Table des matières Dénombrer et sommer Événements et Probabilités

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1 Tble des mtières 1 Dénombrer et sommer Rppels ensemblistes Opértions ensemblistes Bijections Ensembles finis et dénombrement Dénombrbilité Rppels sur les séries Générlités Séries à termes positifs Séries à termes de signe non constnt Opértions sur les séries Fmilles sommbles Séries doubles Événements et Probbilités Notion de mesure Modéliser l létoire Notion d expérience létoire Événements Une question de dés L probbilité comme mesure Exemples Remrques sur le choix d un modèle Probbilités conditionnelles Introduction Propriétés Quelques exemples Indépendnce Indépendnce de deux événements Indépendnce mutuelle Épreuves répétées

2 3 Vribles létoires Introduction Générlités Vribles létoires réelles Loi d une vrible létoire Fonction de réprtition Lois à densité Lois discrètes clssiques Lois de Bernoulli Loi uniforme sur un ensemble fini de réels Lois binomiles Lois hypergéométriques Lois géométriques Lois de Poisson Sur le crctère universel de l loi de Poisson Lois à densité clssiques Lois uniformes Lois exponentielles Lois gussiennes Lois de Cuchy Espérnce Introduction Espérnce d une vrible létoire positive Espérnce d une vrible létoire réelle Moments Vecteurs létoires et indépendnce Vecteurs létoires Générlités Covrince Indépendnce de vribles et vecteurs létoires Suites indépendntes Indépendnce des composntes Indépendnce et espérnce de produits Théorèmes limites Convergences de suites de v Convergence presque sûre et en probbilité Convergence en moyenne d ordre p Biln sur les convergences de v Loi des grnds nombres Loi fible des grnds nombres Loi forte des grnds nombres

3 6.2.3 L iguille de Buffon A Intégrle de Riemnn sur [, b] 213 A.1 Construction A.2 Riemnn intégrbilité A.3 Propriétés de l intégrle de Riemnn A.3.1 Propriétés de l ensemble R[, b] A.3.2 Propriétés reltives à l intervlle d intégrtion A.4 Interversion limite intégrle B Intégrle générlisée 241 B.1 Construction B.2 Critère de Cuchy pour intégrles générlisées B.3 Intégrles générlisées de fonctions positives B.4 Divers B.4.1 Chngements de vrible B.4.2 Intégrtion pr prties B.4.3 Comprison des intégrles ordinires et générlisées Tbles de l loi normle stndrd 269 Ch. Suquet, Cours I.P.É. 21 3

4 4 Ch. Suquet, Cours I.P.É. 21

5 Chpitre 1 Dénombrer et sommer Compter des objets et fire des dditions, voilà bien les deux ctivités les plus élémentires à l bse des mthémtiques. Et pourtnt à y regrder de plus près, ce n est ps si fcile. Déjà pour un ensemble fini, l méthode qui consiste à regrder ses éléments l un près l utre et à les compter (donc à les numéroter) n est pplicble que pour de «petits» ensembles. Le plus souvent on s en sort en fisnt une représenttion de l ensemble à dénombrer à l ide d un utre ensemble plus fmilier. Cette représenttion est ce que l on ppelle une bijection. Elle est d illeurs à l bse du processus de comptge qui consiste simplement à mettre en bijection un ensemble vec un ensemble de nombres entiers. Cette notion de bijection permet d étendre en un certin sens le dénombrement ux ensembles infinis. L extension de l notion de somme d une suite finie de nombres à une suite infinie conduit nturellement à l notion de série que nous réviserons dns ce chpitre. L théorie des probbilités utilise implicitement une notion plus générle, celle de fmille sommble. Il s git de définir l somme, si elle existe, d une fmille de nombres indexée pr un ensemble infini qui n est ps forcément N ou N. Nous présentons cette théorie dns l dernière prtie du chpitre. Dns tout ce qui suit, l nottion {1,..., n} pour n N désigne l ensemble de tous les entiers compris u sens lrge entre 1 et n. L écriture un peu busive «i = 1,..., n» signifie «i {1,..., n}». 1.1 Rppels ensemblistes Opértions ensemblistes Soit Ω un ensemble ; A est un sous-ensemble (ou une prtie) de Ω si tout élément de A est ussi un élément de Ω ( ω A, ω Ω). On note A Ω. On ppelle P(Ω) l ensemble des prties de Ω, ce que l on peut noter 1 P(Ω) = {A; A Ω}. 1. Dns toutes les écritures d ensembles entre ccoldes, nous utilisons le point virgule u sens de «tel que». 5

6 Chpitre 1. Dénombrer et sommer Ainsi les écritures A Ω et A P(Ω) sont deux fçons de dire l même chose 2. Si A et B sont deux prties du même ensemble Ω, on dit que A est incluse dns B (nottion A B) si tout élément de A est ussi élément de B ( ω A, ω B), utrement dit, si l pprtennce à A implique l pprtennce à B : A B signifie ω Ω, (ω A) (ω B). Soit I un ensemble quelconque d indices (fini ou infini) et (A i ) i I une fmille de prties de Ω. On définit son intersection A i et s réunion, A i pr : i I i I A i := {ω Ω; i I, ω A i } et A i = {ω Ω; i I, ω A i }. (1.1) i I i I Remrque 1.1. L réunion et l intersection d une fmille de prties de Ω sont définies de fçon globle, elles s obtiennent d un coup, sns pssge à l limite qund I est infini et sns qu un ordre éventuel sur l ensemble d indices I n it d importnce. Réunion et intersection sont très utiles pour l trduction utomtique des quntificteurs. Si I est un ensemble quelconque d indices, (π i ) une propriété dépendnt de l indice i et A i l ensemble des ω Ω vérifint (π i ), on : {ω Ω; i I, ω vérifie (π i )} = A i, i I {ω Ω; i = i(ω) I, ω vérifie (π i )} = A i. i I Ainsi le quntificteur peut se trduire pr une intersection et le quntificteur pr une réunion. L intersection et l union sont distributives l une pr rpport à l utre, c est à dire B ( ) A i i I = i I (A i B) B ( ) A i i I = i I (A i B). Le complémentire de A (dns Ω) est l ensemble A c := {ω Ω; ω / A}. L opértion pssge u complémentire (qui est une bijection de P(Ω) dns lui-même) vérifie (A c ) c = A, Ω c =, c = Ω et échnge réunions et intersections grâce ux très utiles formules : ( ) c A i = i I i I A c i ( ) c A i = A c i I i I i. On définit le produit crtésien de deux ensembles E et F, noté E F pr : E F := {(x, y); x E, y F }. Attention, dns cette écriture (x, y) ne désigne en ucune fçon un ensemble mis un couple d éléments (l ordre d écriture une importnce). Pour éviter toute confusion, 2. Noter cependnt l différence de sttut de A : dns l première écriture, A est considéré comme un ensemble, dns l deuxième comme un élément d un ensemble d un type un peu prticulier. 6 Ch. Suquet, Cours I.P.É. 21

