Chapitre VII Les nombres complexes

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1 Chapitre VII Les nombres complexes Extrait du programme : I. Ensemble des nombres complexes 1. Existence Théorème (admis) : Il existe un ensemble noté, appelé ensemble des nombres complexes, qui possède les propriétés suivantes : - contient tous les nombres réels - L addition et la multiplication des nombres réels se prolonge aux nombres complexes et les règles de calcul restent les mêmes. - Il existe un nombre complexe noté i tel que i² = 1 - Tout nombre complexe z s écrit de manière unique z = a + ib où a et b sont des nombres réels. Remarque : l unicité de l écriture implique que : - Pour tous a et b réels, a + ib = 0 a = 0 et b = 0 - Pour tous a, a, b, b réels, a + ib = a + ib a = a et b = b. Forme algébrique Définitions : L écriture unique d un nombre complexe z sous la forme z = a + ib avec a et b réels, est appelée forme algébrique du nombre complexe z. Dans ce cas, a est appelé partie réelle de z et est noté : a = Re ( z ) b est appelé partie imaginaire de z et est noté : b = Im ( z ) Lorsque b = 0, z est un réel, et lorsque a = Re ( z ) = 0, alors z = ib est appelé imaginaire pur. Exemples : 1. z = + i 3, alors Re ( z ) = et Im ( z ) = 3. z = 3, alors Re ( z ) = 3 et Im ( z ) = 0 ; z est un réel 3. z = 1,5i alors Re ( z ) = 0 et Im ( z ) = 1,5 ; z est un imaginaire pur.

2 Attention, la partie imaginaire d un nombre complexe est un réel!! 4. z = 4 + i ( 5 i ) n est pas sous la forme algébrique, car elle n est pas sous la forme a + ib avec a et b réels. 4 + i ( 5 i ) = 4 + 5i i² = 4 + 5i ( 1 )= 6 + 5i est la forme algébrique de z. Re ( z ) = 6 et Im ( z ) = 5. II. Les opérations dans 1. Règles de calculs Somme de deux complexes : z = 1 + 3i z = 5i Alors z + z = ( 1 + 3i ) + ( 5i ) = 3 i Produit de deux complexes : z = 1 + 3i z = 5i Alors zz = ( 1 + 3i ) ( 5i ) = 5i + 6i 15i² = + i + 15 = 17 + i Puissances de i : i 0 = 1 ; i 1 = i ; i² = 1; i 3 = i ; i 4 = 1 ; i 5 = i ; i 6 = 1 etc En utilisant les coefficients binomiaux du triangle de Pascal, on peut développer : ( 1 + i ) 4 = i ² i² i 3 + i 4 = 1 + 4i 6 4i + 1 = 4. Opposé et conjugué d un complexe Définitions : L opposé de z = a + ib est le nombre complexe z avec z ( a ) = ( b ) + i = a ib Tout nombre complexe z de forme algébrique a + ib admet un complexe conjugué qui est le nombre complexe noté défini par : z = a ib Exemple : l opposé de + 3i est 3i et son conjugué est : 3i Propriété : le produit d un nombre complexe par son conjugué est un réel positif : z z = a + b² Démonstration : z = a + ib avec a et b réels z z = (a + ib)(a ib)= a (ib) = a² + b² 3. Inverse et quotient Propriété définition : Pour tout nombre complexe z non nul, il existe un unique nombre complexe z vérifiant : zz = z z = 1. z est l inverse de z et se note 1 z Démonstration : soit z un complexe non nul, z = a + ib avec a et b réels. z z = a² + b² z z a² + b² = 1

