gfaubert septembre

Transcription

1 Notes de cours Pour l e secondire Compiltion et/ou crétion Guyline Fuert Septemre 00 gfuert septemre 00

2 Géométrie L ire totle d une pyrmide, d un cône et d une sphère L Aire totle ou le volume d un prisme et d un cylindre L éqution trduisnt l reltion décrite pr une sitution, une tle de vleurs ou un grphique L clssifiction des solides L crétion de certins solides L division d un polynôme pr un monôme L loi des eposnts L mesure d une dimension d un solide L nottion eponentielle L nottion scientifique L puissnce d eposnt négtif L règle ou l éqution L reltion de Euler L reltion de Pythgore L somme et l différence de polynômes L vrile dépendnte et l vrile indépendnte d une sitution Le clcul lgérique Le volume d une pyrmide, d un cône et d une sphère Les différents types de vrition Les effets de l modifiction d un prmètre de l éqution Les nomres irrtionnels Les unités de cpcités Les unités de volume Multipliction de polynômes Notion de polynômes Perception sptile Sitution de proportionnlité u crré Sitution de vrition directe, directement proportionnelle ou de proportionnlité Sitution de vrition inverse Sitution de vrition nulle Sitution de vrition prtielle gfuert septemre 00

3 Les nomres irrtionnels (Tiré du mnuel de mthémtique Scénrios) gfuert septemre 00

4 Le clcul lgérique L nottion eponentielle Écrire un nomre en nottion eponentielle (à l'ide d'un eposnt). L'eposnt indique le nomre de fois que le nomre est multiplié pr lui-même. Eemples: ² ( ) 8 ³ ( ) 6 ² ( ) 6 ( ) 000 0³ (0 0 0) 7 ³ ( ) L puissnce d eposnt négtif Soit un nomre non nul. L puissnce d eposnt négtif nomre. désigne l inverse du Ainsi, E. : Soit un nomre non nul et n un nomre nturel supérieur à. L puissnce n d eposnt négtif n désigne l inverse de l puissnce. Ainsi, n n E. : ( ) ( ) 6 gfuert septemre 00

5 L loi des eposnts. Multipliction Lorsque tu multiplies deu quntités de même se eprimées sous l forme eponentielle, tu dditionnes leurs eposnts. Eemples: ( ). Division Lorsque tu divises deu quntités (utre que 0) de même se eprimées sous l forme eponentielle, tu soustris leurs eposnts. Eemples: ( ) 7 L nottion scientifique Pour écrire un nomre en nottion scientifique, il suffit de le décomposer en deu fcteurs dont l'un est un nomre déciml supérieur ou égl à et inférieur à 0 et l'utre une puissnce de 0. Eemples: 600,6 000,6 0 9,68, ,968 0, 0, 0 0,00067, ,67 0 gfuert septemre 00

6 Notion de polynômes On emploie souvent le mot polynôme pour désigner une epression lgérique. On peut être encore plus précis puisqu'une epression lgérique constituée d'un seul terme s'ppelle monôme. Si l'epression est composée de deu termes, c'est un inôme et s'il y trois termes, c'est un trinôme. On ppelle coefficient le nomre qui multiplie l ou les vriles dns un terme. Pr convention, on écrit toujours le coefficient devnt l ou les vriles du terme. Dns l'epression lgérique -, le coefficient du premier terme est et le coefficient du deuième terme est et le coefficient du e terme est -. Dns cette même epression lgérique, - est un terme constnt. Termes semlles Des termes sont semlles lorsque leurs vriles sont les mêmes et qu'elles sont ffectées des mêmes eposnts. Eemples:,, -, y², -y², -y² 0,6³y², 8³y², -³y²,8, -, 0.9 L somme et l différence de polynômes Additionner ou soustrire un polynôme, c'est dditionner ou soustrire chcun des termes semlles de ce polynômes. On ne touche jmis u eposnts. Pour clculer l somme de polynômes, il fut dditionner les termes semlles de ces polynômes. On otient un polynôme réduit. Eemples :. Additionnons les deu polynômes suivnts et 7 6 ( ) ( 7 6) gfuert septemre 00 6

