CALCULS ALGEBRIQUES A MODES DE RAISONNEMENT

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1 CALCULS ALGEBRIQUES A MODES DE RAISONNEMENT O présete ds ce chpitre, les modes de risoemet usuels Ds l suite le terme de propositio, ou ssertio, désige u éocé mthémtique qui peut predre 2 vleurs : Vri ou Fux I) Risoemet pr l'bsurde O veut motrer qu'ue propositio P est vrie Le risoemet pr l'bsurde cosiste à supposer que l propositio P est fusse et trouver ue cotrdictio vec des résultts obteus Exemple : O veut motrer qu'il 'y ps d'etier turel plus grd que les utres Supposos pr l'bsurde qu'il existe u etier turel N plus grd que les utres L somme de deux etiers turels étt u etier turel, N + 1 est u etier turel Mis comme 1>0, o N+1 > N Aisi, N 'est ps plus grd que tous les etiers turels : Cotrdictio Aussi, il 'y ps d'etier turel plus grd que tous les utres II) Risoemet pr cotrpositio O deux propositios P et Q O veut motrer l'implictio P Q, c'est-àdire " si P est vrie lors Q est vrie" Le risoemet pr cotrpositio cosiste à costter que P Q est équivlete à l propositio "si Q est fusse, lors P est fusse" Attetio à e ps cofodre cotrpositio et bsurde Exemple : Soit u etier turel O veut motrer " 2 pir pir" L cotrpositio ffirme : " impir 2 est impir" Preos doc u etier impir Il s'écrit sous l forme = 2 k + 1 vec k u etier turel Mis lors 2 = 4 k k + 1 = 4 k (k + 1) +1 est impir III) Risoemet pr lyse-sythèse O cosidère u problème O veut détermier les solutios de ce probleme Le pricipe de cette démostrtio s'effectue e deux phses : phse d'lyse O suppose le problême résolu, et o trouve des coditios écessires sur les solutios phse de sythèse O repred les coditios écessires obteues ds l'lyse, et o vérifie qu'elles sot suffistes pour résoudre le problême Exemple : Motrer que toute foctio de vers s'écrit comme somme d'ue foctio pire et d'ue foctio impire Soit f cette foctio Alyse : Si f = f 1 + f 2 vec f 1 pire et f 2 impire Alors : xi, f( x) = f 1 (x) f 2 (x) cr f 1 pire et f 2 impire Aisi : xi, f 1 (x) = 1 (f(x) + f( x)) et f 2(x) = 1 (f(x) f( x)) 2 2 Sythèse : Soit f 1 et f 2 les foctios défiies sur I pr : xi, f 1 (x) = 1 2 (f(x) + f( x)) et f 2(x) = 1 2 (f(x) f( x)) O vérifie isémet que : f = f 1 + f 2, que f 1 est pire et que f 2 est impire

2 IV) Risoemet pr récurrece O suppose coues les opértios élémetires sur De l'xiomtique de PEANO, il ressort les xiomes et propriétés (dmises) suivtes : u plus petit élémet : 0 mis ps de plus grd élémet Toute prtie o vide de u plus petit élémet Toute prtie o vide et mjorée de u plus grd élémet Théorème : Pricipe de récurrece Soit P() ue propositio portt sur u etier Soit 0 Si P vérifie : P( 0 ) est vrie (iitilistio) 0, P() vrie P(+1) vrie (hérédité) Alors 0, P() vrie Dem: Soit A = { 0, P() fusse } Supposos pr l'bsurde que A soit o vide A est lors ue prtie o vide de Doc d'près ue des propriétés fodmetles de, A dmet u plus petit élémet que l'o ote O : A Comme A, 0 Or P( 0 ) est vrie (iitilistio) doc 0 Aisi > 0 Mis lors 1 est u etier supérieur ou égl à 0 et -1 e peut ps pprteir à A cr le plus petit élémet de A est Aussi P( 1) est vrie Mis lors o 1 0 et P( 1) est vrie ( ) doc d'près le propriété d'hérédité, P() doit églemet être vrie E prticulier A O obtiet à l fois ue propriété ( A) et so cotrire : Impossible Doc l'hypothèse iitile est fusse : A est vide, ie, 0, P() vrie Théorème : Récurrece forte (ou vec prédécesseurs) Soit P() ue propositio portt sur u etier Soit 0 Si P vérifie : P( 0 ) est vrie 0, (k{ 0,,}, P(k) vrie) P(+1) vrie Alors 0, P() vrie Dem: Même que précédemmet si ce 'est que l'o chge l lige pr : o -1 0 et k { 0,,-1} P(k) est vrie Exercice: Motrer le pricipe de récurrece double : Si P(1) et P(2) vries et si 1, (P() et P(+1) vries) P(+2) vrie, lors 1, P() vrie

