Gilles Molinié. mise à jour le 4 avril 2008

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1 Géométrie Gilles Molinié e x e z e y mise à jour le 4 avril 2008 e 3 q2=cste e e e e e q1 =cste q3=cste

2 Table des matières Mathématiques Appliquées aux Géosciences 1 Rappel sur les Vecteurs Définition Géométrique Définition Algébrique Vocabulaire physique Rotation des Axes de Coordonnées Tentative de Généralisation et Formalisme Produit Scalaire : Résultat Scalaire Produit Vectoriel : Résultat Vecteur Triple Produit Scalaire Triple Produit Vectoriel Opérateurs différentiels en coordonnées cartésiennes Gradient, opérateur Exemple : gradient de température

3 2.1.2 Définition du gradient en coordonnées cartésiennes Divergence, opérateur Exemple Calcul schématique de la convergence-divergence des masses d air Définition Rotationnel, opérateur Exemple Définition du rotationnel Applications Opérateurs différentiels en coordonnées curvilignes Introduction Coordonnées orthogonales curvilignes Comparaison des 2 systèmes de coordonnées Définition d une base dans le repère curviligne Relations de passage

4 3.3.1 Coordonnées d un point dans les 2 systèmes de coordonnées Relations différentielles entre les systèmes de coordonnées Conservation de la distance Facteurs d échelles Déplacement élémentaire Surface élémentaire Volume élémentaire Expression des opérateurs différentiels Gradient Divergence Rotationnel

5 1 Rappel sur les Vecteurs exemple scalaires / vecteurs A z z 1.1 Définition Géométrique Vecteur = Flèche la droite support la direction, la pointe de la flèche le sens, la longueur l intensité. L origine du vecteur n est pas forcément l origine du repère. x A x γ A β α Fig. 1 Un vecteur de R 3. A y y 4

6 1.2 Définition Algébrique L espace 3D est muni d un repère cartésien (x, y, z) dans lequel le vecteur A a pour coordonnées cartésiennes (A x, A y, A z ) (son point de départ est l origine du repère). A = A 2 x + A 2 y + A 2 z est la norme de A. (A x, A y, A z ) sont les projections de A sur les axes (x, y, z). A = A x e x + A y e y + A z e z. ( e x, e y, e z ) sont des vecteurs unitaires sur les axes (x, y, z). A x = A cosα, A y = A cosβ, A z = A cosγ (1) cosα, cosβ, cosγ sont les cosinus directeurs du vecteur A. 5

7 1.3 Vocabulaire physique Vecteur ponctuel : Indique un vecteur dont les caractéristiques sont valables en un point donné. Exemple : Force de gravité que l on applique au centre de gravité. Champ de vecteurs : Vecteurs dont les composantes sont généralement définies dans une région donnée et sont fonctions des coordonnées A x = A x (x, y, z). Exemple : Vitesse d un fluide, champ électrique ou magnétique. 6

8 1.4 Rotation des Axes de Coordonnées. Mathématiques Appliquées aux Géosciences Insuffisance de la définition selon norme et direction tenseur de contraintes, index de réfraction dans un cristal anisotrope,... Ils ont une intensité et une direction mais ne sont pas des vecteurs. Description d un monde physique par un formalisme mathématiques, mais le résultat ne doit pas dépendre du formalisme. y cos φ x sin φ y y x cos φ y sin φ Fig. 2 Rotation d un vecteur Dans le plan 2D, on a un repère cartésien (x, y) et un deuxième (x, y ), le second correspondant à une rotation dans le sens antitrigonométrique de valeur φ du premier. Expression des coordonnées du vecteur A, (A x, A y) dans x, y en fonction de A x x 7

9 (A x, A y ) dans (x, y) : A x = A x cosφ + A y sinφ = A x a 11 + A y a 12 A y = A x sinφ + A y cosφ = A x a 21 + A y a 22 (2) On démontre que la norme du vecteur et la direction sont invariante quelque soit le système de coordonnées dans lequel il est exprimé. Un objet qui ne vérifie pas ces invariances n est pas un vecteur. La démonstration consiste à écrire la norme dans les 2 repères de coordonnées. Interprétation des termes a ij en cosinus directeurs : ( ) a 11 a 12 = cos( e 1, e 1 ) cos( e 1, e 2 ) a 21 a 22 cos( e 2, e 1 ) cos( (3) e 2, e 2 ) Interprétation en termes de dérivées partielles : a ij = x i x j 8

