x 2 = x 2 x 1,..., x n = x n x n 1, y 1 = y 1 y 0, y 2 = y 2 y 1,..., y m = y m y m 1. Grâce à ce découpage, le sous-domaine est recouvert par une famille de N = n m petits rectangles ij, dont les aires respectives sont ij = x i y j. Ces petits rectangles ont leurs côtés parallèles aux axes Ox et Oy. Soit (x i, y j ) un point quelconque choisi dans le petit rectangle ij. Le produit V ij = f(x i, y j ) x i y j représente le volume d un prisme rectangulaire droit, qui a comme base le petit rectangle ij, et comme hauteur la valeur f(x i, y j ). Si ij est suffisamment petit, ce volume est une bonne approximation de la portion de volume située entre ij et la surface Σ engendrée par f. En effectuant la somme des volumes élémentaires de tous ces petits prismes rectangulaires (somme sur tous les petits rectangles ij ), on obtiendra une approximation du volume du corps : n m V f(x i, y j ) y j x i i=1 j=1 Lorsque les nombres de points n et m des découpages des intervalles [, x ] et [y min, y ] tendent vers l infini, la valeur de la double somme définie ci-dessus s approche de plus en plus de la valeur exacte du volume du corps. On obtient de cette façon la définition de l intégrale double : V = x y y min f(x, y) dy dx. = lim n m n m f(x i, y j ) y j x i (8.19) L intégrale double définie en (8.19) existe à la condition que la fonction f soit bornée et continue dans le domaine d intégration. On dit alors que f est intégrable sur le domaine. Dans la définition de cette intégrale double, on a d abord effectué la somme pour l indice j, et ensuite la somme pour l indice i. On a obtenu de cette manière une intégrale double qui peut être effectuée au moyen de deux intégrales successives à une seule variable : x y i=1 j=1 f(x, y) dy dx. y min En permutant l ordre dans lequel les sommes ont été effectuées (effectuer la somme sur i avant celle sur j), on aurait obtenu une intégrale de la forme y y min x f(x, y) dx dy, qui peut aussi être effectuée au moyen de deux intégrales simples successives : y x f(x, y) dx dy. y min 189

3 Les résultats de ces intégrales sont identiques quel que soit l ordre dans lequel on les effectue. On peut donc énoncer la règle : Pour intégrer une fonction sur un domaine dont les limites sont constantes, l ordre dans lequel les intégrales successives sont effectuées ne joue pas de rˆole, c est-à-dire : x y f(x, y) dy dx = y min y y min x f(x, y) dx dy. (8.20) Exemple Calculer l intégrale double x=3 y=2 x=1 y= 1 (2xy y 2 + 3) dy dx, puis vérifier que le résultat est le même lorsqu on inverse l ordre d intégration. Le symbole dydx ou dxdy qui apparaît à la fin de l intégrale représente l élément d intégration de l intégrale. Si le domaine sur lequel on intègre s appelle (comme dans l exemple ci-dessus), il est d usage d écrire simplement d pour cet élément, et ainsi le volume V peut être formulé par V = f(x, y) d. De manière plus générale, le domaine sur lequel on doit intégrer une fonction n est pas toujours un rectangle. Dans la suite, un domaine d intégration sera toujours un morceau de plan, limité par une courbe fermée Γ continue et qui ne se coupe pas (voir figure 8.12). Le corps dont on doit alors calculer le volume est limité par la surface Σ (en haut), le domaine (au fond), et par une surface cylindrique dont la projection verticale sur le plan horizontal détermine la courbe Γ. Soient A 1, A 2, B 1 et B 2 les points de la courbe Γ en lesquels les tangentes à Γ sont parallèles aux axes respectivement Oy et Ox (voir figure 8.12). Entre les points A 1 et A 2, on peut considérer la courbe Γ comme formée par deux morceaux séparés de courbes, décrits respectivement par les fonctions y = y 1 (x) pour la partie inférieure, et y = y 2 (x) pour la partie supérieure. De cette façon, le domaine peut être défini par l ensemble de tous les points (x, y) du plan R 2 tels que x x y 1 (x) y y 2 (x) (8.21) De la même manière, on peut considérer la courbe Γ comme engendrée, entre les deux points B 1 et B 2, par deux morceaux de courbes décrits respectivement par les fonctions x = x 1 (y) pour la partie gauche et x = x 2 (y) pour la partie droite. De cette façon, peut être défini par l ensemble de tous les points (x, y) du plan tels que y min y y x 1 (y) x x 2 (y) (8.22) Pour le calcul de l intégrale double de f(x, y) sur le domaine, on peut alors procéder de deux manières différentes : en considérant x comme une constante fixée, on calcule d abord l intégrale simple y 2(x) y 1(x) f(x, y) dy puis on intègre le résultat pour la variable x sur l intervalle [, x ]. Ainsi, 190

