Dans l ensemble du chapitre, on considère le plan muni d un repère orthonormal. est un nombre «complexe» (au sens de «composé» défini avec

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1 1/Les Nombres Complexes Chapitre 4 Les Nombres Complexes. I. Définitions Objectif : On veut «construire» un ensemble de nombres contenant l ensemble des nombres réels, muni de deux opérations qui généralisent l addition et la multiplication des nombres réels, dans lequel l équation x 2 = -1 a au moins une solution. Dans l ensemble du chapitre, on considère le plan muni d un repère orthonormal. direct ( O; i, j ) 1. L ensemble C. Soit M un point du plan (ou v un vecteur du plan) de coordonnées notées x On dit que x deux composantes). est un nombre «complexe» (au sens de «composé» défini avec On peut désigner un nombre complexe par une lettre, par exemple. On pourra donc dire : soit le nombre complexe = x. Vu les propriétés des coordonnées, à un point M du plan (ou à un vecteur v du plan) on associe un et un seul nombre complexe ; et réciproquement. On dit que le nombre complexe est l affixe du point M (ou du vecteur v ).

2 2/Les Nombres Complexes L ensemble des nombres complexes est noté C. Il se représente par l ensemble des points du plan muni d un repère orthonormal direct. x On veut que C contienne R. On décide d identifier le nombre complexe 0 nombre réel x. au Cela consiste à représenter dans le plan, l ensemble des nombres réels par l axe des abscisses. 2. Addition des nombres complexes. Soit M et M d affixes respectives x et x '. y' En remarquant que le vecteur OM +OM' a pour coordonnées l addition de deux nombres complexes en posant : Cas particulier : x + x ', on définit y + y ' x x + ' x + x ' = y' y + y ' Si l on considère des nombres réels, avec l identification faite, on a : x x x + x = + ' = 0 0 prolonge l addition dans R. x + x ' 0 = x + x, ce qui montre que l addition dans C Propriétés : On peut vérifier que l opération que l on vient de définir a les mêmes propriétés que l addition dans R. En particulier, un nombre complexe a un opposé : l opposé de = x x est y que l on écrit.

3 3/Les Nombres Complexes 3. Multiplication des nombres complexes. On veut que la multiplication des nombres complexes prolonge la multiplication des nombres réels. En particulier on veut que : x = 1 x = 1 x. 0 En conséquence on ne peut pas prendre comme définition du produit de deux nombres complexes : x x ' xx ' = y ' yy ' Revenons à l égalité x. x 1 x = 0, et regardons la comme le produit de 1 0 par 1 x Géométriquement, passer du point A d affixe au point M d affixe 0 correspond à la composée de l homothétie de centre O et de rapport OM, et de la u ; OM. rotation de centre O et d angle ( ) On généralise en considérant les coordonnées polaires. x r cos( θ) Soit M (M O) d affixe = = r sin( θ) x ' r 'cos( θ') = =. y' r 'sin( θ') et M (M O) d affixe On définit x x ' y' en considérant l affixe du point M, image de M

4 4/Les Nombres Complexes par la composée de l homothétie de centre O et de rapport r, et de la rotation de centre O et d angle θ ce qui donne le point M d affixe : rr 'cos( θ + θ'). rr 'sin( θ + θ') Or à partir de l égalité : cos(θ + θ ) = cos(θ) cos(θ ) sin(θ) sin(θ ), on a : r r cos(θ + θ ) = x x y y ; A partir de l égalité : sin(θ + θ ) = sin(θ) cos(θ ) + cos(θ) sin(θ ), on a : r r sin(θ + θ ) = x y + y x. On donne alors la définition : x x ' r cos( θ) r 'cos( θ') rr 'cos( θ + θ') xx ' yy' = = =, y ' r sin( θ) r 'sin( θ') rr 'sin( θ + θ ') xy' + yx ' et quel que soit le nombre complexe : 0 = 0. Remarque : On a immédiatement : x x ' y' = x ' x. y' Géométriquement, cela signifie que dans la démarche exposée plus haut, on arrive au même point M en permutant les rôles de M et de M.

5 5/Les Nombres Complexes Cas particulier : 1. Si on considère les nombres réels x et x, avec l identification faite, on a : xx = x x ' xx ' = = xx, qui montre que la multiplication dans C prolonge celle de R. x k x kx 2. On a également : k = = 0 ky ou encore x k kx =. ky Propriétés : Hormis la question de l inverse et du quotient (voir II), on peut vérifier facilement que les opérations dans C ont les mêmes propriétés de calcul que les opérations dans R. 4. Nouvelle écriture des nombres complexes. a. Un cas particulier : Avec la définition donnée, on a : = = On a donc un nombre complexe dont le «carré» est égal à 1. On note i le nombre complexe 0. On a donc i 2 = 1. 1 L équation 2 = -1 a donc au moins une solution dans C.

