8.2 Calcul intégral à plusieurs variables

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "8.2 Calcul intégral à plusieurs variables"

Transcription

1 8.2 Calcul intégral à plusieurs variables La notion d intégrale d une fonction à une variable, telle qu on l a vue jusqu ici, peut être généralisée à des fonctions à plus grand nombre de variables. Nous commencerons par définir l intégration d une fonction à deux variables (intégrale double), puis à trois (intégrale triple). Nous mentionnerons aussi l intégration de fonctions dans des systèmes de coordonnées particuliers, comme les systèmes de coordonnées polaires (en dimension 2), cylindriques et sphériques (en dimension 3) L intégrale double L intégrale double en coordonnées cartésiennes Soit f(x, y) une fonction à deux variables définie dans un domaine D du plan R 2. Soit D un sous-domaine de D, et l on supposera pour commencer que est un rectangle : = [, x ] [y min, y ] < x, y min < y. Dans la suite, on admettra que la fonction f est continue, et qu elle est bornée dans le sous-domaine. Comme on l a vu, le graphe de f dans le sous-domaine est une surface Σ, qui flotte au-dessus (ou au-dessous) de (figure 8.10). x z y FIG Domaine d intégration rectangulaire. On s intéresse à calculer le volume du corps (pris dans l espace à trois dimensions) limité par : le rectangle (au fond), la surface Σ (en haut), les plans verticaux x =, x = x, y = y min, y = y (comme faces latérales). Pour procéder au calcul de ce volume, on va commencer par découper l intervalle [, x ] en n parties, = x 0 < x 1 < x 2 <... < x n = x. De même, on découpe l intervalle [y min, y ] en m parties, 188

2 y min = y 0 < y 1 < y 2 <... < y m = y. Les longueurs respectives des sous-intervalles produits par ces décompositions sont données par et par x 1 = x 1 x 0, x 2 = x 2 x 1,..., x n = x n x n 1, y 1 = y 1 y 0, y 2 = y 2 y 1,..., y m = y m y m 1. Grâce à ce découpage, le sous-domaine est recouvert par une famille de N = n m petits rectangles ij, dont les aires respectives sont ij = x i y j. Ces petits rectangles ont leurs côtés parallèles aux axes Ox et Oy. Soit (x i, y j ) un point quelconque choisi dans le petit rectangle ij. Le produit V ij = f(x i, y j ) x i y j représente le volume d un prisme rectangulaire droit, qui a comme base le petit rectangle ij, et comme hauteur la valeur f(x i, y j ). Si ij est suffisamment petit, ce volume est une bonne approximation de la portion de volume située entre ij et la surface Σ engendrée par f. En effectuant la somme des volumes élémentaires de tous ces petits prismes rectangulaires (somme sur tous les petits rectangles ij ), on obtiendra une approximation du volume du corps : n m V f(x i, y j ) y j x i i=1 j=1 Lorsque les nombres de points n et m des découpages des intervalles [, x ] et [y min, y ] tendent vers l infini, la valeur de la double somme définie ci-dessus s approche de plus en plus de la valeur exacte du volume du corps. On obtient de cette façon la définition de l intégrale double : V = x y y min f(x, y) dy dx. = lim n m n m f(x i, y j ) y j x i (8.19) L intégrale double définie en (8.19) existe à la condition que la fonction f soit bornée et continue dans le domaine d intégration. On dit alors que f est intégrable sur le domaine. Dans la définition de cette intégrale double, on a d abord effectué la somme pour l indice j, et ensuite la somme pour l indice i. On a obtenu de cette manière une intégrale double qui peut être effectuée au moyen de deux intégrales successives à une seule variable : x y i=1 j=1 f(x, y) dy dx. y min En permutant l ordre dans lequel les sommes ont été effectuées (effectuer la somme sur i avant celle sur j), on aurait obtenu une intégrale de la forme y y min x f(x, y) dx dy, qui peut aussi être effectuée au moyen de deux intégrales simples successives : y x f(x, y) dx dy. y min 189

3 Les résultats de ces intégrales sont identiques quel que soit l ordre dans lequel on les effectue. On peut donc énoncer la règle : Pour intégrer une fonction sur un domaine dont les limites sont constantes, l ordre dans lequel les intégrales successives sont effectuées ne joue pas de rˆole, c est-à-dire : x y f(x, y) dy dx = y min y y min x f(x, y) dx dy. (8.20) Exemple Calculer l intégrale double x=3 y=2 x=1 y= 1 (2xy y 2 + 3) dy dx, puis vérifier que le résultat est le même lorsqu on inverse l ordre d intégration. Le symbole dydx ou dxdy qui apparaît à la fin de l intégrale représente l élément d intégration de l intégrale. Si le domaine sur lequel on intègre s appelle (comme dans l exemple ci-dessus), il est d usage d écrire simplement d pour cet élément, et ainsi le volume V peut être formulé par V = f(x, y) d. De manière plus générale, le domaine sur lequel on doit intégrer une fonction n est pas toujours un rectangle. Dans la suite, un domaine d intégration sera toujours un morceau de plan, limité par une courbe fermée Γ continue et qui ne se coupe pas (voir figure 8.12). Le corps dont on doit alors calculer le volume est limité par la surface Σ (en haut), le domaine (au fond), et par une surface cylindrique dont la projection verticale sur le plan horizontal détermine la courbe Γ. Soient A 1, A 2, B 1 et B 2 les points de la courbe Γ en lesquels les tangentes à Γ sont parallèles aux axes respectivement Oy et Ox (voir figure 8.12). Entre les points A 1 et A 2, on peut considérer la courbe Γ comme formée par deux morceaux séparés de courbes, décrits respectivement par les fonctions y = y 1 (x) pour la partie inférieure, et y = y 2 (x) pour la partie supérieure. De cette façon, le domaine peut être défini par l ensemble de tous les points (x, y) du plan R 2 tels que x x y 1 (x) y y 2 (x) (8.21) De la même manière, on peut considérer la courbe Γ comme engendrée, entre les deux points B 1 et B 2, par deux morceaux de courbes décrits respectivement par les fonctions x = x 1 (y) pour la partie gauche et x = x 2 (y) pour la partie droite. De cette façon, peut être défini par l ensemble de tous les points (x, y) du plan tels que y min y y x 1 (y) x x 2 (y) (8.22) Pour le calcul de l intégrale double de f(x, y) sur le domaine, on peut alors procéder de deux manières différentes : en considérant x comme une constante fixée, on calcule d abord l intégrale simple y 2(x) y 1(x) f(x, y) dy puis on intègre le résultat pour la variable x sur l intervalle [, x ]. Ainsi, 190

4 FIG Volume d un corps entre le plan Oxy et le graphe d une fonction. V = f(x, y) d = x y 2(x) y 1(x) f(x, y) dy dx (8.23) en considérant y comme une constante fixée, on calcule d abord l intégrale simple x 2(y) x 1(y) f(x, y) dx puis on intègre le résultat pour la variable y sur l intervalle [y min, y ] : y x 2(y) V = f(x, y) d = f(x, y) dx dy (8.24) Le bon choix de l une ou de l autre des manières d intégrer (le choix de l ordre des variables d intégration) peut parfois simplifier considérablement le calcul de l intégrale double. En outre, les parenthèses qui apparaissent dans les formules (8.23) et (8.24) peuvent être éliminées. y min x 1(y) Exemple Un domaine est défini par les inéquations 0 y x2, 0 x 3. Trouver le volume du corps cylindrique dont la base est et dont la surface supérieure est déterminée par le graphe de la fonction z = xy. Faire d abord un dessin de la situation. 191

5 y x FIG Domaine d intégration (dans le plan). Exemple Calculer l intégrale double de la fonction z = x + 2y sur le domaine donné par les inégalités 1 x 5 (x 3) 2 y 4 Faire d abord un dessin. Si est un domaine rectangulaire, dont les côtés sont parallèles aux axes, et si f(x, y) = g(x)h(y) est un produit de deux fonctions, l une de la variable x et l autre de la variable y, alors le calcul de l intégrale de f sur peut se ramener au produit de deux intégrales simples : V = f(x, y) d = x g(x) dx y y min h(y) dy. (8.25) Si d autre part la fonction f est une constante qui vaut 1 sur tout le domaine, alors l intégrale V = d (8.26) peut s interpréter comme le volume d un prisme cylindrique vertical de base et de hauteur 1, mais aussi comme la valeur de l aire du domaine. Par exemple, on peut écrire Aire() = x y 2(y) y 1(x) dx dy = x (y 2 (x) y 1 (x)) dx 192