4 FIG Volume d un corps entre le plan Oxy et le graphe d une fonction. V = f(x, y) d = x y 2(x) y 1(x) f(x, y) dy dx (8.23) en considérant y comme une constante fixée, on calcule d abord l intégrale simple x 2(y) x 1(y) f(x, y) dx puis on intègre le résultat pour la variable y sur l intervalle [y min, y ] : y x 2(y) V = f(x, y) d = f(x, y) dx dy (8.24) Le bon choix de l une ou de l autre des manières d intégrer (le choix de l ordre des variables d intégration) peut parfois simplifier considérablement le calcul de l intégrale double. En outre, les parenthèses qui apparaissent dans les formules (8.23) et (8.24) peuvent être éliminées. y min x 1(y) Exemple Un domaine est défini par les inéquations 0 y x2, 0 x 3. Trouver le volume du corps cylindrique dont la base est et dont la surface supérieure est déterminée par le graphe de la fonction z = xy. Faire d abord un dessin de la situation. 191

5 y x FIG Domaine d intégration (dans le plan). Exemple Calculer l intégrale double de la fonction z = x + 2y sur le domaine donné par les inégalités 1 x 5 (x 3) 2 y 4 Faire d abord un dessin. Si est un domaine rectangulaire, dont les côtés sont parallèles aux axes, et si f(x, y) = g(x)h(y) est un produit de deux fonctions, l une de la variable x et l autre de la variable y, alors le calcul de l intégrale de f sur peut se ramener au produit de deux intégrales simples : V = f(x, y) d = x g(x) dx y y min h(y) dy. (8.25) Si d autre part la fonction f est une constante qui vaut 1 sur tout le domaine, alors l intégrale V = d (8.26) peut s interpréter comme le volume d un prisme cylindrique vertical de base et de hauteur 1, mais aussi comme la valeur de l aire du domaine. Par exemple, on peut écrire Aire() = x y 2(y) y 1(x) dx dy = x (y 2 (x) y 1 (x)) dx 192

6 Changement de variables dans une intégrale double Dans de nombreux problèmes qui conduisent à une intégrale double, le système de coordonnées cartésiennes (x, y) est mal approprié, car il provoque des complications de calcul très désagréables. En utilisant d autres systèmes de coordonnées mieux adaptés, les calculs peuvent être rendus plus simples et les problèmes plus facilement résolus. L exemple le plus utile est sans doute le système de coordonnées polaires. Mais commençons par considérer le cas général : Soient x = x(u, v) y = y(u, v) (8.27) une transformation inversible qui permet d exprimer les coordonnées cartésiennes (x, y) dans un autre système de coordonnées (u, v). On suppose que dans (8.27) les dérivées partielles existent et sont continues. Soit un domaine dans le plan Oxy. Grâce au changement de coordonnées (8.27), ce domaine est transformé en un domaine dans le plan (u, v). v y u x FIG Changement de variables Pour le calcul de l intégrale double d une fonction f(x, y) sur le domaine, on va effectuer un changement de variables, permettant ainsi de se ramener à une intégrale double sur le nouveau domaine. De façon un peu similaire à un changement de variable dans une intégrale simple, il est nécessaire ici de tenir compte de la modification de l élément de surface d, lorsque celui-ci est transformé dans le nouveau système en d (on parle du jacobien de la transformation). Définition 8.7 Le jacobien de la transformation (x, y) (u, v) est le déterminant fonctionnel x x J(u, v) = u v (x, y) y y = (u, v) u v (8.28) L élément de surface est alors transformé au moyen d une facteur de multiplication : d = J(u, v) d. Pour que la transformation (x, y) (u, v) soit inversible, il est nécessaire que le jacobien J(u, v) soit différent de zéro, en chaque point du domaine. On obtient alors la formule du changement de variables dans une intégrale double : f(x, y) d = f(x(u, v), y(u, v)) J(u, v) du dv (8.29) Il est à noter ici que l élément d peut aussi être écrit dxdy, et qu inversément l élément de surface dudv peut aussi s écrire d. 193

