* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

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1 Eo7 Itégrtio Eercices de Je-Louis Rouget. Retrouver ussi cette fiche sur * très fcile ** fcile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourble T : pour trviller et mémoriser le cours Eercice **** Soiet f et g deu foctios cotiues et strictemet positives sur [,b]. Pour etier turel o ul doé, o pose u = ( ( f ()) g() d) /. Motrer que l suite (u ) coverge et détermier s limite (commecer pr le cs g = ). Correctio [5444] Eercice **I. Soit f ue pplictio de clsse C sur [,] telle que f (). Pour N, o pose u = t f (t) dt. Motrer que lim + u = puis détermier u équivlet simple de u qud ted vers + (étudier lim + u ).. Mêmes questios e suppost que f est de clsse C sur [,] et que f () = et f (). Correctio [5445] Eercice 3 ***IT Limites de ) 3 k= k si kπ ) (! k= ( + k))/ ( > doé) 3) k= +k 4) +k k= 5) k= E( k) 6) k k= 7) 8k k= k k+ 8) k= e /k k Correctio [5446] Eercice 4 ***I Soit f ue foctio de clsse C sur [,]. Détermier le réel tel que : Correctio f (t) dt f ( k k= ) = + + o( ). [5447] Eercice 5 **I Le lemme de LEBESGUE. O suppose que f est ue foctio de clsse C sur [,b]. Motrer que lim b λ + si(λt) f (t) dt =.. (***) Redémotrer le même résultt e suppost simplemet que f est cotiue pr morceu sur [, b] (commecer pr le cs des foctios e escliers).

2 Correctio [5448] Eercice 6 ***T Soit E l esemble des foctios cotiues strictemet positives sur [,b]. Soit ϕ : E ( R )( f b ). f (t) dt b f (t) dt. Motrer que ϕ(e) est ps mjoré.. Motrer que ϕ(e) est mioré. Trouver m = If{ϕ( f ), f E}. Motrer que cette bore ifèrieure est tteite et trouver toutes les f de E telles que ϕ( f ) = m. Correctio [5449] Eercice 7 *** Etude complète de l foctio f () = Correctio t +t 8 dt. [545] Eercice 8 *** Pour réel, o pose f () = e et dt.. Motrer que f est impire et de clsse C sur R.. Motrer que f est solutio de l équtio différetielle y + y =. 3. Motrer que lim + f () =. 4. Soit g() = e f (). Motrer que g est strictemet décroisste sur ],+ [ et que g dmet sur ],+ [ u uique zéro oté vérifit de plus < <. 5. Dresser le tbleu de vritios de f. Correctio [545] Eercice 9 *** Soit f ue foctio de clsse C sur [,] telle que f () =. Motrer que f (t) dt f (t) dt. Correctio [545] Eercice **** Soit f ue foctio cotiue sur [,b]. Pour réel, o pose F() = t f (t) dt. Etudier l dérivbilité de F sur R. Correctio [5453] Eercice *** Soit u réel strictemet positif et f ue pplictio de clsse C et strictemet croisste sur [,] telle que f () =. Motrer que [,], y [, f ()], y f (t) dt + y f (t) dt. Correctio [5454] Eercice ** Soit f cotiue sur [,] telle que f (t) dt =. Motrer que f dmet u poit fie. Correctio [5455] Eercice 3 ** Soiet f et g deu foctios cotiues pr morceu et positives sur [,] telles que [,], f ()g(). Motrer que ( f (t) dt)( g(t) dt).

3 Correctio [5456] Eercice 4 *** Prtie priciple qud ted vers + de u = k= si (+k). Correctio [5457] Eercice 5 ** Motrer que k= si k = + + o( ). Correctio [5458] Eercice 6 ** Détermier les limites qud ted vers + de Correctio ) u =! rcsi d ) + d 3) π si + d. [5459] Eercice 7 *** Etude complète de F() = Correctio dt t 4 +t +. [546] Eercice 8 *** Trouver toutes les pplictios cotiues sur R vérifit : (,y) R, f () f (y) = +y Correctio y f (t) dt. [546] Eercice 9 *** Soit f ue foctio de clsse C sur [,b] telle que f () = f (b) = et soit M = sup{ f (), [,b]}. Motrer que b f () d M (b ) 4. Correctio [546] Eercice ** Détermier les foctios f cotiues sur [,] vérifit Correctio f (t) dt = f (t) dt. [5463] Eercice ***I Détermier lim dt lt. Etude complète de F() = Correctio dt lt. [5464] Eercice **** Soit f (t) = t e t si t et si t =.. Vérifier que f est cotiue sur R.. Soit F() = f (t) dt. Motrer que F ue limite réelle l qud ted vers + puis que l = lim + k=. k 3 Correctio [5465] Retrouver cette fiche et d utres eercices de mths sur eo7.emth.fr 3

