Exercices de baccalauréat série S sur la loi exponentielle

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1 Eercices de baccalauréa série S sur la loi eponenielle (page de l énoncé/page du corrigé) La compagnie d'auocars (Bac série S, cenres érangers, 23) (2/) Durée de vie d'un composan élecronique (Bac série S, France méropoliaine, 24) (3/2) Durée de vie d'un oscilloscope (Bac série S, Polynésie, 24) (4/3) Erai d'un QCM (Bac série S, Réunion, 23) (/4) La fabrique de cylindres (Bac série S, Guadeloupe, Guyane, 26) (6/) La durée de vie d'un robo (Bac série S, Liban 26) (7/6) La fabricaion d'appareils élecroniques (Bac série S, mérique du sud, 2) (8/7) Temps d'aene à un guiche (Bac série S, Guadeloupe, Guyane, 2) (9/8)

2 La compagnie d'auocars (Bac série S, cenres érangers, 23) Une enreprise d'auocars desser une région monagneuse. En chemin, les véhicules peuven êre bloqués par des incidens eérieurs comme des chues de pierres, des roupeau sur la roue, ec. Un auocar par de son enrepô. On noe D la variable aléaoire qui mesure la disance en kilomères que l'auocar va parcourir jusqu'à ce qu'il survienne un inciden. On adme que la variable D sui une loi eponenielle de paramère λ= 82, appelée aussi loi de durée de vie sans vieillissemen. On rappelle que la loi de probabilié es alors définie par : P(D ) e d. 82 = 82. Calculer la probabilié pour que la disance parcourue sans inciden soi : a) comprise enre e km b) supérieure à 3 km 2. Sachan que l'auocar a déjà parcouru 3 km sans inciden, quelle es la probabilié qu'il n'en subisse pas non plus au cours des 2 prochains km? 3. On veu déerminer la disance moyenne parcourue sans inciden. a) l'aide d'une inégraion par parie, calculer = I () e 82 d (avec ) 82 b) Calculer la limie de I() lorsque end vers + (cee limie représene la disance moyenne cherchée). 4. L'enreprise possède N auocars. Les disances parcourues par chacun des auocars enre l'enrepô e le lieu où survien un inciden son des variables aléaoires deu à deu indépendanes e de même loi eponenielle de paramère λ= 82. On noe Xd la variable aléaoire égale au nombre d'auocars n'ayan subi aucun inciden après avoir parcouru d km. a) Monrer que X d sui une loi binomiale de paramères N e e λd. b) Donner le nombre moyen d'auocars n'ayan subi aucun inciden après avoir parcouru d km. 2

3 Durée de vie d'un composan élecronique (Bac série S, France méropoliaine, 24) On s'inéresse à la durée de vie, eprimée en semaines, d'un composan élecronique. On modélise cee siuaion par une loi de probabilié P de durée de vie sans vieillissemen définie sur l'inervalle [ ; + [ par P ([;[) = λ λe d, représenan la probabilié que le composan ne soi plus en éa de marche au bou de semaines. Une éude saisique monran qu'environ % d'un lo imporan de ces composans son encore en éa de marche au bou de 2 semaines, perme de poser P([ ; 2[) =,. ln 2. Monrer que λ = Quelle es la probabilié qu'un de ces composans pris au hasard ai une durée de vie supérieure à 3 semaines? 3. On adme que la durée de vie moyenne d m de ces composans es la limie quand λeλ eλ + end vers + de eλ λ d. Monrer que λ λ = e d e en λ déduire d m à la semaine près. 3

4 Durée de vie d'un oscilloscope (Bac série S, Polynésie, 24) Le laboraoire de physique d'un lycée dispose d'un parc d'oscilloscopes ideniques. La durée de vie en années d'un oscilloscope es une variable aléaoire noée X qui sui la loi de durée de vie sans vieillissemen ou encore loi eponenielle de paramère λ>.. Sachan que P(X>) =,286, monrer que λ =,2 au cenième près. Dans la suie de l'eercice, on prendra λ =,2. 2. Calculer la probabilié qu'un oscilloscope du modèle éudié ai une durée de vie inférieure à 6 mois. 3. Sachan qu'un appareil a déjà foncionné 8 années, quelle es la probabilié qu'il ai une durée de vie supérieure à ans. 4. On considère que la durée de vie d'un oscilloscope es indépendane de celle des aures appareils. Le responsable du laboraoire décide de commander oscilloscopes. Quelle es la probabilié qu'au moins un oscilloscope ai une durée de vie supérieure à ans?. Combien l'éablissemen devrai-il acheer d'oscilloscopes pour que la probabilié qu'au moins l'un d'enre eu foncionne plus de ans soi supérieure à,999? Rappel : Dans le cas de la loi eponenielle de paramère λ sur [ ; + [, on a : - pour a b, P([a, b]) = e-λ λ d - pour ou c, P([c, + [) = e-λ λ d b a c 4

