Interrogations orales en PT - PT * au Lycée Raspail, Paris Énoncés

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1 Interrogations orales en PT - PT * au Lycée Raspail, Paris Énoncés Vincent Jugé Année

2 1 Fonctions de R dans R n Courbes du plan définies par une représentation paramétrique Exercice 1.1. Énoncé et démonstration de la formule de Taylor avec reste intégral. Exercice 1.2. DL à l ordre 5 en 0 (i.e. en O(x 6 )) de cos(x) 2 et de sin(x) 2. Exercice 1.3. DL à l ordre 5 en 0 (i.e. en O(x 6 )) de cos(sin(x)). Exercice 1.4. Calcul de lim x 0 ( x cos(x) 1 sin(x) x ). Exercice 1.5. Calcul des éventuels demi-vecteurs tangents en t = 0 à la courbe paramétrique C = { x = cos(t) 3, y = sin(t) 3 π t π }. Exercice 1.6. Étude de la position de la courbe D = { x = t cos(t) 4, y = sin(t) π 2 t π } 2 par rapport à sa tangente en t = 0. Exercice 1.7 (Cachan 2007). Soit F = {f C (R +, R) n 0, f (n) 0}. 1. Montrer que F est stable par addition, multiplication, dérivation, composition. 2. Montrer que, si f F vérifie f (0) > 0, alors lim + f = Montrer que f F admet une fonction réciproque dans F, alors f (0) > f(0) = Soit g cette réciproque : calculer g et g. 5. En déduire l ensemble des fonctions de F qui admettent une réciproque dans F. Exercice 1.8. Soit f(x) = ( x ) t 0 0 cos(sin(u)) + sin(cos(u))du dt. Montrer qu il exite un réel M > 0 tel que x R, f(x) Mx 2. Exercice 1.9. Soit f : R R une fonction dérivable. Est-il vrai que : 1. Si f n est pas injective, alors il existe un réel x R tel que f (x) = 0? 2. S il existe un réel x R tel que f (x) = 0, alors f n est pas injective? 3. Et si l on suppose que f : R C? Exercice Soit a, b, c, d, e C 1 1 (R, R) des fonctions telles que e =, a = e(a + 2b), 1+a 2 +b 2 +c 2 +d 2 b = e(2a + b), c = e(c + 2d), d = e(2c + d) et a(0) = 1, b(0) = 2, c(0) = 3, d(0) = 4. On admettra l existence de telles fonctions. Montrer que a(1)d(1) b(1)c(1) = 2. 2

3 Exercice 1.11 (Inégalité des accroissements finis sur C). Soit f : R C une fonction dérivable, et a, b, M trois réels tels que a < b. Montrer, à partir du théorème de Rolle, que si x ]a, b[, f (x) M, alors f(b) f(a) M b a. 3

4 2 Continuité des fonctions de deux variables définies sur une partie de R 2 Courbes du plan définies par une équation polaire Révisions sur les coniques Exercice 2.1 (Suite de l exercice 1.5). Tracer la courbe paramétrique C = { x = cos(t) 3, y = sin(t) 3 π 4 t π 4 } et calculer ses éventuels demi-vecteurs tangents. Exercice 2.2 (Suite de l exercice 1.6). Tracer la courbe paramétrique D = { x = t cos(t) 4, y = sin(t) π 2 t π 2 } et étudier sa position par rapport à sa tangente en t = 0. Exercice 2.3. Tracer la courbe paramétrique donnée par son équation polaire E = {r = cos(θ)} et donner une équation de sa tangente en θ = 0. Exercice 2.4. Donner les caractérisations d une ellipse 1. en fonction de ses deux foyers ; 2. en fonction d un de ses foyers et de sa droite directrice ; 3. avec une équation paramétrique. En déduire que deux ellipses distinctes ayant un foyer commun ont au plus deux points communs. Exercice 2.5. Donner une équation, en coordonnées polaires, représentant le carré dont les côtés sont A( 1, 1), B( 1, 1), C(1, 1) et D(1, 1). Exercice 2.6. Les parties suivantes de R 2 sont-elles fermées? ouvertes? 1. A = { (x, y) x 2 + y 2 1 } ; 2. B = { (x, y) x 2 + y 2 = 1 } ; 3. C = {(x, y) 0 x + y} ; 4. D = {(x, y) x = 0, 1 < y < 1} ; 5. E = {(x, y) 1 < x < 1, 1 < y < 1}. Exercice 2.7. Trouver un équivalent en 0 de exp ( sin(x) 2 2 ) cos(x). Exercice 2.8. Donner les caractérisations d une hyperbole 1. en fonction de ses deux foyers ; 2. en fonction d un de ses foyers et de sa droite directrice ; 3. avec une équation paramétrique. En déduire que l ensemble des nombres complexes z C tels que A(1), B(z), C(z 3 ) soient les sommets d un triangle rectangle en B forment une hyperbole. 4

