FONCTIONS USUELLES. 1 t dt. ln(x) =

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1 00 - Gérard Lavau - Vous avez toute liberté pour télécharger, imprimer, photocopier ce cours et le diffuser gratuitement. Toute diffusion à titre onéreu ou utilisation commerciale est interdite sans accord de l'auteur. FONCTIONS USUELLES PLAN I : Fonctions eponentielles ) Eponentielles et logarithmes ) Fonctions trigonométriques hyperboliques ) Réciproques des fonctions hyperboliques II : Fonctions circulaires ) Fonctions trigonométriques ) Réciproque des fonctions trigonométriques Annee : trigonométrie I : Fonctions eponentielles Eponentielles et logarithmes ln() est la primitive de définie sur ]0, + [ et s'annulant en =. Autrement dit : ln() = Sa dérivée étant strictement positive, ln est donc strictement croissante. La dérivée de ln(a) valant a a =, ln(a) est égal à ln() + Cte. La valeur de Cte est obtenue en prenant =, ce qui donne la relation célèbre : ln(a) = ln() + ln(a) Cette relation, transformant produit en somme, a permis, depuis le XVIIème et jusqu'à l'introduction des calculatrices à bas pri vers 980 à accélérer notablement les possibilités de calcul des mathématiciens. Ainsi Laplace s'émerveille-t-il "des logarithmes, admirable instrument, qui, en réduisant à quelques heures le travail de plusieurs mois, double si l'on peut dire la vie des astronomes, et leur épargne les erreurs et les dégoûts inséparables des longs calculs". En prenant a =, on obtient : t dt ln( ) = ln() Etant strictement croissante, ou bien ln() = + ou bien + ln() = l ite finie. + Comme, pour n entier, ln( n ) = nln() (récurrence facile) et que cette quantité tend vers + quand n tend vers +, la seule conclusion possible est : ln() = + + En donc, en considérant : - -

2 ln() = 0 ln réalise donc une bijection de ]0, + [ sur ], + [. Sa réciproque est l'eponentielle : t = ln() = e t Le nombre e est tel que = ln(e) soit dt =. e vaut environ, t Les ites relatives à ln se traduisent pour l'eponentielle de la façon suivante : + e = + e e = 0 La règle de dérivation d'une fonction réciproque (cf le chapitre Dérivation dans le fichier DERIVEE.PDF) conduit à : (e )' = e On a également e +y = e e y puisqu'en prenant les logarithmes des deu membres, on obtient : ln(e +y ) = + y alors que : ln(e e y ) = ln(e ) + ln(e y ) = + y Pour tout a strictement positif et b, on posera a b = e ln(a)b. Cette définition est compatible avec le calcul des puissances de a, puisque, pour n entier, on a : e ln(a)n = e ln(a) + ln(a) ln(a) avec n eposant ln(a) = e ln(a) e ln(a)... e ln(a) = a a... a = a n On a alors ln(a b ) = b ln(a), et également (e ) y = e y obtenu en prenant a = e et b = y dans la formule donnant a b. On a enfin, pour a > 0 et différent de : = a t = e ln(a)t ln() = ln(a)t t = ln() ln(a) a t est l'eponentielle de t en base a et ln() est le logarithme de en base a. Le logarithme le plus ln(a) utilisé en dehors du logarithme en base e (dit népérien) est le logarithme décimal, pour lequel a = 0, et que l'on note souvent log 0, voire même log. Si u est une fonction strictement positive, et v une fonction quelconque, on a : u() v() v() ln(u()) = e La deuième forme peut servir à dériver la fonction ou à en calculer les ites. Un certain nombre de ites usuelles doivent être connues : ln() (i) = 0 et plus généralement + + (ii) ln() = 0 et plus généralement 0 0 a ln() = 0 e = + et plus généralement + (iii) + (iii) e = 0 et plus généralement - - ln() a = 0 pour tout a > 0 e a = + pour tout a > 0 a e = 0 = 0 pour tout a > 0

