ROGER GODEMENT PROFESSEUR A LA FACULTÉ DES SCIENCES DE PARIS. Cours d'algèbre DEUXIÈME ÉDITION, REVUE ET CORRIGEE

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1 ROGER GODEMENT PROFESSEUR A LA FACULTÉ DES SCIENCES DE PARIS Cours d'algèbre DEUXIÈME ÉDITION, REVUE ET CORRIGEE JL HERMANN 115, Boulevard Saint-Germain, Paris 6

2 TABLE PRÉFACE 15 o. LE RAISONNEMENT LOGIQUE L'idée de perfection logique Le langage réel des Mathématiques 23 " 3. Opérations logiques élémentaires Axiomes et théorèmes Axiomes logiques et tautologies Substitutions dans une relation."...' Quantificateurs Règles d'emploi des quantificateurs L'opération de Hilbert. Critères de formation LES RELATIONS D'ÉGALITÉ ET D'APPARTENANCE La relation d'égalité La relation d'appartenance Parties d'un ensemble Ensemble vide Ensembles à un, deux éléments Ensemble des parties d'un ensemble donné LA NOTION DE FONCTION Couples Produit cartésien de deux ensembles Graphes et fonctions Images directes et images réciproques Restrictions et prolongements de fonctions Applications composées Applications injectives Applications surjectives et bijectives Fonctions de plusieurs variables RÉUNIONS ET INTERSECTIONS Réunion et intersection de deux ensembles Réunion d'une famille d'ensembles Intersection d'une famille d'ensembles 72

3 O TABLE DES MATIERES 4. RELATIONS D'ÉQUIVALENCE Relations d'équivalence Quotient d'un ensemble par une relation d'équivalence Fonctions définies sur un ensemble quotient ENSEMBLES FINIS ET NOMBRES ENTIERS Ensembles équipotents Le cardinal d'un ensemble Opérations sur les cardinaux Ensembles finis et entiers naturels L'ensemble N des entiers naturels Le raisonnement par récurrence Analyse combinatoire Entiers rationnels Nombres rationnels Lois DE COMPOSITION Lois de composition; associativité et commutativité Éléments symétrisables LA NOTION DE GROUPE Définition des groupes; exemples Produit direct de groupes Sous-groupes d'un groupe Intersection de sous-groupes; générateurs Permutations et transpositions Classes modulo un sous-groupe Nombre de permutations de n objets Homomorphismes de groupes Noyau et image d'un homomorphisme Application aux groupes cycliques Groupes opérant sur un ensemble ANNEAUX ET CORPS Définition des anneaux, exemples Anneaux d'intégrité et corps L'anneau des entiers modulo p Formule du binôme Développement d'un produit de sommes Homomorphismes d'anneaux NOMBRES COMPLEXES Racines carrées Préliminaires ; L'anneau K[^] Éléments inversibles d'une extension quadratique Cas d'un corps commutatif Représentation géométrique des nombres complexes Formules de multiplication des fonctions trigonométriques 160

4 TABLE DES MATIÈRES 9 io. MODULES ET ESPACES VECTORIELS Définition des modules sur un anneau Exemples de modules Sous-modules, sous-espaces vectoriels Modules à droite et modules à gauche RELATIONS LINÉAIRES DANS UN MODULE Combinaisons linéaires Modules de type fini Relations linéaires Modules libres, bases Combinaisons linéaires infinies APPLICATIONS LINÉAIRES. MATRICES Définition des homomorphismes Homomorphismes d'un module libre de type fini dans un module quelconque Homomorphismes et matrices Exemples d'homomorphismes et de matrices ADDITION DES HOMOMORPHISMES ET MATRICES Les groupes additifs Hom (L, M) Addition des matrices PRODUITS DE MATRICES L'anneau des endomorphismes d'un module Produit de deux matrices Anneaux de matrices « Écriture matricielle des homomorphismes MATRICES INVERSIBLES ET CHANGEMENTS DE BASE Le groupe des automorphismes d'un module Les groupes GL (n, K) Exemples : les groupes GL (1, K) et GL (2, K) Changements de base : matrices de passage Influence d'un changement de base sur la matrice d'un homomorphisme TRANSPOSÉE D'UNE APPLICATION LINÉAIRE Dual d'un module 2t2 2. Dual d'un module libre de type fini Bidual d'un module 215 i 4. Transposé d'un homomorphisme 217 r ; 5. Transposée d'une matrice *. 219 I, 17. SOMMES DE SOUS-MODULES 223 jfc 1. Somme de deux sous-modules Produit direct de modules Somme directe de sous-modules Sommes directes et projecteurs 227

5 IO TABLE DES MATIÈRES 18. THÉORÈMES DE FINITUDE Homomorphismes dont le noyau et l'image sont de type fini Modules de type fini sur un anneau noethérien Sous-modules d'un module libre sur un anneau principal Applications aux systèmes d'équations linéaires Autres caractérisations des anneaux noethériens LA NOTION DE DIMENSION Existence de bases Définition d'un sous-espace vectoriel par des équations linéaires Conditions de compatibilité d'un système d'équations linéaires Existence de relations linéaires La notion de dimension Caractérisations des bases et de la dimension Dimensions du noyau et de l'image d'un homomorphisme Rang d'un homomorphisme, d'une famille de vecteurs, d'une matrice Calcul effectif du rang d'une matrice Calcul de la dimension d'un sous-espace vectoriel à partir de ses équations SYSTÈMES D'ÉQUATIONS LINÉAIRES Notations et traductions Rang d'un système d'équations linéaires. Conditions d'existence de solutions Système homogène associé Systèmes de Cramer ; Systèmes d'équations indépendantes : réduction à un système de Cramer FONCTIONS MULTILINÉAIRES Définition des applications multilinéaires Produit tensoriel d'applications multilinéaires Quelques identités algébriques Cas des modules libres de type fini Effet d'un changement de base sur les composantes d'un tenseur APPLICATIONS BILINÉAIRES ET TRILINÉAIRES ALTERNÉES Applications bilinéaires alternées Cas des modules libres de type fini Applications trilinéaires alternées Développement par rapport à une base APPLICATIONS MULTILINÉAIRES ALTERNÉES La signature d'une permutation Antisymétrisation d'une fonction de plusieurs variables» Applications multilinéaires alternées Fonctions />-linéaires alternées sur un module isomorphe à JK> Déterminant d'un système de vecteurs, d'une matrice, d'un endomorphisme Caractérisation des bases d'un espace vectoriel de dimension finie Applications multilinéaires alternées : cas général Le critère d'indépendance linéaire Conditions de compatibilité d'un système d'équations linéaires 313