3 B SOMMES ET PRODUITS I) Somme et produit O cosidère u esemble fii o vide I et ( ) ii ue fmille de ombres réels ou complexes O ote : ii ii l somme de tous les termes de cette fmille fiie le produit de tous les termes de cette fmille fiie Ds le cs prticulier où I = et o doc i = 1 = 1 2 i = 1 1,, o ote l somme sous l forme i = 1 = et le produit et o doc i = 1 Plus géérlemet, lorsque I = m, vec m et deux etiers tels que m, o = m + m et Pr covetio, o pose que si I est vide, = m m+1 ii = 0 et ii = 1 Remrque : Ds toutes les sommes ci-dessus, l vrible utilisée, ici i, est dite "muette" cr elle peut être remplcée pr toute utre vrible utre que celles itervet pour détermier les bores Propositio : Règles de clculs pour les sommes ) Soit I u esemble fii Soit ( ) ii et (b i ) ii deux fmilles de ombres réels ou complexes et u ombre réel ou complexe Alors i + b i = + b i et i = ii ii ii ii ii b) Soit I et J deux esembles fiis et disjoits Soit ( ) ii et ( ) ij Alors ii + ij = i I J

4 Propositio : Règles de clculs pour les produits ) Soit I u esemble fii Soit ( ) ii et (b i ) ii deux fmilles de ombres réels ou complexes et u ombre réel ou complexe Alors i b i = b i et i = p où p est le ombre ii ii ii ii ii d'élémets de I b) Soit I et J deux esembles fiis et disjoits Soit ( ) ii et ( ) ij Alors ii ij = i I J Remrque : Sommes et produits télescopiques Les propositios précédetes, permettet de simplifer certies sommes clssiques (et certis produits) dites télescopiques O isi : II) Sommes usuelles i+1 = +1 m et +1 = +1 Propositio : Somme des premiers termes d'ue suite rithmétique ) Soit (u ) N ue suite rithmétique Alors, si p et m sot deux etiers tels que m p m, u i = u p + u m 2 i = p b) E prticulier : k = m m (m p + 1) ( + 1) 2 m (moyee des deux extrèmes ombre de termes) Dem: O costte que u i = u p+mi Mis pour tout i, u p+mi + u i = u p + u m cr l suite est i = p i = p rithmètique O e déduit le résultt océ Propositio : Somme des premiers crrés, des premiers cubes k 2 = ( + 1) (2 + 1) 6 et k 3 = 2 ( + 1) 2 Dem: O peut procéder pr récurrece, ou e utilist les sommes télescopiques ssociées ux fmilles de termes (k + 1) 3 k 3 et (k + 1) 4 k 4 4

5 Propositio : Somme des premiers termes d'ue suite géométrique ) Soit (u ) N ue suite géométrique de riso q 1 Alors, si p et m sot deux etiers tels que p m, u i = u m 1 q m + 1 m i = p b) E prticulier : si q 1, 1 q q q q Dem: Si S est l somme recherchée, o simplifie l différece q S S, qui peut s'exprimer comme ue somme télescopique Idetité remrquble Propriété : Soit (,b)c 2 et Alors : +1 b +1 = ( b) Dem: O développe le produit ( b) O : ( b) k b k = k b k De même o : +1 b +1 = k b k = k b k b k k b k ( b) b k = k+1 k b k ( b) b k k b +1 k = +1 b +1 III) Sommes doubles O cosidère deux esembles fiis I et J et (,j ) (i,j)ij ue fmille de ombres réels ou complexes O ote :,j l somme de tous les termes de cette fmille (i,j)ij E prticulier, si I = m, et J = tels que m et p q, l somme double est otée : (i,j)ij p, q vec m,, p et q qutre etiers,j = m i p j q Propositio : Iterversio du sige pour ue somme idexée sur u rectgle Soit I = m, et J = complexes Alors m i p j q i,j p, q et (,j ) (i,j)ij ue fmille de ombres réels ou i,j = q j = p q i,j = j = p i,j Dem: O écrit les termes ds u tbleu et o effectue les sommes sur les liges et sur les coloes Puis o écrit que l somme totle est soit l somme de toutes les sommes prtielles sur les liges soit l somme de toutes les sommes prtielles sur les coloes