5 Erai d'un QCM (Bac série S, Réunion, 23) La durée d'aene en secondes à la caisse d'un supermarché es une variable aléaoire Y qui sui la loi eponenielle de paramère,. lors : a. La densié de probabilié de Y es la foncion f définie sur [ ; + [ par f()=e, b. Pour ou réel posiif, on a : P(Y ) = e, c. La probabilié d'aendre moins de 3 minues à cee caisse es égale à,6 au cenième près d. Il y a plus d'une chance sur deu que l'aene à cee caisse soi supérieure à une minue

6 La fabrique de cylindres (Bac série S, Guadeloupe, Guyane, 26) Soi X une variable aléaoire coninue qui sui une loi eponenielle de paramère λ. On rappelle que λ P(X a) = λe d. a La courbe donnée en annee représene la foncion densié associée. Parie. Inerpréer sur le graphique la probabilié P(X ). 2. Indiquer sur le graphique où se li direcemen le paramère λ. Parie B On pose λ=,. Calculer P(X ), calculer une valeur eace puis une valeur approchée à 3 prés par ecès. 2. Calculer P(X 2). 3. Déduire des calculs précédens l'égalié suivane à 3 prés : P ( X 2) =, 73, 4. Calculer l'inégrale F() =,e d. Déerminer la limie de F() lorsque end vers +. On obien ainsi l'espérance mahémaique de la variable X. Parie C Une machine-ouil fabrique des cylindres. On mesure l'écar en diièmes de millimères, enre le diamère des cylindres e la valeur de réglage de la machine. On suppose que ce écar sui une loi eponenielle de paramère λ=,. Si l'écar es inférieur à, le cylindre es accepé. Si l'écar es compris enre e 2, on procède à une recificaion qui perme d'acceper le cylindre dans 8% des cas. Si l'écar es supérieur à 2, le cylindre es refusé.. On prélève au hasard un cylindre dans la producion. a) Monrer que la probabilié qu'il soi accepé es de,9 à 3 prés. b) Sachan qu'il es accepé, quelle es la probabilié qu'il ai subi une recificaion? 2. On prélève de manière indépendane cylindres de la producion. On suppose le nombre de cylindres suffisammen imporan pour assimiler ce irage à un irage successif avec remise. a) Quelle es la probabilié que les cylindres soien accepés? b) Quelle es la probabilié qu'au moins un cylindre soi refusé? 6

7 La durée de vie d'un robo (Bac série S, Liban 26) La durée de vie d'un robo eprimée en années, jusqu'à ce que survienne la première panne, es une variable aléaoire qui sui une loi eponenielle de paramère λ, λ >. insi, la probabilié qu'un robo ombe en panne avan l'insan es égale à : P (X ) = λe λ d. Déerminer λ arrondi à 2 prés, pour que la probabilié P(X>6) soi égale à,3. Dans la suie de l'eercice, on prendra λ =,2. 2. quel insan à un mois prés, la probabilié qu'un robo ombe en panne pour la première fois es-elle de,? 3. Monrer que la probabilié qu'un robo n'ai pas eu de panne au cours des deu premières années es de e,4. 4. Sachan qu'un robo n'a pas eu de panne au cours des deu premières années, quelle es à 2 prés, la probabilié qu'il soi encore en éa de marche au bou de si ans?. On considère un lo de di robos foncionnan de manière indépendane. Déerminer la probabilié que, dans ce lo, il y ai au moins un robo qui n'ai pas eu de panne au cours des deu premières années. 7