3 z z Donc zz = 1 zz = a² + b² z z z a² + b² z = 0 z a² + b² = 0 (car z 0) z = z a² + b² Définition : Soient z et z deux nombres complexes avec z non nul. Alors le quotient de z par z est le nombre complexe z z = z 1 z 4. Propriétés des conjugués Propriétés : Pour tout z, z de : Le conjugué de z est z : z = z z est un réel z = z z est un imaginaire pur z = z Le conjugué d une somme est la somme des conjugués : z + z = z + z Le conjugué d un produit est le produit des conjugués : z z = z z Le conjugué d un quotient est le quotient des conjugués : si z0, 1 = 1 z z et z z = z z n, z n = ( z ) n Démonstration : On pose : z = a + ib et z = a + ib avec a, b, a, et b réels z = a ( b)i = a + ib = z z = z a + ib = a ib ib = 0 b = 0 z réel Idem z + z = a + a + i ( b + b ) donc z + z = a + a i ( b + b ) Et z + z = a ib + a ib = a + a i ( b + b ) Idem Idem On procède par récurrence en prenant d abord n puis n en posant n = p. Point-méthode 31 : Donner la forme algébrique de complexes Mettre sous forme algébrique les nombres complexes suivants : a. z 1 = ( 5 + 7i ) ( + 3i ) b. z = ( 3 i ) ² c. z 3 = 5 + i 3 + i pour des produits, il suffit de développer en utilisant le fait que i² = 1 z 1 = ( 5 + 7i ) ( + 3i ) = 10 15i 14i + 1i² = 11 9i z = ( 3 i ) ² = 9 1i + 4i² = 5 1i Pour des inverses ou des quotients, il faut multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur et utiliser le fait que z z = a + b² z 3 = 5 + i 3 + i = ( 5 + i ) ( 3 i ) i + 3i i² i = = = 1 + i ( 3 + i ) ( 3 i )

4 Point-méthode 3 : Utiliser l égalité de deux nombres complexes 1. Déterminer les réels x et y pour que l on ait : ( i + 1 ) x +( 1 + i ) y = 1 + i. A quelle condition le nombre complexe z = x i ( ix + x ) + 3i 3ix est-il un réel? un imaginaire pur? 3. Le plan est muni d un repère orthonormé. Déterminer l ensemble des points M de x iy coordonnées ( x;y ) tels que le nombre complexe Z = soit un réel. x + i ( y 1 ) 1. Deux complexes sont égaux si et seulement si leur partie réelle et leur partie imaginaire sont égales. On écrit donc les deux complexes sous forme algébrique. ( i + 1 ) x + ( 1 + i ) y = 1 + i x y + i ( x + y ) = 1 + i x y = 1 x + y = Soit x = 1 et y = 0. On écrit z sous la forme algébrique. z = x i ( ix + x ) + 3i 3ix = x + 1 xi² + ix + 3i 3ix = x i ( x + 3 ) Un complexe est réel si et seulement sa partie imaginaire est nulle z réel équivaut à Im ( z ) = 0, ce qui équivaut à x + 3 = 0 x = 3 Un complexe est un imaginaire pur si et seulement si sa partie réelle est nulle. z imaginaire pur Re ( z ) = 0 x + 1 = 0 x = 1 3. On doit écrire Z sous forme algébrique grâce au conjugué du dénominateur : x iy Z = x + i ( y 1 ) = ( x iy ) ( x i ( y 1 ) ) ( x + i ( y 1 ) ) ( x i ( y 1 ) ) x² + y² + x y = x² + ( y 1 ) ² + i x y + 1 x² +( y 1 )² = x² ixy + ix + x iy + i + ixy i²y² + i²y x² + ( y 1 ) ² Donc Z réel Im ( Z ) = 0 x y + 1 x² +( y 1 )² = 0 x y + 1 = 0 (x ; y) (0;1) L'ensemble cherché est donc la droite d équation x y + 1 = 0 privée du point de coordonnées (0 ;1) III. Résolution dans des équations du second degré à coefficients réels. 1. Préliminaire Dans, tout nombre réel est un carré : 4 est le carré de ou de 4 est le carré de ( i ) ou de ( i ) Résoudre dans, z² + 3z + 4 = 0 z² + 3z + 4 = 0 z + 3 ² = 0 z + 3 z + 3 ² 7 = 0 4 ² 7 i ² = 0 z + 3 i 7 z i 7 = 0 On a donc deux solutions dans : s= 3 + i 7 ; 3 i 7