4 Correctio de l eercice f est cotiue sur le segmet [,b] et dmet doc u mimum M sur ce segmet. Puisque f est strictemet positive sur [,b], ce mimum est strictemet positif. Pour N, posos u = ( ( f ()) d) /. Pr croissce de l itégrle, o déjà ( / u M d) = M(b ) /, (cr [,b], f () M [,b], ( f ()) M pr croissce de l foctio t t sur [,+ [). D utre prt, pr cotiuité de f e tel que f ( ) = M, pour ε ],M[ doé, [α,β] [,b]/ α < β et [α,β], f () M ε. Pour élémet de N, o lors E résumé, ( β / ( β u ( f ()) d) (M ε ) / α α ) d = (M ε )(β α)/. ε ],M[, (α,β) [,b] / α < β et N, (M ε )(β α)/ u M(b ) /. Mis, lim + M(b ) / = M et lim + (M ε )(β α)/ = (M ε )(β α)/. Pr suite, N /, M(b ) / < M + ε et N /, (M ε )(β α)/ > M ε. Soit = M{, }. Pour, o M ε < u < M + ε. O motré que ε >, N / N, ( u M < ε), et doc que lim + u = M. Plus géérlemet, si g cotiue sur [,b], g dmet u miimum m et u mimum M sur cet itervlle, tous deu strictemet positifs puisque g est strictemet positive. Pour ds N, o ( / ( m / ( f ()) d) ( f ()) g() d ( et comme d près l étude du cs g =, o lim + m / ( f ()) d ) / ( ) M / ( f ()) d, ) / = lim + M / ( ) / b ( f ()) d = M, le théorème de l limite pr ecdremets permet d ffirmer que lim + ( ( f ()) g() d) / = M. O motré que ( / lim ( f ()) g() d) = M{ f (), [,b]}. + Correctio de l eercice. f est cotiue sur le segmet [,] et est doc borée sur ce segmet. Soit M u mjort de f sur [,]. Pour N, u t f (t) dt M t dt = M +, M et comme lim + + =, o motré que lim + u =. Soit N. Puisque f est de clsse C sur [,], o peut effectuer ue itégrtio pr prties qui fourit [ ] t + u = + f (t) t + f (t) dt = f () + + t + f (t) dt. + 4

5 Puisque f est cotiue sur [,], lim + t+ f (t) dt = ou ecore + t+ f (t) dt = o( ). D utre prt, puisque f (), f () + f () ou ecore f () + = f () + o( ). Filemet, u = f () + o( ), ou ecore u f ().. Puisque f est de clsse C sur [,] et que f () =, ue itégrtio pr prties fourit u = + t+ f (t) dt. Puisque f est de clsse C sur [,] et que f (), le ) ppliqué à f fourit u = t + f (t) dt f () = f () +. Pr eemple, t si πt dt et t cos πt dt π Correctio de l eercice 3. Pour, u = 3 k si kπ k= = k=( k ) si kπ = k= f ( k ), où f () = si(π). u est doc ue somme de RIEMANN à ps costt ssociée à l foctio cotiue f sur [,]. Qud ted vers +, le ps ted vers et o sit que u ted vers [ si(π) d = ] π cos(π) + cos(π) d = π π + [ ] π ( π si(π) si(π) d) π = π [ π ] π cos(π) = π π ( π + π ) = π 4 π 3.. O peut voir evie d écrire : l(u ) = ( (l( + k) lk)) = k= k= l( + k ). L suite de ombres,,..., «est ue subdivisio (à ps o costt) de [,]» mis mlheureusemet so ps = e ted ps vers qud ted vers +. O est ps ds le même type de problèmes. Rppel. (eo clssique) Soit v ue suite strictemet positive telle que l suite ( v + v ) ted vers u réel positif l, lors l suite ( v ) ted ecore vers l. Posos v =! k= ( + k) puis u = v. et doc lim + u =. v + = + +, v + 3. Ecore ue fois, ce est ps ue somme de RIEMANN. O tete u ecdremet ssez lrge : pour k, + k + + k + k + k. 5