7 1.1. Rppels ensemblistes on utilise des ccoldes pour l description des ensembles et des prenthèses pour les couples d éléments. On définit de mnière nlogue le produit crtésien d une suite finie d ensembles E 1,..., E n pr 3 E 1 E n := { (x 1,..., x n ); i = 1,..., n, x i E i }. L ensemble E 2 := E E = {(x 1, x 2 ); x 1 E, x 2 E} peut être utilisé pour représenter l ensemble de toutes les pplictions de {1, 2} dns E, le couple (x 1, x 2 ) correspondnt à l ppliction f : {1, 2} E définie pr f(1) = x 1 et f(2) = x 2. Il pourrit de l même fçon, représenter les pplictions d un ensemble à deux éléments dns E (remplcer les chiffres 1 et 2 pr n importe quelle pire de symboles distincts : et 1, et b, etc.). Plus générlement, pour n 2, E n est l ensemble des n-uplets ou listes de longueur n d éléments de E. Dns un n-uplet (x 1,..., x n ), il peut y voir des répétitions. On peut ussi utiliser E n pour représenter toutes les pplictions de l ensemble {1,..., n} (ou de n importe quel ensemble à n éléments) dns E. Soit I un ensemble quelconque, fini ou infini. Pr nlogie vec ce qui précède, l ensemble de toutes les pplictions f : I E ser noté E I. Pr exemple vec E = {, 1} et I = N, on obtient l ensemble {, 1} N de toutes les suites de chiffres binires indexées pr N : {, 1} N = {u = (u i ) i N ; u i = ou 1}. Avec E = R et I = [, 1], on obtient l ensemble R [,1] des fonctions définies sur l intervlle [, 1] et à vleurs dns R Bijections Définition 1.2 (injection). Une ppliction f : E F est dite injective si deux éléments distincts de E ont toujours des imges distinctes dns F : Une formultion équivlente est : x E, x E, (x x ) (f(x) f(x )). x E, x E, (f(x) = f(x )) (x = x ). Une ppliction injective f : E F est ppelée injection de E dns F. Définition 1.3 (surjection). Une ppliction f : E F est dite surjective si tout élément de l ensemble d rrivée u moins un ntécédent pr f : y F, x E, f(x) = y. Une ppliction surjective f : E F est ppelée surjection de E sur F. 3. Noter qu ici le quntificteur «i» ne se trduit ps pr une intersection. Ne confondez ps «i = 1,..., n, x E i» qui trduit l pprtennce de x à l intersection des E i vec «i = 1,..., n, x i E i». Ch. Suquet, Cours I.P.É. 21 7

8 Chpitre 1. Dénombrer et sommer Définition 1.4 (bijection). Une ppliction f : E F est dite bijective si elle est à l fois injective et surjective, utrement dit si tout élément de l ensemble d rrivée F un unique ntécédent pr f dns l ensemble de déprt E : y F,!x E, f(x) = y. Une ppliction bijective f : E F est ppelée bijection de E sur F. Remrque 1.5. Si f : E F est une injection, en restreignnt son ensemble d rrivée à f(e) := {y F ; x E; f(x) = y} l nouvelle ppliction f : E f(e) est une bijection. En effet cette opértion préserve clirement l injectivité et rend f surjective. Définition 1.6 (ppliction réciproque). Soit f : E F une bijection. Tout y F dmet un unique ntécédent x pr f dns E. En posnt f 1 (y) := x, on définit une ppliction f 1 : F E ppelée ppliction réciproque de f ou inverse de f. Cette ppliction f 1 est bijective. Justifiction. Pour vérifier l injectivité de f 1, soient y et y deux éléments de F tels que f 1 (y) = f 1 (y ). Cel signifie qu ils ont le même ntécédent x pr f, donc que y = f(x) et y = f(x), d où y = y. Pour l surjectivité, soit x E quelconque. Posons y = f(x). Alors x est ntécédent de y pr f, donc f 1 (y) = x et insi y est ntécédent de x pr f 1. Tout élément de E donc un ntécédent dns F pr f 1. Autrement dit, f 1 est surjective. Remrque 1.7. Ainsi l existence d une bijection E F équivut à celle d une bijection F E. On dir que E «est en bijection vec» F s il existe une bijection E F (ou F E). Proposition 1.8. Soient f : E F et g : F G deux bijections. Alors g f est une bijection de E sur G. De plus (g f) 1 = f 1 g 1. Preuve. Rppelons que (g f)(x) := g(f(x)) pour tout x E. Pour vérifier l injectivité, soient x et x dns E tels que (g f)(x) = (g f)(x ). Cette églité réécrite g(f(x)) = g(f(x )) implique pr injectivité de g l églité f(x) = f(x ), lquelle implique x = x pr injectivité de f. Pour l surjectivité de g f, soit z G quelconque. Pr surjectivité de g, z u moins un ntécédent y dns F vec g(y) = z. À son tour y F un ntécédent x E pr l surjection f. Finlement y = f(x) et z = g(y), d où z = g(f(x)) = (g f)(x), ce qui montre que z pour ntécédent x pr g f. Comme z étit quelconque, l surjectivité de g f est étblie. Ainsi g f est une bijection de E sur G. En conservnt les nottions on (g f) 1 (z) = x. D utre prt x = f 1 (y) et y = g 1 (z), d où x = f 1 (g 1 (z)) = (f 1 g 1 )(z). On donc pour z quelconque dns G l églité (g f) 1 (z) = x = (f 1 g 1 )(z), d où (g f) 1 = f 1 g Ensembles finis et dénombrement Définition 1.9. Un ensemble E est dit fini s il est vide ou s il est en bijection vec un ensemble {1,..., n} pour un certin entier n 1. Un tel n est lors unique et est ppelé crdinl de E (nottion crd E). Pr convention le crdinl de l ensemble vide est. 8 Ch. Suquet, Cours I.P.É. 21