5 . Généralisation Théorème : On appelle P le polynôme P ( z ) = az² + bz + c où a, b et c sont trois réels donnés et son discriminant avec = b² 4ac. = 0 > 0 < 0 Solutions dans de l équation Pz Une solution unique réelle z 0 = b a Deux solutions réelles distinctes z 1 = b a et z = b a Deux solutions complexes conjuguées z 1 = b i a et z = b i a Factorisation de Pz Pza (z - z 0 )² Pza (z z 1 ) (z z ) Pza (z z 1 ) (z z ) Démonstration : Si 0 : même démonstration que dans Si Δ < 0 : az² + bz + c = a [(z + b ) ² a (i ) ] = a (z + b i ) (z + b+i ) a a a Point-Méthode 33 : Résoudre une équation du nd degré à coefficients réels Résoudre dans les équations suivantes : 1. a. 10z² + z 1 = 0 b. z 4 + 6z² 7 = 0. a. Développer ( 1 3 ) ² b. Résoudre dans l équation suivante : z² + ( 1 3 ) z + 3 = 0 1. a. On commence par procéder comme dans 10z² + z 1 = 0 = 36 = ( 6i ) ² Lorsque <0, il est préférable de l écrire sous la forme d un carré d un imaginaire pur que l on retrouvera dans les solutions. L équation a donc deux solutions complexes conjuguées : z 1 = 6i 0 = i 3 10 et z = z = i 3 10 donc s = i ; i b. On reconnait une équation bicarrée, on effectue donc le même changement de variable que dans Posons Z = z². Ainsi z 4 + 6z² 7 = 0 Z² + 6Z 7 = 0 = 64 donc deux solutions réelles distinctes : Z = 1 ou Z = 7 Ainsi z 4 + 6z² 7 = 0 z² = 1 ou z² = 7 On a donc : s={ 1 ; 1 ; i 7 ; i 7}. a. ( 1 3 ) ² = = 4 3 b. z² + ( 1 3 ) z + 3 = 0 = ( 1 3 ) ² 4 ( 3 ) = = = ( 4 3 ) On reconnait le développement de a.

6 = ( i ( 1 3 ) ) ² L équation admet solutions complexes conjuguées : z 1 = i ( 1 3 ) et z = i ( 1 3 ) IV. Représentation géométrique d un nombre complexe Dans les paragraphes suivants, le plan est muni d un repère orthonormal direct (O; le plan complexe. 1. Affixe d un point Définition : A tout complexe z = a + ib avec a et b deux réels, on associe dans le plan complexe un point M et un seul de coordonnées ( a; b). Réciproquement, à tout point M de coordonnées ( a;b ) du plan complexe, on associe le nombre complexe unique z = a + ib. z est appelé l affixe du point M ou du vecteur OM, et M est appelé le point image de z et OM est appelé vecteur image de z. Lecture des écritures : z étant un nombre complexe, M ( z ) se lit le point M d affixe z et l affixe du point M se note souvent z M. w(z) se lit le vecteur w d affixe z et l affixe d un vecteur w est souvent notée z w u ; v ). Ce plan est Attention : On ne peut pas comparer deux complexes comme on compare deux réels Propriété : Soit z un nombre complexe. Le point M d affixe z et le point M d affixe z sont symétriques par rapport à l axe des réels. Démonstration : Soit M d affixe z = a + ib et P d affixe z. Alors, dans le plan muni d un repère orthonormé, M(x; y) et P ( x; y ). Soit I le milieu de [MP] alors I( x + x ; y y ), donc I ( x;0 )(Ox) Et MP= ( x x; y y ) = ( 0; y ) est colinéaire à v Propriété : Le point N ( z ) est l image de M par la symétrie centrale de centre O.. Affixe d un vecteur Propriété : Soient A et B du plan d affixe respectivement z A et z B. L affixe du vecteur z AB = z B z A AB est