6 Changement de variables dans une intégrale double Dans de nombreux problèmes qui conduisent à une intégrale double, le système de coordonnées cartésiennes (x, y) est mal approprié, car il provoque des complications de calcul très désagréables. En utilisant d autres systèmes de coordonnées mieux adaptés, les calculs peuvent être rendus plus simples et les problèmes plus facilement résolus. L exemple le plus utile est sans doute le système de coordonnées polaires. Mais commençons par considérer le cas général : Soient x = x(u, v) y = y(u, v) (8.27) une transformation inversible qui permet d exprimer les coordonnées cartésiennes (x, y) dans un autre système de coordonnées (u, v). On suppose que dans (8.27) les dérivées partielles existent et sont continues. Soit un domaine dans le plan Oxy. Grâce au changement de coordonnées (8.27), ce domaine est transformé en un domaine dans le plan (u, v). v y u x FIG Changement de variables Pour le calcul de l intégrale double d une fonction f(x, y) sur le domaine, on va effectuer un changement de variables, permettant ainsi de se ramener à une intégrale double sur le nouveau domaine. De façon un peu similaire à un changement de variable dans une intégrale simple, il est nécessaire ici de tenir compte de la modification de l élément de surface d, lorsque celui-ci est transformé dans le nouveau système en d (on parle du jacobien de la transformation). Définition 8.7 Le jacobien de la transformation (x, y) (u, v) est le déterminant fonctionnel x x J(u, v) = u v (x, y) y y = (u, v) u v (8.28) L élément de surface est alors transformé au moyen d une facteur de multiplication : d = J(u, v) d. Pour que la transformation (x, y) (u, v) soit inversible, il est nécessaire que le jacobien J(u, v) soit différent de zéro, en chaque point du domaine. On obtient alors la formule du changement de variables dans une intégrale double : f(x, y) d = f(x(u, v), y(u, v)) J(u, v) du dv (8.29) Il est à noter ici que l élément d peut aussi être écrit dxdy, et qu inversément l élément de surface dudv peut aussi s écrire d. 193

7 Intégrale double en coordonnées polaires Le plus utile des changements de variables est sans doute celui des coordonnées polaires : en choisissant de manière classique les variables polaires (r, ϕ) en lieu et place des variables (u, v) utilisées ci-dessus, on a : x(r, ϕ) = r cosϕ y(r, ϕ) = r sinϕ x J(r, ϕ) = r y r x ϕ cosϕ r sinϕ y = sinϕ r cosϕ = r 0 ϕ Dans le système de coordonnées polaires, la formule du changement de variables est donnée par : f(x, y) d = f(x(r, ϕ), y(r, ϕ)) r dr dϕ (8.30) phi y r x FIG Changement de variables en coordonnées polaires. Exemple Calculer l intégrale où est le disque d équation x 2 + y 2 a 2. 1 e x2 +y 2 dxdy Exemple Soit la demi-sphère S d équation z = R 2 x 2 y 2 et le cylindre C d équation x 2 +y 2 Rx = 0. Trouver le volume du corps constitué par l intersection du cylindre C et de la demi-sphère S. 194

8 Exercices Exercice Calculer les intégrales multiples suivantes : a) a b 0 0 xy dx dy b) 2 π/2 0 0 e x siny dx dy Exercice Au moyen d une intégrale double, calculer le volume du tétraèdre de sommets (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0) et (0, 0, 1). Exercice Calculer l intégrale double de la fonction z = x 2 y sur le domaine limité par la parabole y 2 = 4x, le cercle de rayon 1 centré au point (1, 0) et la droite d équation x = 2. Exercice Quel est le volume du corps limité par les plans z = 0, x = 0, y = 0, 3x + 4y 12 et la surface z = x 2 + y 2? Exercice En utilisant les coordonnées polaires, calculer l intégrale de la fonction z = x 2 +y 2 sur le domaine limité par la courbe d équation x 2 + y 2 = a 2, où a est une constante positive. Exercice Calculer l intégrale double de la fonction z = 4(x 2 + y 2 ) 1 sur la couronne centrée à l origine, et de rayons r 1 = 1 et r 2 = L intégrale triple A partir des résultats établis pour l intégrale double, il est maintenant plus facile de généraliser à des intégrales de plus grande dimension (intégrales multiples), et en particulier les intégrales triples Intégrale triple en coordonnées cartésiennes Soit un domaine de l espace tridimensionnel R 3. On peut considérer ici un tel domaine comme une portion de l espace, limitée par une surface fermée Σ : par exemple un cube, une sphère pleine, un ellipsoïde (plein), un caillou,...sont des domaines possibles. Pour commencer, on admettra pour simplifier que le domaine est le parallélépipède x x, y min y y, z min z z. Au moyen d une famille de plans parallèles aux plans de coordonnées, on décompose en une réunion de petits cubes ijk, pour i = 1, 2,...,n 1, pour j = 1, 2,...,n 2, et pour k = 1, 2,...,n 3. Les notations sont similaires à celles utilisées au début du chapitre sur l intégrale double. Les volumes respectifs de ces petits cubes sont donnés par ijk = x i y j z k. 195

9 Soit aussi une fonction f(x, y, z), définie en chaque point du domaine, et supposée continue et bornée dans. Par exemple, f(x, y, z) peut représenter la densité de masse du corps au point (x, y, z). Soit (x i, y j, x k ) un point quelconque pris dans le petit cube ijk. Si le petit cube est suffisamment petit, la valeur de f au point (x i, y j, z k ) représente une bonne approximation de f en tous les autres points du même petit cube. Ainsi, si f est la densité de masse, la valeur f(x i, y j, z k ) x i y j z k correspond à une approximation de la masse du petit cube ijk. Pour obtenir la masse totale du domaine (ou du corps), il faut alors effectuer la somme de toutes les masses des petits cubes élémentaires ijk qui constituent. Cette somme peut se faire de différentes façons, suivant dans quel ordre on arrange les indices de somme i, j et k. Par exemple : ( n 1 n 2 n3 ) M f(x i, y j, z k ) z k y j x i i=1 j=1 k=1 La valeur exacte de l intégrale triple est finalement obtenue en passant aux limites n 1, n 2 et n 3, ce qui revient à dire que les volumes des petits cubes élémentaires ijk tendent vers zéro. Il suit la définition de l intégrale triple, lorsque le domaine est un parallélipipède dont les côtés sont parallèles aux axes des coordonnées : f(x, y, z) dv. = lim ijk 0 = x y y min n 1 i=1 z n 2 j=1 f(x i, y j, z k ) z k ) y j x i = (8.31) ( n3 k=1 z min f(x, y, z)dz dy dx Dans cette formule, le produit dz dy dx est appelé l élément de volume, et il est parfois simplement noté symboliquement dv. Selon la formule (8.31), le calcul d une intégrale triple est ramené aux calculs successifs de trois intégrales simples. Lorsque les bornes d intégration sont des constantes, l ordre dans lequel les trois intégrales sont effectuées ne joue aucun rôle. Exemple Calculer l intégrale triple I = (x 2 2yz) dz dy dx Considérons maintenant le cas plus général d un domaine dans R 3 différent d un parallélépipède. On le supposera suffisamment régulier (figure 8.15). 196

10 FIG Domaine tridimensionnel. Soit donc le domaine défini par les inéquations x x y 1 (x) y y 2 (x) z 1 (x, y) z z 2 (x, y) Dans un tel domaine, il est à remarquer que les bornes ne sont pas toutes des constantes, mais que certaines d entre elles dépendent d autres. L intégrale de la fonction f(x, y, z) sur le domaine sera alors définie par f(x, y, z) dv. = x y 2(x) z 2(x,y) y 1(x) z 1(x,y) f(x, y, z) dz dy dx (8.32) Les trois intégrales simples sont à calculer de l intérieur à l extérieur, dans l ordre donné par l élément de volume dz dy dx. Au cas où l on voudrait modifier l ordre d intégration, il importe aussi de modifier en conséquence les bornes respectives des intégrales simples! Exemple Soit le tétraèdre de sommets (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0) et (0, 0, 1). Calculer l intégrale triple sur de la fonction 1 f(x, y, z) = (1 + x + y + z)