6 6/Les Nombres Complexes b. Cas général : = x x 0 x 0 = + = + y = x + i y, en notant dorénavant, comme dans R, iy le produit i y. Un nombre complexe peut s écrire sous la forme : = x + i y = x + y i, avec x et y réels. Les opérations s écrivent alors : (x + iy) + (x + iy ) = (x + x ) + i (y + y ) (x + i y) (x + iy ) = (x x y y ) + i (x y + y x ) Remarque pratique : En pratique, on retrouve les égalités définissant les opérations en utilisant les règles usuelles d algèbre et l égalité : i 2 = Conclusion. Définition 1 : On désigne par C l ensemble des nombres complexes qui s écrivent sous la forme = x + i y, où x et y sont des nombres réels où i est un nombre complexe tel que : i 2 = 1. Cet ensemble est muni d une addition et d une multiplication qui prolongent l addition et la multiplication des nombres réels. Définition 2 : Si = x + iy, x s appelle la partie réelle de, notée Re() ; y s appelle la partie imaginaire de, notée Im().

7 7/Les Nombres Complexes Si Re() = 0, on dit que le nombre complexe est imaginaire pur. Définition 3 : Etant donné un nombre complexe = x + iy, le point M (ou le vecteur v ) de coordonnées (x ; y) a pour affixe, et est appelé image ponctuelle (ou vectorielle) du nombre complexe. Si le point M a pour coordonnées polaires [r ; θ ], on dit que r est le module de, noté, θ est un argument de, noté arg(), il est défini à 2π-près. L écriture = x + iy est dite forme algébrique de. L écriture = r cos(θ) + i r sin(θ) est dite forme trigonométrique de. II. Inverse et quotient. Soit un nombre complexe non nul on veut définir son inverse, c est-à-dire un nombre tel que = 1. Géométriquement, pour passer du point M (M O) au point A d affixe 1, on compose une homothétie de centre O, de rapport ( OM ; u ). 1 OM, et une rotation de centre O, d angle En notant [r ; θ ] les coordonnées polaires de M, cela revient à diviser la norme de OM par r, et à soustraire θ à son argument. Donc si = r (cos(θ) + i sin(θ)) (avec r non nul ), le nombre complexe = 1 r (cos(-θ ) + i sin(-θ )) vérifie: = r 1 (cos(θ - θ ) + i sin ( θ - θ )) = 1. r

8 8/Les Nombres Complexes On dit que est l inverse de, on le note 1. On a : 1 1 = et arg [2π]. 1 = arg() Cas particulier : si est réel non nul, on retrouve la notion d inverse dans R. Avec la forme algébrique: Soit le complexe non nul = x + iy = r (cos(θ) + i sin(θ)). On a : 1 = 1 r (cos(θ) i sin(θ)) = 1 x y x iy i = x2 + y2 x2 + y2 x2 + y2 x2 + y2 Définition 4 : On appelle conjugué de, et on note, le nombre complexe x i y. On définit la division de par en multipliant par l inverse de : ' 1 = '. Technique : Pour déterminer la partie réelle et la partie imaginaire d un quotient, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur : ' = x ' + iy ' ( x ' + iy ')( x iy ) xx ' + yy ' + i ( xy ' x ' y = = ) x + iy ( x + iy)( x iy) x2 + y2

9 9/Les Nombres Complexes III. Propriétés. 1. Du conjugué. 1. Les points du plan associés à deux nombres complexes conjugués sont symétriques par rapport à l axe des abscisses. 2. Soit = x + i y un nombre complexe. + = 2x et = 2iy. 3. R = ; est un imaginaire pur = ' = + ' ; ' = ' ; = ' ' Démonstration : Soient = x + iy et = x + iy, alors = x iy et ' = x i y. 1. Les points d affixes respectives et ont la même abscisse et une ordonnée opposée, ils sont donc symétrique par rapport à (Ox) = (x + iy) + (x iy) = 2x ; = (x + iy) (x iy) = 2iy ; 3. ( IR ) ( y = 0 ) ( = 0 ) ( = ); ( est un imaginaire pur ) ( x = 0 ) ( + = 0 ) ( = ) ; 4. + ' = (x + x ) i(y + y ) = + ' ; ' = (xx yy ) i(xy + x y) = (x iy) (x iy ) = ' ; xx ' + yy ' i( x ' y xy') ( x iy)( x ' + iy') = = =. ' x '2 + y'2 x '2 + y'2 ' 2. Des modules et des arguments. Soient = x + i y, et = x + i y deux nombres complexes. 1. = 0 = = = ;Si est non nul : arg(-) = arg() + π [2π] ; arg( ) = - arg() [2π] 3. 2 = x2 + y2 = (Attention : 2 n est pas 2!!) 4. = ; si est non nul, arg( ) = arg() + arg( ) [2π].