7 Intégrale double en coordonnées polaires Le plus utile des changements de variables est sans doute celui des coordonnées polaires : en choisissant de manière classique les variables polaires (r, ϕ) en lieu et place des variables (u, v) utilisées ci-dessus, on a : x(r, ϕ) = r cosϕ y(r, ϕ) = r sinϕ x J(r, ϕ) = r y r x ϕ cosϕ r sinϕ y = sinϕ r cosϕ = r 0 ϕ Dans le système de coordonnées polaires, la formule du changement de variables est donnée par : f(x, y) d = f(x(r, ϕ), y(r, ϕ)) r dr dϕ (8.30) phi y r x FIG Changement de variables en coordonnées polaires. Exemple Calculer l intégrale où est le disque d équation x 2 + y 2 a 2. 1 e x2 +y 2 dxdy Exemple Soit la demi-sphère S d équation z = R 2 x 2 y 2 et le cylindre C d équation x 2 +y 2 Rx = 0. Trouver le volume du corps constitué par l intersection du cylindre C et de la demi-sphère S. 194

8 Exercices Exercice Calculer les intégrales multiples suivantes : a) a b 0 0 xy dx dy b) 2 π/2 0 0 e x siny dx dy Exercice Au moyen d une intégrale double, calculer le volume du tétraèdre de sommets (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0) et (0, 0, 1). Exercice Calculer l intégrale double de la fonction z = x 2 y sur le domaine limité par la parabole y 2 = 4x, le cercle de rayon 1 centré au point (1, 0) et la droite d équation x = 2. Exercice Quel est le volume du corps limité par les plans z = 0, x = 0, y = 0, 3x + 4y 12 et la surface z = x 2 + y 2? Exercice En utilisant les coordonnées polaires, calculer l intégrale de la fonction z = x 2 +y 2 sur le domaine limité par la courbe d équation x 2 + y 2 = a 2, où a est une constante positive. Exercice Calculer l intégrale double de la fonction z = 4(x 2 + y 2 ) 1 sur la couronne centrée à l origine, et de rayons r 1 = 1 et r 2 = L intégrale triple A partir des résultats établis pour l intégrale double, il est maintenant plus facile de généraliser à des intégrales de plus grande dimension (intégrales multiples), et en particulier les intégrales triples Intégrale triple en coordonnées cartésiennes Soit un domaine de l espace tridimensionnel R 3. On peut considérer ici un tel domaine comme une portion de l espace, limitée par une surface fermée Σ : par exemple un cube, une sphère pleine, un ellipsoïde (plein), un caillou,...sont des domaines possibles. Pour commencer, on admettra pour simplifier que le domaine est le parallélépipède x x, y min y y, z min z z. Au moyen d une famille de plans parallèles aux plans de coordonnées, on décompose en une réunion de petits cubes ijk, pour i = 1, 2,...,n 1, pour j = 1, 2,...,n 2, et pour k = 1, 2,...,n 3. Les notations sont similaires à celles utilisées au début du chapitre sur l intégrale double. Les volumes respectifs de ces petits cubes sont donnés par ijk = x i y j z k. 195