6 Propositio : Produit de deux sommes fiies Soit I = m, et J = réels ou complexes Alors p, q et ( ) ii et (b j ) jj deux fmilles de ombres i q j = p Dem: O pplique le résultt précédet à l fmille ( b j ) (i,j)ij b j = i b j m i p j q Somme trigulire O cosidère u esemble fii I de l forme I = {(i,j); m i j } vec m et deux etiers, et soit (,j ) (i,j)i ue fmille de ombres réels ou complexes O ote,j l somme de tous les termes de cette fmille (i,j)i Propositio : Iterversio du sige pour ue somme idexée sur u trigle Soit I = {(i,j); m i j } et (,j ) (i,j)i ue fmille de ombres réels ou complexes Alors (i,j)i,j = j = i i,j = j = m j Dem: O écrit les termes ds u tbleu et o effectue les sommes sur les liges et sur les coloes Puis o écrit que l somme totle est soit l somme de toutes les sommes prtielles sur les liges soit l somme de toutes les sommes prtielles sur les coloes i,j

7 C COEFFICIENTS BINOMIAUX I) Fctorielle et coefficiets biomiux Défiitio: Soit N O ppelle "fctorielle ", otée!, le ombre :! = Pour = 0, o! = 1 et si 1,! = k k k 1, Remrque O peut défiir les fctorielles pr récurrece :, ( + 1)! = ( + 1)! vec 0! = ! Défiitio: Soit (,p)n 2 vec p O ppelle "coefficiet biomil d'ordre (p,)", et o ote p, le ombre : p =! (-p)! p! Remrque O peut coveir que, pour p<0 ou p >, p = 0 Remrque déombre le ombre de chemis rélist p succès sur u rbre p modélist les résultts obteus u cours de répétitios ou le ombre de prties à p élémets ds u esemble à élémets II) Propriétés des coefficiets biomiux Propriétés: (i) 0 = p = p (iii) Formule de Pscl = 1 (ii) Formule de symétrie p-1 2 et 1 p -1 p = -p Dem: (i), (ii) et (iii) sot simples à étblir pr le clcul O peut doer ue démostrtio esembliste du (ii) : e effet il y utt de prties à p élémets que de prties à -p élémets cr à ue prtie à p élémets correspod ue et ue seule prtie à - p élémets : so complémetire (iii) Soit u élémet de E Les prties à p élémets de E sot les prties à p élémets de E\{} (qui sot u ombre de ( -1 ) les prties à p-1 élémets de E\{} uxquelles o joute (et qui sot u ombre de ( -1 p-1 ) ) p ) et

8 Trigle de Pscl O utilise l reltio de Pscl (v) pour clculer les coefficiets biomiux de proche e proche p III) Formule du biôme Formule du biôme Propriété : Soit (,b)c 2 et * Alors : ( + b) = k k b k vec l covetio : 0 = 1 = b 0 Dem: O procède pr récurrece sur O costte d'bord que si b = b, lors ( p b q ) = p+1 b q Soit P : " ( + b) = ( k) k b k " P 1 est cliremet vrie Si P est vrie O : ( + b) +1 = ( + b) ( + b) = ( k) k b k ( + b) = ( k) k b k + ( k) k b k b = ( k) k+1 b k + ( k) k b +1 k 1 = +1 + = +1 + ( k) ( k - 1) Doc P +1 est vrie Aussi *, P vrie k+1 b k + k b +1 k + ( k) ( k) k b +1 k + b k b +1 k + b +1 = + 1 ( k ) k b +1 k

