( ) Question 2. . Calculer sa décomposition en éléments (x + 1)(x 2 + 2x + 2) simples f (x) = a x bx + c

Transcription

1 On considère les fonctions h et F définies par : x h(x) = x + arctan(x) et F( x) = dt x h t ( ) Question (A) La fonction h est continue et strictement croissante de vers (B) La fonction h est paire (C) La fonction F est définie sur (D) La fonction F est impaire (E) F est dérivable sur et sa dérivée peut sécrire F ( x) = ( ) arctan ( x) ( ) ( ) arctan x ( x + arctan x ) x + arctan x ( ) On veut comparer F(x) à Question x dt pour x > 0 Étudier les variations de g(t) = x t t + h(t) (A) La dérivée de k( x) = arctan ( x) arctan ( x) est k (B) Sur ] 0,+ [, F est strictement croissante tarctan ( t) (C) Pour tout t ] 0,+ [, on a : t +arctan ( t) (D) Pour x ] 0,+ [ F( x) (E) lim F x x+ ( ) = ln x t dt > x x t dt x ( x) = + 7x ( + x ) + 4x ( ) sur [ 0,+ [ Question 3 x Soit la fraction rationnelle f (x) = Calculer sa décomposition en éléments (x + )(x + x + ) simples f (x) = a x + + bx + c En déduire une primitive F(x) de f (x), puis la valeur de x + x + lintégrale I = f (x)dx On utilisera la forme canonique : x + x + = ( x + ) + 0 (A) On a a =,b =,c = (B) Une primitive de x + x + est Arctan x + (C) Une primitive est F(x) = Arctan x + (D) On a Arctan ( ) = 3 (E) On a I = 4 ln() ( ) + ln x + x + (x + ) /6

2 Question 4 On veut calculer par récurrence sur n lintégrale J n = x n x dx Intégrer par parties pour 0 obtenir une relation de la forme J n =a n J n Calculer J 0 et J 3 (A) Une primitive de x est ( x) x 3 (B) On a J 0 = 3 (C) Pour tout n, on a a n = n n + 3 (D) On a J 3 = 6 35 (E) On a la forme générale J n = n+ n(n + ) (n + 3) Soient (H) l équation différentielle homogène : y (t) y (t) y(t) = 0 ( E ) l équation différentielle y (t) y (t) y(t) = t et ( E ) l équation différentielle y (t) y (t) y(t) = 9e t Question 5 (A) La solution générale de (H) est y(t) = Ae t + Be t (B) La seule solution de (H) vérifiant y(0) = y() = 0 est la fonction nulle (C) La seule solution de (H) vérifiant y(0) = et y ln ( ( )) = 4 est y(t) = e t ( ) = (D) Il nexiste pas de solution y de (H) telle que lim y t t+ (E) La seule fonction polynôme solution ( E ) est y (t) = t + t + Question 6 (A) La dérivée seconde de te t est ( t + )e t (B) Il existe une solution de ( E ) de la forme (At + B)e t (C) Toutes les solutions de ( E ) sont de la forme A te t + Be t (D) La solution de ( E ) telle que y(0) = y(0) = 0 est y(t) = e t e t + 3te t (E) Il existe une unique y solution de ( E ) telle que y(0) = 0 et lim y t t+ ( ) = 0 /6

3 Question 7 On cherche lunique nombre complexe d = u + iv avec u,v réels positifs, tels que d = + 6i En déduire les équations satisfaites par u et v, puis une équation du second degré admettant u comme solution (on posera U = u ) En déduire les deux racines complexes z,z du polynôme R(z) = z ( + 6i)z + i (A) On a u v = et uv = 8 (B) u est la solution positive de léquation U U + 64 = 0 (C) On a u = 4,v = 3 (D) Les racines de R(x) sécrivent + 4i ± d (E) z = + i, z = 3 + 4i Question 8 Dans cet exercice, le polynôme R(z) est le même quà la question 7 Soit le polynôme : P(z) = z 3 (5 + 6i)z (5 0i)z i Montrer quil possède une racine réelle simple z 0, la calculer On note A 0, A, A les points du plan daffixes z 0, z,z dans le repère orthonormé (O, i, j ) (A) On a z 0 3 5z 0 5z = 0 et 6z 0 + 0z 0 6 = 0 (B) On a z 0 = 3 (C) On a P(z) = z z 0 ( ) R( z) ( ) vaut d( A, A ) = 3 5 (D) La distance d A, A (E) Le triangle A 0 A A est isocèle Lurne A contient 7 boules vertes et 3 boules bleues, lurne B contient boules vertes et 8 boules bleues On tire au hasard une boule (tirage équiprobable) dans lurne A et on la met dans lurne B Puis on tire au hasard une boule de lurne B et on la met dans lurne A On appelle V lévénement la boule tirée de lurne A (mise dans lurne B) est verte, v est lévénement la boule tirée de lurne B (et mise dans lurne A) est verte V et v sont les événements contraires La probabilité de réaliser les événements F et G est notée P( F G) La probabilité conditionnelle dun événement F sachant que G sest réalisé (parfois notée P G ( F) ) ( ) est ici notée P F G (A) P( V) = 7 0 (B) P v V ( ) = 4 (C) P( v) = 9 0 (D) P( v) = 83 (E) P V v ( ) = Question 9 3/6