7 Clculer l différence de polynômes, c est comme dditionner l opposé du polynôme à soustrire. ***Un moins devnt une prenthèse, c est comme si on multipliit tous les termes à l intérieur de l prenthèse pr :. Effectuons l soustrction suivnte ( 6² ) ( ² ) 6² ² 6² ² ² ***Se vérifier : Une fçon de vérifier si les epressions sont équivlentes. On ttriue des vleurs numériques u vriles dns l epression lgérique de déprt, qu on ttriue ussi u polynôme réduit. Les deu epressions lgériques doivent représenter le même nomre. Eemple : -() ( -) (-) - Si, et -( ) -( ) Multipliction de polynômes Multipliction d un monôme pr un monôme. Pour clculer le produit de deu monômes, il suffit de multiplier les coefficients des monômes d une prt et les vriles d utre prt. Eemples : 6 ( 6 ) ( ) 8 y 8 ( ) ( ) 6 6 y ( ) ( ) ( y y) 8 6 y 6y ( 6) ( ) ( y y) y y gfuert septemre 00 7

8 gfuert septemre 00 8 Multipliction d un monôme pr un polynôme. Pour clculer le produit d un monôme pr un polynôme, il suffit de multiplier le monôme pr chcun des termes du polynôme. Eemples : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y y y Multipliction d un polynôme pr un polynôme. Pour clculer le produit de deu polynômes, il suffit de multiplier chcun des termes du premier polynôme pr chcun des termes du second. Eemples : ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

9 gfuert septemre 00 9 ( ) ( ) ( ) ( ) ³ ³ ² ³ ² ² ³ ² ³ ² ³ ² ² y y y y y y L division d un polynôme pr un monôme. Pour clculer le quotient d un polynôme pr un monôme (différent de 0), il suffit de diviser chcun des termes du polynôme pr ce monôme. Eemples :

10 L vrile dépendnte et l vrile indépendnte d une sitution o o Les quntités ssociées à l vrile dépendnte sont les quntités oservées dns l sitution. Lorsqu il eiste une reltion entre deu vriles, l vrile dépendnte est celle dont les vritions sont influencées pr les vritions de l utre vrile, ppelée vrile indépendnte. Eemple : Durnt les vcnces d'été, Anne trville à temps prtiel. Son slire horire est de 8$. On s'intéresse à l reltion entre le nomre d'heures trvillées et le slire hedomdire. ) Quelle est l vrile indépendnte? Nomre d'heures trvillées. ) Quelle est l vrile dépendnte? Le slire hedomdire. c) Décris en mots cette reltion. Plus Anne d'heures trvillées, plus son slire hedomdire est élevé. Il eiste plusieurs types de reltion. En troisième secondire, nous nous ttrdons sur cinq types de reltions en prticulier. Lorsqu il eiste une reltion entre deu vriles, on prler de tu (ou de rpport) entres celles-ci. Dns une tle de vleurs, le tu (ou le rpport) de vrition est otenu en étlissnt le tu (ou le rpport) entre deu vritions correspondntes. Le tu de vrition correspond à : y vrition de l vrile dépendnte vrition correspondnte de l vrile indépendnte Eemple : Slire ($) 8 6 N heures trvillées 8 Tu est $/h (on doit voir un tu unitire) gfuert septemre 00 0

11 Lorsqu on représente grphiquement une reltion entre deu vriles, on plce les quntités ssociées à l vrile indépendnte sur l e des scisses (l e horizontl) et les quntités ssociées à l vrile dépendnte sur l e des ordonnées (l e verticl). Deu techniques pour construire un grphique qui représente une reltion entre deu vriles : ) l technique de l esclier; ) l technique des points. Lorsque les tu de vrition d une sitution sont équivlents, l reltion entre les vriles est représentée grphiquement pr une droite. Lorsque les tu de vrition d une sitution ne sont ps équivlents, l reltion entre les vriles n est ps représentée grphiquement pr une droite gfuert septemre 00

12 L règle ou l éqution C est l epression lgérique trduisnt l reltion. Pour une droite, y tu de vrition constnte y ( où y représente l vrile dépendnte, l vrile indépendnte et l constnce (l ordonnée à l origine)) Eemple : Y 8 Quelques rppels de définitions... Vrile : quntité dont les vleurs chngent. Constnte : quntité dont les vleurs ne chngent ps. Vrile dépendnte : (y) vrile qui régit u vritions de l'utre vrile. Vrile indépendnte : () vrile qui influence l vrile dépendnte. L vrile indépendnte () et l vrile dépendnte (y) forment un couple. Ce couple peut se plcer dns un pln crtésien. (,y) (vrile indépendnte, vrile dépendnte) Les différents types de vrition gfuert septemre 00

