Géométrie vectorielle

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1 I. Notion de vecters a) Vecters et translations Définition : et désignent dex points d plan. La translation qi transforme en associe à tot point d plan l'niqe point D tel qe les segments [] et [D] ont le même milie. 1 er cas : () ème cas : () D est le point tel qe D est n parallélogramme. On dit qe D est n parallélogramme aplati. Définition : Si ne translation transforme en, en, en, on dit qe les coples (, ), (, ), (, ) définissent n même objet appelé vecter. Le vecter est défini : - par sa direction (celle de la droite ( )) - par sa longer (la longer ) - par son sens (de vers ) Remarqe : chaqe translation correspond n vecter q on appelle vecter de la translation. ( por la translation précédente) b) égalité de vecters Définition : On dit qe dex vecters sont égax lorsq ils ont même direction, même sens et même longer. On note = = D = EF On dit qe, D, EF sont des représentants d'n même vecter. 1

2 Vecters particliers : Le vecter nl 0 : por tot point M, MM = 0 Le vecter opposé à est le vecter qi a la même direction, la même longer qe mais n sens opposé. est donc le vecter. On note : = - Propriété : Dire qe qatre points,, et D sont tels qe = D éqivat à dire qe D est n parallélogramme, éventellement aplati. c) somme et différence de vecters v Définition : La somme de dex vecters et v est le vecter, noté + v, défini ainsi : étant n point qelconqe, on place le point tel qe =, pis le point tel qe = v ; alors + v=. + v L égalité + = est appelée relation de hasles. Remarqe : si = OM et v = ON, alors + v = OR où OMRN est n parallélogramme. On en dédit la règle d parallélogramme :, et étant donnés, + = D éqivat à D est n parallélogramme. Définition : La différence d vecter et d vecter v s obtient en ajotant a vecter l opposé d vecter v : v = + (- v)

3 Milie d n segment : Le milie de [] est le point I tel qe : 1 I =. = I o tres tradctions : I = I ; I = - I ; I + I = 0. Exercice : 1. Démontrer qe por tos points O, et, O O=., et sont trois points ; I est le milie de []. Démontrer qe I = +. Soltion : 1. O O = O + O = O + O= d après la relation de hasles.. + = I+ I+ I + I d après la relation de hasles = I + I+ I Or I est le milie de [], d où I+ I= 0 Donc on a bien I = +. II Mltiplication d n vecter par n réel a) Définition désigne n vecter non nl et k n nombre réel non nl. Le prodit d vecter par le réel k est le vecter k tel qe : k et ont même direction Lorsqe k > 0 k a le même sens qe la longer de k est le prodit de k par la longer de. k Lorsqe k < 0 k est de sens opposé à celi de la longer de k est le prodit de l opposé de k par la longer de. k

4 Exemples : centre de gravité d n triangle : Le centre de gravité d triangle est le point G tel qe G = I o G = -GI, lorsqe I est le milie de [] (c est à dire qe (I) est la médiane isse de ). tres tradctions : IG = 1 1 I ; GI= - G. le théorème des miliex est n triangle. Si M est le milie de [] et N celi de [] alors MN = 1. En effet : MN = M + N d après la relation de hasles = car M est le milie de [] et N celi de [] = 1 ( + ) = 1 d après la relation de hasles b) règles de calcl Propriétés : k = 0 éqivat à k = 0 o = 0 Por tos réels k, k et tos vecters, v : k( + v ) = k + k v k(k ) = (kk ) (k + k ) = k + k Exemples : + = ( + ) = 5 - = - = - 1. = M = 0 éqivat à M = 0, c est à dire = M. 4

5 III olinéarité de dex vecters a) vecters colinéaires D v Définition : Dire qe dex vecters non nls = et v = D sont colinéaires signifie q ils ont la même direction. ela signifie qe les droites () et (D) sont parallèles o confondes. Propriété : Dire qe les vecters non nls et v sont colinéaires éqivat à dire q il existe n nombre réel k non nl tel qe v = k. Remarqe : Par convention, on dit qe le vecter nl est colinéaire à tot vecter. b) parallélisme et alignement Dire qe les droites () et (D) sont parallèles éqivat à dire q il existe n nombre réel k non nl tel qe D = k. Dire qe les points distincts, et sont alignés éqivat à dire q il existe n nombre réel k non nl tel qe = k. Exercice 1 : Dans la figre ci-contre : D est n parallélogramme de centre I, est le milie d segment [E], G est le centre de gravité d triangle E, et F = + D. Déterminer les relations reliant E et D, Get, pis EIetEG. alcler IE+ IF, pis montrer qe E, G et F sont alignés. Soltion : E= car est le milie de [E] = D = - D car D est n parallélogramme. G = car G est le centre de gravité d triangle E. EG= EI car G est le centre de gravité d triangle E, donc EI = EG. 5

6 IE+ IF = I+ E+ I+ F d après la relation de hasles = I + E+ + D = ( I+ ) + + D ( E = car est le milie de [E]) = I + ( + D = car D est n parallélogramme) = + = 0 ( I = car I est le milie de []) On en dédit qe I est le milie de [EF]. On a alors EF= EI et de pls EI = EG donc EF = EG et les points E, F et G sont alignés. Exercice : est n triangle, les points I et J sont tels qe 1 I = et J = 1. Exprimer I et J en fonction de et.. En dédire qe les droites (I) et (J) sont parallèles. Soltion : 1. I = I + d après la relation de hasles = J = + J d après la relation de hasles J = - +. D après les égalités précédentes, on obtient : J = I Donc les vecters J et I sont colinéaires et les droites (J) et (I) sont parallèles. 6