1 Équations cartésiennes, équations polaires d un ensemble de points

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1 Plans, cercles, droites et sphères Ce chapitre aborde les objets fondamentaux utilisés en géométrie : droites et cercles dans le plan, plans, droites et sphères dans l espace. Les objectifs du chapitre sont de connaitre et savoir calculer les équations qui caractérisent les objets, savoir les utiliser et déterminer les intersections entre différents objets. On commencera par travailler dans le plan uniquement, puis on s intéressera à l espace. 1 Équations cartésiennes, équations polaires d un ensemble de points Soit A un ensemble de points du plan P (par exemple, A peut être un point, une droite, la réunion de 3 droites, un cercle, une ellipse, le plan en entier, ou même l ensemble vide...) ou un ensemble de point de l espace E ( un plan, une droite, une sphère, un cône,...) 1.1 Équations cartésiennes de A Définition 1 Soit (O, i, j ) un repère du plan. Soit F une fonction de deux variables à valeurs réelles. On dit que l équation F (x, y) = 0 est une équation cartésienne de l ensemble A dans le repère (O, i, j ) si, et seulement si, pour tout point M du plan de coordonnées (x, y), on a l équivalence : ( ) M(x, y) A F (x, y) est défini et F (x, y) = 0. Soit (O, i, j, k) un repère de l espace. Soit F une fonction de trois variables à valeurs réelles. On dit que l équation F (x, y, z) = 0 est une équation cartésienne de l ensemble A dans le repère (O, i, j, k) si, et seulement si, pour tout point M du plan de coordonnées (x, y, z), on a l équivalence : ( ) M(x, y, z) A F (x, y, z) est défini et F (x, y, z) = 0. Exemple. Lorsqu on dit que la droite D a pour équation 2x + y 1 = 0, cela signifie que pour tout point M du plan de coordonnées (x, y), on peut écrire : M(x, y) D 2x + y 1 = 0. Technique. Pour établir l équation cartésienne d un ensemble A : On pose un point M(x, y) (dans le plan) ou M(x, y, z). On place M dans l ensemble A : M A, puis on cherche à exploiter les propriétés géométriques de M pour établir une équation. Remarque. 1. Notons que si F (x, y) = 0 est une équation cartésienne d une partie A alors 12F (x, y) = 0, F (x, y) 2 = 0 ou encore e F (x,y) = 1 sont aussi des équations cartésiennes de A. Il n y a donc pas du tout unicité de l équation cartésienne de A. De même pour les équations cartésiennes dans l espace. 2. Une fonction réelle définie par y = f(x) est l équation cartésienne de sa courbe représentative. 1.2 Équations polaires dans le plan Définition 2 Soit F une fonction de deux variables à valeurs réelles. On dit que l équation F (ρ, θ) = 0 est une équation polaire de A lorsque pour tout point M du plan, on peut écrire : M appartient à A si, et seulement si, l un de ses couples de coordonnées polaires vérifie F (ρ, θ) = 0. 1

2 Remarque. Il faut noter que l on demande seulement que l UN des couples de coordonnées polaires vérifie l équation. θ = π/4 et θ = 5π/4 sont deux équations polaires de la même droite. Un cercle de centre O et de rayon R a pour équation polaire ρ = R. L équation polaire ρ = θ représente deux spirales de sens opposés. 2 Droites du plan Soit (O; ı, j ) un repère du plan et B = ( ı, j ) la base qui lui est associée. On pose D la droite passant par M 0 (x 0, y 0 ) et dirigée par u (α, β). On cherche à caractériser les points de la droite par des équations : paramétriques, cartésiennes ou polaire. 