6 E sommt ces iéglités, il viet + k= ( + k) k= + k + k et doc ((premier terme + derier terme) ombre de termes/), (( + ) + ) + k= ( + k), u (( + ) + ), 3+ et filemet, (+) u 3+. Or, (+) et tedet tous deu vers 3. Doc, u ted vers Tout d bord u = k= k = k= = ( k ) k= f ( k ), où f () = pour [,[. u est doc effectivemet ue somme de RIEMANN à ps costt ssociée à l foctio f mis mlheureusemet, cette foctio est ps cotiue sur [, ], ou même prologeble pr cotiuité e. O s e sort émois e profitt du fit que f est croisste sur [,[. Puisque f est croisste sur [,[, pour k, o k, k/ ( k ) et u = k= (k )/ ( k ) ( k ) (k+)/ k/ d. E sommt ces iéglités, o obtiet k/ k= (k )/ d = d = rcsi( ), d, et pour u = k= + ( k ) ( ) = rcsi( ) rcsi +. d + Qud ted vers +, les deu membres de cet ecdremet tedet vers rcsi = π, et doc u ted vers π. 5. Pour k, k E( k) k, et e sommt, k= k u k= Qud ted vers +, ted vers et l somme de RIEMANN d = 3. Doc, u ted vers u = (k/) k= ted vers +8(k/) d = [ 4 l 83 + ] = l3. 7. u = k= (k+)+ = k= + k+ ted vers k. k= + d = (l4 l) = l. k = k k= ted vers 8. Soit f () = e / si > et si =. f est cotiue sur [,] (théorèmes de croissces comprées). Doc, u = k= f ( k ) ted vers f () d. Pour [,], posos F() = f (t) dt. Puisque f est cotiue sur [,], F l est et f () d = F() = lim F() =, > Doc, u ted vers e qud ted vers +. lim, > [e /t] = lim, > (e e / ) = e. 6

7 Correctio de l eercice 4 Supposos f de clsse C sur [,]. Soit F ue primitive de f sur [,]. Soit u etier turel o ul. u = f (t) dt k= f ( k (k+)/ ) = ( f (t) dt k/ f ( k )) = (F( k + ) F( k ) F ( k )). k= f est de clsse C sur le segmet [,]. Pr suite, F (3) = f est défiie et borée sur ce segmet. E ott M l bore supérieure de f sur [,], l iéglité de TAYLOR-LAGRANGE à l ordre 3 ppliquée à F sur le segmet [,] fourit F(k + ) F( k ) F ( k ) F ( k ) (/)3 M, 6 et doc, k= Aisi, k= ), ou efi, o( [F( k + ) F( k ) F ( k ) F ( k )] F( k + ) F( k ) F ( k ) F ( k ) [F( k+ k= k= (/) 3 M = M k= 6 6. ) F( k ) F ( k ) F ( k )] = O( ), ou ecore k= [F( k+ ) F( k ) F ( k ) F ( k )] = Mitet, u = k= F ( k ) + o( ). k= F ( k ) =. f ( k k= ). Or, l foctio f est cotiue sur le segmet [,]. Pr suite, l somme de RIEMANN k= f ( k ) ted vers f (t) dt = f () f () et doc Filemet, f ( k k= ) = f () f () ( f () f () + o()) = + o( ). f (t) dt f ( k f () f () ) = + o( k= ). Correctio de l eercice 5. Puisque f est de clsse C sur [,b], o peut effectuer ue itégrtio pr prties qui fourit pour λ > : f (t)si(λt) dt = b λ ( [cos(λt) f (t)]b + f (t)cos(λt) dt) λ ( f () + f (b) + f (t) dt). Cette derière epressio ted vers qud λ ted vers +, et doc f (t)si(λt) dt ted vers qud λ ted vers +. 7