13 Sitution de vrition nulle Crctéristiques : - L vrile dépendnte ne régit ps u fluctutions de l vrile indépendnte. - L règle représentnt l sitution est de l forme y (où est ppelé l vleur initile ou l'ordonnée à l'origine.) - L vrition de l vrile dépendnte est toujours nulle. - L représenttion grphique est toujours une droite prllèle à l'e des scisses (). Eemple : Tom v u prc d'ttrctions. Il pie $ et insi le droit de fire tous les mnèges qu'il désire. On s'intéresse ici à l reltion entre le nomre de mnèges fits et le pri d'entrée. ) Quelle est l vrile indépendnte? le nomre de mnèges fits ) Quelle est l vrile dépendnte? le pri d entrée c) Décris en mots cette reltion? Plus le nomre de mnèges ugmentent le pri d entrée ne chnge ps. d) Complète l tle de vleurs suivnte. L reltion entre le nomre de mnèges fits et le pri d entrée Nomre de mnèges Y : le pri d entrée e) Représente grphiquement cette reltion. f) Quelle éqution illustre cette reltion? y gfuert septemre 00

14 Sitution de vrition directe, directement proportionnelle ou de proportionnlité Crctéristiques : - Les vleurs des vriles sont proportionnelles. - Les rpports des vritions qui se correspondent sont constnts. - L règle est de l forme y (où est l pente ou le tu de vrition). - L représenttion grphique est toujours une droite olique pssnt pr l'origine. Eemple : Michel désire mener de l limonde pour son équipe de soccer. Le pri d'un litre est,$. On s'intéresse à l reltion entre le nomre de litres chetés et le pri totl déoursé. ) Quelle est l vrile indépendnte? le nomre de litres chetés ) Quelle est l vrile dépendnte? le pri totl déoursé c) Décris en mots cette reltion? Plus le nomre de litres ugmentent plus le pri totl déoursé ugmente proportionnellement d) Complète l tle de vleurs suivnte. L reltion entre le n de litres chetés et le pri totl déoursé Nomre de litres (L) Y : pri totl déoursé 0,0 7,0, e) Représente grphiquement cette reltion. f) Quelle éqution illustre cette reltion? y, gfuert septemre 00

15 Sitution de vrition prtielle Crctéristiques : - Les vleurs des vriles ne sont ps proportionnelles. - Le rpport des vritions qui se correspondent est constnt. - L règle est de l forme y. (où correspond u tu de vrition et l ordonnée à l origine) - Le grphique correspond à une droite olique ne pssnt ps pr l'origine. *** Les reltions de vrition nulle, de vrition directe et de vrition prtielle sont des reltions linéires, cr leur grphique correspond à une droite.*** Eemple : Émilie offre un service de loction de chevu. Elle demnde 0$ pour les fris de réservtion et $ de l'heure d'équittion. On s'intéresse à l reltion entre le coût totl et le nomre d'heures d'équittion. ) Quelle est l vrile indépendnte? le nomre d'heures d'équittion ) Quelle est l vrile dépendnte? le coût totl c) Décris en mots cette reltion? Plus le nomre d heures d équittion, plus le coût totl de fçon constnte. d) Complète l tle de vleurs suivnte. L reltion entre le coût totl et le nomre d heures d équittion Nomre d heures d équittion (h) 0 Y : Coût totl ($) e) Représente grphiquement cette reltion. f) Quelle éqution illustre cette reltion? y 0 Sitution de vrition inverse gfuert septemre 00

16 Sitution de vrition inverse Crctéristiques : - Les vleurs des vriles ne sont ps proportionnelles. - Le produit des vleurs reliées est constnt. - Le rpport des vritions qui se correspondent n'est ps constnt. - L règle est de l forme y k/ (où k est une constnte). - Le grphique correspond à une coure dont les etrémités s'pprochent lentement des es. Eemple : Lind prépre une fête de fmille. Le coût totl de ses dépenses reliées à cette fête est de 00$. Elle s'est entendue vec s fmille que chcun pierit s prt. On s'intéresse à l reltion entre le coût déoursé pr invité et le nomre d'invités. ) Quelle est l vrile indépendnte? le nomre d'invités ) Quelle est l vrile dépendnte? le coût déoursé pr invité c) Décris en mots cette reltion? Plus le nomre d invités ugmente plus le coût déoursé pr invité diminue. d) Complète l tle de vleurs suivnte. L reltion entre le coût déoursé pr invité et le nomre d invités. Nomre d invités 0 0 Y : Coût pr invité ($) / e) Représente grphiquement cette reltion. f) Quelle éqution illustre cette reltion? y 00 / gfuert septemre 00 6