2.1 Représentation paramétrique Technique : Pour tout point M du plan, on a M D M 0 M et u sont colinéaires t R, M 0 M = t u. En utilisant les coordonnées, il vient : M D t R, ( ) ( ) x x0 α = t t R, y y 0 β { x = x0 + tα y = y 0 + tβ Ce système est un paramétrage de D. Réciproquement, un tel paramétrage représente dans le repère (O; ı, j ) la droite passant par le point M 0 (x 0, y 0 ) et dirigée par u (α, β). Remarque. 1. La même représentation paramétrique mais avec t variant entre t 0 et t 1 représente un segment. 2. Une même droite admet une infinité de paramétrages (il suffit de choisir un autre point de D et/ou un autre vecteur directeur). 2.2 Equation cartésienne d une droite Soit (O; ı, j ) un repère du plan. Soit M(x, y) un point du plan. On a M(x, y) D M 0 M et u sont colinéaires det B ( M 0 M, u ) = 0 x x 0 α y y 0 β = 0 β(x x 0 ) α(y y 0 ) = 0 ax + by + c = 0 où l on a posé a = β, b = α et c = βx 0 + αy 0. On remarque que (a, b) (0, 0). Proposition 3 Toute droite D admet une équation cartésienne de la forme ax + by + c = 0 où a et b sont des réels tels que (a, b) (0, 0). Réciproquement, une équation cartésienne de la forme ax + by + c = 0, avec (a, b) (0, 0), est celle d une droite D. Si le repère est orthonormal, le vecteur n de composantes (a, b) est orthogonal à D ; on dit que c est un vecteur normal à D. Remarque. n (a, b) est un vecteur orthogonal à D, donc u( b, a) est un vecteur directeur de D. En effet : u n = b.a + a.b = 0 donc u n. 2

3 Remarque. Lorsque la droite D n est pas dirigée par j, l une de ses équations cartésiennes est de la forme y = mx + p. Les nombres réels m et p sont alors appelés respectivement coefficient directeur et ordonnée à l origine de la droite D dans le repère (O; ı, j ). Exercice 1. Soit (O; ı, j ) un repère du plan. On considère la droite D d équation 2x 5y + 8 = 0. Déterminer une représentation paramétrique de D. Exercice 2. Soit (O; ı, j ) un repère orthonormal. Déterminer une équation cartésienne de la droite D passant par les points A(2, 3) et B( 4, 7). Donner un vecteur normal à D. Exercice 3. Soit (O; ı, j ) un repère orthonormal. Déterminer une équation cartésienne de la droite D passant par A(2, 3) et de vecteur normal n (1, 2). 2.3 Parallélisme et perpendicularité Définition 4 Soit D et D deux droites de vecteurs directeurs respectifs u et v. Les droites D et D sont dites : parallèles si, et seulement si, u et v sont colinéaires. perpendiculaires ou orthogonales si, et seulement si les vecteurs u et v sont orthogonaux. Technique. Soient R un repère cartésien de plan et D et D deux droites d équations cartésiennes respectives D : ax + by + c = 0 et D : a x + b y + c = 0. Pour étudier les positions respectives de D et D, il suffit d étudier les vecteurs directeurs u( b, a) et u ( b, a ) : Si det B ( u, u ) = 0, alors les droites sont parallèles. Sinon, elles sont sécantes. Si le repère R est orthonormal et u u = 0, alors les droites sont perpendiculaire. Proposition 5 Soit D une droite d équation cartésienne ax + by + c = 0. Les droites parallèles à D sont les droites dont une équation cartésienne est de la forme ax + by + γ = 0, avec γ R. 2.4 Distance d un point à une droite Définition 6 Soient D une droite du plan et M un point quelconque. La distance de M à D est la distance MH où H est le projeté orthogonal de M sur la droite D. On note cette distance d(m, D). Proposition 7 Soient D une droite du plan et M un point quelconque. Pour tout point P de D, on a MP d(m, D) avec égalité si, et seulement si, P est le projeté orthogonal de M sur D. Autrement dit, la distance de M à D est la plus petite distance du point M aux points de la droite D. Proposition 8 Soient (O; ı, j ) un repère orthonormal, M 0 (x 0, y 0 ) un point du plan et D une droite d équation cartésienne ax + by + c = 0. La distance de M 0 à D est donnée par : ax 0 + by 0 + c d(m 0, D) = a 2 + b 2 Démonstration. 3

