Systèmes de coordonnées

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1 1 Chapter 1 Sstèmes de coordonnées 1.1 Repère cartésien Un repère cartésien est défini par un point origine et trois aes (,, ) perpendiculaires entre eu. Les vecteurs unitaires portés par les aes sont:,ê,ê. (voir figure 1.1a)) a) b) e A( M) e r M e M e e e Figure 1.1: n doit bien noter la disposition relative des directions (,, ). Telles u elles sont placées, elles définissent un trièdre direct. Dans un tel trièdre, un bonhomme transpercé des pieds à la tête par, regardant la direction, a la direction à sa gauche. n peut noter aussi ue,, et sont respectivement orientés selon les directions du pouce, de l inde et du majeur de la main droite. Un point M de l espace est repéré par les trois composantes du vecteur r joignant à M ( r = ) (voir fig. 1.1a) : r (,, ) = ê + ê + ê M est la projection de M dans le plan (). Les composantes et de r sont les coordonnées du point M dans ce plan. La composante est obtenue en traçant la parallèle à passant par M. n dira indistinctement u un objet se trouve au point M ou en r Repérage d un vecteur en coordonnées clindriues Quand il s agit de repérer un vecteur A (M) dont le point d application est situé au point M(,, ), ou r (,, ), on peut décrire ce vecteur avec le même base de vecteurs unitaires,ê,ê (voir fig.1.1b)). Nous appelons donc,ê,ê, un répère orthonormé global parce u on peut l utiliser à décrire un vecteur aant n importe leuel point d application.

2 1.2. CRDNNÉES CYLINDRIQUES Coordonnées clindriues Repérage d un point en coordonnées clindriues En coordonnées clindriues, un point M de l espace est repéré comme un point de clindre (droit, à base circulaire) dont l ae est généralement confondu avec l ae du repère cartésien. Le point M (ou r ) est repéré par le raon ρ du clindre sur leuel il s appuie sa cote par rapport au plan de référence φ l angle (, ) où M est la projection de M sur le plan. La notation r (ρ, φ, ) vient se substituer à r (,, ) du repère cartésien. Vous pouve facilement vérifier ue, pour un point donné, les composantes cartésiennes et clindriues sont liées par : = ρ cosφ = ρ sin φ = e e M e Figure 1.2: Repérage d un vecteur en coordonnées clindriues Nous nous posons la uestion de repérer un vecteur dont le point d application est situé au point M(ρ, φ, ), ou r (ρ, φ, ). Pour cela nous attachons à M un repère orthonormé local (ê ρ,,ê ). Nous l appelons local parce u il n est pas le même pour tous les points M de l espace. Ce repère local est fait de 3 vecteurs unitaires de base orthogonau (ê ρ,,ê ) : ê ρ (ou û ρ ou ρ) est un vecteur parallèle à. (ou û φ ou φ) est parallèle au vecteur tangent en M au cercle de raon contenu dans le plan ê (ou û ou ẑ) est parallèle à l ae Dans ce repère, le vecteur champ électriue a 3 composantes et s écrit E (M) = Eρ ê ρ + E φ + E ê ou E (M) = E ρ E φ E