11 Dans le cas particulier où la fonction à intégrer est une constante égale à 1 (cela signifie que la densité de masse est égale à 1 en tout point), l intégrale de f sur représente la masse totale du corps, mais celle-ci est également égale au volume du corps. Ainsi : Volume() = dz dy dx (8.33) Changement de variables dans une intégrale triple De même que pour les intégrales doubles, il est parfois très avantageux de choisir un autre système de coordonnées que les coordonnées cartésiennes pour calculer des intégrales triples. Les complications dans les calculs peuvent être considérablement simplifiées si on utilise un système de coordonnées bien adapté. On va établir ici une formule permettant de calculer une intégrale triple dans un autre système de coordonnées. Soient donc x = x(u, v, w), y = y(u, v, w), y = z(u, v, w) (8.34) une transformation inversible qui permet d exprimer les coordonnées cartésiennes (x, y, z) dans un autre système de coordonnées (u, v, w). On suppose que dans (8.34) les dérivées partielles existent et sont continues. Soit un domaine dans R 3 suffisamment régulier. Grâce au changement de coordonnées (8.34), ce domaine est transformé en un domaine dans l espace engendré par les axes u, v et w. Pour le calcul de l intégrale triple d une fonction f(x, y, z) sur le domaine, on effectue un changement de variables permettant de se ramener à une intégrale triple sur le nouveau domaine. Il est nécessaire ici de tenir compte de la modification de l élément de volume dv, lorsque celui-ci est transformé dans le nouveau système en dv. Définition 8.8 On appelle déterminant jacobien de la transformation (x, y, z) déterminant fonctionnel x x x u v w J(u, v, w) = y y y (x, y, z) = u v w (u, v, w) z z z u v w (u, v, w) le (8.35) L élément de volume est alors simplement transformé au moyen d un facteur multiplicatif : dv = J(u, v, w) dv. Pour que la transformation (x, y, z) (u, v, w) soit inversible, il est nécessaire que le jacobien J(u, v, w) soit différent de zéro, en chaque point du domaine. On obtient alors la formule du changement de variables dans une intégrale triple : f(x, y, z) dv = f(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)) J(u, v, w) du dv dw (8.36) 198

12 Il est à noter ici que l élément dv peut aussi être écrit dxdy dz, et qu inversément l élément de volume du dv dw peut aussi s écrire dv. L ordre des différents facteurs correspond à l ordre dans lequel les différentes intégrales successives sont exécutées, et celui-ci peut être choisi librement. La formule générale ainsi établie, on va maintenant citer les deux systèmes de coordonnées les plus fréquemment utilisés, et adapter la formule du changement de variables à ces deux situations. Il s agit des systèmes de coordonnées sphériques et de coordonnées cylindriques Intégrale triple en coordonnées sphériques Dans le système de coordonnées sphériques, un point P de l espace (sauf l origine) est déterminé par les trois grandeurs suivantes (figure 8.16) : la distance euclidienne r = OP de ce point à l origine ; l angle ϕ mesuré sur le plan Oxy entre la projection de OP et l axe Ox ; l angle θ entre le segment OP et l axe vertical Oz. z y x FIG Coordonnées sphériques. Dans ce système, les coordonnées cartésiennes (x, y, z) de P sont données par les équations x = r cosϕsinθ y = r sinϕsinθ z = r cosθ (8.37) La transformation (r, ϕ, θ) (x, y, z) est inversible, et les formules inverses sont données par r = x 2 + y 2 + z 2 tanϕ = tanθ = x y x2 + y 2 z (8.38) 199

13 Le déterminant fonctionnel (selon la formule 8.35) est donné par cosϕsinθ r sinϕsinθ r cosϕcosθ (x, y, z) J(r, ϕ, θ) = (r, ϕ, θ) = sinϕsinθ r cosϕsinθ r sinϕcosθ cosθ 0 sinθ = r 2 sinθ (8.39) Dans le système de coordonnées sphériques, l intégrale triple se calcule ainsi au moyen de la formule f(x, y, z) dv = θ 2 θ 1 ϕ 2 ϕ 1 r 2 r 1 f(x(r, ϕ, θ), y(r, ϕ, θ), z(r, ϕ, θ)) r 2 sinθ dr dϕ dθ (8.40) Exemple Calculer l intégrale où est la sphère de rayon R centrée à l origine. 1 x2 + y 2 + z dv, Intégrale triple en coordonnées cylindriques Dans le système de coordonnées cylindriques, un point P de l espace (sauf l origine) est déterminé par les trois grandeurs suivantes (figure 8.17) : la distance r entre le point P et l axe vertical Oz ; l angle ϕ mesuré sur le plan Oxy entre la projection sur ce plan de OP et l axe Ox ; la hauteur z du point P, c est-à-dire sa coordonnée verticale selon l axe Oz. Dans ce système de coordonnées, les coordonnées cartésiennes (x, y, z) de P sont données par les équations x y z = r cosϕ = r sinϕ = z (8.41) La transformation (r, ϕ, z) (x, y, z) est inversible, et les formules inverses sont données par r = x 2 + y 2 tanϕ = y x (8.42) z = z 200

14 z y x FIG Coordonnées cylindriques. Le déterminant fonctionnel (selon la formule 8.35) est donné par cosϕ r sinϕ 0 (x, y, z) J(r, ϕ, z) = (r, ϕ, z) = sinϕ r cosϕ = r (8.43) Dans le système de coordonnées cylindriques, l intégrale triple se calcule ainsi au moyen de la formule f(x, y, z) dv = z 2 z 1 ϕ 2 ϕ 1 r 2 r 1 f(x(r, ϕ, z), y(r, ϕ, z), z(r, ϕ, z)) r dr dϕ dz (8.44) Il est à remarquer que la variable r n a pas la même signification dans le système de coordonnées sphériques et dans le système de coordonnées cylindriques! Exemple Trouver le volume du domaine situé au-dessus du plan Oxy et limité par le paraboloïde z = x 2 +y 2 et le cylindre x 2 + y 2 = a 2. Commencer par faire un dessin de ce domaine. ( π 2 a4 ). 201

15 Quelques applications Les applications des intégrales multiples aux sciences et aux techniques sont très nombreuses (calcul de volumes et de masses, de charge électrostatique contenue dans un corps, etc...). On va se contenter ici de citer l exemple classique du calcul de la masse d un corps et de son centre de masse. Soit un corps (physique) dans l espace R 3, de volume V, et de masse m. Soit P un point de ce corps, contenu dans un petit domaine élémentaire (par exemple, on peut supposer que est un petit cube). Soit V le volume de, et soit m sa masse. On peut alors définir la densité ponctuelle du corps par m ρ = lim 0 V Lorsque le corps est homogène, la densité ρ est indépendante du point P choisi, et elle est donc constante. On a la formule simple m = ρ V. Dans le cas d un corps inhomogène, la densité ρ = ρ(x, y, z) n est plus constante. La masse totale du corps doit donc être calculée par intégration de la densité de la densité de masse sur le corps entier : m = ρ(x, y, z) dv (8.45) Exemple Un tube en matière synthétique est placé verticalement entre les hauteur z = 1 et z = 4, son axe étant aligné le long de l axe Oz. Son rayon intérieur est R 1 = 2 et son rayon extérieur R 2 = 3. La matière synthétique qui le constitue est inhomogène, de densité ρ = 1 z(x 2 + y 2. Calculer la masse de ce tube. ) Le centre de masse S d un corps tridimensionnel peut également être déterminé au moyen d intégrales triples. En effet, on peut montrer grâce à quelques arguments physiques (théorème des moments) que les coordonnées (x S, y S, z S ) du centre de masse sont données par les formules x S = 1 x dv ; y S = 1 y dv ; z S = 1 z dv. (8.46) V V V Exemple Un corps est limité dans R 3 par la surface z = x 2 + y 2 (paraboloïde de rotation) et par les plans x = 0, y = 0 et z = 1. Calculer les coordonnées de son centre de masse. 202