4 2.5 équation normale d une droite Parmi les équations cartésiennes de la forme ax + by + c = 0 d une droite, on en distingue une qui a des propriétés particulières. Proposition 9 Soit une droite D du plan muni d un r.o.n. (O; ı, j ). Alors D possède une équation normale, qui est une équation cartésienne de la forme suivante : (cos θ)x + (sin θ)y = p où p = d(o, D) et où le vecteur n (θ) = cos θ ı + sin θ j est un vecteur unitaire orthogonal D. Technique. Soit (O; ı, j ) un repère orthonormal du plan et D une droite d équation cartésienne ax+by+c = 0. Soit M(x, y) un point du plan. On a M(x, y) D ax + by + c = 0 a a 2 + b 2 x + ( ) 2 ( ) 2 a On a a 2 +b + b 2 a 2 +b = 1 donc il existe θ R tel que 2 On pose p = c a 2 +b 2 pour le second membre. On a alors p = b a 2 + b 2 y = c a 2 + b 2 car a 2 + b 2 0 a = cos(θ) et b a 2 +b 2 a 2 +b 2 c a 0 + b 0 + c = = d(o, D) a 2 + b2 a 2 + b 2 On a donc bien obtenu une équation de la forme (cos θ)x + (sin θ)y = p. = sin(θ). Exercice 4. Soit (O; ı, j ) un repère orthonormé et D la droite d équation cartésienne 3x 3y 6 = 0. Déterminer une équation normale de D et en déduire la distance de O à D. 2.6 Équations polaires d une droite On munit le plan d un r.o.n.d. (O; ı, j ). Proposition 10 On note (ρ, θ) les coordonnées polaires pour tout point M du plan. Une droite passant par le point O a une équation polaire du type θ = θ 0 où θ 0 R est un angle fixe et réciproquement, une telle équation est celle d une droite passant par le point O. Une droite ne passant pas par le point O a une équation polaire de la forme ρ = 1 α cos θ + β sin θ et (α, β) (0, 0). et reciproquement, une telle équation est l équation d une droite ne passant pas par le point O. Technique. Cas d une droite D passant par O : On prend u un vecteur directeur de la droite et on le divise par sa norme en posant v = u u. Le vecteur v étant de norme 1, on peut trouver un angle θ 0 tel que v = (cos θ 0, sin θ 0 ). Finalement, l équation polaire de la droite sera θ = θ 0. Cas d une droite D ne passant pas par O, avec une équation cartésienne ax + by + c = 0. Soit M un point du plan, de coordonnées cartésienne (x, y) et de coordonnées polaires (ρ, θ). On fait le changement de variable polaire x = ρ cos θ et y = ρ sin θ, qu on remplace dans l équation : [ a M D aρ cos θ + bρ sin θ + c = 0 ρ(a cos θ + b sin θ) = c ρ c cos θ + b ] c sin θ = 1 1 ρ = a c cos θ + b c sin θ 4

5 2.7 Intersection de deux droites et systèmes linéaires à deux inconnues Soit D : ax + by + c = 0 et D : a x + b y + c = 0 deux droites du plan. Soit M(x, y) un point du plan. On a { M(x, y) D D ax + by + c = 0 a x + b y + c = 0 Trois cas peuvent se présenter (c.f. systèmes) : Le système admet une seule solution (x A, y A ). C est à dire les droites D et D sont sécantes en A(x A, y A ). C est le cas lorsque les vecteurs u ( b, a) et v ( b, a ) qui dirigent respectivement D et D ne sont pas colinéaires, c est à dire lorsque det B ( u, v ) 0. Le système admet n a pas de solution. C est à dire les droites D et D sont parallèles (aucun point commun). Le système admet une infinité de solutions. C est à dire les droites D et D sont confondues (ce qui se traduit par le fait que les deux équations sont proportionnelles). Dans ces deux derniers cas, les vecteurs u et v sont colinéaires et l on a det B ( u, v ) = 0. Test 1. Déterminer une équation cartésienne de la droite D passant par les points A(1, 2) et B( 1, 3). En déduire un vecteur normal à D. Le point C(3, 1) appartient-il à cette droite? Test 2. Déterminer une représentation paramétrique de la droite passant par le point A(1, 1) et de vecteur directeur u( 2, 3). En déduire une équation cartésienne de. Quelle est la distance du point C(3, 1) à la droite? 