9 1.2. Ensembles finis et dénombrement L cohérence de l définition 1.9 repose sur le lemme suivnt (pourquoi?). Lemme 1.1. Si n et m sont deux entiers distincts, il n existe ps de bijection entre {1,..., n} et {1,..., m}. Preuve. On peut toujours supposer sns perte de générlité que n < m. Dns le cs où n =, l ensemble {1,..., n} est l ensemble des entiers j tels que 1 j, c est donc l ensemble vide. On prouve le résultt pr récurrence sur n en doptnt comme hypothèse de récurrence : (H n ) m > n, il n existe ps de bijection {1,..., n} {1,..., m}. Initilistion. (H ) est clirement vrie, cr on ne peut définir ucune ppliction sur l ensemble vide donc fortiori ucune bijection. Induction. Montrons que si (H n ) est vérifiée pour un certin n, lors (H n+1 ) l est ussi. Pour cel on risonne pr l bsurde : si (H n+1 ) n étit ps ps vérifiée, il existerit un entier m > n + 1 et une bijection f : {1,..., n + 1} {1,..., m}. Nous llons construire à prtir de f une bijection g : {1,..., n + 1} {1,..., m} telle que g(n + 1) = m. Notons j = f(n + 1). Si j = m, il suffit de prendre g = f. Si j m, considérons l trnsposition τ : {1,..., m} {1,..., m} qui échnge j et m et lisse les utres éléments inchngés. C est une bijection et l ppliction composée g = τ f est une bijection {1,..., n + 1} {1,..., m} vérifint g(n + 1) = m. L restriction g de g à {1,..., n} est une bijection de {1,..., n} sur {1,..., m 1} et comme m > n + 1, on bien m 1 > n, ce qui contredit (H n ). Nous venons d étblir l impliction (H n ) (H n+1 ), ce qui chève l récurrence. Remrque Si l ensemble F est en bijection vec un ensemble fini E, lors F est fini et même crdinl que E. En effet en notnt n = crd E, il existe une bijection f : {1,..., n} E et une bijection g : E F. L composée g f rélise lors une bijection de {1,..., n} sur F. Proposition Soient E et F deux ensembles finis. Si E F =, crd(e F ) = crd E + crd F. (1.2) Preuve. Dns le cs où l un des deux ensembles est vide, (1.2) est trivile. On suppose désormis que crd E = n 1 et crd F = m 1. Il existe lors des bijections f : {1,..., n} E, g : {1,..., m} F. On prouve (1.2) en construisnt une bijection h de {1,..., n + m} sur E F. L trnsltion t : {n + 1,..., n + m} {1,..., m}, i i n est une bijection et l ppliction g t rélise une bijection de {n + 1,..., n + m} sur F. Définissons lors h pr { f(i) si i {1,..., n}, h(i) := (g t)(i) si i {n + 1,..., n + m}. Ch. Suquet, Cours I.P.É. 21 9

10 Chpitre 1. Dénombrer et sommer Pour vérifier l surjectivité de h, soit z un élément quelconque de E F. Si z E, lors il un ntécédent i dns {1,..., n} pr l surjection f et comme h(i) = f(i) = z, i est ussi ntécédent de z pr h. Si z F, il un ntécédent j dns {1,..., m} pr l surjection g et j un ntécédent i dns {n + 1,..., n + m} pr l surjection t. Alors h(i) = g(t(i)) = g(j) = z donc i est ntécédent de z pr h. Pour vérifier l injectivité de h, notons i et i deux éléments distincts de {1,..., n+m}. S ils sont l un dns {1,..., n} et l utre dns {n + 1,..., n + m}, leurs imges h(i) et h(i ) sont l une dns E et l utre dns F qui sont disjoints (E F = ) donc h(i) h(i ). sinon i et i sont tous deux dns {1,..., n} (resp. dns {n+1,..., n+m}) et h(i) h(i ) en rison de l injectivité de f (resp. de g t). Corollire 1.13 (de l proposition 1.12). ) Si E 1,..., E d sont d ensembles finis deux à deux disjoints, E 1 E d est un ensemble fini et ( ) d d crd = crd E i. i=1 E i b) Si E et F sont des ensembles finis quelconques (ps forcément disjoints), E F est fini et crd(e F ) = crd E + crd F crd(e F ). Preuve. Lissée en exercice. Proposition Soient E et F deux ensembles finis. Leur produit crtésien pour crdinl crd(e F ) = crd E crd F. (1.3) Preuve. Le cs où l un des deux ensembles E ou F est vide étnt trivil, on suppose désormis qu ucun des deux n est vide. On fit une récurrence sur n = crd E, en prennt pour hypothèse de récurrence : (H n ) si crd E = n, lors crd(e F ) = n crd F pour tout F fini non vide. Initilistion. Si crd E = 1, E n qu un élément x 1 et l ppliction h : {x 1 } F F, (x 1, y) y est clirement une bijection donc crd({x 1 } F ) = crd F et (H 1 ) est vérifiée. Induction. Supposons (H n ) vrie pour un certin n et soit E un ensemble de crdinl n+1. Il existe une bijection f : {1,..., n+1} E permettnt de numéroter les éléments de E en posnt pour tout i {1,..., n + 1}, x i := f(i). L restriction de f à {1,..., n} est une bijection de {1,..., n} sur son imge E = {x 1,..., x n }. Ainsi E est de crdinl n et E est l union de ses deux sous-ensembles disjoints E et {x n+1 }. On en déduit imméditement que E F est l union des deux produits crtésiens disjoints E F et {x n+1 } F. Pr l proposition 1.12 on lors i=1 crd(e F ) = crd(e F ) + crd({x n+1 } F ). 1 Ch. Suquet, Cours I.P.É. 21