16 Exercices Exercice Calculer les intégrales triples a) xe y+z dzdydx b) (xy + yz + xz) dzdydx Exercice Calculer l intégrale triple x2 + y 2 dv, où est le domaine de R 3 limité par les surfaces d équations x = 1, y = 0, y = x, z = 0 et z = x 2 + y 2. Faire une esquisse de ce domaine. Exercice Un corps est limité par la surface cylindrique x 2 + y 2 = 4, et par les plans x + y + z 6 = 0 et z = 0. Esquisser ce corps et calculer son volume. Exercice Quel est le volume du corps limité par les plans x = 0, x = 1, y = 0, z = 0 et x + y + z = 2? Dessiner aussi ce corps. Exercice Un corps est limité par la sphère z = 1 x 2 y 2 et par le cône d équation x 2 + y 2 = 3z 2. Calculer son volume, en utilisant un système de coordonnées approprié. Exercice Une demi-sphère inhomogène est limitée par les surfaces d équations x 2 +y 2 +z 2 = 4 et z = 0. La densité est donnée en un point (x, y, z) par la formule ρ = 1 z 4. Calculer la masse de ce corps. Exercice Calculer le centre de masse de la demi-sphère homogène limitée par les surfaces d équations x 2 + y 2 + z 2 = 1 et z = 0. Exercice Pour une altitude z de moins de m, la densité δ exprimée en [kg/m 3 de l atmosphère terrestre peut être approchée par δ = 1.2 ( )z + ( )z 2. Estimer la masse d une colonne d air verticale cylindrique de 10 km de hauteur et de 3 m de rayon. 203

17 Exercice La terre est supposée être une sphère parfaite de 6370 km de rayon. La densité δ de l atmosphère exprimée en [kg/m 3 ] à une distance ρ du centre de la terre peut être approchée par la formule pour 6370 ρ 6373 (km). δ = ( )ρ, 1. Estimer la masse de l atmosphère comprise entre le sol et une altitude de 3000 m. 2. La masse totale de l atmosphère comprise entre le sol et une altitude de 100 km est d environ kg. Quel est le pourcentage de la masse d air concentrée dans les basses couches de l atmosphère, entre 0 et 3000 m? 204

Intégrales multiples. V. Borrelli. Intégrale simple de Riemann. Vincent Borrelli. Intégrale double. Université de Lyon.

Intégrales multiples. V. Borrelli. Intégrale simple de Riemann. Vincent Borrelli. Intégrale double. Université de Lyon. s triple s Vincent Borrelli Université de Lyon s Le programme triple Partie I : Fonctions (6 semaines) CM 1. Coordonnées, topologie CM 2. Fonction, graphe, composition CM 3. Limite, différentielle CM 4.

Plus en détail

CHAPITRE 9. Intégrales triples.

CHAPITRE 9. Intégrales triples. CHAPITE 9 Intégrales triples. Dans ce chapitre, nous définirons l intégrale triple d une fonction f(,, sur une région bornée de 3 et nous présenterons quelques-unes de ces propriétés. Ensuite nous verrons

Plus en détail

Changement de variables dans une intégrale multiple

Changement de variables dans une intégrale multiple Chapitre 1 Changement de variables dans une intégrale multiple Dans ce chapitre on poursuit l étude des intégrales multiples. Pour calculer une intégrale double, la méthode de base donnée par le théorème

Plus en détail

Math IV, analyse (L2) Fiche 10

Math IV, analyse (L2) Fiche 10 UNIVERSITÉ CLAUDE BERNARD LYON Cours: O. Kravchenko Institut Camille Jordan Travaux dirigés: T. Altınel, T. Eisenkölbl & S. Richard Math IV, analyse (L2) Fiche 9 mai 28 Exercice. Un astroïde est la courbe

Plus en détail

LM 256 : Travaux dirigés - Feuille 3

LM 256 : Travaux dirigés - Feuille 3 Université Paris 6 - Année 28-29 1 LM 256 : Travaux dirigés - Feuille 3 Exercice 1 Calculer 1 π 1 1 dy dz 2 dx x z dz dy 4 z 2 y dy x 2 dx, sin(x 2 )dy, y 2xyzdx, 2z sin ydx, 1 1 1 dx 3 y dy dx 1+x 1 x

Plus en détail

Mathématique MATH-F-112/ Exercices

Mathématique MATH-F-112/ Exercices Mathématique MATH-F-112/1112 - Exercices 2016-2017 1 Analyse vectorielle 1.1 Vecteurs et opérateurs diérentiels 1. (a) Calculer le gradient de F au point (2, 1) si F (x, y) = x 3 + y 3 3xy (b) Calculer

Plus en détail

Fonctions de R n dans R p et intégrales () 1 / 40

Fonctions de R n dans R p et intégrales () 1 / 40 Fonctions de R n dans R p et intégrales () 1 / 4 1 Applications de R n dans R p 2 Intégrales doubles 3 Intégrales triples () 2 / 4 ans tout ce cours, n et p seront des entiers. On rappelle que R n est

Plus en détail

INTEGRALES DE SURFACES

INTEGRALES DE SURFACES INTEGRALES DE SURFACES P. Pansu November 1, 4 1 Surfaces paramétrées Définition 1 Une surface paramétrée dans l espace, cela consiste à se donner trois fonctions définies sur un domaine D du plan, x s

Plus en détail

Calcul vectoriel. Chapitre Vecteurs

Calcul vectoriel. Chapitre Vecteurs Chapitre Calcul vectoriel Il s agit ici de réviser certaines notions quand aux calculs avec des vecteurs et des champs de vecteurs. On commence par deux définitions : Scalaire : Un scalaire est une grandeur

Plus en détail

Intégrales doubles et triples - M

Intégrales doubles et triples - M Intégrales s et - fournie@mip.ups-tlse.fr 1/27 - Intégrales (rappel) Rappels Approximation éfinition : Intégrale définie Soit f définie continue sur I = [a, b] telle que f (x) > 3 2.5 2 1.5 1.5.5 1 1.5

Plus en détail

Formules intégrales. Chapitre Intégrales curvilignes Définition. On appelle intégrale curviligne de V le long de γ, l intégrale :

Formules intégrales. Chapitre Intégrales curvilignes Définition. On appelle intégrale curviligne de V le long de γ, l intégrale : Chapitre 6 Formules intégrales 6.1 Intégrales curvilignes Soit : t (t) = (x(t), y(t), z(t)) une courbe paramétrée régulière de l espace R 3 et V = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) un champ de vecteurs.

Plus en détail

Chapitre 1. Géométrie

Chapitre 1. Géométrie Chapitre 1 Géométrie 1.1. On donne les points a = (1, ), b = (4, 4) et c = (4, 3) du plan. Déterminer a. les composantes des vecteurs ab et ba ; b. les coordonnées du milieu du segment ab ; c. les coordonnées

Plus en détail

Intégrales curvilignes Intégrales de surface Théorèmes de Stokes. Intégrale d un champ scalaire Intégrale d un champ de vecteurs

Intégrales curvilignes Intégrales de surface Théorèmes de Stokes. Intégrale d un champ scalaire Intégrale d un champ de vecteurs Intégrale d un champ scalaire Intégrale d un champ de vecteurs Définition On a vu que l orientation d une surface S était la donnée d un champ de vecteur normal unitaire, c est-à-dire une application continue

Plus en détail

1 Vecteurs de base en coordonnées curvilignes

1 Vecteurs de base en coordonnées curvilignes 1 Vecteurs de base en coordonnées curvilignes 1.1 Coordonnées cartésiennes Considérons l espace muni des coordonnées cartésiennes et soit P = (x,y,z) R 3. Si on fixe les variables y et z et qu on pose

Plus en détail

Licence Sciences Technologies Santé

Licence Sciences Technologies Santé Licence Sciences Technologies Santé Outils mathématiques 4 Travaux dirigés UFR Mathématiques Rennes Janvier 2017 Intégrales doubles calculables par intégration itérée 1. Calculer les intégrales D f (x,

Plus en détail

Corrections. Fig. 1: La cycloïde ; l intervalle t ( π, π] se trouve au centre (gras, bleu)