3 Cercles 3.1 Représentations analytiques Le plan est muni d un repère orthonormal (O, ı, j ) Équations cartésiennes dans un repère orthonormal Proposition 11 Soit (O; ı, j ) un repère orthonormal du plan. 1. Tout cercle C admet une équation cartésienne de la forme x 2 + y 2 cx dy + e = Réciproquement, une équation cartésienne de la forme x 2 + y 2 cx dy + e = 0, représente un cercle ou l ensemble vide. Technique. Etablir l équation d un cercle. On considère C un cercle, de centre A(c, d) et de rayon r. Soit M(x, y) un point du plan, M C si et seulement si AM = r. Les coordonnées de AM sont (x c, y d) donc : M C AM 2 = r 2 (x c) 2 + (y d) 2 = r 2 x 2 2cx + c 2 + y 2 2dy + d 2 r 2 = 0 x 2 + y 2 2cx 2dy + (c 2 + d 2 r 2 ) = 0 Technique. Trouver un cercle à partir d une équation. Soit C un ensemble de points du plan d équation x 2 + y 2 cx dy + e = 0 qu on cherche à identifier. Soit M(x, y) un point du plan. M C x 2 + y 2 cx dy + e = 0 x } 2 {{ cx } + y2 dy }{{} = e ( x c ) 2 c 2 ( y d ) 2 d2 (x 2 4 = e c ) ( 2 + y d ) 2 = c2 + d On appelle A le point de coordonnées ( c 2, d 2 ). On a alors AM 2 = (x c 2 )2 + (y d 2 )2. Donc on a e On distingue deux cas : M C AM 2 = c2 + d 2 e 4 5

6 si c2 +d 2 4 e < 0, alors c est impossible. C est l ensemble vide, si c2 +d 2 c 4 e 0, on pose r = 2 +d 2 4 e. Alors C est le cercle de centre A et de rayon r. Exercice 5. Soit (O; ı, j ) un repère orthonormal du plan. 1. Déterminer une équation cartésienne du cercle C de centre Ω(1, 5) et de rayon Reconnaître la partie du plan représentée par l équation 2x 2 + 2y 2 12x + 4y + 8 = k pour k = 6 puis pour k = Équations polaires dans un repère orthonormal direct Proposition 12 Soit (O; ı, j ) un repère orthonormal direct du plan. Tout cercle C admet une équation polaire de la forme ρ 2 2ρ(c cos θ + d sin θ) + e = 0. En particulier, si le cercle passe par l origine, une de ses équations polaires est ρ = 2c cos θ + 2d sin θ. Technique. On part d une équation cartésienne x 2 + y 2 2cx 2dy + e = 0 du cercle C. Pour tout point M de coordonnées cartésiennes (x, y) et polaires (ρ, θ), on fait le changement de variable x = ρ cos θ et y = ρ sin θ. On remplace dans l équation : 0 = ρ 2 cos θ 2 + ρ 2 sin θ 2 2cρ cos θ 2dρ sin θ + e = ρ 2 (cos θ 2 + sin θ 2 ) 2ρ(c cos θ + d sin θ) + e }{{} 1 On trouve l équation directement. Si le cercle passe par O, on a e = 0 (car (0,0) vérifie l équation du cercle) et l équation devient ρ(ρ 2c cos(θ) 2d sin(θ)) = 0 c est-à-dire ρ = 0 ou ρ = 2c cos(θ) + 2d sin(θ). L équation ρ = 0 est superflue (mais je passe sur ces détails techniques), dons l équation du cercle C se réduit à ρ = 2c cos(θ) + 2d sin(θ). 3.2 Intersection d une droite et d un cercle Proposition 13 L intersection d une droite D et d un cercle C de centre Ω et de rayon R est deux points distincts si d(ω, D) < R, un point unique T si d(ω, D) = R, on dit alors que D et C sont tangents en T, l ensemble vide si d(ω, D) > R. Exercice 6. On rapporte le plan au repère orthonormal (O; ı, j ). Déterminer les éventuels points d intersection de D : x + 3y 4 = 0 et C k : x 2 + y 2 6y + k = 0 pour k = 4, k = 13/2 et k = Intersection de deux cercles Proposition 14 Les dessins suivants présentent les différentes positions relatives de deux cercles. On peut préciser que deux cercles de rayons R et r et de centres Ω et ω ont une intersection non vide si, et seulement si, R r Ωω R + r. Technique. Soit (O; ı, j ) un repère orthonormal du plan. Soit C : x 2 + y 2 cx dy + e = 0 et C : x 2 + y 2 Cx Dy + E = 0. On cherche leur intersection. 6

