Chapitre 6: Fonctions trigonométriques

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1 FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES 95 Chapitre 6: Fonctions trigonométriques Prérequis: Généralités sur les fonctions, Introduction dérivée, rapports trigo Requis pour: Croissance, Optimisation. 6.1 Quelques rappels Définitions Les fonctions trigonométriques sont définies à l aide du cercle trigonométrique : Considérons le point M du cercle trigonométrique correspondant à l angle α. Le cosinus de α, noté cos(α), est la 1 ère coordonnée (ou abscisse) de M. Le sinus de α, noté sin(α), est la ème coordonnée (ou ordonnée) de M. La tangente de α, notée tan(α), est l ordonnée de T. Relations fondamentales (I) sin (α) + cos (α) =1 (II) tan(α) = sin(α) cos(α) Valeurs particulières degrés radians sin cos tan Graphes des fonctions trigo M stand/renf JtJ 016

2 96 CHAPITRE 6 Périodicité Exemple La fonction sinus est périodique de période sin(α + ) = sin( ) La fonction cosinus est périodique de période cos(α + ) = cos( ) La fonction tangente est périodique de période tan(α + ) = tan( ) a) Esquisser la fonction f (x) = 3sin x puis préciser sa période et son amplitude. M stand/renf Jt 016

3 FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES 97 Exemple b) Esquisser la fonction f (x) = 1 cos ( x + π ) puis préciser sa période, son amplitude. Exercice 6.1 : Esquisser les fonctions suivantes en précisant leur période et leur amplitude: a) f (x) = cos x 3 b) f (x) = sin x + π c) f (x) = 3cos x + π Théorème Si f (x) = a sin(bx + c) ou f (x) = a cos(bx + c), où a, b et c sont des réels non nuls, alors : l amplitude A vaut : a la période T vaut : π b M stand/renf JtJ 016

4 98 CHAPITRE 6 Exemple On considère la fonction f définie par f (x) = 3cos x + π. Déterminer l amplitude A et la période T de f. En déduire son esquisse Exercice 6. : Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer sa période T et son amplitude A : a) f (x) = sin x π c) h(x) = cos x + π 3 b) g(x) = cos( 3x + π) d) i(x) = sin( 3x π) Retrouver sur le graphe ci-dessous les courbes correspondantes à ces 4 fonctions : M stand/renf Jt 016

5 FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES Quelques équations trigonométriques Introduction Une équation trigonométrique est une équation contenant des expressions trigonométriques. Il n existe pas de méthode universelle, mais le cercle trigonométrique sera très souvent votre allié. Exemple Résoudre cos(x) = -0,9 Exercice 6.3 : Résoudre les équations suivantes (en degrés): a) cos(x) = 1 b) sin(3x) = 0,89 c) tan(x) = 0,754 d) cos( x) = 1, 43 e) tan x = 5,33 f) sin(3x) = 3 M stand/renf JtJ 016

6 100 CHAPITRE 6 Exemple Résoudre sin x + π = 3 Exercice 6.4 : Résoudre les équations suivantes (en radians): a) sin x + π = 1 b) cos x π = c) sin x π = 1 d) cos 4x π = 3 4 e) tan(x + π) = 3 f) tan x = 1 Exemple Résoudre sin ( x)=1 M stand/renf Jt 016

7 FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES 101 Exercice 6.5 : Résoudre les équations suivantes (en radians): a) cos ( x)=1 b) sin ( x)= 1 4 c) tan ( x)= 3 d) sin ( x)= 3 4 e) tan ( x)=1 f) sin (x) = cos (x) Exemple Résoudre 4cos (x) 4cos(x) 3 = 0 Exercice 6.6 : Résoudre les équations suivantes (en degrés): a) sin (x) 5sin(x) + = 0 b) cos (x) 3cos(x) +1= 0 c) tan (x) + tan(x) = 1 M stand/renf JtJ 016

8 10 CHAPITRE 6 Exemple Résoudre 3sin (x) + cos (x) = 0 Exercice 6.7 : Résoudre les équations suivantes (en degrés): a) 3sin (x) + cos (x) = 0 b) cos (x) sin(x) =1 c) 5sin(x) = 6cos (x) M stand/renf Jt 016

9 FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES Dérivée des fonctions trigonométriques Introduction À l'image des chapitres précédents, nous pourrions déterminer la dérivée de la fonction f (x) = sin(x) à l aide du calcul sin(x) sin(a) de limite : lim. x a x a Essayons de trouver cette dérivée en comparant les graphes de f (x) et de la pente de la tangente en plusieurs points. y f(x) =sin(x) π π π x 1 y π π π x 1 f (x) =... Des démarches analogues permettraient de justifier les règles suivantes : Les règles de dérivation des fonctions trigo : 8 ème règle : Si f (x) = sin(x) f (x) = cos(x) 9 ème règle : Si f (x) = cos(x) f (x) = sin(x) ( ) ème règle : Si f (x) = tan(x) f (x) = tan(x) 1 ou f (x) = cos(x) ( ) Exercice 6.8 : Dériver les fonctions suivantes : M stand/renf JtJ 016 a) f (x) = sin(x) + cos(x) b) f (x) = x cos(x) c) f (x) = cos(x) tan(x) d) f (x) = tan(x) x e) f (x) = sin(x) 1+ cos(x) f) f (x) = x sin(x) + cos(x)

10 104 CHAPITRE 6 Exercice 6.9 : Exercice 6.10 : Exercice 6.11 : En combinant les règles 8 et 9 du tableau précédent, justifier la 10 ème règle (sous les deux formes). Déterminer l équation de la tangente à la courbe au point indiqué : a) f (x) = tan(x) au point d abscisse x = π b) f (x) = x cos(x) au point d abscisse x = π En quelles valeurs de x [0;π ], la courbe y = x + sin(x) a-t-elle une tangente horizontale? 6.4 La dérivée de fonctions composées Introduction Nous avons déjà eu l occasion de dériver quelques fonctions composées codées: f (x) = (g h)(x). Par exemple : f (x) = x correspond à f (x) = (g h)(x) avec g(x) = et h(x) = f (x) = (3x 5) 3 correspond à f (x) = (g h)(x) avec g(x) = et h(x) = 1 f (x) = correspond à f (x) = (g h)(x) avec 3 x + 4 g(x) = et h(x) = Lors du calcul de ces 3 dérivées, nous avons vu apparaître ce que nous avons appelé la dérivée interne. Ceci se généralise lors du calcul de la dérivée de toutes les fonctions composées. Les règles de dérivation des fonctions composées : 11 ème règle : Si f (x) = sin( g(x) ) f (x) = cos( g(x) ) g (x) 1 ème règle : Si f (x) = cos( g(x) ) f (x) = sin( g(x) ) g (x) 13 ème règle : Si f (x) = tan( g(x) ) f (x) = 1 cos g(x) ( ( )) g (x) = g (x) cos g(x) ou plus généralement pour toutes les fonctions composées : 14 ème règle : Si f (x) = g(x) h(x) = gh(x) ( ) ( ( )) f (x) = g ( h(x) ) h (x) M stand/renf Jt 016

11 FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES 105 Exemple dériver les fonctions suivantes : a) f (x) = sin( x ) b) f (x) = ( sin(x) ) Exercice 6.1 : Dériver les fonctions suivantes : a) f (x) = tan(3x) b) f (x) = cos(x 3 ) c) f (x) = cos 3 (x) d) f (x) = xsin 1 x M stand/renf JtJ 016

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