11 1.2. Ensembles finis et dénombrement En utilisnt (H n ) et (H 1 ), on obtient lors donc (H n+1 ) est vérifiée. crd(e F ) = n crd F + crd F = (n + 1) crd F, Remrque On urit pu ussi prouver (1.3) en construisnt explicitement une bijection E F {1,..., nm} (vec crd E = n et crd F = m). Voici une fçon de l construire. On note f : {1,..., n} E, i x i := f(i) et g : {1,..., m} F, j y j := g(j) des numérottions bijectives de E et F. On définit lors h : E F {1,..., nm} en posnt h(x i, y j ) := m(i 1) + j, ou de mnière plus formelle h(x, y) := m(f 1 (x) 1) + g 1 (y) pour tout (x, y) E F. On lisse en exercice l vérifiction de l bijectivité de h. L idée de s construction est simplement de rnger les couples éléments de E F sous l forme d un tbleu où le couple (x i, y j ) se trouve à l intersection de l ligne i et de l colonne j et de numéroter les éléments de ce tbleu en blynt chque ligne de guche à droite de l ligne 1 jusqu à l ligne n. Corollire 1.16 (de l proposition 1.14). Si E 1,..., E d sont d ensembles finis, crd(e 1 E d ) = d crd E i. Preuve. Une récurrence immédite sur d fournit le résultt. Proposition 1.17 (nombre d pplictions E F et crdinl de P(E)). () Si crd E = n et crd F = p, l ensemble F E des pplictions de E dns F est fini et pour crdinl p n, utrement dit : i=1 crd ( F E) = (crd F ) crd E. (b) Comme P(E) est en bijection vec l ensemble {, 1} E des pplictions de E dns {, 1}, crd P(E) = 2 n = 2 crd E. Preuve. Le () se démontre fcilement pr récurrence sur le crdinl de E, en notnt que si on joute un élément x n+1 à E, il y p fçons différentes de prolonger f : E F en ttribunt comme imge à x n+1 l un des éléments de F. L rédction détillée est lissée en exercice. Une bijection nturelle entre P(E) et {, 1} E est l ppliction ϕ qui à toute prtie A de E ssocie s fonction indictrice : ϕ : P(E) {, 1} E A ϕ(a) := 1 A. Rppelons que l indictrice d une prtie A de E est l ppliction { 1 si ω A, 1 A : E {, 1} ω 1 A (ω) := si ω / A. L vérifiction de l bijectivité de ϕ est lissée en exercice Ni l définition de ϕ, ni l preuve de s bijectivité n utilisent l finitude de E. Ainsi P(E) et {, 1} E sont en bijection quel que soit l ensemble E, fini ou infini. Ch. Suquet, Cours I.P.É

12 Chpitre 1. Dénombrer et sommer Définition 1.18 (rrngement). Si E est un ensemble de crdinl n et k un entier tel que 1 k n, on ppelle rrngement de k éléments de E tout k-uplet (x 1, x 2,..., x k ) d éléments tous distincts de E. Un tel rrngement représente une injection de {1,..., k} dns E. Proposition 1.19 (dénombrement des rrngements). Le nombre d rrngements de k éléments de E (1 k n = crd E) est A k n = n(n 1)(n 2) (n k + 1) = n! (n k)!. (1.4) A k n est ussi le nombre d injections d un ensemble I de crdinl k, pr exemple {1,..., k}, dns E. En prticulier pour I = E (et donc k = n), on obtient le nombre de bijections de E dns lui même (ppelées ussi permuttions de E) : nombre de permuttions de E = A n n = n! Preuve. On prouve (1.4) pr récurrence finie sur k, le cs k = 1 étnt évident. Supposons donc (1.4) vrie pour un k < n et montrons qu lors elle est ussi vrie pour k + 1. Une ppliction f : {1,..., k+1} E est déterminée de mnière unique pr l donnée de s restriction f à {1,..., k} et de f(k +1). L ppliction f est injective si et seulement si s restriction f est injective et f(k+1) / f({1,..., k}). Comme le crdinl de f({1,..., k}) est k, cel lisse n k choix possibles pour f(k + 1). On en déduit que A k+1 n = A k n(n k) = n(n 1)(n 2) (n k + 1)(n k), ce qui montre que (1.4) est vérifiée u rng k + 1. Définition 1.2 (combinison). On ppelle combinison de k éléments de E (1 k n = crd E) toute prtie de crdinl k de E. Une combinison tous ses éléments distincts comme un rrngement, mis l ordre d écriture n ps d importnce. Proposition 1.21 (dénombrement des combinisons). Le nombre de combinisons de k éléments de E (1 k n = crd E) est C k n = n(n 1)(n 2) (n k + 1) k(k 1) 1 = n! k!(n k)!. (1.5) Preuve. Notons A k (E) l ensemble de tous les rrngements de k éléments de E. Il est lors clir que l on l décomposition en réunion d ensembles disjoints A k (E) = A k (B). (1.6) B E, crd B=k Autrement dit on prtitionné A k (E) en regroupnt dns une même clsse A k (B) tous les rrngements formés à prtir des éléments d une même prtie B de crdinl k. Il 12 Ch. Suquet, Cours I.P.É. 21

13 1.2. Ensembles finis et dénombrement y donc utnt de clsses distinctes dns cette décomposition que de prties B de crdinl k dns E, c est-à-dire Cn k clsses. D utre prt chque clsse A k (B) contient utnt d rrngements que de bijections B B (ou permuttions sur B), c est-à-dire k!. Compte-tenu du corollire 1.13 ), on déduit lors de (1.6) que : crd A k (E) = crd A k (B) = Cnk!. k B E, crd B=k Or crd A k (E) = A k n pr l définition des A k n, d où A k n = C k nk!, ce qui donne (1.5). Les nombres C k n sont ppelés ussi coefficients binomiux en rison de leur rôle dns l formule du binôme de Newton, que nous retrouverons ci-dessous (corollire 1.24) comme cs prticulier de l formule du multinôme. Avnt de nous y ttquer, il n est peut-être ps inutile de fire un rppel sur le développement d un produit de sommes finies. Proposition Soient J 1,..., J n des ensembles finis non vides d indices et pour i = 1,..., n, j J i, des nombres réels ou complexes x i,j. En notnt K n := J 1 J n, on ( ) ( n n ) = x i,ji = ( n )... x i,ji. (1.7) i=1 i=1 j 1 J 1 i=1 j J i x i,j (j 1,...,j n) K n j n J n Voici une trduction sns formules de cet énoncé : «le produit de n sommes finies est égl à l somme de tous les produits de n fcteurs que l on peut former en sélectionnnt un fcteur prmi les termes de chcune des n sommes». L figure 1.1 illustre l ppliction de cette règle u développement de ( + b + c)(d + e)(s + t + u + v). Ici J 1 = {1, 2, 3}, x 1,1 =,..., x 1,3 = c, J 2 = {1, 2}, x 2,1 = d, x 2,2 = e, J 3 = {1,..., 4}, x 3,1 = s,..., x 3,4 = v. L proposition 1.22 se démontre fcilement pr récurrence sur n. Proposition 1.23 (formule du multinôme). Pour tous entiers d 2, n 2 et tous nombres réels ou complexes 1,..., d, ( d ) n = (k 1,...,k d ) N d k 1 + +k d =n n! k 1!... k d! k k d d. (1.8) Preuve. On commence pr ppliquer l formule (1.7) vec J 1 = = J n = {1,..., d} pour obtenir : ( ) n ( ) ( ) d = d d = i1... in. } {{ } (i n prenthèses 1,...,i n) {1,...,d} n (1.9) Prmi les n fcteurs du produit i1... in, il peut y voir des répétitions et il peut ussi mnquer certins des i. En regroupnt les fcteurs identiques, on peut toujours écrire ce produit sous l forme k k d d, où pour j = 1,..., d, on noté k j le nombre de fcteurs égux à j dns ce produit (éventuellement k j = si j ne figure ps dns le Ch. Suquet, Cours I.P.É