3 1.2. CRDNNÉES CYLINDRIQUES 3 Au point M, la relation entre les vecteurs unitaires (ê ρ,,ê ) et les vecteurs unitaires cartésiennes (,ê,ê ) s écrivent : ê ρ = cosφ + sin φê = sinφ + cosφê ê = ê (1.1) n peut voir cette relation comme une relation matricielle (tensorielle) ê ρ cosφ sin φ = sin φ cosφ ê = T ê ê 1 ê ê Les relation inverses sont obtenues en prenant l inverse de la matricet. Puisue les deu bases sont orthonormées, on a T 1 = T t où T t est la transpose de la matrice T. n obtient de cette manière les vecteurs unitaires (,ê,ê ) en fonction des (ê ρ,,ê ) : c est-à-dire. ê ê = cosφ sinφ sin φ cosφ 1 = cosφê ρ sinφ ê = sinφê ρ + cosφ ê = ê n peut également vérifier ces relations avec de la géométrie Position et déplacement (différentielle) en coordonnées clindriues n se rappelle u en coordonnées cartésiennes, le vecteur position s écrit et la différentielle de cette position s écrit = + ê + ê d d + d + d = d + ê d + ê d En coordonnées clindriues par contre, on écrit et la différentielle s eprime : = ρê ρ + ê ê ρ ê d = ρ dρ + dφ + d Si l on veut eprimer d en coordonnées clindriues, il faut tenir compte du fait ue le vecteur unitaire local ê ρ dépend de la coordonnée φ (voir e.(1.1)) : = ê ρ + ρ ê ρ ρ ρ = ê ρ = ρ ê ρ = ρ (cosφ + sinφê ) = ρ ( sinφ + cosφê ) = ρ Un déplacement en coordonnées clindriues s eprime donc d = ê ρ dρ + ρdφ + ê d (1.2)

4 CRDNNÉES SPHÉRIQUES 4 Cette formule est très utile afin d en déduire des volumes et des surfaces élémentaires. Par eemple, un élément de volume élémentaire en coordonnées clindriues s eprime dv = (dρ)(ρdφ) (d) = ρdρdφd (1.3) Eemple : n peut utiliser ce résultat à dériver la formule pour un clindre de raon R et de cote L : R 2π L R 2π Volume = dv = dρ ρdφ d = L ρdρ dφ clindre R,L clindre R = 2πL ρdρ = πr 2 L Gradient en coordonnées clindriues La différentielle en coordonnées clindriues d un champ scalaire Φ s eprime : dφ = Φ ρ dρ + Φ Le gradient en coordonnées clindriues est définie telle ue : Φ dφ + d (1.4) dφ = grad Φ d (1.5) Une comparaison entre (1.2), (1.4) et (1.5) montre ue l epression du gradient en coordonnées clindriues s écrit : grad Φ = Φ ρ êρ + 1 Φ + Φ ρ êφ ê (1.6) Eemple : Lorsue le potentiel électriue V (M) est eprimé en coordonnées clindriues (ρ, θ, ), les composantes du champ électriue dans le repère clindriue attaché au point M sont données par: E (ρ, φ, ) = gradv (ρ, φ, ) E = Eρ ê ρ + E φ + E ê E ρ = V ρ E φ = 1 ρ E = V Le potentiel créé par une distribution linéiue de charge avec une densité par unité de longueur λ est donné par V (ρ) = λ 2πǫ ln (ρ) + Cte. n obtient immédiatement le champ électriue par E (ρ) = gradv (ρ) = 1.3 Coordonnées sphériues λ 2πǫ ρêρ Repérage d un point en coordonnées sphériues En coordonnées sphériues, un point M(r) est considéré comme un point d une sphère centrée sur. Le point M est repéré par le raon r de la sphère à lauelle il appartient L angle θ entre la direction et la direction. θ = (, ) l angle φ entre la direction et la direction où M est la projection de M dans le plan.: φ = (, ) V ρ

5 CRDNNÉES SPHÉRIQUES 5 e e r r M e Figure 1.3: Coordonnées sphériues Un point M(r) étant donné, on trouve ue ses coordonnées cartésiennes s écrivent en fonction des coordonnées sphériues; ainsi: = r sinθ cosφ = r sin θ sin φ = r cosθ En géographie, où on est amené à repérer un point sur la sphère terrestre, l angle θ indiuerait la latitude par rapport au pôle nord et l angle φ, la longitude est par rapport au méridien de référence Repérage d un vecteur en coordonnées sphériues En coordonnées sphériues, un vecteur E(M) (ou simplement E( r )) attaché au point M(r) est repéré par trois composantes (E r, E θ, E φ ) dans un repère orthonormé local (,ê θ, ) : E(M) = Er + E θ ê θ + E φ avec (ou û r ou r) est un vecteur parallèle à. ê θ (ou û θ ou θ) est parallèle au vecteur tangent en M au cercle de raon r décrit dans le plan ui contient à la fois les directions, et. (ou û φ ou φ) est tangent en M au cercle de centre M et de raon M M =, contenu dans le plan perpendiculaire à. Au point M, la relation entre les vecteurs unitaires (,ê θ, ) et les vecteurs unitaires cartésiennes (,ê,ê ) s écrivent : = sinθ cosφ + sin θ sin φê + cosθ ê ê θ = cosθ cosφ + cosθ sin φê sin θ ê = sinφ + cosφê (1.7) n peut voir cette relation comme une relation matricielle (tensorielle) sin θ cosφ sinθ sin φ cosθ ê θ = cosθ cosφ cosθ sin φ sinθ ê = T sinφ cosφ ê ê ê