7 Règles de calculs : Soient w et w = t si et seulement si z = z z = w + t z + w z = z + z t z k w = kz w = z 3. Affixe du milieu d un segment t deux vecteurs d affixes z et z, et k un nombre réel. Propriété : Soient A et B deux points d affixe respective z A et z B. Le milieu I du segment [AB] est le point d affixe : z I = z A + z B Point-méthode 34 : Déterminer l affixe d un point ou d un vecteur : Soient A, B et C des points du plan dont les affixes sont z A = 3 + i, z B = 1 i et z C = 4 + 3i AB 1. Déterminer l affixe du vecteur. Déterminer l affixe du point D tel que ABCD soit un parallélogramme 3. Déterminer l affixe du centre I du parallélogramme ABCD. 1. L affixe de AB est z B z A = 1 i + 3 i = 3i. Il faut traduire l égalité vectorielle par une égalité de deux complexes : ABCD parallélogramme équivaut à AB = DC, donc z = AB z DC On obtient : 3i = 4 + 3i z D, soit z D = 4 + 3i + 3i donc z D = + 6i 3. I centre du parallélogramme donc I est le milieu de la diagonal [AC]: z I = z A + z C = 1 + 4i = 1 + i V. Forme trigonométrique d un nombre complexe 1. Module et argument d un nombre complexe Définition : Soit z = a + ib l affixe d un point M (ou du vecteur Le module du nombre complexe z, noté z est la distance OM (ou la norme de donc : z = a²+b² w) w) dans le plan ; on a Propriété : Pour tout nombre complexe z, le carré de son module est égal au produit du complexe par son conjugué. z ²=zz Exemple : 1 + 3i = ( 1 )²+3² = 10 et ( 1 + 3i ) ( 1 3i ) = 10 Remarque : Si z est réel, on a : z = a avec a. Ainsi z = a² = a Le module d un nombre réel est égal à sa valeur absolue.

8 Propriété : distance entre deux points Si A et B ont pour affixes respectives z A et z B alors : AB = z A z B Démonstration : z B z A x B iy B x A iy A x B x A ) + iy B y A = ( x B x A ) ² +(y B y A )² = AB Exemple : A ( 5i ) et B ( 1 + 3i ) : AB = ( 1 + 3i ) ( 5i ) = 1 + 8i = ( 1 )²+8² = 65 Définition : Soit z un nombre complexe non nul d image M. Un argument de z est une mesure, en radians, de l angle orienté ( u, OM). On le note arg ( z ). 1 Remarques : - Un nombre complexe a une infinité d argument car si est l un d eux, alors tous les autres sont de la forme + kpi, avec k. On note note arg ( z ) = ou, par abus de langage ou de notation, arg ( z ) =. - 0 n a pas d arguments, car l angle ( Interprétation géométrique : u, OM) n est pas défini si M est en O. Exemple : Soient A(1), B ( ), C i, D ( i ) y C Arg ( 1 ) = 0 + kk arg ( ) = + kk B 0 A x Arg i = 4 + kk arg ( i ) = + kk D Propriété : - Le module d un nombre complexe est nul si et seulement si c est le complexe nul. z = 0 z = 0 - Le nombre complexe, son conjugué et son opposé ont le même module : z = z = z - arg(z )= arg(z) [π] arg ( z ) = arg ( z ) + [π] Démonstration : z nombre complexe, on considère le point M d affixe z : z = 0 OM = 0 M et O sont confondus z = 0. Pour tout nombre complexe z, d image M, d après des propriétés de symétrie, les points P d affixe et N d affixe -z vérifient : OM = ON = OP c est-à-dire : z = z = z