9 Soit aussi une fonction f(x, y, z), définie en chaque point du domaine, et supposée continue et bornée dans. Par exemple, f(x, y, z) peut représenter la densité de masse du corps au point (x, y, z). Soit (x i, y j, x k ) un point quelconque pris dans le petit cube ijk. Si le petit cube est suffisamment petit, la valeur de f au point (x i, y j, z k ) représente une bonne approximation de f en tous les autres points du même petit cube. Ainsi, si f est la densité de masse, la valeur f(x i, y j, z k ) x i y j z k correspond à une approximation de la masse du petit cube ijk. Pour obtenir la masse totale du domaine (ou du corps), il faut alors effectuer la somme de toutes les masses des petits cubes élémentaires ijk qui constituent. Cette somme peut se faire de différentes façons, suivant dans quel ordre on arrange les indices de somme i, j et k. Par exemple : ( n 1 n 2 n3 ) M f(x i, y j, z k ) z k y j x i i=1 j=1 k=1 La valeur exacte de l intégrale triple est finalement obtenue en passant aux limites n 1, n 2 et n 3, ce qui revient à dire que les volumes des petits cubes élémentaires ijk tendent vers zéro. Il suit la définition de l intégrale triple, lorsque le domaine est un parallélipipède dont les côtés sont parallèles aux axes des coordonnées : f(x, y, z) dv. = lim ijk 0 = x y y min n 1 i=1 z n 2 j=1 f(x i, y j, z k ) z k ) y j x i = (8.31) ( n3 k=1 z min f(x, y, z)dz dy dx Dans cette formule, le produit dz dy dx est appelé l élément de volume, et il est parfois simplement noté symboliquement dv. Selon la formule (8.31), le calcul d une intégrale triple est ramené aux calculs successifs de trois intégrales simples. Lorsque les bornes d intégration sont des constantes, l ordre dans lequel les trois intégrales sont effectuées ne joue aucun rôle. Exemple Calculer l intégrale triple I = (x 2 2yz) dz dy dx Considérons maintenant le cas plus général d un domaine dans R 3 différent d un parallélépipède. On le supposera suffisamment régulier (figure 8.15). 196

10 FIG Domaine tridimensionnel. Soit donc le domaine défini par les inéquations x x y 1 (x) y y 2 (x) z 1 (x, y) z z 2 (x, y) Dans un tel domaine, il est à remarquer que les bornes ne sont pas toutes des constantes, mais que certaines d entre elles dépendent d autres. L intégrale de la fonction f(x, y, z) sur le domaine sera alors définie par f(x, y, z) dv. = x y 2(x) z 2(x,y) y 1(x) z 1(x,y) f(x, y, z) dz dy dx (8.32) Les trois intégrales simples sont à calculer de l intérieur à l extérieur, dans l ordre donné par l élément de volume dz dy dx. Au cas où l on voudrait modifier l ordre d intégration, il importe aussi de modifier en conséquence les bornes respectives des intégrales simples! Exemple Soit le tétraèdre de sommets (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0) et (0, 0, 1). Calculer l intégrale triple sur de la fonction 1 f(x, y, z) = (1 + x + y + z)

11 Dans le cas particulier où la fonction à intégrer est une constante égale à 1 (cela signifie que la densité de masse est égale à 1 en tout point), l intégrale de f sur représente la masse totale du corps, mais celle-ci est également égale au volume du corps. Ainsi : Volume() = dz dy dx (8.33) Changement de variables dans une intégrale triple De même que pour les intégrales doubles, il est parfois très avantageux de choisir un autre système de coordonnées que les coordonnées cartésiennes pour calculer des intégrales triples. Les complications dans les calculs peuvent être considérablement simplifiées si on utilise un système de coordonnées bien adapté. On va établir ici une formule permettant de calculer une intégrale triple dans un autre système de coordonnées. Soient donc x = x(u, v, w), y = y(u, v, w), y = z(u, v, w) (8.34) une transformation inversible qui permet d exprimer les coordonnées cartésiennes (x, y, z) dans un autre système de coordonnées (u, v, w). On suppose que dans (8.34) les dérivées partielles existent et sont continues. Soit un domaine dans R 3 suffisamment régulier. Grâce au changement de coordonnées (8.34), ce domaine est transformé en un domaine dans l espace engendré par les axes u, v et w. Pour le calcul de l intégrale triple d une fonction f(x, y, z) sur le domaine, on effectue un changement de variables permettant de se ramener à une intégrale triple sur le nouveau domaine. Il est nécessaire ici de tenir compte de la modification de l élément de volume dv, lorsque celui-ci est transformé dans le nouveau système en dv. Définition 8.8 On appelle déterminant jacobien de la transformation (x, y, z) déterminant fonctionnel x x x u v w J(u, v, w) = y y y (x, y, z) = u v w (u, v, w) z z z u v w (u, v, w) le (8.35) L élément de volume est alors simplement transformé au moyen d un facteur multiplicatif : dv = J(u, v, w) dv. Pour que la transformation (x, y, z) (u, v, w) soit inversible, il est nécessaire que le jacobien J(u, v, w) soit différent de zéro, en chaque point du domaine. On obtient alors la formule du changement de variables dans une intégrale triple : f(x, y, z) dv = f(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)) J(u, v, w) du dv dw (8.36) 198