10 1.5 Tentative de Généralisation et Formalisme. Mathématiques Appliquées aux Géosciences Un triplé de réels (x 1, x 2, x 3 ) est un vecteur dans l espace 3D. x n est la n ième composante du vecteur x. Soit 2 vecteurs de R 3, x = (x 1, x 2, x 3 ) et y = (y 1, y 2, y 3 ). x et y vérifient les propriétés suivantes : 1. x = y x i = y i 2. x + y = z x i + y i = z i 3. a est un scalaire; a x ax i 4. Dans R 3 l addition est commutative : x + y = y + x 5. Dans R 3 l addition est associative : ( x + y) + z = x + ( y + z) 6. La multiplication par un scalaire est distributive : a( x + y) = a x + a y et (a + b) x = a x + b x. 7. La multiplication par un scalaire est associative : (ab) x = a(b x). Le concept de vecteur ainsi définie peut être généralisé aux vecteurs de complexes, de fonctions et aux vecteurs à un nombre infinie de composantes. 9

11 1.6 Produit Scalaire : Résultat Scalaire Mathématiques Appliquées aux Géosciences A B est la projection de A sur B et le résultat est un nombre. A B = A i B i = A 1 B 1 + A 2 B 2 + A 3 B 3 = va B cosθ où θ est l angle entre A et B. Exemple : A = 6 e x + 4 e y + 3 e z et B = 2 e x 3 e y 3 e z. Alors A B = 9 Propriétés : 1. Symétrie en A et B 2. Commutativité : A B = B A. 3. Distributive : A ( B + C) = A B + A C 4. Associative : A (y B) = (y A). B = y A B, y étant un nombre. Si A B = 0 et que A 0 et B 0 alors A et B sont perpendiculaires. Application à la détermination des composantes du vecteur A dans un repère 3D Invariance du produit scalaire par rotation : A B = A B. Application en physique au calcul du travail d une force : Travail = Force Deplacement 10

12 1.7 Produit Vectoriel : Résultat Vecteur Notation : C = A B dans un repère cartésien ( e x, e y, e z ). Définition algébrique : C = A B C = (A y B z A z B y ) e x + (A z B x A x B z ) e y + (A x B y A y B x ) e z Notation générique C i = A j B k A k B j, i, j, k tous différents et permutés cycliquement. C est le résultat du déterminant : e x e y e z C = A x A y A z B x B y B z (4) Définition géométrique : C = ABsinθ (5) où θ est l angle entre A et B. On montre que C est perpendiculaire au plan défini par A et B. On montre que C est l aire du parallélogramme défini par A et B. 11

13 Propriétés : 1. Anticommutativité : A B = B A 2. Distributivité : A ( B + C) = A B + A C ( A + B) C = A C + B C A (y B) = y A B = (y A) B 3. Si A = k B avec k=cste alors A B = 0 ; On vérifie que le produit vectoriel est un vecteur car il vérifie la loi de transformation par rotation. Applications : M oment angulaire = Rayon Moment lineaire V itesse lineaire = V itesse Angulaire Rayon F orce magnetique = (charge electrique) vitesse Champ magnetique... 12

14 1.8 Triple Produit Scalaire A ( B C) = A B C car ( A B) C n est pas défini. Fort degré de symétrie : A B C = B C A = C A B = A C B et ainsi de suite. De plus, on peut inter-changer les signes d opérations : A B C = A B C 13

15 A B C = A x A y A z B x B y B z C x C y C z (6) Application : Aire du parallélépipède A, B et C. A A B x C B C B x C Fig. 3 Volume d un parallélépipède. 14