17 Sitution de proportionnlité u crré Crctéristiques : - Les vleurs de l vrile y sont proportionnelles u crré des vleurs de l vrile. - Le rpport des vritions qui se correspondent n'est ps constnt. - L règle est de l forme y k² (où k est une constnte). - Le grphique correspond à une coure très prticulière dite prolique. Eemple : Nous nlyserons l reltion entre l mesure du ryon d un disque et son ire. ) Quelle est l vrile indépendnte? le ryon du disque ) Quelle est l vrile dépendnte? l ire du disque c) Décris en mots cette reltion? Plus le ryon ugment plus l ire ugmente considérlement d) Complète l tle de vleurs suivnte. L reltion entre l mesure du ryon d un disque et son ire. Mesure du ryon Y : ire du disque ² e) Représente grphiquement cette reltion. f) Quelle éqution illustre cette reltion? y ² gfuert septemre 00 7

18 L éqution trduisnt l reltion décrite pr une sitution, une tle de vleurs ou un grphique. Comment trouver le tu de vrition à prtir du grphique? Eemple : Le grphique suivnt représente le volume d eu (en litres) contenu dns une ignoire pr rpport u temps écoulé (en minutes) lors de son remplissge. L vrition des litres est de 6 litres sur une période de minutes. Le tu de vrition est le quotient de l vrition en y sur l vrition en. y 6 tu de vrition Ce qui veut dire dns notre sitution que le tu de vrition ser de litres minutes litres pr minute. gfuert septemre 00 8

19 Comment trouver le tu de vrition à prtir de deu points? Eemple : Nous vons l représenttion de l droite suivnte vec points indiqués. Puisque P ( y ) ( 6, ) et P ( y ) (8,),, Le tu de vrition est le quotient de l vrition en y sur l vrition en. tu de vrition ( y y ) ( ) 8 ( ) 7 ( 6) Ce qui veut dire dns notre sitution que le tu de vrition (pente) ser de. gfuert septemre 00 9

20 Comment trcer une droite à prtir d un point et du tu de vrition? Eemple : Trcer l droite pssnt pr le point (-, - ) et ynt un tu de vrition de. Le tu de vrition est le quotient de l vrition en y sur l vrition en. tu de vrition ( y y ) ( ) Ceci nous informe que les y ugmentent de qund les progressent de. Si le tu de vrition est écrit comme ceci,, nous utiliserons soit une vrition en y de et une vrition en de. Si le tu est négtif, comme pr eemple -, nous utiliserons en y et de en.. et nous urons une vrition de - gfuert septemre 00 0

21 Voici comment trouver l éqution de l droite dont le tu de vrition est de pssnt pr le point (, ) et ce, sns utiliser le grphique. Nous trvillons pr sustitution. Sustituons l vleur du tu et du point dns l éqution y. Nous otenons l éqution : y ( ) ( ) ( ) 8 ( ) 8 ( 8 ) L éqution ser de 8 y gfuert septemre 00

22 Pour trouver l éqution d une droite lorsque nous possédons seulement points il suffit de : Trouver le tu de vrition à l ide de l formule suivnte : tu de vrition ( y y ) ( ) Sustituer l vleur de trouvée insi que celle d un des deu points dns l éqution y fin de trouver. Remplcer les vleurs de et de que nous venons de trouver dns l éqution générle de l droite. Eemple : Si nous vons (, ) et (, 8 ). Quelle ser l éqution de l droite pssnt pr ces deu points? ( y y ) ( ) ( 8 ) ( ) y Prenons le point (, ) ( ) y Nous pouvons dire mintennt que l éqution ser : y gfuert septemre 00

23 Les effets de l modifiction d un prmètre de l éqution. L modifiction du tu de vrition. Dns un grphique représentnt une sitution qui se trduit pr l éqution y, l modifiction du tu de vrition entrîne un effet sur l inclinison de l droite représentnt l sitution. L modifiction de l constnte. Dns un grphique représentnt une sitution qui se trduit pr l éqution y, l modifiction de l constnte entrîne un effet sur l emplcement du point d intersection entre l droite représentnt l sitution et l e verticl (l e des ordonnées). Géométrie L reltion de Pythgore L ire du crré formé à prtir du plus grnd côté d un tringle rectngle est égle à l somme des ires de deu crrés formés à prtir des utres côtés de ce même tringle. Dns un tringle rectngle, le crré de l mesure de l hypoténuse égle l somme des crrés des mesures des utres côtés. Si un tringle est tel que le crré de l mesure d un côté est égl à l somme des crrés des mesures des utres côtés, il est rectngle. L reltion de Pythgore Le côté opposé à l ngle droit d un tringle rectngle toujours le côté le plus long. Il s ppelle l hypoténuse. est Schnt que et représentent les mesures des côtés de l ngle droit d un tringle rectngle et que c représente l mesure de l hypoténuse, nous vons lors l reltion suivnte : c² ² ² gfuert septemre 00