12 Il est à noter ici que l élément dv peut aussi être écrit dxdy dz, et qu inversément l élément de volume du dv dw peut aussi s écrire dv. L ordre des différents facteurs correspond à l ordre dans lequel les différentes intégrales successives sont exécutées, et celui-ci peut être choisi librement. La formule générale ainsi établie, on va maintenant citer les deux systèmes de coordonnées les plus fréquemment utilisés, et adapter la formule du changement de variables à ces deux situations. Il s agit des systèmes de coordonnées sphériques et de coordonnées cylindriques Intégrale triple en coordonnées sphériques Dans le système de coordonnées sphériques, un point P de l espace (sauf l origine) est déterminé par les trois grandeurs suivantes (figure 8.16) : la distance euclidienne r = OP de ce point à l origine ; l angle ϕ mesuré sur le plan Oxy entre la projection de OP et l axe Ox ; l angle θ entre le segment OP et l axe vertical Oz. z y x FIG Coordonnées sphériques. Dans ce système, les coordonnées cartésiennes (x, y, z) de P sont données par les équations x = r cosϕsinθ y = r sinϕsinθ z = r cosθ (8.37) La transformation (r, ϕ, θ) (x, y, z) est inversible, et les formules inverses sont données par r = x 2 + y 2 + z 2 tanϕ = tanθ = x y x2 + y 2 z (8.38) 199

13 Le déterminant fonctionnel (selon la formule 8.35) est donné par cosϕsinθ r sinϕsinθ r cosϕcosθ (x, y, z) J(r, ϕ, θ) = (r, ϕ, θ) = sinϕsinθ r cosϕsinθ r sinϕcosθ cosθ 0 sinθ = r 2 sinθ (8.39) Dans le système de coordonnées sphériques, l intégrale triple se calcule ainsi au moyen de la formule f(x, y, z) dv = θ 2 θ 1 ϕ 2 ϕ 1 r 2 r 1 f(x(r, ϕ, θ), y(r, ϕ, θ), z(r, ϕ, θ)) r 2 sinθ dr dϕ dθ (8.40) Exemple Calculer l intégrale où est la sphère de rayon R centrée à l origine. 1 x2 + y 2 + z dv, Intégrale triple en coordonnées cylindriques Dans le système de coordonnées cylindriques, un point P de l espace (sauf l origine) est déterminé par les trois grandeurs suivantes (figure 8.17) : la distance r entre le point P et l axe vertical Oz ; l angle ϕ mesuré sur le plan Oxy entre la projection sur ce plan de OP et l axe Ox ; la hauteur z du point P, c est-à-dire sa coordonnée verticale selon l axe Oz. Dans ce système de coordonnées, les coordonnées cartésiennes (x, y, z) de P sont données par les équations x y z = r cosϕ = r sinϕ = z (8.41) La transformation (r, ϕ, z) (x, y, z) est inversible, et les formules inverses sont données par r = x 2 + y 2 tanϕ = y x (8.42) z = z 200

14 z y x FIG Coordonnées cylindriques. Le déterminant fonctionnel (selon la formule 8.35) est donné par cosϕ r sinϕ 0 (x, y, z) J(r, ϕ, z) = (r, ϕ, z) = sinϕ r cosϕ = r (8.43) Dans le système de coordonnées cylindriques, l intégrale triple se calcule ainsi au moyen de la formule f(x, y, z) dv = z 2 z 1 ϕ 2 ϕ 1 r 2 r 1 f(x(r, ϕ, z), y(r, ϕ, z), z(r, ϕ, z)) r dr dϕ dz (8.44) Il est à remarquer que la variable r n a pas la même signification dans le système de coordonnées sphériques et dans le système de coordonnées cylindriques! Exemple Trouver le volume du domaine situé au-dessus du plan Oxy et limité par le paraboloïde z = x 2 +y 2 et le cylindre x 2 + y 2 = a 2. Commencer par faire un dessin de ce domaine. ( π 2 a4 ). 201