9 Point-méthode 35 : Déterminer et utiliser le module d un complexe 1. Déterminer le module des nombres complexes suivants : 3i, 3+4i et 4. Dans le plan complexe, les points C et D ont pour affixes respectives : 1+4i et i Déterminer la distance CD. 3. Soit A un point du cercle de centre O et de rayon 3. Soit z son affixe, que vaut zz? 4. Déterminer l ensemble des points M du plan d affixe z tels que : a. z 1 4i = 3 b. z 1 4i = z + i 1. Il faut identifier a et b dans chaque écriture algébrique 3i = i = 9+16 = 5 4 = 4. CD = z D z C = i 1 4i = 1 5i = 1+5 = 6 3. On traduit l appartenance au cercle grâce au module : A appartient au cercle de centre O et de rayon 3 donc OA=3 et ainsi, z =3 Or z ²=zz, donc zz =9 4. On traduit le module à partir d une différence entre z (affixe cherchée) et z N (affixe d un point connu ou qu on peut placer). Ici, on reconnait 1 + 4i = z C a. z 1 4i = 3 z z C = 3 MC = 3 L ensemble cherché est donc le cercle c(c ;3) de centre C et de rayon 3. b. On reconnait encore 1 + 4i = z C et aussi z D = i : z 1 4i = z + i z z C = z z D MC=MD L ensemble est donc la médiatrice du segment [CD]. Forme trigonométrique d un nombre complexe non nul Théorème - Définition : Tout point M du plan complexe distinct de l origine O, tel que z M = r et arg ( z M )= Il peut être repéré de deux manières : - Par son affixe : z M = a + ib - Par son couple module/argument (appelé coordonnées polaires) : ( r; ) On a alors : a = r cos ( ) b = r sin ( ) L écriture : z = r ( cos ( ) + i sin ( ) ) est appelée forme trigonométrique de z Remarque : peut être remplacé par n importe quel nombre de la forme + k (k), donc tout nombre complexe non nul admet une infinité de formes trigonométriques. Exemples : i = cos ( ) + i sin ( ) = ( cos ( 0 ) + i sin ( 0 ) ) + i = cos ( 4 ) + i sin ( 4 )

10 Formules de passage : De la forme algébrique à une forme trigonométrique Si z a b i avec a, b et (a, b) (0,0) Alors z = r (cos + i sin ) avec r = z = tel que cos = a z a² b² et et sin = b z D une forme trigonométrique à la forme algébrique Si z = r (cos + i sin ) avec r et alors z a b i a r cos avec b r sin y x= z cos 0 x z y = z sin M (z) Point-méthode 36 : Passer d une forme à l autre 1. Ecrire sous forme trigonométrique le nombre complexe z 1 = 5 + i 5. Ecrire sous forme algébrique le nombre complexe z de module 4 et d argument 6 1. On calcule d abord le module de z, puis cos(z) et sin(z). z 1 = 5 + i 5 donc z 1 = 5+5 = 10 On note = arg ( z 1 ), donc cos ( ) = a z 1 = 5 b et sin ( ) = 10 z 1 = 5 10 On simplifie les valeurs de cos ( ) et sin ( ) afin de retrouver des valeurs connues, pour retrouver ensuite grâce au cercle trigonométrique. cos ( ) = 5 10 = 5 5 = 1 = et sin ( ) = Ainsi, = 3 4 [] 5 10 = Une forme trigonométrique de z 1 est donc : z 1 = 10 cos ( 3 4 ) + i sin ( 3 4 ). Connaissant le module et un argument de z, on peut écrire une forme trigonométrique, puis remplacer par les valeurs de cos ( ) et sin ( ). z = 4 cos ( 6 ) + i sin ( 6 ) = i La forme algébrique de z est donc : z = 3 i 3. Propriétés calculatoires de la forme trigonométrique Egalité de deux complexes : Deux nombres complexes sont égaux si et seulement s ils ont le même module et le même argument modulo Somme de deux complexes (Inégalité triangulaire) : Pour tous nombres complexes z et z : z + z z + z Produit de deux complexes : Pour tous nombres complexes z et z z.z = z. z et arg ( zz ) = arg ( z ) + arg ( z ) []