16 1.9 Triple Produit Vectoriel A ( B C) = x B + y C est dans le plan ( B, C). On multiplie scalairement les 2 termes de l équation précédente par A A ( B C) = z( B A C C A B). En calculant la norme de A ( B C) via les cosinus directeurs, on montre que z = 1. 15

17 16

18 2 Opérateurs différentiels en coordonnées cartésiennes. 2.1 Gradient, opérateur Exemple : gradient de température z T T(z) = -0.5E-3 z+ 15 la température moyenne de l air par beau temps en fonction de l altitude z. La moyenne est calculée à la fois dans un plan horizontal et dans le temps. Pas de variation horizontale ( T x = T y = 0) mais une variation verticale T z = /m = 5 /km. On dit que le gradient de température est vertical et il s écrit e z z T. x T = 3 C T = 5 C T = 8 C T = 15 C T = 30 C Fig. 4 Gradient de température moyenne dans l atmosphère. y 17

19 2.1.2 Définition du gradient en coordonnées cartésiennes Définition Soit une fonction f(x,y,z), le gradient de la fonction f s écrit : f(x, y, z) = e x x f(x, y, z) + e y L opérateur gradient s écrit : y f(x, y, z) + e z f(x, y, z) (7) z grad = = ex x + e y y + e z z (8) 18

20 Exemple f(x, y, z) = f( x 2 + y 2 + z 2 ) voir figure 9 ; Mathématiques Appliquées aux Géosciences z f(x,y,z) f(x,y,z) r1 r2 y f(x,y,z) f(r1) < f(r2) x f(x,y,z) Fig. 5 Gradient de la fonction f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2. Application : Soit un élément de distance : d r = e x dx + e y dy + e z dz et une fonction f(x,y,z) : df(x, y, z) = f(x + dx, y + dy, z + dz) f(x, y, z) = f(x, y, z)d r F orce = P ot. (Gravitation, Electrostat., fluides,...) 19

21 2.2 Divergence, opérateur Mathématiques Appliquées aux Géosciences Exemple Circulation atmosphérique convergence de basse couche. Fig. 6 Convergene d air humide formant le cyclone tropical Georges (19/09/1998). 20

22 2.2.2 Calcul schématique de la convergence-divergence des masses d air L opérateur indique localement sa divergence. aire de calcul de la convergence y2 dy zoom v y (x1) 990 hpa 1000 hpa y1 dy vx (x1) v x (x+dx) 1010 hpa x1 dx x2 dx ey e x Fig. 7 Calcul avec les mains de la divergence d un champ de vitesse. 21

23 2.2.3 Définition Divergence du vecteur V = V x e x + V y e y + V z e z : div V = x V x + y V y + z V z (9) Opérateur divergence : div = x + y + z (10) 22

24 2.3 Rotationnel, opérateur Mathématiques Appliquées aux Géosciences Exemple 1. Besoin de caractériser le caractère tournant d un vecteur. Cyclone pour lequel la rotation de vent est un element moteur; N 2. La boussole : Quel est la relation entre les vecteurs vitesses appliqués sur les branches d une boussole lorsque la boussole tourne? S Fig. 8 Schéma d une boussole alors que l aiguille vient d être écartée de sa position initiale. Les flèches représentent les vecteurs vitesse linéaire en différents points de l aiguille. 23

25 2.3.2 Définition du rotationnel rot( V ) = V ( ) = e x y V z z V y ( + e y z V x x V ) ( z ) + e z x V y y V x = e x e y e z x y z V x V y V z (11) 24

26 2.3.3 Applications Mathématiques Appliquées aux Géosciences Forces dérivant d un potentiel Une force est dite irrotationelle si : F = 0 F = φ Mouvement irrotationel Autres exemples Circulation d un vecteur : planx y V dλ = V z. Moulinet pour mesurer la rotation d un fluide dans un reservoir et pour lequel on a force la rotation ; Force magnétique; Force de gravite et force electrique sont irrotationelles. Ondes dans un milieu élastique, si le deplacement est irrotationel les ondes sont des ondes longitudinales et si le deplacement est solenoidal, les ondes sont transversales. Ainsi, un séisme produit un déplacement qui peut etre decompose en une partie irrotationelle, qui donne l onde primaire P provoquant un tremblement de terre, et une partie solénoidale donnant une onde secondaire S tranverse et plus lente. 25