8 . Si f est simplemet supposée cotiue pr morceu, o e peut doc plus effectuer ue itégrtio pr prties. Le résultt est clir si f =, cr pour λ >, b si(λt) dt =... λ. Le résultt s éted u foctios costtes pr liérité de l itégrle puis u foctios costtes pr morceu pr dditivité pr rpport à l itervlle d itégrtio, c est-à-dire u foctios e escliers. Soit lors f ue foctio cotiue pr morceu sur [,b]. Soit ε >. O sit qu il eiste ue foctio e escliers g sur [,b] telle que [,b], f () g() < ε (b ). Pour λ >, o lors f (t)si(λt) dt = ( f (t) g(t))si(λt) dt + f (t) g(t) dt + = ε + g(t) si(λt) dt. Mitet, le résultt étt étbli pour les foctios e escliers, g(t) si(λt) dt g(t) si(λt) dt ε (b ) (b ) + A > / λ R, (λ > A g(t) si(λt) dt < ε ). Pour λ > A, o lors b f (t)si(λt) dt < ε + ε = ε. O motré que ε >, A > / λ R, (λ > A f (t)si(λt) dt < ε), et doc que f (t)si(λt) dt ted vers qud λ ted vers +. g(t) si(λt) dt Correctio de l eercice 6. Soiet m u réel strictemet positif et, pour t R, f m (t) = e mt. f m est bie u élémet de E et de plus, ϕ( f m ) = m (emb e m )(e m e mb ) = m em(+b)/ (e m(b )/ + e m(b )/ )e m(+b)/ (e m(b )/ + e m(b )/ ) = 4sh (m(b )/) m. Cette epressio ted vers + qud m ted vers + et ϕ(e) est ps mjoré.. Soit f cotiue et strictemet positive sur [,b]. L iéglité de CAUCHY-SCHWARZ motre que : ϕ( f ) = ( ) ( ) ( b b f (t) dt dt f (t) dt) = (b ), f (t) f (t) vec églité si et seulemet si l fmille de foctios ( f (t), ) est liée ou ecore si et seulemet f (t) si λ R +/ t [,b], f (t) = λ ou efi si et seulemet si λ R f (t) +/ t [,b], f (t) = λ, c est-à-dire que f est ue costte strictemet positive. Tout ceci motre que ϕ(e) dmet u miimum égl à (b ) et obteu pour toute foctio f qui est ue costte strictemet positive. 8

9 Correctio de l eercice 7 Pour t réel, posos g(t) = t puis, pour réel, G() = +t g(t) dt. Puisque g est défiie et cotiue sur R, G 8 est défiie sur R et de clsse C et G = g (G est l primitive de g sur R qui s ule e ). Plus précisémet, g est de clsse C sur R et doc G est de clsse C sur R. Filemet, f est défiie et de clsse C sur ],[ ],+ [. Etude e. Pour, f () = G() = G() + G ()( ) + G () ( ) + o(( ) ) = g() + g ()( ) + o(( )). Doc, f dmet e u développemet limité d ordre. Pr suite, f se prologe pr cotiuité e e post f () = g() = puis le prologemet est dérivble e et f () = g (). Or, pour tout réel, g () = ( 4 7 (+ 8 ) + 8 ) = 8 (+ 8 ) + 8 et g () =. Doc, f () =. Dérivée. Vritios Pour, f () = G ()( ) G() ( ). f () est du sige de h() = G ()( ) G() dot l dérivée est h () = G ()( ) + G () G () = ( )g (). h est du sige de ( 8 )( ) ou ecore du sige de ( + ). h est doc décroisste sur ], ] et sur [,+ [ et croisste sur [,]. Mitet, qud ted vers + (ou ), G ()( ) = g()( ) = et doc G ()( ) ted vers. Esuite, pour t G() dt =, t 8 et G est borée u voisige de + (ou de ). Comme G est croisste sur R, G ue limite réelle e + et e. Cette limite est strictemet positive e + et strictemet égtive e. Pr suite, h ue limite strictemet positive e et ue limite strictemet égtive e +. Sur [, + [, h est décroisste et s ule e. Doc, h est positive sur [,] et égtive sur [,+ [. Esuite, h( ) = t dt = +t 8 t dt < +t 8 dt =, et h( ) <. h s ule doc, ue et ue seule fois sur ], [ e u certi réel α et ue et ue seule fois sur ],[ e u certi réel β. De plus, h est strictemet positive sur ],α[, strictemet égtive sur ]α,β[, strictemet positive sur ]β,[ et strictemet égtive sur ],+ [. f est strictemet croisste sur ],α], strictemet décroisste sur [α,β], strictemet croisste sur [β,] et strictemet décroisste sur [,+ [. Etude e l ifii. E + ou, G ue limite réelle et doc f ted vers. Correctio de l eercice 8. L foctio t e t est de clsse C sur R. Doc, l foctio et dt est de clsse C sur R et il e est de même de f. L foctio t e t est pire et doc l foctio et dt est impire. Comme l foctio e est pire, f est impire.. Pour réel, f () = e et dt + e e = f () +. 9