14 Chpitre 1. Dénombrer et sommer ds dt du dv es et eu ev bds bdt bdu bdv bes bet beu bev cds cdt cdu cdv ces cet ceu cev Fig. 1.1 Arbre de développement de ( + b + c)(d + e)(s + t + u + v) produit). Comme il y n fcteurs, les k j vérifient k k d = n. Notons mintennt M(n, k 1,..., k d ), le nombre d ppritions du produit k k d d dns le développement de ( d ) n. Avec cette nottion, on peut réécrire (1.9) sous l forme ( ) n d = M(n, k 1,..., k d ) k k d d. (1.1) (k 1,...,k d ) N d k 1 + +k d =n Il ne nous reste plus qu à fire un peu de dénombrement pour expliciter le coefficient M(n, k 1,..., k d ) pour k 1,..., k d entiers fixés tels que k k d = n. Cel revient à compter de combien de fçons on peut choisir les k 1 prenthèses fournissnt 1, les k 2 prenthèses fournissnt 2,..., les k d prenthèses fournissnt d, pour former le produit k k d d. Commençons pr choisir les k 1 prenthèses dont l contribution est 1, ceci peut se fire de C k 1 n fçons. Prmi les n k 1 prenthèses restntes, on choisit ensuite les 14 Ch. Suquet, Cours I.P.É. 21

15 1.2. Ensembles finis et dénombrement k 2 prenthèses qui fournissent 2, ce qui nous lisse C k 2 n k 1 possibilités. Et insi de suite, jusqu u choix de k d prenthèses prmi les n k 1 k d 1 dernières 5 pour obtenir d. On en déduit que M(n, k 1,..., k d ) = C k 1 n C k 2 n k 1 C k 3 n k 1 k 2 C k d n k 1 k d 1 = n! k 1!(n k 1 )! (n k 1 )! k 2!(n k 1 k 2 )! (n k 1 k 2 )! k 3!(n k 1 k 2 k 3 )! = (n k 1 k d 1 )! k d!(n k 1 k d )! n! k 1!... k d!, près simplifictions et en notnt que (n k 1 k d )! =! = 1. Les nombres M(n, k 1,..., k d ) sont ppelés coefficients multinomiux. On peut ussi les interpéter comme ) le nombre de fçons de réprtir les éléments d un ensemble de crdinl n en d sous-ensembles de crdinl respectif k 1,..., k d ; b) le nombre d pplictions f de {1,..., n} dns {1,..., d} telles que chque i dns {1,..., d} it exctement k i ntécédents dns {1,..., n} pr f. Notons en pssnt que d près l interpréttion b), le nombre totl d pplictions de {1,..., n} dns {1,..., d}, soit d n d près l proposition 1.17 ), doit être égl à l somme de tous les M(n, k 1,..., k d ), ce qui s écrit : d n = M(n, k 1,..., k d ). (k 1,...,k d ) N d k 1 + +k d =n C est bien ce que donne l formule du multinôme en prennt tous les i égux à 1 dns (1.8). Corollire 1.24 (formule du binôme). Pour tous réels ou complexes et b et tout entier n 2, ( + b) n = n! n k!l! k b l = Cn k k b n k. (1.11) (k,l) N 2 k+l=n Preuve. Il suffit d pplique l formule du multinôme vec d = 2, 1 =, 2 = b. Remrque Dns le clcul des M(n, k 1,..., k d ) ci-dessus, il peut sembler que l on it vntgé les 1 en commençnt pr les choisir en premier et pénlisé les d en les grdnt pour l fin. Vous pourrez vous convincre qu il n en est rien en refisnt ce clcul en plçnt les i dns l ordre qui vous convient, pr exemple en commençnt pr d, ou pr 3, Comme n k 1 k d 1 = k d, il n y qu un seul choix possible à ce stde : prendre toutes les prenthèses restntes. k= Ch. Suquet, Cours I.P.É

16 Chpitre 1. Dénombrer et sommer Voici d illeurs une suggestion pour une preuve lterntive qui pourrit être développée en exercice. On considère l ensemble S n de toutes les permuttions de {1,..., n}. Son crdinl est n!. Fixons k 1,..., k d entiers de somme n. On pose E i = {1 + k i 1,..., k i }, vec k := et i = 1,..., d. Si (F 1,..., F d ) est un d-uple de prties de {1,..., n}, deux à deux disjointes et de réunion {1,..., n}, combien y -t-il de bijections f S n vérifint f(e i ) = F i pour tout i = 1,..., d? En déduire que n! = M(n, k 1,..., k d )k 1!... k d!. 1.3 Dénombrbilité On peut comprer les ensembles finis pr leur nombre d éléments. Cette notion n plus de sens pour des ensembles infinis. Nénmoins on peut générliser cette comprison en disnt que deux ensembles ont même crdinl s ils sont en bijection. Ceci permet de comprer les ensembles infinis. Il convient de se méfier de l intuition cournte bsée sur les ensembles finis. Pr exemple si A et B sont finis et A est inclus strictement dns B, lors crd A < crd B et il n existe ps de bijection entre A et B. Ceci n est plus vri pour les ensembles infinis. Pr exemple N est strictement inclus dns N mis est en bijection vec N pr l ppliction f : N N, n n + 1, donc N et N ont même crdinl. Nous nous intéressons mintennt ux ensembles ynt même crdinl que N. Définition Un ensemble est dit dénombrble s il est en bijection vec N. Il est dit u plus dénombrble s il est fini ou dénombrble. Exemple L ensemble 2N des entiers pirs est dénombrble. Pour le voir, il suffit de considérer l ppliction f : N 2N, n 2n qui est clirement une bijection. On vérifie de même que l ensemble des entiers impirs est dénombrble. Exemple L ensemble Z est dénombrble. On peut en effet «numéroter» les entiers reltifs pr les entiers nturels en s inspirnt du tbleu suivnt. Z N Plus formellement, définissons l ppliction f : N Z pr { n+1 si n est impir, 2 n N, f(n) = n si n est pir. 2 Pour vérifier que f est une bijection, montrons que pour tout k Z donné, l éqution f(n) = k une solution unique. Si k >, il ne peut voir d ntécédent pir pr f puisque f envoie l ensemble des entiers pirs dns Z. L éqution f(n) = k se réduit donc dns ce cs à n+1 = k qui pour unique solution n = 2k + 1. Si k, il ne peut 2 voir d ntécédent impir pr f et l éqution f(n) = k se réduit à n = k qui pour 2 unique solution n = 2k. Ainsi f est bien une bijection puisque tout élément k de Z un ntécédent n unique pr f. L bijection inverse est donnée pr { k Z, f 1 2k + 1 si k >, (k) = 2k si k. 16 Ch. Suquet, Cours I.P.É. 21

