Nombres complexes. Trigonométrie. Lycée Jean Perrin Classe de TSI 1 Exercices série 1

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1 Lycée Jean Perrin Classe de TSI 1 Exercices série 1 Nombres complexes I Trigonométrie Exercice Déterminer les valeurs exactes de cos π, sin π et tan π (on pourra utiliser les valeurs connues et les formules de trigonométrie). 2. En déduire les valeurs exactes de cos 5π 12 Exercice 2., sin 5π 12, tan 5π 12 7π 7π, cos, sin et tan 7π Démontrer que pour tout réel x, cos x + sin x = 2 sin (x + ϕ), où ϕ est un réel dont on précisera la valeur. 2. Résoudre dans ] π, π] l'équation : cos x + sin x = 1. Exercice 3. Résoudre l'équation cos 2x + cos x = 0 (on pourra se ramener à une équation du second degré en posant t = cos x). Exercice 4. Résoudre dans R les équations suivantes : a) cos ( 3x π 4 ) = sin π 4 b) sin ( 2x π 4 ) = cos ( x + π 6 ) c) tan ( 3x π 5 ) ( ) = tan x + 4π 5 Exercice 5. Résoudre dans R les équations suivantes (on pourra s'inspirer de la méthode utilisée dans l'exercice 2) : a) cos x sin x = 1 b) cos 2x 3 sin 2x = 2 c) ( 3 + 1) cos x + ( 3 1) sin x = 0 Exercice 6. Soit x R. Mettre sous la forme d'un produit le plus simple possible, les expressions suivantes : a) cos 2 2x cos 2 x b) sin 2 2x sin 2 x 2 c) tan 2x tan x (lorsque l'expression est dénie) 1/6

2 II Exercices série 1 Écriture algébrique d'un nombre complexe Exercice 7. Donner l'écriture algébrique de z dans les cas suivants : a) z = ( 3 2i) ( 4 ) i b) z = (3 2i) 2 c) z = 1 d) z = 1 i 1 + i e) z = ( 3 + 4i)(5 4i) 15 10i 2 + 3i f) z = (2 + i) 3 + (1 2i) 3 Exercice 8. Donner l'écriture algébrique de z = 1 eix 1 + e ix (x R \ {π + 2kπ, k Z}) Exercice 9. Montrer que z C, z 1, on a : z = 1 = i 1 + z 1 z R. Exercice 10. Soit (a, b) C 2 tel que a = b = 1 et a b. Montrer que : III z C, z + ab z (a + b) a b ir Écriture trigonométrique d'un nombre complexe Exercice Mettre sous forme trigonométrique les nombres suivants : z 1 = 3 + 3i, z 2 = 1 3i, z 3 = 4 3 i, z 4 = 2 2. Calculer Z 1 = 1 3i 3 + 3i et Z 2 = ( 1 + i 3) Exercice 12. Mettre sous forme trigonométrique le nombre 1 + e iθ, où θ ] π, π[. Exercice 13. On pose z 1 = 1 + i et z 2 = 3 + i 1. Donner la forme trigonométrique de z 1, z 2 et z 1 z Déterminer la forme algébrique de z 1 z Déduire des questions précédentes la valeur exacte de cos π, puis de sin π Exercice Écrire sous forme polaire : a) 1 + i b) 1 i c) i 1 d) 3 + i 2. En déduire les calculs de : a) (1 i)5 (1+i) 4 b) (1 + i) 44 c) ( ) i 2/6

3 Lycée Jean Perrin Classe de TSI 1 Exercices série 1 IV Module et argument d'un nombre complexe Exercice 15. Démontrer, pour tous nombres complexes z et z les inégalités : 1. z + z z + z + z z 2. Re(z) + Im(z) 2 z Exercice 16. Soit (a, b) C 2 tel que a b. Montrer que : ( a = 1 ou b = 1) = a b 1 āb = 1. Exercice 17. Déterminer l'ensemble des complexes z tels que z = 1 z = 1. z Quel est le lieu des images correspondantes? V Applications des nombres complexes à la trigonométrie Exercice 18. Linéariser : a) sin 3 x cos 3 x Exercice Factoriser e ip + e iq et e ip e iq. 2. En déduire : (a) cos(4x) en fonction de cos x. (b) sin(5x) en fonction de sin x. b) cos x cos 2 (2x) cos 3 (3x) Exercice 20. Transformer les sommes suivantes en produit : a) cos p cos q b) sin p + sin q c) cos p + sin q Exercice 21. On rappelle la somme des termes d'une suite géométrique : Si z C, z 1, 1 + z + z z n = 1 zn+1 1 z Pour θ R, on donne : { Sn = 1 + cos θ + cos 2θ + + cos nθ S n = sin θ + sin 2θ + + sin nθ Calculer (factoriser) S n et S n. Indication : calculer S n + is n. 3/6