10 3. Pour, ue itégrtio pr prties fourit : et doc, e t dt = [ ] t.tet dt = t et + e t e dt = t e + e t t dt, f () = e e t dt e e t dt e e t t dt + ee + e e t dt. Les deu deriers termes tedet vers qud ted vers +. Il reste le premier. Pour, e e t dt = e t e( ) ( )e = ( )e + + e t dt + e t e t t dt + e e ( t dt ) = ( )e + +. Cette derière epressio ted vers qud ted vers +. O e déduit que e et t dt ted vers qud ted vers +. Filemet, f () ted vers qud ted vers +, ou ecore, f (). 4. Pour >, g() = e e ( f ()) = et dt puis, g () = e e e = e <. g est doc strictemet décroisste sur ],+ [ et doc, g s ule u plus ue fois sur ],+ [. Esuite, f () = f () = e et dt. Or, l méthode des rectgles fourit et dt =,44... >,35... = e, et doc f () < puis g() <. Efi, comme e +, g() f () =, g(+ ) = +. Doc, g s ule ectemet ue fois sur ],+ [ e u certi réel de ],[. 5. g est strictemet positive sur ], [ et strictemet égtive sur ],+ [. Il e de même de f. f est isi strictemet croisste sur [, ] et strictemet décroisste sur [,+ [. Correctio de l eercice 9 Pour t [,], ( t f (t) = = t t et doc, pr croissce de l itégrle, t f (u) du) ( f (u) du t t f (u) du)( du) (CAUCHY SCHWARZ) f (u) du, f (t) dt t( f (u) du) dt = ( f (u) du) t dt = f (u) du.

11 Correctio de l eercice Pour réel doé, l foctio t t f (t) est cotiue sur [,b] et doc F() eiste. Pour, F() = (t ) f (t) dt = f (t) dt + t f (t) dt. F est doc de clsse C sur ],] e tt que foctio ffie et, pour <, F () = De même, pour b, F() = f (t)dt ffie et, pour b, F () = Efi, si b, f (t) dt (e prticulier F g() = f (t) dt).. t f (t) dt. F est doc de clsse C sur [b,+ [ e tt que foctio f (t) dt). f (t) dt (e prticulier F d (b) = F() = ( t) f (t) dt + (t ) f (t) dt = ( f (t) dt f (t) dt) t f (t) dt + t f (t) dt. F est doc de clsse C sur [,b] et, pour b, F () = = f (t) dt f (t)dt f (t) dt + ( f () ( f ())) f () f () f (t) dt. (et e prticulier, F d () = f (t) dt = F g() et F g(b) = f (t) dt = F d (b)). F est cotiue ],], [,b] et [b,+ [ et doc sur R. F est de clsse C sur ],], [,b] et [b,+ [. De plus, F g() = F d () et F g(b) = F d (b). F est doc de clsse C sur R. Correctio de l eercice Puisque f est cotiue et strictemet croisste sur [,], f rélise ue bijectio de [,] sur f ([,]) = [, f ()]. Soit [,]. Pour y [, f ()], posos g(y) = f (t) dt + y f (t) dt y. Puisque f est cotiue sur [,], o sit que f est cotiue sur [, f ()] et doc l foctio y y f (t) dt est défiie et de clsse C sur [, f ()]. Doc g est de clsse C sur [, f ()] et pour y [, f ()], g (y) = f (y). Or, f étt strictemet croisste sur [,], g (y) > f (y) > y > f (). Pr suite, g est strictemet égtive sur [, f ()[ et strictemet positive sur ] f (), f ()], et g est strictemet décroisste sur [, f ()] et strictemet croisste sur [ f (), f ()]. g dmet e y = f () u miimum globl égl à g( f ()) = f (t) dt + f () f (t) dt f (). Notos h() cette epressio. f est cotiue sur [,]. Doc, f (t) dt est de clsse C sur [,]. Esuite f est de clsse C sur [,] à vleurs ds [, f ()] et y y f (t) dt est de clsse C sur [, f ()] (puisque f est cotiue sur [, f ()]). O e déduit que f () f (t) dt est de clsse C sur [,]. Il e est de même de h et pour [,], h () = f () + f () f ( f ()) f () f () =. h est doc costte sur [,] et pour [,], h() = h() =. O motré que (,y) [,] [, f ()], y f () f (t) dt + f (t) dt y f (t) dt + f (t) dt f () =. Correctio de l eercice Soit, pour [,], g() = f (). g est cotiue sur [,] et g() d = f () d d = =. Si g est de sige costt, g étt de plus cotiue sur [,] et d itégrle ulle sur [,], o sit que g est ulle. Sio, g chge de sige sur [,] et le théorème des vleurs itermédiires motre que g s ule u mois