Corrections. Fig. 1: La cycloïde ; l intervalle t ( π, π] se trouve au centre (gras, bleu) Corrections 1 Paramétrage Cartésien Correction de l exercice 1.1 (La cycloïde) Soit (Γ) la courbe définie par la représentation x(t) = 3(t sin(t)), y(t) = 3(1 cos(t)). 1. x(t) et y(t) sont bien définies

Plus en détail

26.1 Opérateurs de l analyse vectorielle

26.1 Opérateurs de l analyse vectorielle CHAPITRE 6 ANALYSE VECTORIELLE L analyse vectorielle fait intervenir à la fois des outils analytiques dérivées partielles et du calcul vectoriel. Les notions de base de l analyse vectorielle sont indispensables

Plus en détail

Outils mathématiques

Outils mathématiques Année universitaire 216/217. U.E. 2P21 TD n o 1. Outils mathématiques Exercice I. Coordonnées cartésiennes, cylindriques, sphériques Définir dans le système de coordonnées le plus approprié les surfaces

Plus en détail

Intégrales curvilignes

Intégrales curvilignes IUT Orsay Mesures Physiques Intégrales curvilignes Cours du ème semestre A L intégrale curviligne de première espèce A-I Longueur d un élément différentiel de courbe 1 Le cas des équations paramétriques

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Université Pierre & Marie Curie Année 2016-2017 Module 2M256 Analyse vectorielle, intégrales multiples Fonctions de plusieurs variables 1 Calcul vectoriel Exercice 1. (Produit scalaire) Soient u, v, w

Plus en détail

Surfaces. (u; v) 7! M(u; v) = (x(u; v); y(u; v); z(u; v))

Surfaces. (u; v) 7! M(u; v) = (x(u; v); y(u; v); z(u; v)) Surfaces. Généralités sur les surfaces a) Surfaces paramétrées. - Dé nition : Une surface paramétrée S de l espace R 3 est une application d une partie de R à valeurs dans R 3, (u; v) 7! M(u; v) = (x(u;

Plus en détail

Chapitre VI. Intégrales doubles

Chapitre VI. Intégrales doubles Chapitre VI Intégrales doubles. PARTIES QUARRABLES..... PAVÉS..... PARTIES PAVABLE....3. PARTIES QUARRABLES.... INTÉGRALE OUBLE... 3.. ÉFINITION... 3.. PROPRIÉTÉS ÉLÉMENTAIRES E L INTÉGRALE OUBLE... 5

Plus en détail

Outils Mathématiques 4: Exercices. Fonctions de plusieurs variables et calcul vectoriel

Outils Mathématiques 4: Exercices. Fonctions de plusieurs variables et calcul vectoriel Université de Rennes 1 Année 2006/2007 A savoir Outils Mathématiques 4: Exercices Fonctions de plusieurs variables et calcul vectoriel 1. Définition du graphe G(f) d une fonction f 2. Courbes de niveau.

Plus en détail

Faculté : ST TD de Maths 3 : Série 1. Départements : G.C et ELN. [ x. dy 5)

Faculté : ST TD de Maths 3 : Série 1. Départements : G.C et ELN. [ x. dy 5) Université A/MIRA de Béjaia Année : 5-6 Faculté : ST T de Maths : Série. épartements : G.C et ELN. Exercice :Intervertir l ordre d intégration dans les intégrales suivantes : y ) f(x, y)dy dx ) f(x, y)dy

Plus en détail

Cinématique du point

Cinématique du point Notes de Cours PS 91 Cinématique du point La cinématique du point est l étude du mouvement d un point matériel indépendamment des causes de ce mouvement. En pratique l approximation du point matériel peut

Plus en détail

Révision d algèbre et d analyse

Révision d algèbre et d analyse Révision d algèbre et d analyse Chapitre 9 : Intégrales triples Équipe de Mathématiques Appliquées UTC Mai 2013 suivant Chapitre 9 Intégrales triples 9.1 Motivation, définition et calcul de l intégrale

Plus en détail

Exercices Physiques pour la Prépa

Exercices Physiques pour la Prépa Physique 1 Exercices Physiques pour la Prépa Sujet proposé par IM Seiha Exo 1 : Ionisation de l atome d hydrogène 1. Calculer l ordre de grandeur du champ électrique qu il faut appliquer à un atome d hydrogène

Plus en détail

MT22-Fonctions de plusieurs variables et applications

MT22-Fonctions de plusieurs variables et applications MT22-Fonctions de plusieurs variables et applications Chapitre 5 : Intégrale triple ÉQUIPE E MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES UTC-UTT suivant Chapitre 5 Intégrale triple 5.1 Construction.....................................

Plus en détail

MT22 - Corrigé du Final P002

MT22 - Corrigé du Final P002 MT - Corrigé du Final P Problème ( points) On considère le volume de R 3 défini par (x,y,z) R 3 : x + y x y +, z x + y } et la courbe d équation x + y x y + x + y z. (description géométrique,.5 points)

Plus en détail

Sommaire. Opérateur d inertie. Papanicola. 23 septembre 2012

Sommaire. Opérateur d inertie. Papanicola. 23 septembre 2012 Cinétique Papanicola Lycée Jacques Amyot 3 septembre 1 ommaire en 1 point Définition Détermination du moment d inertie par rapport à un axe quelconque Théorème de Huygens généralisé Changement de base

Plus en détail

CHAPITRE 10. Jacobien, changement de coordonnées.

CHAPITRE 10. Jacobien, changement de coordonnées. CHAPITRE 10 Jacobien, changement de coordonnées ans ce chapitre, nous allons premièrement rappeler la définition du déterminant d une matrice Nous nous limiterons au cas des matrices d ordre 2 2et3 3,

Plus en détail

Algèbre, Juillet 2011

Algèbre, Juillet 2011 Algèbre, Juillet 2011 1. Résoudre dans IR, en discutant en fonction du paramètre réel m, l équation 2. Factoriser au maximum le déterminant m x + (x 1) 2 = 1. a b 2 b a 2 b b 2 b c 2 c b 2 c c 2 c a 2

Plus en détail

Coniques. Ellipses. Définition monofocale. Hyperboles. Paraboles. Equations polaires

Coniques. Ellipses. Définition monofocale. Hyperboles. Paraboles. Equations polaires [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 4 septembre 06 Enoncés Coniques Ellipses Définition monofocale Exercice [ 099 ] [Correction] Soit D une droite du plan P et F un point non situé sur D. (a) Justifier

Plus en détail

Electromagnétique 2 (EM2)

Electromagnétique 2 (EM2) Electromagnétique 2 (EM2) 1. Electrostatique (mai 2005): 1. Champ E créé par un anneau uniformément chargé. On considère un cercle de rayon R uniformément chargé avec une densité linéique λ. a) Calculer

Plus en détail

MT22-Fonctions de plusieurs variables et applications

MT22-Fonctions de plusieurs variables et applications MT22-Fonctions de plusieurs variables et applications Chapitre 7 : Intégrale de surface ÉQUIPE DE MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES UTC-UTT suivant Chapitre 7 Intégrale de surface 7.1 Aire d une surface..................................