17 1.3. Dénombrbilité Exemple L ensemble N 2 est dénombrble. Cet exemple relève de l proposition 1.34 ci-dessous, mis l vérifiction directe est instructive. Voici une fçon de construire une bijection f : N 2 N. L idée est de fbriquer une numérottion des couples de N 2 pr les entiers en s inspirnt du schém de l figure Un peu de j i Fig. 1.2 Une numérottion des couples (i, j) de N 2 dénombrement nous conduit à proposer l définition 6 (i, j) N 2, f(i, j) := (i + j)(i + j + 1) 2 Preuve. L vérifiction de l bijectivité de f repose sur l remrque suivnte. Définissons l suite (u k ) k N pr k(k + 1) k N, u k :=. 2 Il s git clirement d une suite strictement croissnte d entiers, de premier terme u =. On donc l N,!k = k l N, u k l < u k+1. (1.12) De plus, + j. si l = f(i, j), k l = i + j et l = u kl + j. (1.13) Surjectivité de f. Soit l quelconque dns N et k = k l défini pr (1.12). Posons j = l u k et i = k j. Alors f(i, j) = (i + j)(i + j + 1) 2 + j = k(k + 1) 2 + j = u k + l u k = l. Le couple (i, j) insi défini à prtir de l est donc ntécédent de l pr f et comme l étit quelconque, f est surjective. 6. Justifiction lissée en exercice. Ch. Suquet, Cours I.P.É

18 Chpitre 1. Dénombrer et sommer Injectivité de f. Soient (i, j) et (i, j ) tels que f(i, j) = f(i, j ) et notons l cette vleur commune. D près (1.13), on k l = i + j = i + j et l = u kl + j = u kl + j. On en déduit imméditement que j = j, puis que i = i, d où (i, j) = (i, j ), ce qui étblit l injectivité de f. Lemme 1.3. Toute prtie infinie de N est dénombrble. Preuve. Soit E une prtie infinie de N. On construit une bijection f de N sur E pr récurrence en utilisnt le fit que toute prtie non vide de N dmet un plus petit élément. On initilise l récurrence en posnt : E := E, f() := min E. Ensuite, pour n 1, si on défini f(k) et E k pour k =,..., n 1, on pose E n := E \ f({,..., n 1}), f(n) := min E n. L ensemble f({,..., n 1}) = {f(),..., f(n 1)} est fini donc E n est non vide puisque E est infini. On peut donc bien construire insi de proche en proche tous les f(n) pour n N. De plus il est clir pr construction que pour tout n 1, f(n 1) < f(n). L ppliction f est donc strictement croissnte, ce qui entrîne son injectivité. Pour voir qu elle est surjective, soit m un élément quelconque de E. Comme m est un entier, il n y qu un nombre fini d entiers strictement inférieurs à m, donc fortiori qu un nombre fini n d éléments de E inférieurs strictement à m (éventuellement ucun). Ainsi m est le (n + 1)-ième plus petit élément de E, d où f(n) = m (comme on commence à, n est le (n + 1)-ième plus petit entier de N). Nous venons de montrer qu un élément quelconque de E u moins un ntécédent pr f, utrement dit que f est surjective. Proposition Toute prtie infinie d un ensemble dénombrble est elle-même dénombrble. Preuve. Soit A une prtie infinie d un ensemble dénombrble B. Il existe lors une bijection g : B N. S restriction g à A est une bijection de A sur g(a). L ensemble g(a) est une prtie infinie de N, cr si elle étit finie, il en serit de même pour A. Pr le lemme 1.3, il existe une bijection f de g(a) sur N. L ppliction f g : A N est une bijection comme composée de deux bijections. L ensemble A est donc dénombrble. Remrque L proposition 1.31 nous permet de crctériser les ensembles u plus dénombrbles comme ceux qui sont en bijection vec une prtie de N, ou encore comme ceux qui s injectent dns N. De même, les ensembles dénombrbles sont les ensembles infinis qui s injectent dns N. Remrque Il résulte imméditement de l proposition 1.31 que si l ensemble B contient une prtie infinie A non dénombrble, B est lui même infini non dénombrble. Proposition Le produit crtésien d une suite finie d ensembles dénombrbles est dénombrble. 18 Ch. Suquet, Cours I.P.É. 21