12 ue fois. Ds tous les cs, g s ule u mois ue fois sur [,] ou ecore, f dmet u mois u poit fie ds [,]. Correctio de l eercice 3 D près l iéglité de CAUCHY-SCHWARZ, ( )( ) ( f (t) dt g(t) dt = ( )( f (t)) dt ( ) ( ) ( g(t)) dt f (t) g(t) dt dt) =. Correctio de l eercice 4 Soit [,] [, π ]. D près l formule de TAYLOR-LAPLACE à l ordre fourit si = ( t)sit dt, cr pour t [,], ( t) et pour t [,] [, π ], sit. De même, l formule de TAYLOR-LAPLACE à l ordre 3 fourit si = ( t) 3 Doc, [,], 3 6 si. Soiet lors et k {,...,}. O et doc (+k) puis e sommt k= Mitet, qud ted vers +, D utre prt, k= 6 sit dt 3 6. ( + k) 6( + k) 6 si ( + k) ( + k), ( + k) k= 6( + k) 6 si k= ( + k) k= ( + k). ( + k) =. k= ( + k = ( ) k= ) d + o() = ( + ) + o( ). 6( + k) = 6 5, et doc, k= = o( 6(+k) 6 ). O e déduit que ( ) = ( (+k) 6(+k) 6 + o( )) = + o() et que = + o(). Mis lors, (+k) d près le théorème des gedrmes, k= si ted vers qud ted vers +, ou ecore (+k) k= si ( + k). + Correctio de l eercice 5 Soit N.

13 ( ) ( k=si k = Im( e ik/ i/ ei/ ) = Im e = Im k= e i/ e i(+ )/ si si = ( o( ))( + o( ))( + o( 3 )) = ( + + o( ))( + o( ))( + o( )) = + + o( ), (o peut ussi prtir de l ecdremet k k3 6 6 si k k ). ) = si + si si Correctio de l eercice 6. Soit N. Pour [, π ], rcsi ( π ) et doc, pr croissce de l itégrle, u! ( π ) d =! (π ). D près u théorème de croissces comprées,! ( π ) ted vers qud ted vers +. D près le théorème des gedrmes, u ted vers qud ted vers d + d = +. Comme + ted vers qud ted vers +, + d ted vers qud ted vers Soit N. π si π + d π si d = si + d π si + d π π π d = +. Or, π +. ted vers qud ted vers +, et doc π si + d ted vers π si d = qud ted vers Correctio de l eercice 7 Pour t R, posos g(t) = t. g est cotiue sur R et dmet doc des primitives sur R. Soit G ue 4 +t + primitive de g sur R. Défiitio, dérivbilté, dérivée. Puisque g est cotiue sur R, F est défiie sur R et pour tout réel, F() = G() G(). G est de clsse C sur R et doc F est de clsse C sur R et pour tout réel, F () = G () G () = g() g() = Prité. Soit R. E post t = u et doc dt = du, o obtiet, e ott que g est pire F est doc impire. Vritios. Pour réel, F( ) = g(t) dt = g( u). du = g(u) du = F(). sg(f ()) = sg( ) = sg( ) = sg(4( ) ( )) (pr croissce de t t sur R + ) = sg( 4 + 3) = sg( 4 4 ) = sg( ). 3