15 Quelques applications Les applications des intégrales multiples aux sciences et aux techniques sont très nombreuses (calcul de volumes et de masses, de charge électrostatique contenue dans un corps, etc...). On va se contenter ici de citer l exemple classique du calcul de la masse d un corps et de son centre de masse. Soit un corps (physique) dans l espace R 3, de volume V, et de masse m. Soit P un point de ce corps, contenu dans un petit domaine élémentaire (par exemple, on peut supposer que est un petit cube). Soit V le volume de, et soit m sa masse. On peut alors définir la densité ponctuelle du corps par m ρ = lim 0 V Lorsque le corps est homogène, la densité ρ est indépendante du point P choisi, et elle est donc constante. On a la formule simple m = ρ V. Dans le cas d un corps inhomogène, la densité ρ = ρ(x, y, z) n est plus constante. La masse totale du corps doit donc être calculée par intégration de la densité de la densité de masse sur le corps entier : m = ρ(x, y, z) dv (8.45) Exemple Un tube en matière synthétique est placé verticalement entre les hauteur z = 1 et z = 4, son axe étant aligné le long de l axe Oz. Son rayon intérieur est R 1 = 2 et son rayon extérieur R 2 = 3. La matière synthétique qui le constitue est inhomogène, de densité ρ = 1 z(x 2 + y 2. Calculer la masse de ce tube. ) Le centre de masse S d un corps tridimensionnel peut également être déterminé au moyen d intégrales triples. En effet, on peut montrer grâce à quelques arguments physiques (théorème des moments) que les coordonnées (x S, y S, z S ) du centre de masse sont données par les formules x S = 1 x dv ; y S = 1 y dv ; z S = 1 z dv. (8.46) V V V Exemple Un corps est limité dans R 3 par la surface z = x 2 + y 2 (paraboloïde de rotation) et par les plans x = 0, y = 0 et z = 1. Calculer les coordonnées de son centre de masse. 202

16 Exercices Exercice Calculer les intégrales triples a) xe y+z dzdydx b) (xy + yz + xz) dzdydx Exercice Calculer l intégrale triple x2 + y 2 dv, où est le domaine de R 3 limité par les surfaces d équations x = 1, y = 0, y = x, z = 0 et z = x 2 + y 2. Faire une esquisse de ce domaine. Exercice Un corps est limité par la surface cylindrique x 2 + y 2 = 4, et par les plans x + y + z 6 = 0 et z = 0. Esquisser ce corps et calculer son volume. Exercice Quel est le volume du corps limité par les plans x = 0, x = 1, y = 0, z = 0 et x + y + z = 2? Dessiner aussi ce corps. Exercice Un corps est limité par la sphère z = 1 x 2 y 2 et par le cône d équation x 2 + y 2 = 3z 2. Calculer son volume, en utilisant un système de coordonnées approprié. Exercice Une demi-sphère inhomogène est limitée par les surfaces d équations x 2 +y 2 +z 2 = 4 et z = 0. La densité est donnée en un point (x, y, z) par la formule ρ = 1 z 4. Calculer la masse de ce corps. Exercice Calculer le centre de masse de la demi-sphère homogène limitée par les surfaces d équations x 2 + y 2 + z 2 = 1 et z = 0. Exercice Pour une altitude z de moins de m, la densité δ exprimée en [kg/m 3 de l atmosphère terrestre peut être approchée par δ = 1.2 ( )z + ( )z 2. Estimer la masse d une colonne d air verticale cylindrique de 10 km de hauteur et de 3 m de rayon. 203

17 Exercice La terre est supposée être une sphère parfaite de 6370 km de rayon. La densité δ de l atmosphère exprimée en [kg/m 3 ] à une distance ρ du centre de la terre peut être approchée par la formule pour 6370 ρ 6373 (km). δ = ( )ρ, 1. Estimer la masse de l atmosphère comprise entre le sol et une altitude de 3000 m. 2. La masse totale de l atmosphère comprise entre le sol et une altitude de 100 km est d environ kg. Quel est le pourcentage de la masse d air concentrée dans les basses couches de l atmosphère, entre 0 et 3000 m? 204