Plus en détail

SPE MP ELECTROSTATIQUE MAGNETOSTATIQUE LYCEE DAUDET

SPE MP ELECTROSTATIQUE MAGNETOSTATIQUE LYCEE DAUDET SPE P ELECTROSTATQUE AGNETOSTATQUE LYCEE DAUDET Electrostatique 1. Equations locales et globales Les équations de axwell de l électrostatique sont : l équation de axwell Gauss : Q ( ) div( E ( ) ) dont

Plus en détail

MS5: Exercices du 10 mars 2008

MS5: Exercices du 10 mars 2008 Licence STEP L2 Module Physique pour les géosciences S4 Mécanique des solides et des planètes MS5: Exercices du 10 mars 2008 2008MS5E1 : A l'équilibre, le moment de tous les poids par rapport au fléau

Plus en détail

Chapitre trois : Cinématique

Chapitre trois : Cinématique Chapitre trois : Cinématique 3.1 Objet de la cinématique 3.2 Le temps et l espace 3.3 La trajectoire 3.4 Le vecteur-position et vecteur-vitesse 3.5 Le vecteur-accélération 3.6 Composantes du vecteur-vitesse

Plus en détail

Outils Mathématiques 4

Outils Mathématiques 4 Université de Rennes1 Année 2006/2007 Outils Mathématiques 4 Continuité et différentiabilité résumé 1 Continuité Soient V 1 = (x 1, y 1 ) R 2 et V 2 = (x 2, y 2 ) R 2. On va toujours utiliser la norme

Plus en détail

FACULTE POLYTECHNIQUE DE MONS EPREUVE D ADMISSION DE JUILLET 2014 GEOMETRIE PLANE SERIE E

FACULTE POLYTECHNIQUE DE MONS EPREUVE D ADMISSION DE JUILLET 2014 GEOMETRIE PLANE SERIE E nom, prénom: FACULTE POLYTECHNIQUE DE MONS EPREUVE D ADMISSION DE JUILLET 2014 GEOMETRIE PLANE SERIE E Dans un système d axes OXY orthonormé, soient la circonférence C 1 centrée à l origine et de rayon

Plus en détail

Ch.3 Potentiel Électrique

Ch.3 Potentiel Électrique Ch.3 Potentiel Électrique CUT-IST 07.04.2010 K.Demmouche (cours 3 E&M) Une particule chargée placée dans un champ électrique est soumise à la force selon la loi de Coulomb. Dans le cas d un champ uniforme

Plus en détail

Exercices : Electrostatique- Magnétostatique

Exercices : Electrostatique- Magnétostatique MP 2016/2017 Exercices : Electrostatique- Magnétostatique Electrostatique EMG 001 : Champ crée par des charges ponctuelles On considère un triangle équilatéral ABC de côté a. On place en A la charge +q

Plus en détail

1. Intégrale : définitions

1. Intégrale : définitions . Intégrale : définitions. Eemple d approche E = P. t E b = a P ( t ). dt P moy = E b - a . Intégrale : définitions.3 Définition mathématique s = [ f( )+f( )+f( )+f( 4 ) ]. S = [ f( )+f( )+f( S )+f( 3

Plus en détail

Licence 2-ième année, parcours PC. 11 semaines de cours, 10 semaines de TD

Licence 2-ième année, parcours PC. 11 semaines de cours, 10 semaines de TD Licence 2-ième année, parcours PC semaines de cours, 0 semaines de TD CH. Fonctions de plusieurs variables (,5 semaines) Une description très sommaire sur le contenu et le but de notre cours: étendre le

Plus en détail

Géométrie dans l espace. Complément au chapitre «géométrie élémentaire du plan et de l espace»

Géométrie dans l espace. Complément au chapitre «géométrie élémentaire du plan et de l espace» Chapitre 9 truc Géométrie dans l espace Complément au chapitre «géométrie élémentaire du plan et de l espace» Prérequis On suppose ici connue toute la géométrie de collège et de lycée, en particulier les

Plus en détail

Algèbre linéaire. Calcul matriciel et infographie

Algèbre linéaire. Calcul matriciel et infographie Sommaire Préambule...3 Méthode générale...4 Coordonnées homogènes...5 Rotations dans R2...7 Rotations dans R3...9 Rotation d axe Ox... 10 Rotation d axe Oy... 11 Rotation d axe Oz... 12 Récapitulatif...

Plus en détail

Outils mathématiques. Applications linéaires - Matrices

Outils mathématiques. Applications linéaires - Matrices Licence Sciences de la Terre et Environnement Outils mathématiques Applications linéaires - Matrices Exercice. On considère dans la base canonique de R les deux applications linéaires suivantes : σ u +

Plus en détail

Fonction exponentielle TD Année

Fonction exponentielle TD Année Fonction exponentielle TD Année 009-010 Exercice 1 Sans l aide de la calculatrice, simplifier les nombres suivants : 1. ln(e 5 ) 3. ln( 5. eln+ln3. e ln7 4. e ln4 1 ) e 3 Exercice En utilisant notamment

Plus en détail

GEOMETRIE ELEMENTAIRE DANS LE PLAN

GEOMETRIE ELEMENTAIRE DANS LE PLAN GEOETRE ELEENTRE DNS LE PLN. SES DE GEOETRE PLNE 1. Théorème de Thalès 1 1 1 1 1 3 D 3 3 D D D vec 1, et 3 parallèles : 1 1 1 1 vec 1, parallèles : 1 1 1 3 1 3 Les triangles 1 1 et sont homothétiques,

Plus en détail

Révision d algèbre et d analyse

Révision d algèbre et d analyse Révision d algèbre et d analyse Chapitre2 : Rappels de géométrie, courbes et surfaces Équipe de Mathématiques Appliquées UTC Mars 2011 suivant Chapitre II Rappels de géométrie, courbes et surfaces II.1

Plus en détail

V. ECOULEMENT POTENTIEL. Dans ce chapitre nous allons étudier les problèmes des écoulements potentiels et leurs solutions.

V. ECOULEMENT POTENTIEL. Dans ce chapitre nous allons étudier les problèmes des écoulements potentiels et leurs solutions. V. ECOULEMENT POTENTIEL Dans ce chapitre nous allons étudier les problèmes des écoulements potentiels et leurs solutions. V.1 Introduction et Rappel Rappel : Potentiel de Vitesse Si l effet visqueux peut

Plus en détail

Lycée Blaise Pascal. Mathématiques supérieures et spéciales. GENERALITES Cours. Mathématiques supérieures

Lycée Blaise Pascal. Mathématiques supérieures et spéciales. GENERALITES Cours. Mathématiques supérieures Lycée Blaise Pascal Mathématiques supérieures et spéciales GENERALITES Cours Mathématiques supérieures Mme Sandré 1 A - ANALYSE DIMENSIONNELLE... 4 1 - LES DIMENSIONS DE BASE... 4 2 - LES GRANDEURS SECONDAIRES...

Plus en détail

( ) Exercice 1. Exercice 5

( ) Exercice 1. Exercice 5 Exercice 1 1. Effectuer : A 11 5 4 B F + 5 4 6 7 C G 7 1 + 7 Exercice 5 1 5 5 5 5 D 1 6 1+ 6 E 1 H 18 0. Compléter alors le tableau suivant en utilisant le symbole ou. A B C D E F G H IN On donne Ax x

Plus en détail

1. Analyse d une carte météorologique

1. Analyse d une carte météorologique 1 MASTER 1 ET MAGISTÈRE 2 DE PHYSIQUE FONDAMENTALE........................................................................................... MÉCANIQUE DES FLUIDES (M1PHYSF-404A-A) EXAMEN DU MARDI 9 NOVEMBRE

Plus en détail

SOLUTION A. x' y' x'( π 4 ) y'( x'( 3π

SOLUTION A. x' y' x'( π 4 ) y'( x'( 3π Partie I SOLUTION A A.) Les fonctions x et y sont périodiques de période π. cos(θ) x' = qui s'annule pour θ = π ( sin(θ)) et π sin(θ)( sin(θ)) + cos(θ) y' = = sin(θ) qui s'annule pour θ = π ( sin(θ)) (

Plus en détail

Université Lyon 1 Année Master Mathématiques Générales 1 ère année Analyse appliquée aux équations aux dérivées partielles

Université Lyon 1 Année Master Mathématiques Générales 1 ère année Analyse appliquée aux équations aux dérivées partielles Université Lyon Année 03-04 Master Mathématiques Générales ère année Analyse appliquée aux équations aux dérivées partielles Feuille 4. Intégration Notations n N λ n est la mesure de Lebesgue dans R n.

Plus en détail

Géométrie dans l espace

Géométrie dans l espace Géométrie dans l espace I Modes de repérage dans l espace 1 I.A Coordonnées cartésiennes...................... 1 I.B Coordonnées cylindriques...................... 2 I.C Coordonnées sphériques.......................

Plus en détail

Les équations de Maxwell

Les équations de Maxwell Chapitre 1 Les équations de Maxwell La lumière est une onde électromagnétique qui se propage dans le vide ou un milieu matériel. Nous allons donc rappeler dans ce premier chapitre les postulats de l électromagnétisme.