14 F est doc strictemet croisste sur [, ] et strictemet décroisste sur ], ] et sur [,+ [. Etude e +. Pour >, F() dt = = 4. Comme gedrmes permet d ffirmer que lim + F() =. Grphe. ted vers qud ted vers +, le théorème des Correctio de l eercice 8 f est cotiue sur R et dmet doc des primitives sur R. Soit F ue primitive doée de f sur R. Notos ( ) l reltio : (,y) R, f () f (y) = F( + y) F( y). Pour = y =, o obtiet f orll R, f () =. Puis = fourit y R, F(y) F( y) =. F est doc écessiremet pire et s dérivée f est écessiremet impire. L foctio ulle est solutio du problème. Soit f ue évetuelle solutio o ulle. Il eiste lors u réel y tel que f (y ). Pour tout réel, o lors f () = +y f (t) dt = f (y ) y f (y ) (F( + y ) F( y )). f est cotiue sur R et doc F est de clsse C sur R. Il e est de même de l foctio f (y ) (F( + y ) F( y )) et doc de f. Mis lors, F est de clsse C sur R et doc f l est ussi ( f est e fit de clsse C pr récurrece). E dérivt ( ) à y fié, o obtiet f () f (y) = f ( + y) f ( y) ( ), mis e dérivt à fié, o obtiet ussi f () f (y) = f ( + y) + f ( y) ( ). E redérivt ( ) à y fié, o obtiet f () f (y) = f ( + y) f ( y) et e dérivt ( ) à fié, o obtiet f () f (y) = f ( + y) f ( y). Mis lors, et e prticulier, (,y) R, f () f (y) = f () f (y), R, f () f (y ) f (y ) f () =. O motré que si f est solutio du problème, il eiste u réel λ tel que f est solutio de l équtio différetielle y λy = (E). - si λ >, e post k = λ, (E) s écrit y k y =. Les solutios de (E) sot les foctios de l forme Ash(k) + Bch(k), (A,B) R et les solutios impires de (E) sot les foctios de l forme Ash(k), A R. Réciproquemet, soit k u réel strictemet positif. Pour A R (o sit que l foctio ulle est solutio) et R, posos f () = Ash(k). Alors +y y f (t) dt = A k (ch(k( + y)) ch(k( y)))a k sh(k)sh(ky) = f () f (y). ka f est solutio si et seulemet si ka = ou ecore A = k. 4

15 - si λ <, e post k = λ, (E) s écrit y + k y =. Les solutios de (E) sot les foctios de l forme Asi(k) + Bcos(k), (A,B) R et les solutios impires de (E) sot les foctios de l forme Asi(k), A R. Réciproquemet, soit k u réel strictemet positif. Pour A R et R, posos f () = Asi(k). Alors +y y f (t) dt = A k (cos(k( y)) cos(k( + y))) = A k si(k)si(ky) = f () f (y). ka f est solutio si et seulemet si ka = ou ecore A = k. - si λ =, (E) s écrit y =. Les solutios de (E) sot les foctios ffies et les solutios impires de (E) sot les foctios de l forme A, A R. Réciproquemet, si f () = A +y y f (t) dt = A (( + y) ( y) ) = Ay = f () f (y), A et f est solutio si et seulemet si A =. Les solutios sot l foctio ulle, l foctio, les foctios k si(k), k > et les foctios k sh(k), k >. Correctio de l eercice 9 Soit F ue primitive de f sur [,b]. F est de clsse C sur le segmet [,b] et l iéglité de TAYLOR-LAGRANGE permet d écrire F( + b ) F() b F () (b ) sup{ F (), [,b]}. 4 Mis F () = f () = et F = f. Doc, F( + b ) F() (b ) M. 4 De même, puisque F (b) = f (b) =, Mis lors, F( + b ) F(b) (b ) M. 4 f (t) dt + b = F(b) F() F(b) F( ) + F( + b ) F() (b ) M + (b ) M = M 4 4 (b ). 4 Correctio de l eercice Si f (t) dt, f (t) dt = f (t) dt f (t) dt = f (t) dt ( f (t) f (t)) dt = f f = (foctio cotiue positive d itégrle ulle) f = f f. Si f (t) dt, lors f (t) dt et d près ce qui précède, f est solutio si et seulemet si f = f ou ecore f. E résumé, f est solutio si et seulemet si f est de sige costt sur [,]. Correctio de l eercice 5