10 10/Les Nombres Complexes 5. ' = ; si est non nul, arg= arg() - arg( ) [2π]. ' ' 6. Inégalité triangulaire: + +. Démonstration : Soit M le point d affixe = x + iy. 1. ( = 0 ) ( OM = 0 ) ( M = O ) ( = 0 ). 2. Les points M et M1 d affixes respectives et sont symétriques par rapport M() à O, donc - = et (s ils sont distincts de O) arg(-) = arg()+ π [2π]. Les points M et M2 d affixes respectives et sont symétriques par rapport à (Ox), donc = et (s ils sont distincts de O) arg( ) = - arg() [2π]. M2( ) M1(-) 3. 2 = OM 2 = x2 + y2 = ( x + iy ) (x iy) =. 4. et 5. Ce sont des conséquences directes de la construction du produit et de l inverse dans C. On les retrouve avec les formes trigonométriques des nombres complexes. 6. Soient M, M et M les points d affixes respectives, et +. + = OM OM + OM = + (d après l inégalité triangulaire dans OMM ). O M() M ( ) M (+ ) 3. Notation exponentielle Considérons la fonction f définie sur R par f (θ) = cos(θ) + i sin(θ). On a f (θ + θ ) = f(θ) f(θ ). Ainsi f vérifie l équation fonctionnelle des exponentielles. De plus, en considérant i comme une constante, et en dérivant comme dans R, on a: f (θ) = i f (θ). Ainsi f vérifie l équation différentielle y = i y, et f (0) = 1. On convient alors de noter f(θ) = e iθ. Ainsi tout nombre complexe se met sous la forme = r e i θ, où r =, et θ = arg() [2π].

11 11/Les Nombres Complexes Définition 5 : Cette forme s appelle forme exponentielle de. Avec cette notation les règles de calcul sur les complexes se traduisent comme les règles de calcul sur les puissances : soient = r e i θ et = r e iθ deux nombres complexes : = i( ') rr ' e θ+θ ; n n in = r e θ ; 1 1 iθ e = ; r ' r ' e i( θ' θ) = ; r = i re θ Remarque : De i = re θ, on déduit les formules d Euler : 1 iθ iθ cos( θ ) = ( e + e ) 2. 1 iθ iθ sin( θ ) = ( e e ) 2i IV. Applications des nombres complexes 1. En géométrie a. Si M est d affixe M et M d affixe M alors le vecteur MM ' est d affixe M M. Démonstration : MM ' = OM ' OM. b. Equation paramétrique d un cercle. Soit r un nombre réel positif. L ensemble des points M d affixe tel que = lorsque θ décrit [0 ; 2π[est le cercle de centre Ω d affixe ω et de rayon r. i ω + re θ

12 12/Les Nombres Complexes Démonstration : Soient M un point d affixe, et C le cercle de centre Ω d affixe et de rayon r. ( ) i θ iθ θ R / = ω + re ( θ R / ω = re ) ( ω = r) ( ΩM = r ) ( M C). c. Transformations. Soit f une transformation du plan qui à tout point d affixe associe le point d affixe. f est la translation de vecteur v d affixe β, si et seulement si = + β. f est la rotation de centre Ω d affixe ω et d angle θ si et seulement si - ω = e i θ ( - ω). f est l homothétie de centre Ω d affixe ω et de rapport k si et seulement si ω = k( ω), Démonstration : On note M le point d affixe, M le point d affixe. o f est la translation de vecteur v d affixe si et seulement si : ( MM ' v ) = ( = ) ( = + ). v o f est la rotation de centre Ω d affixe ω et d angle θ si et seulement si Ω M ' = Ω M et Ω Ω = θ π ( M; M ') [ 2 ] Ω M ' = Ω M et Ω = Ω + θ π ( u; M ') ( u; M ) [ 2 ] ( ' i θ ω = e ( ω )) o f est l homothétie de centre Ω d affixe ω et de rapport k si et seulement si M ' k Ω = Ω M ' ω = k ( ω) ( ) ( )

13 13/Les Nombres Complexes 2. Résolution des équations du second degré Théorème 1 : Toute équation du second degré a2 + b + c = 0, à coefficients a, b et c réels ( a 0 ), admet dans C des solutions. Soit = b2 4ac, appelé disciminant de l équation. b Si = 0 : l équation admet une solution réelle = ; b b + Si > 0 : l équation admet deux solutions réelles et ; Si < 0 : l équation admet deux solutions complexes conjuguées b i b + i et. Démonstration : a 2 2 b c b b 4ac b + b + c = a + + = a + = a a a 4a 4a Si = 0: a 2 + b + c = 0 Si > 0: a 2 + b + c = 0 2 b b a + = 0 =. b = b a + = 0 ou b = Si < 0: a 2 + b + c = 0 b = + i 2 2 b a + i = 0 ou b = i