8 La fabricaion d'appareils élecroniques (Bac série S, mérique du sud, 2) lain fabrique, en amaeur, des appareils élecroniques. Il achèe pour cela, dans un magasin, des composans ous ideniques en apparence, mais don cerains présenen un défau. On esime que la probabilié qu'un composan soi défecueu es égale à,2. Les paries e B son indépendanes. Parie On adme que le nombre de composans présenés dans le magasin es suffisammen imporan pour que l'acha de composans soi assimilés à irages indépendans avec remise, e on appelle X le nombre de composans défecueu acheés. lain achèe composans.. Quelle es la probabilié qu'eacemen deu des composans acheés soien défecueu? En donner une valeur approchée à 2 prés. 2. Calculer la probabilié qu'au moins un des composans acheés soi défecueu? En donner une valeur approchée à 2 prés. 3. Quel es dans un lo de composans acheés, le nombre moyen de composans défecueu? Parie B On suppose que la durée de vie T (en heures) de chaque composan défecueu sui une loi eponenielle de paramère λ = 4 e que la durée de vie T 2 (en heures) de chaque composan non défecueu sui une loi eponenielle de paramère λ = 4.. Calculer la probabilié que la durée de vie d'un composan soi supérieur à heures : a) si ce composan es défecueu b) si ce composan n'es pas défecueu Donner une valeur approchée de ces probabiliés à 2 prés. 2. Soi T la durée de vie (en heures) d'un composan acheés au hasard. Démonrer que la probabilié que ce composan soi encore en éa de marche après heures de foncionnemen es : 4 4 P(T ) =,2e +,98e 3. Sachan que le composan acheé es encore en éa de marche heures après son insallaion, quelle es la probabilié que ce composan soi défecueu? En donner une valeur approchée à 3 prés. 8

9 Temps d'aene à un guiche (Bac série S, Guadeloupe, Guyane, 2) On modélise le emps d'aene enre deu cliens à un guiche comme une variable aléaoire X suivan une loi eponenielle de paramère λ. La probabilié pour un clien d'aendre moins de minues es définie par moyen d'aene es donné par λ lim + λe d. λ P (T ) = λe d e le emps λ λe d en foncion de. En. l'aide d'une inégraion par paries, calculer déduire que le emps moyen d'aene es de. λ 2. Le emps moyen d'aene éan de minues, quelle es la probabilié d'aendre plus de minues? plus de minues? 3. Quelle es la probabilié d'aendre encore au moins minues, sachan qu'on a déjà aendu minues? Commen epliquer ce résula? 9

10 CORRECTION Eercices de baccalauréa série S sur la loi eponenielle

11 Correcion - La compagnie d'auocars (cenres érangers, série S, 23). La probabilié pour que la disance parcourue sans inciden soi : a) comprise enre e km : P( D ) e d F() F() e e, = 82 = = + b) supérieure à 3 km : 3 P(D 3) P(D 3) e d (F(3) F()) e 82 > = = = = 3, Sachan que l'auocar a déjà parcouru 3 km sans inciden, la probabilié qu'il n'en subisse pas non plus au cours des 2 prochains km, c'es-à-dire : 2 ( D 3) (D 3) P (D 37) = P (D 3+ 2) = P(D 2) = e 82, La disance moyenne en kilomères parcourue sans inciden : a) l'aide d'une inégraion par parie I() e d e 82e = 82 = b) La limie de I() lorsque end vers + es L'enreprise possède N auocars. X d es la variable aléaoire égale au nombre d'auocars n'ayan subi aucun inciden après avoir parcouru d km. a) X d sui la loi binomiale de paramères N e e λd : il y a N épreuves ideniques e indépendanes "un auocar parcour d km au moins". Le succès lors de ces N épreuves es de parcourir d km sans inciden, soi p la d probabilié du succès, p= P(D d) = e 82 b) Le nombre moyen d'auocars n'ayan subi aucun inciden après avoir parcouru d km es l'espérance de X d. E(X d ) = N e λd.

12 Correcion - Durée de vie d'un composan élecronique (France méropoliaine, 24). On sai que P([ ; 2[) =, 2 P([ ; 2[)= λe λ d=e2 λ+ =, es l'équaion qui donne ln 2 λ = La probabilié qu'un de ces composans pris au hasard ai une durée de vie supérieure à 3 semaines es P( 3) = P( 3) = ( e λ 3 ) =e λ 3 = e 3ln2 2 =, l'aide d'une inégraion par parie, on a λe λ λe d = On en dédui d lim e d 2 m= λ λ = = 289 semaines. + λ ln2 λ e λ λ + 2