7 Soit M(x, y) un point du plan. On a { M(x, y) C C x 2 + y 2 cx dy + e = 0 (L 1 ) x 2 + y 2 Cx Dy + E = 0 (L 2 ) { x 2 + y 2 cx dy + e = 0 (c C)x + (d D)y + E e = 0. (L 2 L 2 L 1 ) On doit distinguer deux cas : Si (c, d) = (C, D), alors L 2 devient E e = 0. Les deux cercles sont concentriques (même centre). Ils sont confondus s ils ont le même rayon (dans ce cas E = e) et ont une intersection vide dans le cas contraire. Si (c, d) (C, D), les deux cercles ne sont pas concentriques. La deuxième équation est celle d une droite D. Cette droite est appelée l axe radical des deux cercles C et C. Les points d intersection de C sont les points d intersection de D et C, que l on sait déterminer. Exercice 7. On rapporte le plan au repère orthonormal (O; ı, j ). Déterminer les éventuels points d intersection de C : x 2 + y 2 6y + 4 = 0 et C : x 2 + y 2 + x 3y = Une caractérisation du cercle de diamètre [AB] Proposition 15 Soient A et B deux points distincts du plan. L ensemble des points M tels que MA MB = 0 est le cercle de diamètre [AB]. Démonstration. Soit I le milieu du segment [AB] et M un point du plan. On a On a IA = IB, donc 0 = MA MB = ( ) ( ) MI + IA MI + IB = MI 2 + ( ) MI IA + IB + IA IB M appartient au cercle de diamètre [AB]. 0 = MI 2 ( ) 1 2 IB 2 = MI 2 2 AB MI = AB 2 Exercice 8. On rapporte le plan au repère orthonormal (O; ı, j ). Soit A(1, 2) et B( 3, 4). Déterminer une équation cartésienne du cercle C de diamètre [AB] de la forme x 2 + y 2 Cx Dy + E = 0 sans calculer ni son centre, ni son rayon. 4 Plans de l espace Caractérisation : Dans l espace, un plan est défini par la donnée d un point et de deux vecteurs non colinéaires. Les deux vecteurs forment une base de la direction du plan, ce sont des vecteurs directeurs. On peut aussi définir un plan par trois points non alignés. Soit (O; ı, j, k ) un repère cartésien de l espace 4.1 Représentation paramétrique d un plan Technique. Si P est le plan contenant le point A(x A, y A, z A ) et dirigé par les deux vecteurs non colinéaires u (α, β, γ) et v, alors on peut écrire M P s, t R, OM = OA + t u + s v. x = x A + αt + α s y = y A + βt + β s ((t, s) R 2 ). z = z A + γt + γ s 7

8 C est un paramétrage du plan P. Réciproquement, un tel paramétrage représente le plan contenant le point A(x A, y A, z A ) et dirigé par les vecteurs u (α, β, γ) et v (α, β, γ ) lorsque les triplets (α, β, γ) et (α, β, γ ) ne sont pas proportionnels. Remarque. Il existe une infinité de représentations paramétriques d un même plan qui dépendent du choix du point A et des vecteurs u et v. 4.2 équation cartésienne d un plan Proposition 16 Soit R un repère de l espace. Tout plan P admet une équation cartésienne de la formeax+by+cz+d = 0 où a, b, c et d sont des réels tels que (a, b, c) (0, 0, 0). Réciproquement, une équation cartésienne de la forme ax + by + cz + d = 0, avec (a, b, c) (0, 0, 0), est celle d un plan P. Techniques : On cherche une équation cartésienne d un plan P. 1. On pose A(x A, y A, z A ) un point de P et u et v deux vecteurs de P non colinéaires. Soit M(x, y, z) un point de l espace. M P ssi AM, u, v sont coplanaires ssi det B ( AM, u, v) = 0. En notant (a, b, c) et (a, b, c ) les coordonnées de u et v, on a alors x x A a a y y A b b z z A c c = 0 et il reste à calculer. 