27 3 Opérateurs différentiels en coordonnées curvilignes 3.1 Introduction 1. Coordonnées cartésiennes simplicité mais pas réaliste. 2. Exemples de problèmes où les coord cartésiennes sont mal adaptées : force centrale symétrie sphérique symétrie cylindrique topologie - bathymétrie 3. coordonnées curvilignes : cylindriques, sphériques, qui suivent le relief, la bathymétrie, Le prix a payer : expression des opérateurs diff. + complexe qu en coordonnées cartésiennes 26

28 3.2 Coordonnées orthogonales curvilignes Comparaison des 2 systèmes de coordonnées Coordonnées cartésiennes 3D repères = 3 vecteurs constants en norme et direction, perpendiculaires à 3 familles de surfaces mutuellement orthogonales. 27

29 00 11 z y=cste x=cste z=cste x y Mathématiques Appliquées aux Géosciences Chaque point A(x,y,z) est défini par l intersection de 3 plans mutuellement orthogonaux Fig. 9 Surfaces mutuellement des coord. cart Définition d une base dans le repère curviligne On définit le vecteur : V = V 1 e 1 + V 2 e 2 + V 3 e 3 (12) 28

30 avec e i = 1 et e 1 ( e 2 e 3 ) 0 mais e 1 n est pas forcément orthogonal à e 2 e 3. ( e i orthogonaux aux surfaces q i et dirigés vers les q i croissants). e x e z e y e 3 q2=cste e e e e e q1 =cste q3=cste Fig. 10 Surfaces quelconques definissant un champ de coord. curvilignes 29

31 3.3 Relations de passage Coordonnées d un point dans les 2 systèmes de coordonnées Généralisation : On définit dans le repère cartésien, 1 autre ensemble de 3 surfaces non-nécessairement planes et non-nécessairement perpendiculaires entre elles. Par exemple, la surface de base est la surface de la Terre. Chaque point peut être défini par l intersection des plans (q 1, q 2, q 3 )=cste et (x, y, z)=cste Si on se déplace le long de l axe des x ou le long de n importe qu elle autre direction parallele, seules les valeurs de x varient dans le repère cartésien (y et z restent constantes), mais q 1, q 2 et q 3 varient. On a donc les relations de changement de repères : x = x(q 1, q 2, q 3 ) y = y(q 1, q 2, q 3 ) z = z(q 1, q 2, q 3 ) (13) q 1 = q 1 (x, y, z) q 2 = q 2 (x, y, z) q 3 = q 3 (x, y, z) (14) 30

32 3.3.2 Relations différentielles entre les systèmes de coordonnées dx = x q 1 dq 1 + x q 2 dq 2 + x q 3 dq 3 dx i = xi q j dq j dq 1 = q 1 x dx + q 1 y dy + q 1 z dz dq i = qi x j dx j 31

33 3.3.3 Conservation de la distance Mathématiques Appliquées aux Géosciences La longueur d un élément de distance dans les 2 repères est identique : dl 2 = dx 2 + dy 2 + dx 2 (15) On l écrit de la manière la plus générale possible dans le repère curviligne pour avoir les dimensions d une distance, elle dépend des produits de chaques coordonnées : dl 2 = (16) g 11 dq g 12 dq 1 dq 2 + g 13 dq 1 dq 3 g 21 dq 2 dq 1 + g 22 dq g 23 dq 2 dq 3 (17) g 31 dq 3 dq 1 + g 32 dq 3 dq 2 + g 33 dq 2 3 = g ij dq i dq j Si on identifie l expression de dl 2 dans les 2 repères, on obtient l expression des g ij : (18) (19) g ij = x q i x q j + y q i y q j + z q i z q j (20) 32