13 Correcion - Durée de vie d'un oscilloscope (Polynésie, 24). On a P(X>) =,286 = e λ, équaion qui donne λ =,2 au cenième près. Dans la suie de l'eercice, on prendra λ =,2. 2. La probabilié qu'un oscilloscope du modèle éudié ai une durée de vie inférieure à 6 mois s'écri P(X,). P(X,) = e,,2 = e,62,6 3. L'appareil a déjà foncionné 8 années, la probabilié qu'il ai une durée de vie supérieure à ans es donnée par : P (X>8) (X>) avec P(X>8) = e 8.2. P((X>) (X>8)) = P(X>) = e.2 e.2 P((X> ) (X> 8) P (X ) e 2. 2 ( X 8) > = = = > = P(X> 2). 779 P(X> 8) e On es en présence d'un schéma de Bernoulli. La durée de vie d'un oscilloscope es indépendane de celle des aures appareils. Le responsable à commandé oscilloscopes. La probabilié qu'un oscilloscope ai une durée de vie supérieure à ans es la probabilié d'un "succès" e on sai qu'elle vau P(X>) =,286. L'événemen "au moins un oscilloscope parmi les a une durée de vie supérieure à ans" es l'événemen conraire de "ous les appareils on une durée de vie inférieure à ans" de probabilié (,286) =,74. La probabilié qu'au moins un oscilloscope parmi les ai une durée de vie supérieure à ans es donc,74,779.. On reprend la siuaion de la quesion précédene avec n oscilloscopes e on cherche n el que,74 n, 999 inéquaion équivalene à,74 n 3 e qui ln 3 donne n 2,. ln,74 L'éablissemen devrai acheer 2 oscilloscopes pour que la probabilié qu'au moins l'un d'enre eu foncionne plus de ans soi supérieure à,999? 3

14 Correcion - Erai d'un QCM (Réunion, 23) La durée d'aene en secondes à la caisse d'un supermarché es une variable aléaoire Y qui sui la loi eponenielle de paramère,. lors : a. FUX. La densié de probabilié de Y es la foncion f définie sur ;+ par f() =,e, [ [,, b. VRI. Pour ou réel posiif, P(Y ) =,e d e = c. FUX. 3 minues fon 8 secondes. On cherche donc :, 8 P(Y 8) = e,83 d. VRI. L'aene supérieure à une minue se radui par Y>6., 6 P(Y> 6) = P(Y 6) = e,. Il y a plus d'une chance sur deu que l'aene à cee caisse soi supérieure à une minue. 4

15 Correcion - La fabrique de cylindres (Bac série S, Guadeloupe, Guyane, 26) Parie λ. Inerpréer sur le graphique la probabilié P(X ) = λe d : c'es l'aire du domaine délimié par la droie d'équaion =, l'ae des abscisses, l'ae des ordonnées e la courbe de la densié. 2. Indiquer sur le graphique où se li direcemen le paramère λ : la valeur de la foncion densié en es égale à λ, que l'on li comme l'ordonnée de l'inersecion de la courbe avec l'ae des ordonnées, on li environ,. Parie B On pose λ=,. Calcul de P(X ) λ,, P(X ) = λe d= [ e ] =e +, 777 par ecès. 2. Calcul de P(X 2). 2 2 λ, 3 P(X 2)= P(X< 2) = λe d [ e ] = = e 3. 3 prés : P ( X 2) = P(X 2) P(X ) = P(X> 2) P(X< ) e 3,, 3 = ( e + ) = e e,73, 4. Calcul de l'inégrale F() =,e d. Par une inégraion par paries, on pose { u() =, qui donne { u'() = v'() =,e v() =e, On obien e, F() = e +,, L'espérance mahémaique de X es la limie de F() lorsque end vers +. On calcule aisémen E(X) = e on remarque que E(X) =, résula aendu., λ Parie C. On prélève au hasard un cylindre dans la producion. Considérons les événemens : "le cylindre es accepé" e B : "le cylindre es recifié". On sai alors, d'après ce qui précède que :, P R () =,8 e P( R) = P(X ) =e +, 3 e P(R)= P( X 2) = e e a) P() = P( R) + P( R) = P R () P(R)+ P( R), 3 =,8 ( e e ) e, +, 9 b) Sachan qu'il es accepé, la probabilié qu'il ai subi une recificaion es, 3 P( R),8 (e e ) P (R)= =,,, 3 P(),8 (e e ) e + 2. On prélève de manière indépendane cylindres de la producion. La variable aléaoire Z égale au nombre de cylindres accepés sui la loi binomiale de paramères n= e p=p() a) La probabilié que les cylindres soien accepés es p,44 b) La probabilié qu'au moins un cylindre soi refusé es p,86.,