5 3 Enveloppe d une famille de droites du plan Propriétés métriques des courbes planes paramétrées Développée et développantes d une courbe Exercice 3.1. Donner la définition de l abscisse curviligne s d une courbe F (t) C (R, R 2 ), de sa courbure γ, de son rayon de courbure R, et du repère de Frénet ( T, N) associé. Quelles relations y a-t-il entre F, s, γ, R et ( T, N)? Exercice 3.2. Donner la définition et les propriétés de la développée d une courbe. Exercice 3.3. Donner la définition et les propriétés des développantes d une courbe. Exercice 3.4. Soit F = (F 1, F 2 ) C 2 (R, R 2 ) une courbe telle que F 1 F 2 F 2 F 1 > 0.. Trouver les courbes dont l enveloppe est l enveloppe de F. Exercice 3.5. Soit C le graphe de la fonction cosh(x) sur l intervalle [ 1, 1]. Calculer la longueur de la courbe C. Exercice 3.6 (ENSAM 2010). 1. Quelle est la nature de la courbe C d équation y = 2x 2? 2. Donner une équation de sa développée D. 3. Calculer la longueur de D entre les deux points d intersection de C et D. 5

6 4 Intégrales des fonctions continues par morceaux sur un segment, à valeurs réelles et complexes Exercice 4.1. Trouver les primitives de f(x) = 5 k= 5 cos(kx). Exercice 4.2. Trouver les primitives de g(x) = 5 k= 5 xk. Exercice 4.3. Trouver les primitives de h(x) = sin(2x) + 3x. Exercice 4.4. Étudier la convergence et la limite éventuelle de la suite u n = n sin( n) k k=1 k. Exercice 4.5 (Inégalité de la moyenne sur C Reprise de l exercice 1.11). Soit f : [a, b] C une fonction continue par morceaux. Montrer que b a f(t) dt b a f(t) dt. Indication : On pourra considérer un réel θ tel que b a f(t) dt = b a f(t) dt e iθ, puis les fonctions g(t) = e iθ f(t) et h(t) = R(g(t)). Exercice 4.6 (Inégalité de Cauchy-Schwarz). Soit n un entier. Montrer que 2πn 0 sin(t) sin(t 2 ) dt 2πn. Exercice 4.7 (Cachan 2001). Soit I n = π sin((n+1/2)t) 0 sin(t/2) dt. Évaluer I n+1 I n et en déduire I n. Exercice 4.8. Soit f(x) = x 0 ( ) t 0 cos(u)3 du dt. Montrer que f(x) x2 2. 6

7 5 Intégrales généralisées ou impropres Exercice 5.1. Étudier la convergence et la somme de l intégrale I = 1 0 ln(x) dx. Exercice 5.2. Étudier la convergence et la somme de l intégrale J = + 0 exp( ax) dx pour a réel. Exercice 5.3. Étudier la convergence et la somme des intégrales K 0 = 1 0 xα dx et K 1 = + 1 x α dx pour α réel. Exercice 5.4 (Cauchy-Schwarz). Soit f, g : R R deux fonctions positives, continues par morceaux, telles que I f = + f(x)2 dx et I g = + g(x)2 dx convergent. Montrer que l intégrale I f,g = + f(x)g(x) dx converge et vérifie I2 f,g I f I g. Exercice 5.5. Étudier la convergence des intégrales M = + 0 ) 2 dx. + 0 ( sin(x) cos(x 3 ) x ( ) 2 sin(x) x dx et N = 7

8 6 Fonctions intégrables sur un intervalle quelconque Espaces vectoriels Applications linéaires Exercice 6.1. Caractériser les bases d un espace vectoriel E de dimension n < +. Exercice 6.2. Soit E = K n un espace vectoriel et F une famille de vecteurs de E. Montrer que F est libre si et seulement si c est la base d un sous-espace vectoriel de E. Exercice 6.3. Énoncer et démontrer le théorème du rang en dimension finie. Exercice 6.4 (Formule de Grassman). Énoncer et démontrer la relation entre les dimensions de la somme de deux espaces vectoriels et de leur intersection. Exercice 6.5. La fonction f(x) = sin(x) 2 cos ( 1 x) est-elle intégrable sur R? Exercice 6.6. Siot n un entier naturel non nul. Étudier la convergence et la somme de l intégrale I n = + 0 exp ( x 1/n) dx. Exercice 6.7. Étudier la convergence de l intégrale J = + sin(x) 2 0 x dx. 8