4 Question 0 (A) P( V v) = 7 9 (B) P( V v ) = (C) La probabilité quaprès avoir transféré une boule de A vers B, puis de B vers A, le contenu de A reste inchangé est P( V v ) + P( V v) = 48 (D) P( V v ) = (E) La probabilité quaprès avoir transféré une boule de A vers B, puis de B vers A, le contenu de A soit de 6 boules vertes et de 4 boules bleues est 56 électrique Les questions et ne doivent être traitées que par les candidats de l option génie Les questions 3 et 4 ne doivent être traitées que par les candidats des options génie informatique et génie civil Les questions 5 et 6 ne doivent être traitées que par les candidats de loption génie mécanique Les questions qui ne correspondent pas à la section du candidat ne seront pas corrigées Seulement pour les candidats de loption génie électrique Question (Seulement pour les candidats de loption génie électrique) On considère la fonction f :, impaire, de période, et définie par f (t) = sur ]0,[ et f (t) = 0 sur [, ] On note sa série de Fourier S(t) = a 0 + k = (a k cos(kt) + b k sin(kt)) Calculer les coefficients de Fourier, comparer f (t) et S(t) Calculer S (A) On a n, a n = 0 (B) On a b n = 4 n sin (n) (C) La série S(t)converge en tout t vers f (t) n (D) On a ( n sin3 = ) 4 n= n (E) La formule de Parseval donne ( n sin4 = ) 6 4/6

5 Question (Seulement pour les candidats de loption génie électrique ) Dans cette question, f est la même fonction quà la question Soit F définie par t F(t) = f (u)du Examiner ses propriétés (symétrie, périodicité) et la calculer pour t [0, ] Exprimer ses coefficients de Fourier (A 0, A n, B n ) en fonction de ceux de f (t)(utiliser une intégration par parties) (A) On a F(t) = t sur [0,] et F(t) = 0 sur [, ] (B) On a A 0 = 0 car f (t)dt = 0 (C) On a pour n, A n = 4 n n sin ( (D) La fonction F(t) est périodique car f (t)dt = 0 (E) En calculant la série de Fourier en 0, on trouve 4 8 = sin n( n ) * n= On considère la suite F n Seulement pour les candidats des options génie informatique et génie civil ( ) n, définie par F 0 = 0, F =, et pour tout n, avec n, F n = F n + F n Soit la matrice A = 0 On notera U n = F n+ F n Question 3 On note le nombre réel = + 5 (Seulement pour les candidats des options génie informatique et génie civil) (A) Le polynôme caractéristique de A est P A () = (B) = (C) Les valeurs propres de A sont et (D) (E) est un vecteur propre de la matrice A associé à la valeur propre est un vecteur propre de la matrice A On pose P = ( Question 4 (A) On a U n+ = AU n (B) P = + P (C) A = P 0 0 ( P (Seulement pour les candidats des options génie informatique et génie civil) 5/6

6 (D) Il existe deux constantes, telles que pour tout n,f n = n + ( ) n (E) n,a n = F n+ F n ( F n F n ) * Seulement pour les candidats de loption génie mécanique Question 5 (Seulement pour les candidats de loption génie mécanique) Soient deux nombres réels a,b avec a b>0 On considère la courbe C de représentation x( t) = acost paramétrique Un point de cette courbe est noté M ( t) La tangente en M ( t) à C est y( t) = bsint notée T ( t) (A) La courbe C est une parabole (B) Une équation de T t ( ) est bx cost + aysint = (C) Le point dintersection des droites a cos t + 4,b sin t + 4 (D) Les droites T t ( ) et T t + ( ) et T t + T t sont orthogonales (E) Lensemble E des points de coordonnées a cos t + 4,b sin t + 4 par une homothétie de centre O et de rapport Question 6 (Seulement pour les candidats de loption génie mécanique) a pour coordonnées : Soit lespace affine euclidien à trois dimensions muni du repère orthonormé O; i, j, k se déduit de C ( ) On considère la droite D contenant O et ayant pour vecteur directeur i, le point A de coordonnées (0,,0) et la droite contenant A et de vecteur directeur k On note S la surface regroupant tous les points M équidistants des droites D et (A) La distance au carré dun point M(x,y,z) à la droite D est d ( M,D) = y + z ( ) = (x ) + y (B) La distance au carré dun point M(x,y,z) à la droite est d M, (C) Lensemble des points de lespace à même distance de D et de est la surface S déquation x z y + = 0 (D) Lintersection de la surface S avec le plan déquation z = 0 est une parabole (E) Lintersection de la surface S avec le plan déquation x = est une hyperbole 6/6