3 Montrons (i). Soit f() = ln() ln(). f admet pour dérivée f '() = qui est négative pour > e, donc f est décroissante strictement positive sur [e, + [. Elle admet donc une ite l positive ou nulle en +. Cette ite est aussi celle de ln(y) avec y =, soit : y ln( ) + = l + ln() = l + ln() = l l 0 = l l = 0 Toutes les autres ites s'en déduisent. En remplaçant par a, on obtient : ln( 0 = a ) aln() ln() + a = + a + a = 0 (ii) En changeant dans (i) en / avec tendant vers 0, on obtient : ln(/) 0 = = ln() 0 / 0 0 ln() = 0 En remplaçant par a, on obtient 0 a ln() = 0 (iii) En changeant dans (i) par e, on obtient puissance a, on obtient + remplaçant a par, on obtient bien (iv) Remplacer par dans (iii). e a a = + + Fonctions trigonométriques hyperboliques a) sh() et ch() : On pose : + + e a = e = 0 ou sh() = e e ch() = e + e (sinus hyperbolique) (cosinus hyperbolique) On vérifie facilement que : e = sh() + ch() sh est impair. ch est pair et strictement positif. (sh et ch sont respectivement la partie paire et impaire de l'eponentielle) sh' = ch donc sh est strictement croissante, et du signe de. ch' = sh donc ch est décroissant sur ],0] et croissant sur [0,+ [. sh() ch() e au voisinage de +. e = +. En élevant à la + e a a a a = + en divisant par a a et enfin, en

4 (La notation est définie dans le chapitre Limites et Continuité qu'on trouvera dans le fichier f() LIMITES.PDF. f g au voisinage de 0 signifie que 0 g() = ) sh() au voisinage de 0 (car sh'0 = ). ch() au voisinage de 0. ch() car on vérifiera que ch() = sh ( ) Il eiste des formules de trigonométries hyperboliques, en particulier : ch (t) sh (t) = On consultera sur ce point l'annee, donnant une comparaison des formules de trigonométries circulaire et hyperbolique. Le paramétrage = ch(t) y = sh(t) permet de décrire la branche d'abscisse positive de l'hyperbole y =. y ch sh o b) th() : th() = sh() ch() = e e e + e = e e (tangente hyperbolique) + On a : th est impaire. th'() = ch () = th () > 0 donc th est strictement croissante. th() = et th() = + th() au voisinage de 0 (car th'(0) = )

5 y th o Réciproques des fonctions hyperboliques a) argsh() : sh est continue strictement monotone de sur. Cette fonction admet donc une réciproque, notée argsh() (pour argument du sinus hyperbolique), qu'on peut calculer eplicitement : y = argsh() = shy = ey e y D'où : e y.e y. = 0 e y = ± + La seule racine positive est + +. On a donc : y = argsh() = ln( + +) On vérifiera que sa dérivée vaut +. b) argch() : ch est continue strictement monotone de [0,+ [ sur [,+ [. Cette fonction admet donc une réciproque, notée argch(). y = argch() = chy = ey + e y et y 0 D'où : e y.e y. + = 0 e y = ± Les deu racines sont positives, mais la seule racine supérieure ou égale à est +. On a donc : y = argch() = ln( + ) - 5 -

6 En fait, il peut être parfois utile d'étendre cette fonction à l'intervalle ], ] en considérant ln +, dont on vérifiera en eercice qu'elle est impaire. Sa dérivée vaut. c) argth() : th est continue strictement monotone de sur ],[. Elle admet donc une réciproque notée argth() : y = argth() = thy D'où : e y e y + = e y = + y = argth() = ln +. Il est parfois utile d'étendre cette fonction à {,} en considérant + ln Sa dérivée vaut II : Fonctions circulaires fonctions trigonométriques J'ose espérer que personne d'entre vous n'ignore ce que sont les fonctions sinus, cosinus et tangente! Savez-vous au moins les tracer sans la calculatrice? Non? Eh bien au travail. Prenez une feuille et tracez les trois fonctions. Eksassôte! Ah oui! un bon conseil également. Apprenez les formules trigonométriques situées en fin de ce chapitre. Réciproque des fonctions trigonométriques a) arcsin : sin : [, ] [,] est continue strictement monotone. Elle admet donc une réciproque notée arcsin. On a donc : θ = arcsin() θ [, ] et = sin(θ) (On fera un rapprochement dans la formulation avec l'équivalence : y = y 0 et = y ) - 6 -

7 Voici un tableau de valeurs : arcsin() sinθ θ arcsin est strictement croissante, impaire : arcsin( ) = arcsin() [,], sin(arcsin()) = θ [ /,/], arcsin(sin(θ)) = θ MAIS cette dernière relation est fausse si θ appartient à un autre intervalle. EXEMPLE : arcsin[sin(/4)] = arcsin( ) = 4 (On fera un rapprochement dans la formultation des relations précédentes avec : +, ( ) = y +, y = y MAIS pour y quelconque dans, y = y cos(arcsin()) = car cos est positif sur [, ], et dans ce cas, cos(θ) = sin (θ) La dérivée d'arcsin() est (voir le chapitre Dérivation dans le fichier DERIVEE.PDF) pour savoir comment dériver la réciproque d'une fonction. y arcsinus sinus o - 7 -