6 CRDNNÉES SPHÉRIQUES 6 ainsi ue les relation inverses ê ê = T 1 ê θ sin θ cosφ = = T t ê θ cosθ cosφ sinφ sin θ sinφ cosθ sin φ cosφ cosθ sinθ où nous avons encore utilisé le fait ue les deu bases sont orthonomés donne impliue T 1 = T t. Eemple de coordonnées sphériues : Considérons le potentiel et le champ électriues créés par une charge ponctuelle placée à l origine. En coordonnées sphériues, ceu-ci s epriment entièrement en fonction du vecteur radial r et du coordonnée radial r = r : V (r) = 1 4πǫ r E( r ) = 4πǫ r 2 = 4πǫ r r 3 ce ui est plus simple et naturel ue les epressions en coordonnées cartésiennes : V (,, ) = 4πǫ E(,, ) = 4πǫ + ê + ê ( ) 3/ Position et déplacement (différentielle) en coordonnées sphériues En coordonnées sphériues, le vecteur position s écrit simplement = r La différentielle, d, en coordonnées sphériues s éprime: d = r dr + θ dθ + dφ Afin d eprimer d en coordonnées sphériues, il faut tenir compte du fait ue le vecteur unitaire local dépend des coordonnées θ, et φ (mais pas sur r) : = + r r r = = r θ θ = rê θ = r = r sin θ Un déplacement en coordonnées sphériues s eprime donc d = dr + rdθ ê θ + r sin θdφ (1.8) Cette formule est très utile afin d en déduire des volumes et des surfaces élémentaires. Par eemple, un élément de volume élémentaire en coordonnées clindriues est dv = (dr) (rdθ) (r sin θdφ) = r 2 dr sin θdθdφ (1.9) Eemple : n peut utliser ce résultat à dériver la formule pour le volume d une sphère de raon R : R π 2π R π 2π Volume = dv = dr dθ r 2 sin θdφ = r 2 dr sin θdθ dφ sphère de raon R sphère R = 2π 1 r 2 dr d (cosθ) = 4π 1 R r 2 dr = 4π 3 R3 ê θ

7 CRDNNÉES SPHÉRIQUES Gradient en coordonnées sphériues La différentielle en coordonnées sphériues s écrit : dφ = Φ r dr + Φ θ Φ dθ + dφ grad Φ d (1.1) Une comparaison entre cette éuation et l é.(1.8) montre ue l epression du gradient en coordonnées sphériues est donnée par : Φ grad Φ = r + ê 1 Φ θ r θ + ê 1 Φ φ r sin θ (1.11) Eemple : Pour une charge ponctuelle située à l origine par eemple, si on se rappelle ue son potentiel électriue, s écrit V (r) = / (4πǫ r), on obtient toute suite son champ électriue en coordonnées sphériues : E( V r ) = gradv (r) = r = 1 4πǫ r r = 4πǫ r 2 alors ue le calcul est plus onéreu en coordonnées cartésiennes E(,, ) = gradv (,, ) = ( ) V 4πǫ + ê V + ê V ( ) = + + 4πǫ ( ) 3/2ê ( ) 3/2ê ( ) 3/2ê = 4πǫ + ê + ê ( ) 3/2