2. Si on a une représentation paramétrique, on utilise deux des équations en reportant dans la troisième, de manière à éliminer les paramètres et ne garder que (x, y, z). Exercice 9. L espace est rapporté au repère R = (O; i, j, k ). On note B la base ( i, j, k ). 1. Donner une équation cartésienne du plan P 1 dont une représentation paramétrique est x = 1 + t + s y = 1 t + s z = 0 + 2t s 2. Donner une représentation paramétrique du plan P 2 d équation cartésienne x + y z + 1 = Plan défini par un point et un vecteur normal Définition 17 On dit qu un vecteur n est orthogonal (ou normal) à un plan P si, et seulement si, n est orthogonal à tous les vecteurs de P. Remarque. Si on connait u et v deux vecteurs directeurs du plan non colinéaires, alors on peut prendre n = u v. Technique. On cherche une équation cartésienne du plan P passant par le point A(x A, y A, z A ) et de vecteur normal n (a, b, c). Soit M un point : M(x, y, z) P AM n AM n = 0 a(x x A ) + b(y y A ) + c(z z A ) = 0 Et on développe pour trouver l équation cartésienne du plan. Proposition 18 Dans un repère orthonormal, Tout plan P d équation cartésienne ax + by + cz + d = 0 admet n (a, b, c) pour vecteur normal. Exercice 10. On munit l espace d un repère orthonormal direct (O, ı, j, k ). On considère le plan P passant par les points A(1, 0, 2), B(0, 2, 1) et C( 1, 1, 0). Calculer un vecteur normal au plan et en déduire une équation cartésienne de P. 8

9 4.4 Distance d un point à un plan Proposition 19 Soit un repère orthonormal direct R = (O, i, j, k ), P un plan de l espace d équation cartésienne ax + by + cz + d = 0 et A un point de coordonnées (x A, y A, z A ). On a : d(a, P) = ax A + by A + cz A + d. a 2 + b 2 + c 2 Proposition 20 Soit R = (O; ı, j, k ) un repère orthonormal et P un plan. Le plan P admet une équation cartésienne de la forme ax + by + cz = p avec a 2 + b 2 + c 2 = 1 et p = d(o, P). Cette équation est une équation normale de P. Le vecteur n de composantes (a, b, c) est alors normal à P et unitaire. 4.5 Positions relatives de deux plans de l espace Plans parallèles (stricts ou confondus). Dans ce cas, les vecteurs normaux des deux plans sont colinéaires. Plans sécants selon une droite. Les vecteurs normaux ne sont pas colinéaires. 4.6 Intersection de trois plans et systèmes linéaires Soit R un repère orthonormal et B la base orthonormale associée à R. On considère P, P et P trois plans d équations cartésiennes respectives dans R : (P) : ax + by + cz + d = 0 (P ) : a x + b y + c z + d = 0 (P ) : a x + b y + c z + d = 0. On note n (a, b, c), n (a, b, c ) et n (a, b, c ) des vecteurs normaux à P, P et P respectivement. On s intéresse aux points d intersections des trois plans et au lien avec det B ( n, n, n ). Quatre cas peuvent se présenter : Deux des plans sont parallèles, par exemple P et P. Alors n et n sont colinéaires, donc det B ( n, n, n ) = 0. Si les trois plans sont parallèles, c est aussi le cas. Les trois plans sont sécants selon une droite. Alors n, n, n sont orthogonaux à, donc ils appartiennent à un plan orthogonal à. Ils sont coplanaires, donc det B ( n, n, n ) = 0 Les trois plans sont sécants selon trois droites distinctes et parallèles. De la même manière, n, n, n sont orthogonaux à une seule droite, donc ils sont coplanaires, donc det B ( n, n, n ) = 0 Les trois plans sont sécants en un point unique. Les vecteurs normaux ne sont pas coplanaires, donc det B ( n, n, n ) 0. Les points d intersections des trois plans forment l ensemble P P P. C est l ensemble des points dont les coordonnées (x, y, z) vérifient le système (S) ax + by + cz + d = 0 a x + b y + c z + d = 0 a x + b y + c z + d = 0 On a vu que ce système admet une unique solution si et seulement det B ( n, n, n ) 0, c est à dire ssi det B ( n, n, n a a a ) = b b b c c c = a b c a b c a b c 0 Ce déterminant est le déterminant du système (c.f. futur cours Déterminant) Test 3. Déterminer une représentation paramétrique du plan passant par le point A(1, 0, 1) et de vecteurs directeurs u(1, 2, 1) et v(0, 1, 1)). 