9 D) SYSTEMES LINEAIRES I) Défiitio Défiitio: U système d'équtios liéires est u système de l forme : 1,1 x 1 + 1,2 x ,p x p = b 1 (S) 2,1 x 1 + 2,2 x ,p x p = b 2 Les élémets k,i sot les coefficiets réels ou complexes,,1 x 1 +,2 x 2 + +,p x p = b les élémets b k (réels ou complexes) formet le secod membre, les x i sot les icoues (réelles ou complexes) Le système (S) est dit à équtios et à p icoues O ppelle système homogèe ssocié à (S) le système (S * ) yt les mêmes coefficiets mis où le secod membre est ul But : Trouver l'esemble des fmilles solutios (qui peut être vide) 1,1 x 1 + 1,2 x ,p x p = b 1 Nottio Le système (S) 2,1 x 1 + 2,2 x ,p x p = b 2 étt doé, o ppelle le,1 x 1 +,2 x 2 + +,p x p = b 1,1 1,2 1,p b 1 b tbleu A = 2 le secod membre O pourr 2,1 2,2 2,p mtrice du système (S), B =,1,2,p églemet oter le système (S) sous l forme 1,1 1,2 1,p 2,1 2,2 2,p,1,2,p b b 1 b 2 Iterpréttio géométriques: 1) Pour p = 2 Les équtios,1 x 1 +,2 x 2 = b i sot des équtios de droite du pl (lorsque,1 et,2 e sot ps tous uls) Aisi, le système (S) reviet à rechercher l'itersectio de droites 2) Pour p = 2 Les équtios,1 x 1 +,2 x 2 +,3 x 3 = b i sot des équtios de pl (lorsque,1,,2 et,3 e sot ps tous uls) Aisi, le système (S) reviet à rechercher l'itersectio de pls II) Structure de l'esemble des solutios O cosidère (S) u système liéire et (S * ) le système homogèe ssocié O ote S l'esemble des solutios de (S) et S 0 l'esemble des solutios de (S * ) 1) Solutios d'u système liéire homogèe Théorème: L'esemble S 0 des solutios du système liéire homogèe (S * ) est o vide et il est stble pr dditio et pr mulitplictio pr ue costte Dem: O vérifie isémet que (0, 0,, 0) est solutio de (S * ) isi que les stbilités éocées 2) Solutios d'u système liéire Théorème: L'esemble S des solutios du système liéire (S) peut être vide ou o S'il 'est ps vide et que x 0 est ue solutio prticulière de (S), lors l'esemble des solutios de (S) vérifie : xk p, x solutio de (S) x x 0 est solutio de (S * ) Dem: O utilise l "liérité" du système Remrque Lorsque (S) est u système de (2, 2) de détermit o ul, (S) pssède ue et ue seule solutio (cr correspod à l'itersectio de 2 droites o prllèles du pl b

10 III) Algorithme du pivot Défiitio: Les opértios (ou mipultios) élémetires sur les liges sot: 1) les trsvectios: dditio d'ue multiple d'ue lige à ue utre: L i L i + L j 2) les dilttios: multiplictio d'ue lige pr u sclire o ul: L i L i 3) les trspositios: échge de deux liges: L i L j Remrque Si (S) est u système liéire et qu'o lui fit subir u certi ombre d'opértios élémetires successives et que l'o obtiet le système (S'), lors (S) et (S') ot les mêmes solutios : o dit que les systèmes (S) et (S') sot équivlets Algorithme du pivot L méthode du pivot cosiste à trsformer pr opértios élémetires, u système liéire e u utre système liéire "plus simple" pr exemple 1,1 1,2 1, b 1 1,1 1,2 1,r 1,p b 1 trigulire 2,2 2, b 2 ou écheloé 2,2 2,r 1, b 2, b où tous les r,r r,r b r coefficiets j,j sot o uls Pour ce fire, o prt du système (S) Ds ce système, o met, à l'ide d'ue trspositio pr exemple, e première lige ue équtio yt u coefficiet o ul pour l'icoue x 1 (ce coefficiet ser ppelé le premier pivot) et, pr trspositios, o élimie cette icoue de toutes les utres équtios Esuite o réitère le processus sur les liges sous l lige L 1 etc Quitte, évetuellemet, à chger l'ordre des icoues, o rriver toujours à u système écheloé ou à u système icomptible Exemple: Soit à résoudre (S): x + y = 2 y + 2 z = b x + y + z = c L 3 L 3 L 1 x + y = 2 y + 2 z = b z = c L 2 L 2 2 L 3 L 1 L 1 1 L 2 2 L 2 1 L 2 2 x + y = 2 y = 2 + b 2 c z = c x = c 1 2 b y = b c z = c