19 1.3. Dénombrbilité Preuve. Notons E 1,..., E n l suite finie d ensembles dénombrbles considérée. Pour i = 1,..., n, nous disposons d une bijection E i N, qui pr composition vec l bijection N N, n n + 1 donne une bijection f i : E i N. Comme E = E 1 E n est clirement un ensemble infini, il nous suffit de construire une injection de E dns N. Pour cel il est commode d utiliser les nombres premiers dont nous notons (p j ) j 1 l suite ordonnée : p 1 = 2, p 2 = 3, p 3 = 5, p 4 = 7, p 5 = 11,... Définissons f : E N, pr x = (x 1,..., x n ) E, f(x) := p f 1(x 1 ) 1... p fn(xn) n = n j=1 p f j(x j ) j. Remrquons que pour tout x E, f(x) 2 f 1(x 1 ) 2. Pour vérifier l injectivité de f, soient x et y dns E tels que f(x) = f(y). En vertu de l unicité de l décomposition en fcteurs premiers d un entier supérieur ou égl à 2, cette églité équivut à : i = 1,..., n, f i (x i ) = f i (y i ). Comme chque f i est injective, ceci entrîne l églité x i = y i pour tout i, d où x = y. Corollire Pour tout entier d 1, N d, Z d sont dénombrbles. L ensemble Q des nombres rtionnels est dénombrble (de même que Q d, d 1). Vérifiction. L dénombrbilité de Q s obtient fcilement en l injectnt dns le produit crtésien d ensembles dénombrbles Z N vi l unicité de l écriture en frction irréductible (vec dénominteur positif) d un rtionnel. Les utres ffirmtions du corollire découlent imméditement de l Proposition Voici un premier exemple d ensemble infini non dénombrble. Proposition L ensemble {, 1} N des suites infinies de ou de 1 est infini mis n est ps dénombrble. Il est clir que {, 1} N est un ensemble infini, puisque qu il contient un sous-ensemble en bijection vec N, pr exemple l ensemble de suites {( 1 {n} (k) ) k N, n N}. Preuve. Supposons que {, 1} N soit dénombrble, on peut lors numéroter ses éléments pr les entiers, de sorte que {, 1} N = {x n ; n N}, chque x n étnt une suite (x n,k ) k N de chiffres binires. Construisons lors l suite y = (y k ) k N de chiffres binires en posnt : { 1 si x k,k = k N, y k = 1 x k,k = si x k,k = 1. Alors pr construction, l suite y diffère de chque suite x n (u moins pr son n e terme). Or y est un élément de {, 1} N, donc l numérottion considérée ne peut être surjective. Ch. Suquet, Cours I.P.É

20 Chpitre 1. Dénombrer et sommer Corollire P(N) n est ps dénombrble. Le segment [, 1] de R n est ps dénombrble. R n est ps dénombrble, C n est ps dénombrble. Un intervlle de R est soit infini non dénombrble, soit réduit à un singleton, soit vide. Preuve. Comme P(N) est en bijection vec {, 1} N pr l ppliction A 1 A, P(N) est infini non dénombrble. D près l remrque 1.33, l non dénombrbilité de R ou de C résulte imméditement de celle de [, 1]. Pour vérifier cette dernière, nous utilisons à nouveu l remrque 1.33 en construisnt une prtie de [, 1] en bijection vec {, 1} N. L première idée qui vient à l esprit pour une telle construction est d utiliser le développement des nombres réels en bse 2. Mis pour éviter les difficultés techniques liées à l existence de développements propre et impropre pour les nombres de l forme k2 n, nous utiliserons plutôt l bse 3 en ne conservnt que les chiffres binires et 1. Définissons donc 7 f : {, 1} N [, 1], u = (u k ) k N f(u) := + k= u k 3 k+1. Comme les u k ne peuvent prendre que les vleurs ou 1, l série à termes positifs définissnt f(u) converge puisque son terme générl vérifie l encdrement u k 3 k 1 3 k 1. S somme f(u) vérifie donc f(u) + k= 1 3 = 1 1 k = 1 2. Ainsi f est bien une ppliction de {, 1} N dns [, 1] et d près l remrque 1.5, il suffit de vérifier son injectivité pour qu elle rélise une bijection de {, 1} N sur son imge A := {f(u); u {, 1} N }. Pr l proposition 1.36, on en déduir l non dénombrbilité de A. Pour montrer l injectivité de f, supposons qu il existe deux suites u u éléments de {, 1} N telles que f(u) = f(u ). Comme u u, l ensemble des entiers k tels que u k u k est non vide et donc un plus petit élément que nous notons j. On insi u k = u k pour tout k < j et u j u j. Quitte à permuter u et u, on ne perd ps de générlité en supposnt que u j = 1 et u j =. L églité f(u) = f(u ) implique lors : 1 3 = + j+1 k=j+1 u k u k 3 k+1. Comme u k u k ne peut prendre que les vleurs 1, ou 1, il est mjoré pr 1, d où : j+1 k=j = 1 1 k+1 3 j = j+1, 7. L lecture de ce qui suit requiert l connissnce des séries dont les principles propriétés sont rppelées section 1.4 ci-près, voir notmment les séries géométriques (exemple 1.49). 2 Ch. Suquet, Cours I.P.É. 21

21 1.3. Dénombrbilité ce qui est impossible. On en déduit que si f(u) = f(u ), nécessirement u = u, ce qui étblit l injectivité de f. Pour vérifier l non dénombrbilité d un intervlle non vide et non réduit à un singleton de R, il suffit de remrquer que cet intervlle u moins deux éléments et b et qu il contient lors [, b]. Il suffit mintennt de construire une bijection [, 1] [, b]. L ppliction f : [, 1] [, b], t t + (1 t)b fit l ffire. Remrque Il est fcile de construire une bijection entre ] 1, 1[ et R, pr exemple x tn(πx/2) et d en déduire une bijection entre R et n importe quel intervlle ouvert non vide. En fit on peut montrer que les ensembles suivnts ont tous même crdinl : {, 1} N, R, C, tout intervlle non vide et non réduit à un singleton de R. On dit qu ils ont l puissnce du continu. Sns ller jusqu à démontrer complètement cette ffirmtion, nous nous contenterons de présenter ci-dessous une construction explicite d une bijection entre {, 1} N et [, 1[. Il est clir que {, 1} N est lui même en bijection vec {, 1} N (pourquoi?). Exemple 1.39 (une bijection entre {, 1} N et [, 1[). Commençons pr un rppel sur le développement en bse 2 des réels de [, 1[, i.e. l existence pour un x [, 1[ d une suite ( k ) k N {, 1} N telle que + k x = 2. (1.14) k k=1 On ppelle nombre dydique de [, 1[, tout x [, 1[ de l forme k2 n vec k N et n N. Un tel dydique dmet une écriture irréductible unique de l forme l2 n vec l impir. Notons l ensemble des dydiques de [, 1[. Si x [, 1[\, il existe une unique suite ( k ) k N {, 1} N vérifint (1.14). De plus cette suite ( k ) k N comporte à l fois une infinité de et une infinité de 1. Si x, il existe deux suites ( k ) k N {, 1} N et ( k ) k N {, 1}N vérifint (1.14). L une ( k ) k N tous ses termes nuls à prtir d un certin rng. C est le développement propre du dydique x. L utre tous ses termes égux à 1 à prtir d un certin rng, c est le développement impropre de x. Nous noterons p(x) le développement propre de x et i(x) son développement impropre. Pr exemple le dydique 3 pour développemment propre (, 1, 1,,,,,... ) cr 3 = Son développement impropre est (, 1,, 1, 1, 1, 1,... ) puisque 1 = + 8 k=4 2 k. Définissons mintennt f : [, 1[ {, 1} N comme suit. Si x [, 1[\, on prend pour f(x) l unique suite ( k ) k N {, 1} N vérifint (1.14). Si x et x, x 1/2, il existe une écriture unique x = l2 n vec l impir. On pose lors ( l ) f = 2 n ( l + 1 ) i ( 2 n l 1 ) p 2 n si l = 1 mod 4, si l = 3 mod 4. Ch. Suquet, Cours I.P.É