5 Droites de l espace Rappel : Dans l espace, une droite est la donnée d un point et d un vecteur non nul ou, ce qui revient au même, de deux points distincts. 9

10 5.1 Représentation paramétrique d une droite Soit D est la droite contenant le point A(x A, y A, z A ) et dirigé par le vecteur non nul u (α, β, γ). Soit M(x, y, z) un point de l espace. M D t R, OM = OA + t u. En passant aux coordonnées, on a : x = x A + αt y = y A + βt z = z A + γt (t R). C est une représentation paramétrique de la droite D. Réciproquement, une telle représentation paramétrique représente la droite contenant le point A(x A, y A, z A ) et dirigée par le vecteur u (α, β, γ). Remarque. Il y a une infinité de représentations paramétriques d une même droite qui dépendent du choix du point A et du vecteur u. 5.2 Système d équations cartésiennes d une droite Proposition 21 Toute droite de l espace admet un système d équation cartésienne de la forme { ax + by + cz + d = 0 a x + b y + c z + d = 0 où les triplets (a, b, c) et (a, b, c ) ne sont pas proportionnels. Réciproquement, l ensemble des points de l espace vérifiant le système { ax + by + cz + d = 0 a x + b y + c z + d = 0 où les triplets (a, b, c) et (a, b, c ) ne sont pas proportionnels est la droite définie comme l intersection des deux plans d équations cartésiennes ax + by + cz + d = 0 et a x + b y + c z + d = 0. Remarque. Une équation du type ax + by + cz + d = 0 représente un plan et JAMAIS une droite. Une droite est toujours définie par un système de DEUX équations équations cartésiennes. Exercice 11. Soit D la droite définie par le système { x + 2y 3z + 1 = 0 2x y + z + 2 = 0. Donner une représentation paramétrique de la droite D. 5.3 Distance d un point à une droite Proposition 22 Soit D la droite passant par le point A et de vecteur directeur u. Pour tout point M de l espace, on a d(m, D) = AM u. u 5.4 Positions relatives de deux droites de l espace Soit D et D deux droites de l espace, on a alors les cas suivants : D et D sont parallèles sans point commun ; D et D sont parallèles avec un point commun et alors elles sont confondues ; D et D ont un unique point commun : elles sont alors sécantes. D et D n ont pas de point commun et ne sont pas parallèles. Elles sont alors non coplanaires ; 10

11 Remarque. Si les droites sont parallèles, sécantes ou confondues, elles sont coplanaires. Définition 23 Deux droites sont dites orthogonales si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux. Deux droites sont dites perpendiculaires si elles sont orthogonales et sécantes. 5.5 Perpendiculaire commune à deux droites Proposition 24 Soit D et D deux droites de l espace. Si D et D sont parallèles alors il existe une infinité de droite perpendiculaire à D et D. Si D et D ne sont pas parallèles alors il existe une unique droite perpendiculaire à D et D. Démonstration. Etudions tous les cas possibles selon la position relative de D et D. Si D et D sont parallèles ( confondues ou non confondues) alors elles appartiennent à un même plan P. Toutes les droites perpendiculaires à D incluses dans P conviennent. Si D et D sont sécantes en A, alors elles déterminent