6 TABLE DES MATIERES DÉVELOPPEMENT D'UN DÉTERMINANT. FORMULES DE CRAMER Propriétés fondamentales des déterminants Développement suivant les éléments d'une ligne ou d'une colonne Matrices complémentaires Formules de Cramer VARIÉTÉS LINÉAIRES AFFINES L'espace vectoriel des translations Espaces affines associés à un espace vectoriel Barycentres dans un espaces affine Variétés linéaires dans un espace affine Génération d'une variété linéaire par des droites Espaces affines de dimension finie. Bases affines Calcul de la dimension d'une variété linéaire Équations d'une variété linéaire en coordonnées affines RELATIONS ALGÉBRIQUES Monômes et polynômes en les éléments d'un anneau Relations algébriques Cas des corps commutatifs ANNEAUX DE POLYNÔMES Préliminaires sur le cas d'une variable Polynômes à une indéterminée La notation polynomiale Polynômes à plusieurs indéterminées Degrés partiels et degré total Polynômes à coefficients dans un anneau d'intégrité FONCTIONS POLYNOMIALES Valeurs d'un polynôme Somme et produit de fonctions polynomiales Cas d'un corps infini CORPS DES FRACTIONS D'UN ANNEAU D'INTÉGRITÉ. FRACTIONS RATIONNELLES Corps des fractions d'un anneau d'intégrité : préliminaires Construction du corps des fractions Vérification des axiomes des corps Immersion de l'anneau K dans son corps des fractions Fractions rationnelles à coefficients dans un corps Valeurs d'une fraction rationnelle DÉRIVATION DES POLYNÔMES ET FRACTIONS RATIONNELLES. FORMULE DE TAYLOR Dérivations dans un anneau Dérivations d'un anneau de polynômes Dérivées partielles Dérivation des fonctions composées Formule de Taylor Caractéristique d'un corps commutatif Ordre de multiplicité des racines d'une équation 390

7 12 TABLE DES MATIÈRES 31. ANNEAUX PRINCIPAUX Plus grand commun diviseur Éléments premiers entre eux Plus petit commun multiple Existence de diviseurs premiers Propriétés des éléments extrémaux Unicité de la décomposition en facteurs premiers Calcul du pgcd et du ppcm à l'aide de la décomposition en facteurs premiers Décomposition en éléments simples des fractions sur un anneau principal PROPRIÉTÉS DE DIVISIBILITÉ DES POLYNÔMES Division des polynômes à une variable Idéaux d'un anneau de polynômes à une indéterminée Pgcd et ppcm de plusieurs polynômes; polynômes irréductibles Application aux fractions rationnelles NOMBRE DE RACINES D'UNE ÉQUATION ALGÉBRIQUE Nombre maximum de racines Corps algébriquement clos Nombre de racines d'une équation à coefficients dans un corps algébriquement clos Polynômes irréductibles à coefficients dans un corps algébriquement clos Polynômes irréductibles à coefficients réels Relations entre les coefficients et les racines d'une équation VECTEURS PROPRES ET VALEURS PROPRES Définition des vecteurs propres et valeurs propres Polynôme caractéristique d'une matrice Forme du polynôme caractéristique Existence de valeurs propres Réduction à la forme triangulaire Cas où toutes les valeurs propres sont simples Caractérisation des endomorphismes diagonalisables FORME CANONIQUE D'UNE MATRICE Le théorème de Hamilton-Cayley Décomposition en endomorphismes nilpotents Structure des endomorphismes nilpotents Le théorème de Jordan * FORMES HERMITIENNES Formes sesquilinéaires, formes hermitiennes Formes non dégénérées Adjoint d'un homomorphisme Orthogonalité par rapport à une forme hermitienne non dégénérée Bases orthogonales 46,5 6. Bases orthonormales., Automorphismes d'une forme hermitienne Automorphismes d'une forme hermitienne positive : réduction à la forme diagonale Vecteurs isotropes et formes indéfinies L'inégalité de Cauchy-Schwarz 476 v

8 TABLE DES MATIERES 13 EXERCICES DU o 481 EXERCICES DU EXERCICES DU EXERCICES DU EXERCICES DU EXERCICES DU EXERCICES DU EXERCICES DU EXERCICES DU EXERCICES DU EXERCICES DU I I 519 EXERCICES DU EXERCICES DU EXERCICES DU EXERCICES DU EXERCICES DU EXERCICES DU EXERCICES DU EXERCICES DU EXERCICES DU EXERCICES DU EXERCICES DU EXERCICES DU EXERCICES DU EXERCICES DU EXERCICES DU EXERCICES DU EXERCICES DU EXERCICES DU EXERCICES DU EXERCICES DU EXERCICES DU EXERCICES DU EXERCICES DU EXERCICES DU BIBLIOGRAPHIE 648 INDEX DES NOTATIONS 652 INDEX TERMINOLOGIQUE 654