4 VI Exercices série 1 Racines carrées de l'unité, équations du second degré Exercice 22. Calculer dans C les racines carrées de : a) 3 + 4i b) 7 24i c) i d) i Exercice 23. Résoudre dans C : a) z 2 (5 14i)z 2(5i + 12) = 0 b) z 2 (3 + 4i)z 1 + 5i = 0 Exercice 24. Résoudre dans C : a) (2 + i)z 2 (5 i)z + 2 2i = 0 b) z 4 (3 + 8i)z i = 0 Exercice 25. Pour z C \ {2i}, on pose : f(z) = 2z i z 2i 1. Résoudre l'équation z 2 = i, z C. 2. Résoudre l'équation f(z) = z, z C \ {2i}. Exercice 26. Résoudre dans C : z 3 + z 2 + ( 1 + 3i)z i = 0, sachant que cette équation admet une racine réelle. VII Racines n imes de l'unité Exercice 27. Résoudre z 4 = i et z 8 = 1+i 3 i (on donnera uniquement la forme polaire des solutions). Exercice 28. Résoudre : a) (z i) 4 = 1 b) (z 1) 4 = (z + 1) 4 Exercice 29. Résoudre dans C l'équation : z 8 (2i 3 2)z 4 8(1 + i 3) = 0. Exercice 30. Chercher les racines cubiques de i, puis donner sous forme algébrique les solutions de l'équation [(1 i)z] 3 + i = 0. Exercice 31. Résoudre : a) z n = (z + 1) n b) (1 + iz) 2n = (1 iz) 2n 4/6

5 Lycée Jean Perrin Classe de TSI 1 Exercices série 1 VIII Nombres complexes et géométrie Exercice 32. Soit A(2+4i) et B(8+i). Montrer que le triangle OAB est rectangle. Exercice 33. Dans le plan complexe, on considère les points A, B et C d'axes respectives 1 i, 3 i et 2i. Déterminer k tel que O soit barycentre de (A, k), (B, 2) et (C, 2). Exercice 34. Trois points A, B et C ont pour axes respectives 2 3i, 2 i et 5 + 5i. Quelle est l'axe du centre de gravité (isobarycentre) du triangle ABC? Exercice 35. On considère les points A(1 + i) et B( 2 + 3i). 1. Déterminer l'axe du point E tel que le triangle ABE soit un triangle équilatéral direct. 2. Déterminer les axes des points C et D tels que ABCD soit un carré direct. Exercice 36. Déterminer l'ensemble des points M d'axe z tels que : a) z 3 = 1 z 5 Exercice 37. On considère la fonction f : b) z 3 = 2 z 5 2 { C \ { i} C z z 2 z+i 1. Déterminer le lieu des points M d'axe z tels que f(z) = Déterminer le lieu des points M d'axe z tels que f(z) R. 3. Déterminer le lieu des points M d'axe z tels que f(z) ir. Exercice Déterminer une racine réelle, puis résoudre dans C l'équation : z 3 + (1 + i)z 2 + (4 i)z i = 0 2. Démontrer que les solutions sont les axes des sommets d'un triangle rectangle isocèle. Exercice 39. Déterminer le lieu géométrique des points M d'axe z tels que : 1. M(z), N(z 2 ) et P (z 4 ) sont alignés. 2. P (1), M(z) et N(z 2 ) forment un triangle rectangle. 3. M(z), N ( 1 z ) et P ( i) sont alignés. Exercice 40. Soit θ [0, 2π[. On considère l'équation z 2 (2 θ+1 cos θ)z + 2 2θ = Résoudre dans C cette équation. On note A et B les points images des solutions. 2. Déterminer θ pour que le triangle OAB soit équilatéral. 5/6

6 Exercices série 1 IX Exponentielle complexe Exercice 41. Résoudre dans C les équations suivantes : a) e z = 1 b) e z = 1 c) e z = 1 + i d) e z + e z = 2 e) e z 2e z + 2 = 0 6/6