11 Démonstration : soient z et z complexes de formes trigonométriques : z = r ( cos ( ) + i sin ( ) ) et z = r ( cos ( ) + i sin ( ) ) zz =r ( cos ( ) + i sin ( ) ) r ( cos ( ) + i sin ( ) ) = rr ( cos ( ) cos ( ) + i cos ( ) sin ( ) + i sin ( ) cos ( ) sin ( ) sin ( ) ) = rr ( cos ( ) cos ( ) sin ( ) sin ( ) + i ( cos ( ) sin ( ) + sin ( ) cos ( ) ) ) = rr ( cos ( + ) + i sin ( + ) ) Inverse et quotient de deux complexes : pour tous nombres complexes z et z 1 z' = 1 et arg 1 = arg ( z ) [] z' z z z' = z et arg z = arg ( z ) arg ( z ) [] z z Démonstration : soient z et z complexes de formes trigonométriques : (avec z non nul) z = r ( cos ( ) + i sin ( ) ) et z = r ( cos ( ) + i sin ( ) ) z z = r(cos ( ) + i sin ( )) r ( cos ( ) + i sin ( ) ) = r ( cos ( ) + i sin ( ) ) ( cos ( ) i sin ( ) ) r ( cos ( ) + i sin ( ) ) ( cos ( ) i sin ( ) ) = r r cos ( ) cos ( ) + sin ( ) sin ( ) + i ( sin ( ) cos ( ) cos ( ) sin ( ) ) cos² ( ) + sin² ( ) = r ( cos ( ) + i sin ( ) ) r Puissance d un complexe : Pour tout entier relatif n, z n = z n et arg ( z n ) = narg ( z ) Démonstration : par récurrence en utilisant la formule d un produit Exemples : i i = i i = ² ² ² ² = = i = ( ² ² ) 3 = 5 Point-méthode 37 : Utiliser les propriétés sur les modules et les arguments 1. On considère z = 1 + i 3. Déterminer la forme algébrique de z01. a. Déterminer la forme algébrique, puis la forme trigonométrique de Z = b. En déduire les valeurs exactes de cos ( 1 ) et sin ( 1 ) 3 i 1 i 1. Pour déterminer la forme algébrique de z n, on peut commencer par déterminer une forme trigonométrique de z n. z = 1 + i 3 donc z =1 et arg ( z ) = 3 Or z 01 = z 01 donc z 01 =1 et arg ( z 01 ) = 01 arg ( z ) Donc arg ( z 01 ) = 01 3 = = = 3 [] Ainsi, une forme trigonométrique de z 01 est : z 01 = cos ( 3 ) + i sin ( 3 )

12 On en déduit alors sa forme algébrique : z 01 = 1 + i 3. a. Z = 3 i 1 i = ( 3 i ) ( 1 + i ) = i 3 1 est la forme algébrique de Z Z est un quotient, on va s intéresser au module et à l argument du numérateur et du dénominateur, puis utiliser les formules pour le quotient. 3 i = et cos ( ) = a z = 3 1 i = et cos ( ) = 1 = Ainsi, d après les formules : Z = = sin ( ) = b z = 1 et arg ( Z ) = = 1 sin ( ) = 1 = donc arg ( 3 i ) = 6 donc arg ( 1 i ) = 4 Ainsi, une forme trigonométrique de Z est : Z = cos ( 1 ) + i sin ( 1 ) b. D après les formules de passages, on sait que : a = r cos ( ) et b = r sin ( ) On connait a et b grâce à la forme algébrique, et on connait r grâce à la forme trigonométrique. On sait que Re ( Z ) = Z cos ( ) et donc cos ( 1 ) = Et alors, cos ( 1 ) = Im ( Z ) = Z sin ( ) et donc sin ( ) = 3 1 ainsi, cos ( 1 ) = et ainsi, sin ( ) = 6 4 VI. Notation exponentielle Il semblerait que les arguments suivent les mêmes règles de calculs que les exposants. En fait, la fonction f définie par : f ( t ) = cos t + i sin t vérifie l équation : f ( t + t ) = f ( t ) f ( t ) qui est la relation fonctionnelle de l exponentielle. De plus, les fonctions cos et sin étant dérivables sur, on admet que la fonction à valeurs complexes f est elle aussi dérivable sur et que, pour tout t, f ( t ) = sin t + i cos t = i ( cos t + i sin t ) = if ( t ) Ainsi, f = if et f ( 0 ) = 1 donc, par analogie avec la fonction exponentielle, on note :, cos ( ) + i sin ( ) = e i, nombre complexe de module 1 et d argument. Définition : Tout nombre complexe z non nul, de module r strictement positif et d argument possède une écriture z = r e i, appelée forme exponentielle de z. Exemple : 6 + i = ( 3 + i 1 ) = (cos (π 6 + isin (π 6 )) = eiπ 6 écriture algébrique écriture trigonométrique écriture exponentielle