8 b) arccos : cos : [0, ] [, ] est continue strictement monotone. Elle admet donc une réciproque notée arccos. On a donc : θ = arccos() θ [0, ] et = cosθ Voici un tableau de valeurs : arccos() cosθ 0 θ arccos est strictement décroissante : arccos( ) = arccos() En effet, θ = arccos( ) = cos(θ) et θ [0, ] = cos(θ) = cos( θ) et θ [0, ] θ = arccos() [, ], cos(arccos()) = θ [0, ], arccos(cosθ) = θ MAIS cette dernière relation est fausse si θ appartient à un autre intervalle. EXEMPLE : arccos[cos( 4 )] = arccos( ) = 4 sin(arccos()) = car sin est positif sur [0,], et dans ce cas, sin(θ) = cos (θ) arcsin() + arccos() = En effet, θ = arcsin() θ [, ] et sin(θ) = = cos( θ) et θ [0,] θ = arccos() La dérivée de arccos() est - 8 -

9 y arccosinus o cosinus c) arctan : tan : ], [ est continue strictement monotone. Elle admet donc une réciproque notée arctan. On a donc : θ = arctan() θ ], [ et = tan(θ) Voici un tableau de valeurs : arctan() tanθ 4 θ arctan est strictement croissante, impaire : arctan( ) = arctan(), tan(arctan()) = θ ] /,/[, arctan(tan(θ)) = θ MAIS cette dernière relation est fausse si θ appartient à un autre intervalle. Eemple : arctan[tan(/4)] = arctan( ) = 4 cos(arctan()) =

10 car cos est positif sur [, ], et dans ce cas, cos(θ) = +tan (θ) sin(arctan()) = + arctan() + arctan( ) = sgn() où sgn() = si > 0 = si < 0 Les deu membres étant des fonctions impaires de, il suffit de le montrer pour > 0. Dans ce cas, on a : θ = arctan( ) = tan(θ) et θ ]0, [ = La dérivée d'arctan() est tan(θ) = tan( θ) et θ ]0, [ θ = arctan() +. y tan arctan o - 0 -

11 Annee : trigonométrie cos() = ei + e i sin() = ei e i i tan() = sin() cos() cos () + sin () = cos(a+b) = cos(a) cos(b) sin(a) sin(b) cos(a b) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b) cos() = cos () sin () cos () = + cos() sin(a+b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b) sin(a b) = sin(a) cos(b) cos(a) sin(b) sin() = sin() cos() sin () = cos() tan(a) + tan(b) tan(a + b) = tan(a) tan(b) tan(a) tan(b) tan(a b) = + tan(a) tan(b) tan() tan() = tan () cos(a) cos(b) = [cos(a + b) + cos(a b)] sin(a) sin(b) = [cos(a + b) cos(a b)] sin(a) cos(b) = [sin(a + b) + sin(a b)] cos(p) + cos(q) = cos p + q cos p q cos(p) cos(q) = sin p + q sin p q sin(p) + sin(q) = sin p + q pour t = tan( ) sin() = t + t cos() = t + t tan() = t t cos p q FORMULES ch() = e + e sh() = e e th() = sh() ch() ch () sh () = ch(a+b) = ch(a) ch(b) + sh(a) sh(b) ch(a b) = ch(a) ch(b) sh(a) sh(b) ch() = ch () + sh () ch () = + ch() sh(a+b) = sh(a) ch(b) + ch(a) sh(b) sh(a b) = sh(a) ch(b) ch(a) sh(b) sh() = sh() ch() sh () = ch() th(a) + th(b) th(a + b) = + th(a) th(b) th(a) th(b) th(a b) = th(a) th(b) th() th() = + th () ch(a) ch(b) = [ch(a + b) + ch(a b)] sh(a) sh(b) = [ch(a + b) ch(a b)] sh(a) ch(b) = [sh(a + b) + sh(a b)] ch(p) + ch(q) = ch p + q ch p q ch(p) ch(q) = sh p + q sh p q sh(p) + sh(q) = sh p + q pour t = th( ) sh() = t t ch() = + t t th() = t + t ch p q - -

12 cos'() = sin() sin'() = cos() tan'() = cos () = + tan () DERIVEES PARAMETRAGES ch'() = sh() sh'() = ch() th'() = ch () = tan () paramétrage de l'ellipse a + y b = = a cos(t) y = b sin(t) paramétrage de l'hyperbole a y b = = a ch(t) y = b sh(t) sin() ~ cos() ~ tan() ~ cos() EQUIVALENTS au voisinage de 0 sh() ~ ch() ~ th() ~ ch() DEVELOPPEMENTS LIMITES au voisinage de 0 n sin() = k=0 n cos() = k=0 k+ (k+)! + o(n+ ) k (k)! + o(n+ ) n sh() = k=0 n ch() = k=0 k+ (k+)! + o(n+ ) k (k)! + o(n+ ) - -