9 7 Applications linéaires Matrices Valeurs propres et vecteurs propres Exercice 7.1. Soit B et B deux bases d un espace vectoriel E. Donner la matrice M tel que, pour tout X E, Mmat B (X) = M B (X). Exercice Calculer l inverse de N = Exercice 7.3. Définir les sous-espaces propres, les vecteurs propres et les valeurs propres d un endomorphisme d espace vectoriel. Exercice 7.4. Caractériser les homothéties, les symétries et les projections en fonction de leurs valeurs propres et de leurs sous-espaces propres. Exercice 7.5. Montrer que la relation définie sur M n (K) telle que M N si et seulement si M et N sont semblables est une relation d équivalence (i.e. une relation réflexive, symétrique et transitive). Exercice 7.6. Soit v 1,..., v k des vecteurs propres d une matrice M M n (R) associés aux valeurs propres réelles λ 1 < < λ k. Montrer que la famille (v 1,..., v k ) est libre. Exercice 7.7. Trouver les valeurs propres et les espaces propres de l opérateur dérivation sur l espace vectoriel R[X]. Qu en est-il si on se situe dans l espace vectoriel C (R, C)? 9

10 8 Déterminants Exercice 8.1. Les vecteurs u 1 = (1, 0, 1), u 2 = (0, 1, 1) et u 3 = (1, 2, 0) forment-ils une base de R 3? Exercice 8.2. Soit f, g deux endomorphismes d un espace vectoriel E de dimension finie. Exprimer det(f g) en fonction de det(f) et de det(g). Si f est inversible, exprimer également det(f 1 ) en fonction de det(f). Exercice 8.3. Soit A, B M n (K) deux matrices carrées. Exprimer det(ab) et det(a ) en fonction de det(a) et de det(b). Si A est inversible, exprimer également det(a 1 ) en fonction de det(a). Exercice 8.4. On admet qu il existe un réel λ tel que les matrices A = soient semblables. Calculer λ. ( 7 ) et D = ( ) λ Exercice 8.5. Soit A, B, C M n (K) trois matrices carrées, ainsi que D = Montrer que D est inversible si et seulement si A et C le sont. ( ) A B 0 C M 2n (K). Exercice 8.6. Soit M = [m i,j ] 1 i,j 3. Montrer que det(m) = ( 2 3 i=0 j=1 m j,i+j ) 3 j=1 m j,i+2j. 10

11 9 Trace des endomorphismes Réduction des endomorphismes Diagonalisation Exercice 9.1. Soit A et B deux matrices n n. Montrer que tr(ab) = tr(ba). Exercice 9.2. Soit A une matrice dont le polynôme caractéristique est X 2 7X. Montrer que A est diagonalisable et donner une matrice diagonale D semblable à A. Exercice 9.3. Soit A M n (C) une matrice dont le polynôme caractéristique est X n 1. Montrer que A est diagonalisable dans M n (C). Exercice 9.4. La matrice A = ( ) 0 1 est-elle diagonalisable? 0 0 Exercice 9.5 (Matrice compagnon). Soit P (X) = n 1 k=0 ( 1)n+1+k p k X k + X n un polynôme scindé à racines simples. Montrer p p p 2 que la matrice A = p 3 est diagonalisable p n 1 Exercice 9.6 (Matrice à diagonale dominante). Soit A M n (K) une matrice telle que i {1, 2,..., n}, 2 A i,i > n j=1 A i,j. Montrer que A est inversible. Exercice 9.7 (Matrice stochastique). Soit A M n (K) une matrice telle que j {1, 2,..., n}, n i=1 A i,j = 1. Montrer que 1 est une valeur propre de A. Exercice 9.8. Soit A et B deux matrices n n. Montrer que, si A et B sont semblables, alors det(a) = det(b) et tr(a) = tr(b). Que dire de la réciproque? Exercice 9.9. Montrer que A = ( ) 7 3 et donner une matrice diagonale D semblable à A

12 10 Applications de la réduction des endomorphismes Équations différentielles d ordre 1 à coefficients constants Exercice( ) 1 3 Soit A =. Calculer A Exercice Résoudre l équation différentielle suivante : f (t) = ( ) 3 0 f(t)+ 0 0 ( ) t, avec f(0) = 1 ( ) 1. 2 Exercice Résoudre l équation différentielle suivante : f (t) 5f (t) + 4f(t) = 3 exp(t) sin(t), avec f(0) = f (0) = 0. Exercice Soit A M n (C). Montrer que l ensemble des solutions de l équation f (t) = Af(t) est un espace vectoriel. Quelle est sa dimension? On prouvera le résultat en supposant successivement A diagonale ; diagonalisable ; trigonalisable. Exercice Soit A M n (C) une matrice diagonalisable. Montrer que : si toute valeur propre λ de A est telle que Re(λ) < 0, alors les solutions de l équation différentielle f (t) = Af(t) vérifient toutes lim + f = 0 ; si A admet une valeur propre λ telle que Re(λ) > 0, alors il existe une solution f à l équation différentielle f (t) = Af(t) telle que lim + f = +. 12