13 Remarque : attention, si une exponentielle réelle est nécessairement positive, ce n est pas le cas d une exponentielle complexe : e i = 1, on retrouve la formule d Euler (notre maître à tous) Propriétés : autre écriture des propriétés sur modules et arguments Pour tout réels et, pour tous réels strictement positifs r et r, et tout entier relatif n : z = z r e i = r e i' r = r et = + k (k) zz = r e i r e i' = rr e i ( + ) z n = ( r e it ) n = r n e in (Formule de Moivre pour r = 1) 1 z = 1 r e = 1 i r e i Applications : z z = r e i r e = r e i ( ) i r 1. La formule e iθ. e iθ = e i(θ+θ ) permet de retrouver facilement les formules d addition du cosinus et du sinus.. Pour tout réel, on a : cosθ + isinθ = e iθ et cosθ isinθ = e iθ D où : cos = e i + e i et sin = e i e i Point-méthode 38 : Utiliser la notation exponentielle i 1. Soit z = 3 e 3. Montrer que z 57 est un réel. Préciser son signe. Linéariser ( cos ( ) ) 3, c est-à-dire l écrire sans puissance. (formules d Euler) 1. Pour démontrer qu un nombre est réel, on peut montrer qu il a un argument égal à 0 ou. Arg ( z 57 ) = 57arg ( z ) donc arg ( z 57 ) = 57 3 soit, arg ( z 57 ) = 19 = + 9 Ainsi, un argument de z 57 est, donc z 57 est un nombre réel. Pour déterminer le signe d un complexe réel, on peut l écrire sous forme exponentielle. De plus, z 57 = z 57 = 3 57 On en déduit que z 57 = 3 57 e i, Or e i = 1 donc z 57 = 3 57 C est donc un réel négatif.. Pour linéariser des formules trigonométriques, on utiliser les formules d Euler ainsi que les coefficients du triangle de Pascal. cos = e i + e i donc cos 3 = e i + e i 3 = 1 8 ( e 3i + 3 e i e i + 3 e i e i + e 3i ). D où cos 3 = 1 8 ( e 3i + e 3i + 3 e i + e i ) = 1 8 ( cos ( 3 ) + 6 cos ) = 1 4 cos ( 3 ) cos Point-méthode 39 : Faire des démonstrations géométriques 1. Soient A, B et C trois points du plan complexe d affixes respectives : z A = e i 4, z B = 4 + i et z C = 5 i Calculer z B z A et z C z A. En déduire que les points A, B et C sont alignés.. Soient E, F et G trois points du plan complexe d affixes respectives : z E = i, z F = 3 + i et z G = 3 + i

14 a. Déterminer la forme algébrique du quotient z F z G, puis une forme trigonométrique. b. Donner une interprétation géométrique. En déduire la nature du triangle EFG. 1. Pour faire des opérations sur les affixes, il faut les écrire sous la même forme. Nous allons donc écrire z A sous forme algébrique. i z A = e 4 = cos ( 4 ) + i sin ( 4 ) = donc z B z A = 4 + i 1 i = 3 + i et z C z A = 5 i 1 i = 6 i = ( 3 + i ) donc z C z A = ( z B z A ) + i = 1 + i Une différence de affixes de points est l affixe d un vecteur Ainsi, AC = AB : A, B et C sont donc alignés.. a. Pour trouver la forme trigonométrique d un nombre coplexe, on doit en trouver son module et son argument. On va d abord écrire ce quotient sous forme algébrique. z F = 3 + i + i = 3 + 3i = ( 3 + 3i ) ( 3 3i ) = i 3 = 1 z G 3 + i + i 3 + 3i i 3 On en déduit que z F - z E z G - z E = = 1 Si l on note un argument de z F z G, on a cos = 1 et sin = 3 donc = 3 D où : z F z G = cos ( 3 ) + i sin ( 3 ) b. z F - z E z G - z E = EF EG et z F - z E z G - z E = 1 donc EF=EG Arg( z F z G ) = arg ( z F ) arg ( z G ) = ( u ; EF ) ( u ; EG ) = ( EG ; u ) + ( u ; EF ) = et donc Arg( z z F E ) =( EG ; EF ) = z G 3 Le triangle EFG tel que EF=EG et ( EG ; EF ) = est donc un triangle équilatéral. 3

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