24 Perception sptile (Tiré du mnuel de mthémtique Scénrios) gfuert septemre 00

25 L crétion de certins solides Le cylindre de révolution Le cône de révolution gfuert septemre 00

26 L sphère Les prismes et les pyrmides (Imges tirées du mnuel de mthémtique Scénrios) gfuert septemre 00 6

27 L clssifiction des solides Voici deu types de clssifiction de solides : SOLIDES Solides vec deu ses prllèles et congruentes Solides vec une se opposée à un seul sommet Solides limités seulement pr une surfce coure Autres cylindre prismes utres cônes pyrmides utres sphères utres SOLIDES Polyèdres Corps ronds convees concves cylindre cônes sphère utres prismes pyrmides utres L reltion de Euler Symoliquement, l reltion d Euler s eprime insi : S F A ou A F A ou S F A Où S représente le nomre de sommets; F représente le nomre de fces; A représente le nomre d rêtes. Ainsi, dns tout polyèdre convee, l somme du nomre de sommets et du nomre de fces est égle u nomre d rêtes plus deu. gfuert septemre 00 7

28 L Aire totle ou le volume d un prisme et d un cylindre L ire totle d un prisme et d un cylindre L ire totle d un solide équivut à l somme des ires de toutes ses fces. Tu peu étlir cette somme à prtir du développement du solide. Le volume d un prisme et d un cylindre Le volume d un solide, c est l mesure de l portion d espce occupée pr ce solide. Schnt que V représente le volume d un prisme ou d un cylindre, que A représente l ire de l se du prisme ou du cylindre et que h représente l mesure de l huteur du prisme ou du cylindre, on lors l reltion suivnte : V A h Les unités de volume Pour trnsformer une unité de volume en une utre, on peut recourir u risonnement proportionnel. Les unités de cpcités Pour trnsformer une unité de cpcité en une utre, on peut recourir u risonnement proportionnel. le kilolitre (kl) est 000 fois plus grnd que le litre (000L kl) l hectolitre (hl) est 00 fois plus grnd que le litre (00L hl ) le déclitre (dl) est 0 fois plus grnd que le litre (0L dl ) le décilitre (dl) est 0 fois plus petit que le litre (0,L dl ) le centilitre (cl) est 00 fois plus petit que le litre (0,0L cl ) le millilitre (ml) est 000 fois plus petit que le litre (0,00L ml ) Voici certines correspondnces entre des unités de volume et des unités de cpcité. dm³ L cm³ ml m³ kl gfuert septemre 00 8

29 L ire totle d une pyrmide, d un cône et d une sphère L ire totle d une pyrmide et d un cône L ire totle d un solide, c est l somme des ires de toutes ses fces. Pour clculer cette somme, tu peu utiliser le développement du solide. L ire d une sphère L sphère est une surfce qui ne peut se développer. L reltion entre l ire de l sphère (A) et l mesure de son ryon r est : A πr². Le volume d une pyrmide, d un cône et d une sphère. Le volume d une pyrmide Le volume d un cône V A h gfuert septemre 00 9

30 Le volume d une sphère V π r³ Voici une clssifiction des solides pour te rppeler les reltions qui permettent de clculer le volume de certins solides : SOLIDES Solides vec deu ses prllèles et congruentes Solides vec une se opposée à un seul sommet Solides limités seulement pr une surfce coure Autres cylindre prismes utres cônes pyrmides utres sphères utres V A h V A h V π r³ gfuert septemre 00 0

31 L mesure d une dimension d un solide Pour clculer l mesure d une dimension d un solide à prtir de son volume et d un nomre suffisnt de données, il fut étlir une éqution en utilisnt l une des reltions suivntes : o o o V A h pour un cylindre ou un prisme; V A h pour un cône ou une pyrmide V π r³ pour une sphère Il fut ensuite résoudre l éqution en isolnt l inconnue. Pour clculer l mesure d une dimension d un solide à prtir de son ire totle ou ltérle et d un nomre suffisnt de données, il fut étlir une éqution en utilisnt l une des reltions suivntes : o o o ire totle somme des ires de toutes les fces du solide; ire ltérle somme des ires de toutes les fces du solide, suf celles des ses; A πr² pour une sphère. Il fut ensuite résoudre l éqution en isolnt l inconnue. gfuert septemre 00