un unique plan P qui les contient. La droite orthogonale à P qui passe par A est alors perpendiculaire à D et D et c est la seule. Supposons que D et D ne sont pas coplanaires. Existence et méthode de construction de la perpendiculaire : Les vecteurs directeurs u et u de D et D ne sont pas colinéaires donc le vecteur n = u u n est pas nul et est orthogonal à D et D (ce sera le vecteur directeur de ). Soit P le plan contenant la droite D et le vecteur n et P le plan contenant la droite D et le vecteur n. Les deux plans P et P se coupent le long d une droite qui admet pour vecteur directeur n et qui est donc perpendiculaire à D et D. Proposition 25 Soit D et D deux droites de l espace et une perpendiculaire commune à D et D. On note respectivement H et H l intersection entre et D et D. La distance entre D et D définie comme la plus petite distance entre un point de D et un point de D vaut HH. Soit B une base orthonormale. Si A et u appartiennent à D et A et u à D alors d(d, D detb ( u, u, AA ) ) = u. u { x y z = 1 Test 4. Soit D la droite admettant pour système d équations cartésiennes 2x +z = 2. Déterminer une représentation paramétrique de cette droite. Donner un point appartenant à cette droite et un vecteur directeur. 6 Sphères 6.1 équation cartésienne d une sphère L espace est rapporté à un repère orthonormal (O; i, j, k ). Définition 26 Soit Ω un point de l espace et R 0. La sphère de centre Ω et de rayon R est l ensemble des points de l espace tels que ΩM = R. Technique. Soit M(x, y, z) un point quelconque de l espace. On a M appartient à la sphère S de centre Ω(a, b, c) et de rayon R si, et seulement si ΩM 2 = R 2. On a ΩM(x a, y b, z c) donc (x a) 2 + (y b) 2 + (z c) 2 = R 2 11

12 On développe et on obtient l équation de la sphère. Inversement, à partir d une équation x 2 + y 2 + z 2 ax by cz + d = 0, il faut factoriser avec les carrés pour savoir si c est une sphère (même méthode que le cercle dans le plan). Proposition 27 La sphère S admet une équation cartésienne de la forme x 2 + y 2 + z 2 ax by cz + d = 0. Réciproquement, l ensemble des points M(x, y, z) de l espace tels que x 2 +y 2 +z 2 ax by cz +d = 0 est soit l ensemble vide, soit une sphère. 6.2 Intersection d une sphère et d une droite Proposition 28 Soit S une sphère de centre Ω et de rayon R et D une droite. On note H le projeté orthogonal de Ω sur D de sorte que ΩH = d(ω, D). Si d(ω, D) > R alors S D = ; si d(ω, D) = R alors S D = {H} ; on dit que D est tangente à S et les droites (ΩH) et D sont alors perpendiculaires ; si d(ω, D) < R alors S D = {A, B} où A et B sont les deux points de D tels que HA = HB = R 2 d(ω, D) 2 ; on dit que S et D sont sécants. 6.3 Intersection d une sphère et d un plan Proposition 29 Soit S une sphère de centre Ω et de rayon R et P un plan. On note H le projeté orthogonal de Ω sur P de sorte que ΩH = d(ω, P). Si d(ω, P) > R alors S P = ; si d(ω, P) = R alors S P = {H} ; on dit que P est tangent à S et la droite (ΩH) est orthogonale au plan P ; si d(ω, P) < R alors S P est le cercle du plan P de centre H et de rayon R 2 d(ω, P) 2 ; on dit alors que S et P sont sécants. Devoir Maison n 2 L espace est muni d un repère orthonormal direct (O, i, j, k). Soient S l ensemble des points M(x, y, z) tels que x 2 + y 2 + z 2 2x 2y 2z + 1 = 0 et P 1 le plan d équation y + z = Montrer que S est une sphère dont on précisera le centre et le rayon. 2. Montrer que P 1 est tangent à S, puis donner les coordonnées du point de tangence de S et P 1 3. Vérifier que le plan P 2 d équation y + z = 0 est parallèle à P 1 et tangent à S. 12