13 11 Suites numériques à valeurs réelles ou complexes Séries numériques Exercice Étudier la convergence de la suite (u n ) telle que u 0 = 1 et u n+1 = sin(u n ). Exercice Que dire de la convergence des suites adjacentes? Des suites monotones bornées? Exercice Montrer que si n 0 u n est une série convergente, alors u n 0. Que dire de la réciproque? Exercice Montrer que les deux énoncés suivants sont équivalents : 1. toute suite monotone bornée converge ; 2. toutes les suites adjacentes convergent, de même limite. Exercice Soit (u n ), (v n ) et (w n ) trois suites telles que u 0 v 0 w 0 > 0 et u n+1 = un+vn+wn v n+1 = (u n v n w n ) 1 3 et wn+1 = 3 1 un + 1 vn + 1 wn 1. Montrer que (u n ), (v n ) et (w n ) sont bien définies. 2. Montrer que u n v n w n. 3. Montrer que (u n ) et (w n ) sont des suites adjacentes. 4. Montrer que (u n ), (v n ) et (w n ) convergent vers la même limite. Exercice 11.6 (ENSAM 2006). Soit f n (x) = exp( nx) nx. 1. Montrer que f n admet une unique racine u n dans ]0, 1[. 2. Montrer que u n décroit, et trouver sa limite. 3. Que dire de nu n?. 3, Exercice 11.7 (Ensemble de Mandelbrot). Soit c un nombre complexe, et (z n ) la suite telle que z 0 = 0 et z n+1 = z 2 n + c. Montrer que la suite z n est bornée si et seulement si elle est majorée (au sens large) par 2. Exercice 11.8 (Fractions continues d après Cachan 2006). Soit (s n ) une suite d entiers naturels non nuls et S l ensemble des suites (u n ) telles que u n+2 = s n u n+1 + u n et S 0 l ensemble des suites (u n ) S de limite nulle. Soit c un réel et (a n ), (b n ), (c n ) S telles que a 0 = b 1 = c 0 = 1, a 1 = b 0 = 0 et c 1 = x. 1. Quelle est la dimension de S? 2. Soit w n = a n b n+1 a n+1 b n : exprimer w n+1 en fonction de w n puis de n. 3. Montrer que b n +. 13

14 4. Soit d n = an b n, pour n 1. Observer d n+1 d n et en déduire que d n converge vers une limite δ. 5. On pose f n : x c n. Montrer que f n est une application affine croissante, dont on donnera une équation en fonction de (a n ) et (b n ). 6. Montrer que, si on prend x = δ, alors (c n ) S Quelle est la dimension de S 0? 14

15 12 Suites numériques à valeurs réelles ou complexes Séries numériques Exercice La série ( ) n 1 sin ( 1) n n est-elle convergente? Absolument convergente? Exercice Toute série absolument convergente est-elle convergente? Toute série convergente est-elle absolument convergente? Exercice Soit (u n ) la suite telle que u n = 1 si n est le carré d un entier et u n = 0 sinon. La série n 0 u n est-elle convergente? Exercice Soit K > 0 un réel et (u n ), (v n ) deux suites positives réelles telles que u n Kv n K 2 u n. Montrer que n 0 u n est convergente si et seulement si n 0 v n est convergente. Exercice 12.5 (ENSAM 2009). Soit n 0 a n et n 0 b n deux séries convergentes à termes positifs. Montrer que n 0 max{a n, b n } converge. Exercice 12.6 (Cachan 2010). Soit (u n ) et (v n ) deux suites telles que u 0 > v 0 > 0 et u n+1 = 1. Montrer que (u n ) et (v n ) sont bien définies. 2. Montrer que (u n ) et (v n ) convergent. 3. Montrer que lim u n > lim v n = 0. u2 n u n+v n, v n+1 = v2 n u n+v n. Exercice Montrer qu il existe deux suites complexes (u n ) et (v n ) telles que u n v n, que n 0 u n soit convergente et que n 0 v n soit divergente. Est-il possible que, en outre, n 0 u n soit absolument convergente? Exercice Montrer que n k=1 sin ( 1 k ) ln(n). 15