Plus en détail

PHY4 (Electromagnétisme 2) Formulaire. Scalaire: un scalaire est un nombre réel (élément de IR)

PHY4 (Electromagnétisme 2) Formulaire. Scalaire: un scalaire est un nombre réel (élément de IR) Formulaire I. Eléments de l analyse vectorielle 1. Quelques définitions: calaire: un scalaire est un nombre réel (élément de IR) Vecteur: un vecteur dans IR 3 est une quantité qui peut être représentée

Plus en détail

6.1 Circulation du champ magnétique, théorème

6.1 Circulation du champ magnétique, théorème Chapitre 6 Le théorème d Ampère 6.1 Circulation du champ magnétique, théorème d Ampère 6.1.1 Circulation sur un circuit fermé du champ B créé par un fil rectiligne infini parcouru par un courant i Considérons

Plus en détail

ANALYSE III. Hiver Exercice 1. On considère le morceau de surface Σ défini par

ANALYSE III. Hiver Exercice 1. On considère le morceau de surface Σ défini par érie 6 ANALYE III Hiver 9- informations: http://cag.epfl.ch sections IN + C Exercice. On considère le morceau de surface Σ défini par Σ{(x, y, z) :z x + y, z } orienté tel que sa normale unité n vérifie

Plus en détail

Algèbre - Juillet 2015

Algèbre - Juillet 2015 Algèbre - Juillet 2015 Pour quelle(s) valeur(s) du paramètre m R, le polynôme x 4 + mx 3 + m 2 x 2 + m 3 x + 1 a) est-il divisible par (x + 1) 2? b) est-il une fonction paire? Pour quelle(s) valeur(s)

Plus en détail

CONTRAINTES. Nous considérons un solide Ω en cours de déformation, nous isolons une partie

CONTRAINTES. Nous considérons un solide Ω en cours de déformation, nous isolons une partie CONTRAINTES 1 Tenseur des contraintes 1.1 Hypothèses de base Nous considérons un solide Ω en cours de déformation, nous isolons une partie Ω A de ce solide, et nous analysons les efforts agissant sur cette

Plus en détail

d) cos(x + 5π) e) sin( x π) 1) cos 2x + π ) où x est l inconnue. où x [0 ; 2π]. est sur le cercle trigonométrique.

d) cos(x + 5π) e) sin( x π) 1) cos 2x + π ) où x est l inconnue. où x [0 ; 2π]. est sur le cercle trigonométrique. I Exercices Exercice 1 : Déterminer la mesure principale des angles suivants : a) 45π b) 75π c) 11π d) 15π e) 14π 4 6 6 Exercice : Simplifier les formules suivantes : f) 1961π a) cos(π x) b) sin(π + x)

Plus en détail

Chapitre 2. Le champ électrostatique. 2.1 Loi de Coulomb Interaction entre deux charges ponctuelles Champ d une charge ponctuelle

Chapitre 2. Le champ électrostatique. 2.1 Loi de Coulomb Interaction entre deux charges ponctuelles Champ d une charge ponctuelle Chapitre 2 Le champ électrostatique 2.1 Loi de Coulomb 2.1.1 Interaction entre deux charges ponctuelles Deux charges ponctuelles q 1 et q 2, immobiles aux points M 1 et M 2, exercent l une sur l autre

Plus en détail

Calcul Différentiel et Intégral. Examen final - Mardi 13 janvier 2015

Calcul Différentiel et Intégral. Examen final - Mardi 13 janvier 2015 Université Toulouse 3 Année 214-215 Département de Mathématiques L2 Parcours Spécial Calcul Différentiel et Intégral Examen final - Mardi 13 janvier 215 Durée : 2h Aucun document (ni calculatrice, ni téléphone,

Plus en détail

Formule de Green Riemann

Formule de Green Riemann [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 1 juillet 14 Enoncés 1 Formule de Green Riemann Exercice 1 [ 69 ] [correction] Soit Γ la courbe orientée dans le sens trigonométrique, constituée des deux portions

Plus en détail

Solutions pour certains exercices du cours MATH-F-108

Solutions pour certains exercices du cours MATH-F-108 Solutions pour certains exercices du cours MATH-F-8 Commentaires à envoyer à gklein@vub.ac.be Fichier mis à jour disponible à http ://homepages.vub.ac.be/ gklein/ Travail Personnel Question page 6 révisée

Plus en détail

MATHÉMATIQUES II. Soit IP le plan vectoriel IR 2 muni du produit scalaire usuel et orienté par la base

MATHÉMATIQUES II. Soit IP le plan vectoriel IR 2 muni du produit scalaire usuel et orienté par la base MATHÉMATIQUES II Soit IP le plan vectoriel IR 2 muni du produit scalaire usuel et orienté par la base canonique (, ij) On notera o = (,) 00 l origine du plan Tout élément ( xy, ) de IP peut s interpréter

Plus en détail

Neuchâtel et Fleurier Mathématiques de niveau 1 Session 2013

Neuchâtel et Fleurier Mathématiques de niveau 1 Session 2013 Session 013 Problème 1 (poids ) Première partie f x = x+ e x. a) Étudier la fonction f définie par ( ) ( ) On demande : domaine de définition, points d intersection du graphe et des axes, équations des

Plus en détail

Mathématiques en SEGPA : pour aller vers le CAP

Mathématiques en SEGPA : pour aller vers le CAP Mathématiques en SEGPA : pour aller vers le CAP E. HERNANDEZ IEN ASH G. DERMIGNY CPC ASH Si l une des finalités des enseignements adaptés du second degré est d obtenir le CFG, l autre est de parvenir à

Plus en détail

MATHÉMATIQUES II. On appellera conique toute partie (vide ou non) de P ayant une équation de la forme

MATHÉMATIQUES II. On appellera conique toute partie (vide ou non) de P ayant une équation de la forme MATHÉMATIQUES II Dans tout le problème, P désigne le plan affine euclidien IR muni de son produit scalaire canonique, de son repère orthonormé canonique ( O ; i, j) de son orientation canonique et de son

Plus en détail

Soutien illimité 7j/7 en maths: Coach, profs, exercices & annales, cours. Sujet de Bac 2010 Maths S Obligatoire & Spécialité - Polynésie

Soutien illimité 7j/7 en maths: Coach, profs, exercices & annales, cours. Sujet de Bac 2010 Maths S Obligatoire & Spécialité - Polynésie Sujet de Bac 2010 Maths S Obligatoire & Spécialité - Polynésie EXERCICE 1 : 5 points Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (0; u, v). Partie A : Restitution organisée de connaissances

Plus en détail

Feuille d'exercices : Champ électrique en régime stationnaire

Feuille d'exercices : Champ électrique en régime stationnaire Feuille d'exercices : Champ électrique en régime stationnaire P Colin 2016/2017 coordonnées cylindro-polaires : rot A) = Formulaire d'analyse vectorielle 1 A z r θ A ) θ u r + z gradf = f r u r + 1 f r

Plus en détail

COURS DE MATHEMATIQUES Fichier.pdf du cours en vidéo du même nom. Les intégrales. Calcul de volume

COURS DE MATHEMATIQUES Fichier.pdf du cours en vidéo du même nom. Les intégrales. Calcul de volume COURS DE MATHEMATIQUES Fichier.pdf du cours en vidéo du même nom Les intégrales Calcul de volume Ce cours porte exclusivement sur la notion de calcul de volume au moyen des intégrales de fonctions réelles.

Plus en détail

Gilles Molinié. mise à jour le 4 avril 2008

Gilles Molinié. mise à jour le 4 avril 2008 Géométrie Gilles Molinié e x e z e y mise à jour le 4 avril 2008 e 3 q2=cste 00 11 000 111 00000 11111 000000 111111 0000000 1111111 000 111 01 0000000 1111111 0000 1111 0000 1111 e 2 000 111 000 111 00

Plus en détail

Champs produits par des circuits simples

Champs produits par des circuits simples Champs produits par des circuits simples A. Symétries et notion de vecteur axial Comme en électrostatique l utilisation d éventuelles symétries et/ou invariances de la distribution de courants peut simplifier

Plus en détail

Courbes en coordonnées polaires

Courbes en coordonnées polaires Chapitre II Courbes en coordonnées polaires A Étude et tracé de courbes définies en coordonnées polaires On suppose le plan muni d un repère orthonormal O, ı, j ). A.1 Représentation d une courbe en coordonnées

Plus en détail

Systèmes de coordonnées

Systèmes de coordonnées 1 Chapter 1 Sstèmes de coordonnées 1.1 Repère cartésien Un repère cartésien est défini par un point origine et trois aes (,, ) perpendiculaires entre eu. Les vecteurs unitaires portés par les aes sont:,ê,ê.