16 . Si >, [, ] ],+ [ et t lt est cotiue sur ],+ [. Pr suite, dt lt eiste. De plus, Mis, t lt dt dt = [l lt ] t lt dt lt = t dt t lt = l l( ) l l() = l l l t lt dt. = l. Doc, >, l F() l. O e déduit que lim, > F() = l. Si < <, o < puis [,] ],[. Doc, t lt est cotiue sur [,] et F() = eiste. Pour t [,], o t lt < et t. Pr suite, t lt t t lt = lt t lt, puis, t lt dt lt dt t lt dt, et filemet, l = t lt dt F() = lt dt dt = l. t lt lt dt O obtiet lors lim, < F() = l et filemet, lim F() = l. O e déduit que F se prologe pr cotiuité e e post F() = l (o ote ecore F le prologemet obteu).. O déjà vu que F est défiie (u mois) sur ],+ [ (F désigt le prologemet). Il e prit ps ecore possible de doer u ses à F() et ecore mois à F() qud <, cr lors [,] est u itervlle de logueur o ulle coteu ds [, ], sur lequel l foctio t lt est même ps défiie. D F =],+ [. Pour t ],[ ],+ [, posos g(t) = lt et otos G ue primitive de g sur cet esemble. Alors, pour ds ],[ ],+ [, F() = G( ) G(). O e déduit que F est dérivble (et même de clsse C ) sur ],[ ],+ [ et que pour ds ],[ ],+ [, F () = g( ) g() = l( ) l = l. Mitet, qud ted vers, l ted vers. Aisi, F est cotiue sur ],+ [, de clsse C sur ],[ ],+ [ et F ue limite réelle e. U théorème clssique d lyse permet d ffirmer que F est de clsse C sur D F et e prticulier, dérivble e vec F () =. { ],+ [, F () = l si si =.. Si >, > et l > et si < <, < et l <. Ds tous les cs ( < <, =, > ) F () >. F est strictemet croisste sur ],+ [. O vu que >, F() > l et doc lim + F() = +. Plus précisémet, pour >, F() = lt dt l = l. Comme F() l ted vers + qud ted vers +, o e déduit que ted vers + qud ted vers + et doc que l courbe représettive de F dmet e + ue brche prbolique de directio (Oy). Pour ],[ et t [,], o l = l( ) lt l < et doc l lt l, puis ( ) l lt dt ( ) l et filemet, 6

17 ],[, F() l l. O obtiet déjà lim F() =. O peut prologer F pr cotiuité e e post F() =. Esuite, F() F() = F() est compris etre l et l. Comme ces deu epressios tedet vers qud ted vers, o e déduit que F() F() ted vers qud ted vers. F est doc dérivble e et F () = Correctio de l eercice. f est cotiue sur R e tt que quotiet de foctios cotiues sur R dot le déomiteur e s ule ps sur R. D utre prt, qud t ted vers, f (t) t t = t et lim t, t f (t) = = f (). Aisi, f est cotiue e et doc sur R.. f est cotiue sur R et doc F est défiie et de clsse C sur R. De plus, F = f est positive sur [,+ [, de sorte que F est croisste sur [,+ [. O e déduit que F dmet e + ue limite ds ],+ ]. Vérifios lors que F est mjorée sur R. O cotte que t. t e t ted vers qud t ted vers +, d près u théorème de croissces comprées. Pr suite, il eiste u réel A tel que pour t A, t. t e t ou ecore f (t). Pour A, o lors t A F() = = A f (t) dt + A t e t dt A f (t) dt + A A f (t) dt + A. f (t) dt + A t dt F est croisste et mjorée et doc ue limite réelle l qud ted vers +. Soit N. Pour t ],+ [, f (t) = t e t e t = t e t ( (e t ) k + (e t ) e t ) = k= k= t e (k+)t + t e t e t e t = k= t e kt + f (t) ( ), où f (t) = t e t e t e t pour t >. E post de plus f () =, d ue prt, f est cotiue sur [,+ [ et d utre prt, l églité ( ) reste vrie qud t =. E itégrt, o obtiet 7

18 [,+ [, N, F() = k= t e kt dt + f (t) dt ( ). Soiet lors k N et [,+ [. Deu itégrtios pr prties fourisset : [ t e kt dt = ] k t e kt + te kt dt = k k e k + [ k ( ] k te kt + e kt dt) k = k e k k e k k 3 e k + k 3. Puisque k >, qud ted vers +, o obtiet lim + t e kt dt = k 3. O fit lors tedre vers + ds ( ) et o obtiet N, l k= k 3 = lim + f (t) dt ( ). Vérifios efi que lim + (lim + f (t) dt) =. L foctio t t e t e est cotiue sur ],+ [, t se prologe pr cotiuité e et ue limite réelle e +. O e déduit que cette foctio est borée sur ],+ [. Soit M u mjort de cette foctio sur ],+ [. Pour [,+ [ et N, o lors f (t) dt M e t dt = M ( e ). A N fié, o psse à l limite qud ted vers + et o obtiet lim f (t) dt M +, puis o psse à l limite qud ted vers + et o obtiet ( ) lim lim f (t) dt =. + + Pr pssge à l limite qud ted vers + puis qud ted vers + ds ( ), o obtiet efi t lim + e t dt = lim + k= k 3. 8