16 Correcion - La durée de vie d'un robo (Bac série S, Liban 26) La durée de vie d'un robo eprimée en années, jusqu'à ce que survienne la première panne, es une variable aléaoire qui sui une loi eponenielle de paramère λ, λ >. insi, la probabilié qu'un robo ombe en panne avan l'insan es égale à : P (X ) = λe λ d. Déerminons λ pour que la probabilié P(X>6) =,3. Cela s'écri aussi P(X 6) =,3 soi P(X 6) =,7 ou encore : 6 soi [ e λ ] =, 7 qui donne e 6 λ =, 3 enfin nous obenons λ= ln(,3),2 arrondi à 2 prés. 6 Dans la suie de l'eercice, on prendra λ =,2.,2 2. On cherche el que P(X ) =,2 e d=, 6 λ λ e d =,7,2 ce qui équivau à [ e ] =, soi e,2 + =, ou encore e,2 =, enfin, nous obenons par passage au logarihme,2 = = ln(,) = ln( ) = ln(2) d'où = ln(2) 3,47 années soi 2 finalemen 42 mois. 3. La probabilié qu'un robo n'ai pas eu de panne au cours des deu premières années es de e,4,2 2. En effe : P(X>2) = P(X 2) = [ e ] = +e,4 = e,4. 4. Sachan qu'un robo n'a pas eu de panne au cours des deu premières années, la probabilié qu'il soi encore en éa de marche au bou de si ans es P(X >,2 6 6) e, 8 =,2 2 = e,4 P(X> 2) e à 2 prés. On considère un lo de di robos foncionnan de manière indépendane. Nous savons que la probabilié qu'un robo n'ai pas eu de panne au cours des deu premières années es de e,4. La probabilié qu'aucun robo sur les di n'ai eu de panne au cours des deu,4 e premières années es de ( ) La probabilié que, dans ce lo, il y ai au moins un robo qui n'ai pas eu de panne,4 au cours des deu premières années es donc de ( e ),

17 Correcion - La fabricaion d'appareils élecroniques (Bac série S, mérique du sud, 2) Parie On adme que le nombre de composans présenés dans le magasin es suffisammen imporan pour que l'acha de composans soi assimilés à irages indépendans avec remise, e on appelle X le nombre de composans défecueu acheés. lain achèe composans.. La variable X sui la loi binomiale de paramères n= e p=,2. La probabilié qu'eacemen deu des composans acheés soien défecueu es : ( 48 P(X= 2) = 2 ) (,2)² (,98), 9 valeur approchée à 2 prés. 2. Donnons d'abord la probabilié qu'aucun composan ne soi défecueu : (,98). La probabilié qu'au moins un des composans acheés soi défecueu es donc (,98),64 valeur approchée à 2 prés. 3. Dans un lo de composans acheés, le nombre moyen de composans défecueu es l'espérance de X soi,2 =. Parie B. Calculer la probabilié que la durée de vie d'un composan soi supérieur à heures : a) si ce composan es défecueu : P(T ) e d [ e 4 ] 4 4 e, = = =, 6 b) si ce composan n'es pas défecueu : 4, [ e ] = e, P(T ) = e d= 2 2. Soi T la durée de vie (en heures) d'un composan acheés au hasard. Noons e D respecivemen les événemens (T ) e "le composan es défecueu", on peu décomposer = (D ) (D ). De plus, on sai que P(D)=,2. P(T ) = P() = P(D) P () + P(D) P () = P(D) P (T ) + P(D) P (T ) D D D 4 4 =,2 ( + e ) +,98( + e ) 4 4 =,2e +,98e 3. Sachan que le composan acheé es encore en éa de marche heures après son insallaion, la probabilié que ce composan soi défecueu es : P P(D (T )) (D) = = P(T ),2e 4,2e 4 +,98e T 4 D,3 à 3 prés. 7

18 Correcion - Temps d'aene à un guiche (Bac série S, Guadeloupe, Guyane, 2). l'aide d'une inégraion par paries, calculer λ λ e d en foncion de. On pose u() =λ u'() =λ λ λ v'() = e puis v() = e λ λ λ λ λ λ λe d = [ e ] + e d = e e + λ λ Le emps moyen d'aene es λ λ lim e d = +. λ 2. Le emps moyen d'aene éan de minues, cela signifie que λ =. La probabilié d'aendre plus de minues es : P(X>) = P(X ) = P(X<) = 2 e d e = e,3. = La probabilié d'aendre plus de minues es : P(X>) = P(X< ) = e d [ e ] e,368. = = 3. La probabilié d'aendre encore au moins minues, sachan qu'on a déjà aendu minues, es une probabilié condiionnelle. Calculons d'abord P(X ) = P(X ) = 3 e d e e. = = 3 P(X e X ) P(X ) e Puis, PX (X ) = = = = e, P(X ) P(X ) e Commen epliquer ce résula? On voi que P X (X ) = P(X ), ce qui veu dire que la probabilié condiionnelle ne ien pas compe du emps déjà écoulé, ici les minues. C'es que la loi eponenielle caracérise les phénomènes "sans usure" ou sans "vieillissemen". 8