Plus en détail

CONIQUES COMPLEMENT. Date de création : 19 avril 2012.

CONIQUES COMPLEMENT. Date de création : 19 avril 2012. CONIQUES COMPLEMENT Date de création : 9 avril 202. 2 I BUT DU DOCUMENT Le site contient déjà la démonstration des équations réduites des coniques à partir de leur définition par rapport au cône. Nous

Plus en détail

Outils Mathématiques 4

Outils Mathématiques 4 Université de Rennes1 Année 5/6 1 Courbes prmétrées Outils Mthémtiques 4 Intégrtion résumé éfinition 1.1 Une courbe plne est un ensemble de couples (f(t), g(t)) où f et g sont des fonctions continues sur

Plus en détail

Le dipôle électrostatique

Le dipôle électrostatique Cours d électromagnétisme 1 Définition, potentiel et champ créés 1.1 Définition du dipôle électrostatique On appelle dipôle électrostatique le système constitué de deux charges ponctuelles opposées et

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat S Amérique du Sud novembre 2010

Corrigé du baccalauréat S Amérique du Sud novembre 2010 Durée : 4 heures Corrigé du baccalauréat S Amérique du Sud novembre 2 EXERCICE Commun à tous les candidats points La droite D a pour vecteur directeur u ( ; 3 ; lequel n est manifestement pas colinéaire

Plus en détail

Enseigner les mathématiques aux élèves de SEGPA

Enseigner les mathématiques aux élèves de SEGPA Enseigner les mathématiques aux élèves de SEGPA E. HERNANDEZ IEN ASH G. DERMIGNY CPC ASH L enseignement des mathématiques en SEGPA a une triple visée : - consolider, enrichir et structurer les acquis de

Plus en détail

Géométrie Riemannienne : exercices du chapitre 1

Géométrie Riemannienne : exercices du chapitre 1 Géométrie Riemannienne : exercices du chapitre 1 Exercice 1 Soit s (r(s),, z(s)) une courbe tracée dans un plan vertical. Paramétrer la surface de révolution engendrée par la rotation de cette courbe,

Plus en détail

Couples aléatoires. 1. Loi d un couple aléatoire Un exemple. Licence MATH et MASS 3 e année. MATH504 : Probabilités et Statistiques

Couples aléatoires. 1. Loi d un couple aléatoire Un exemple. Licence MATH et MASS 3 e année. MATH504 : Probabilités et Statistiques Licence MATH et MASS 3 e année MATH54 : Probabilités et Statistiques Couples aléatoires Au chapitre précédent, nous avons étudié les variables aléatoires réelles c est à dire les variables aléatoires prenant

Plus en détail

Variables complexes. Yves Chiricota, professeur DIM, UQAC Cours 8MAP111

Variables complexes. Yves Chiricota, professeur DIM, UQAC Cours 8MAP111 Variables complexes Yves Chiricota, professeur DIM, UQAC Cours 8MAP111 8/ 12/2015 2 1. INTRODUCTION Notice Ce document se veut un aide mémoire exhaustif concernant portant sur les variables complexes pour

Plus en détail

Mécanique du point matériel TD1

Mécanique du point matériel TD1 UNIVERSITE CADI AYYAD CP 1 ère année 2015-2016 ENSA- MARRAKECH Mécanique du point matériel TD1 Questions de cours : On considère une courbe sur laquelle se déplace un point matériel d abscisse curviligne

Plus en détail

CONCOURS COMMUN 2006

CONCOURS COMMUN 2006 CONCOURS COMMUN 006 DES ECOLES DES MINES D ALBI, ALES, DOUAI, NANTES Epreuve de Mathématiques (toutes filières PREMIER PROBLEME Etude d une fonction.. D = C \ {i}.. a Soient (x, y R, puis z = x + iy. z

Plus en détail

MAGNESTOTATIQUE Le courant électrique. 2. Champ magnétique. 3. Exemples de calculs du champ magnétique. 4. Forces magnétiques

MAGNESTOTATIQUE Le courant électrique. 2. Champ magnétique. 3. Exemples de calculs du champ magnétique. 4. Forces magnétiques MAGNESTOTATQUE - 2 1. Le courant électrique 2. Champ magnétique 2.1. charge unique en mouvement 2.2. Circuit filiforme : Postulat de iot et Savard 2.3. distribution volumique de courants 3. Exemples de

Plus en détail

PHYSIQUE I. Tube de champ

PHYSIQUE I. Tube de champ PHYSIQUE I La Terre est entourée de zones, appelées «ceintures de Van Allen», où des particules chargées, de haute énergie, sont piégées par le champ magnétique terrestre Dans ces zones, les trajectoires

Plus en détail

Bac S Polynésie juin 2010

Bac S Polynésie juin 2010 Bac S Polynésie juin 2010 EXERCICE 1 (5 points) Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct O u v. Partie A - Restitution organisée de connaissances Prérequis Soit z un nombre complexe

Plus en détail

Différentielle seconde, extremums.

Différentielle seconde, extremums. Différentielle seconde, extremums Exercice 1 Soit A une matrice de taille n n Pour tout x R n, on pose qx) = x, Ax Montrer que q est C et calculer son gradient et sa matrice hessienne Indication On remarquera

Plus en détail

Durée : 1 heure 30 Épreuves communes ENI GEIPI POLYTECH Série S 11 mai 2016

Durée : 1 heure 30 Épreuves communes ENI GEIPI POLYTECH Série S 11 mai 2016 Durée : 1 heure 30 Épreuves communes ENI GEIPI POLYTECH Série S 11 mai 2016 Nous vous conseillons de répartir équitablement les 3 heures d épreuves entre les sujets de mathématiques et de physique-chimie

Plus en détail

1 Intégrales doubles. mathématiques - S2 Intégrales doubles, triples et curvilignes département Mesures Physiques - IUT1 - Grenoble.

1 Intégrales doubles. mathématiques - S2 Intégrales doubles, triples et curvilignes département Mesures Physiques - IUT1 - Grenoble. Guillaume Laget - version du 30-04-2006 22:32 (document mis à jour sur http ://maths.tetras.org/ - réutilisation et reproduction non commerciale de tout ou partie de ce document vivement encouragées mathématiques

Plus en détail

ANNEXE LA TRANSFORMATON DE FOURIER

ANNEXE LA TRANSFORMATON DE FOURIER ANNEXE LA TRANSFORMATON DE FOURIER La transformation de Fourier est une des transformations la plus importante dans la branche de traitement du signal et particulièrement dans la spécialité de traitement

Plus en détail

Analyse pour l Ingénieur

Analyse pour l Ingénieur Analyse pour l Ingénieur p 2 Analyse pour l Ingénieur Georges KOEPFLER UFR de Mathématiques et Informatique Université Paris Descartes 45 rue des Saints-Pères 75270 PARIS cedex 06, France Analyse pour

Plus en détail

Exercices Sections planes de surfaces (Spécialité)

Exercices Sections planes de surfaces (Spécialité) Terminale S Exercices Sections planes de surfaces (Spécialité) 1. Exemple 1 1. Exemple 1 3. Exemple 3 1 4. Exemple 4 5. Paraboloïde 6. Le paraboloïde hyperbolique 3 7. Bac C, Antilles, 1987 4 8. Exercices

Plus en détail

w = 0 si u et v sont colinéaires

w = 0 si u et v sont colinéaires IUT Orsay Mesures Physiques Géométrie et différentielle Cours du ème semestre A Rappel sur produit scalaire, produit vectoriel A-I Produit scalaire Définition : Si u et v sont des vecteurs du plan ou de

Plus en détail

Chapitre IX. Cinématique du solide. Axe instantané de rotation

Chapitre IX. Cinématique du solide. Axe instantané de rotation Chapitre IX ÉLÉMENTS DE DYNAMIQUE DU SOLIDE INDÉFORMABLE IX.A. Cinématique du solide Un solide indéformable est un corps dont les distances entre les points matériels qui le constituent sont indépendantes

Plus en détail