34 Les espaces dans lesquels cette équation est valable sont les espaces métriques où de Rieman. 3.4 Facteurs d échelles Expressions des g ij très compliquées on débute le problème en ne considérant que les systèmes de coordonnées curvilignes où en chaque point les surfaces d isovaleurs des coordonnées (ou bien les vecteurs directeurs) sont mutuellement orthogonales. Dans ce cas, e i e j = δ ij g ij = 0 si i j. Pour simplifier, on écrira : g ij = h 2 i dl 2 = (h 1 dq 1 ) 2 + (h 2 dq 2 ) 2 + (h 3 dq 3 ) 2 (21) h i : facteur d échelle; h i dq i > 0 et à les dimensions d une longueur. 33

35 3.4.1 Déplacement élémentaire d r = h 1 dq 1 e 1 + h 2 dq 2 e 2 + h 3 dq 3 e 3 (22) Surface élémentaire dσ ij = h i h j dq i dq j (23) Volume élémentaire dτ = h 1 h 2 h 3 dq 1 dq 2 dq 3 (24) 34

36 3.5 Expression des opérateurs différentiels Gradient Par définition, le vecteur gradient est le vecteur qui a l intensité et la direction du plus fort taux d évolution spatiale de la fonction à laquelle il s applique. Les composantes de φ(q 1, q 2, q 3 ) dans la direction e 1 par exemple, est donné par : e 1. φ = φ r 1 = 1 h 1 φ q 1 (25) avec r 1 = h 1 dq 1 :déplacement élémentaire dans la direction e 1 35

37 φ = 1 φ h 1 q 1 1 h 2 φ q 2 1 h 3 φ q 3 = 3 i=1 e i 1 h i φ q i (26) 36

38 3.5.2 Divergence Mathématiques Appliquées aux Géosciences Par définition, la divergence est l opposée du flux de masse dans un élément de volume.si un fluide est animé d un mouvement colinéaire au vecteur e 1, son flux a travers le volume définit par des vecteurs colinéaires à e 1 (figure 11) est : z q 1 = cste [ v 1 (q 1, q 2, q 3 ) + v 1 (q 1 + dq 1, q 2, q 3 )] h 2 dq 2 h 3 dq 3 = (h 2h 3 v 1 ) q 1 dq 1 dq 2 dq 3 Par unité de volume et dans le cas où le flux n a pas d orientation particulière : e 1 v 1 dl 1 = h 1 dq 1 y 1 h 1 h 2 h 3 v(q 1, q 2, q 3 ) = [ (h2 h 3 v 1 ) + (h 1h 3 v 2 ) + (h ] 1h 2 v 3 ) q 1 q 2 q 3 x (27) Fig. 11 Flux d un vecteur v = v 1 e 1 dans un volume donné. 37

39 3.5.3 Rotationnel Par définition, le rotationel est la tendance spatiale d un vecteur à tourner sur une surface unitaire. Pour trouver l expression du rotationnel, on calcule la circulation d un vecteur v le long de la courbe située sur une surface q 1 = cste (voir figure 3.5.3) : 38

40 circ = v 2 (q 2, q 3 )h 2 dq 2 + v 3 (q 2 + dq 2, q 3 )h 3 dq 3 v 2 (q 2, q 3 + dq 3 )h 2 dq 2 v 3 (q 2, q 3 )h 3 dq 3 = [ (h3 v 3 ) (h ] 2v 2 ) dq 2 dq 3 q 2 q 3 Par unité de surface et pour une surface d orientation quelconque : (28) q 2 = cste; l = h 3 dq 3 (q 2 + dq 2, q 3 ) (q 1, q 2 ) q 3 = cste; l = h 2 dq 2 e 2 q 3 = cste; l = h 2 dq 2 (q 2, q 3 + dq 3 ) (q2 + dq 2, q 3 + dq 3 ) e 3 q 2 = cste; l = h 3 dq 3 1 h 1 h 2 h 3 v(q 1, q 2, q 3 ) = h 1 e 1 h 2 e 2 h 3 e 3 q 1 q 2 q 3 h 1 v 1 h 2 v 2 h 3 v 3 (29) Fig. 12 Circulation d un vecteur autour d une courbe située sur une surface q 1 = cste. 39