22 Chpitre 1. Dénombrer et sommer Pour f() on prend l suite ne comportnt que des et pour f(1/2) l suite ne comportnt que des Fig. 1.3 Arbre binire des dydiques de ], 1[ Le mécnisme de construction de f sur les dydiques utres que et 1/2 peut être décrit de mnière informelle à l ide de l rbre binire de l figure 1.3. Chque individu de cet rbre hérite un développement binire de son scendnt direct et engendre lui même deux enfnts et deux développements binires. L enfnt de guche hérite du développement impropre et celui de droite du développement propre. L compréhension de l définition de f demndnt plus d effort que l vérifiction de s bijectivité, ce dernier point est lissé u lecteur. Proposition 1.4. Soit J un ensemble u plus dénombrble d indices et pour tout j J, soit A j un ensemble u plus dénombrble. Alors A := j J A j est u plus dénombrble. Preuve. Le cs J = est trivil puisqu lors A =. Si tous les A j sont vides, A l est ussi (quel que soit J). On suppose désormis que J n est ps vide et qu u moins un des A j est non vide. On v montrer que A est u plus dénombrble en construisnt une injection h de A dns N. On peut trduire les hypothèses en écrivnt qu il existe une injection 8 f : J N et que pour tout j tel que A j, il existe une injection g j : A j N. Admettons pour un instnt que l on peut construire une fmille (A j) j J d ensembles deux à deux disjoints tels que pour tout j J, A j A j et que A = j J A j = j J A j. On définit lors l ppliction h : A N comme suit. Si x A, il existe un unique j J tel que x A j. On pose lors : h(x) := p g j(x) f(j), 8. Toute injection d un ensemble dns N peut se trnsformer en injection du même ensemble dns N pr composition vec l bijection N N, n n Ch. Suquet, Cours I.P.É. 21

23 1.3. Dénombrbilité où p k désigne le k-ième nombre premier. Remrquons que h(x) 2 puisque f(j) 1, l suite (p k ) est croissnte de premier terme p 1 = 2 et g j (x) 1. Pour vérifier l injectivité de h, soient x et y dns A tels que h(x) = h(y). En notnt l l unique indice tel que y A l, cette églité s écrit p g j(x) f(j) = p g l(y) f(l). En rison de l unicité de l décomposition d un entier n 2 en fcteurs premiers, ceci entrîne f(j) = f(l) et g j (x) = g l (y), puis pr injectivité de f, j = l et g j (x) = g j (y). Comme g j est injective, on en déduit que x = y. L injectivité de h est insi étblie. Il reste à justifier l construction de l fmille (A j) j J. On commence pr trnsporter l ordre de N sur J vi l ppliction f en écrivnt pour j, l J, que j l signifie que f(j) f(l). Ceci nous permet de noter les éléments de J en suivnt cet ordre J = {j, j 1,...}, où j j Ensuite on construit A j pr récurrence en posnt A j := A j, B j := A j A j 1 := A j1 (A \ B j ), B j1 := B j A j1 A j 2 := A j2 (A \ B j1 ), B j2 := B j1 A j Les détils de l vérifiction sont lissés u lecteur. Proposition 1.41 (dénombrbilité pr imge surjective). Soient A et B deux ensembles tels qu il existe une surjection f de A sur B. Alors si A est dénombrble, B est u plus dénombrble. Si A est fini, B est fini et crd B crd A. Il est possible que A soit infini et B fini, un exemple évident étnt fourni pr l ppliction nulle f : x de A = N dns B = {} qui est clirement une surjection. Preuve. Supposons A dénombrble. Définissons sur A l reltion d équivlence x x si f(x) = f(x ). Les clsses d équivlences pour cette reltion rélisent une prtition de A. Dns chque clsse d équivlence, choisissons un représentnt prticulier 9. Soit A l prtie de A formée de tous les représentnts insi choisis. Si x et x sont deux éléments distincts de A, ils sont dns deux clsses c et c disjointes, donc f(x) f(x ). L restriction de f à A est donc injective. Pr illeurs, puisque f est surjective, tout y B u moins un ntécédent x dns A. Si c est l clsse de x, il y dns cette clsse un (unique) élément de A qui lui ussi y pour imge pr f. Donc l restriction de f à A reste surjective et c est finlement une bijection de A sur B. L ensemble B est en bijection vec une prtie A de l ensemble dénombrble A, il est donc u plus dénombrble. Le cs A fini est une dpttion fcile de ce qui précède. 9. Pr exemple en fixnt une numérottion de A pr les entiers (k x k ) et en décidnt de prendre dns l clsse c l élément x k d indice k miniml. On évite insi l invoction de l xiome du choix... Ch. Suquet, Cours I.P.É

24 Chpitre 1. Dénombrer et sommer 1.4 Rppels sur les séries Dns cette section nous rppelons sns démonstrtions les points essentiels de l théorie des séries numériques vue en deuxième nnée. Nous détillerons seulement l question de l convergence commuttive en rison de son rôle dns l théorie des fmilles sommbles Générlités Définition Soit (u k ) k N une suite de nombres réels ou complexes. Pour tout n N, on ppelle somme prtielle de rng n le nombre S n := n u k. k= Si S n tend vers une limite finie S qund n tend vers +, on dit que l série de terme générl u k converge et pour somme S, ce que l on écrit S = + k= u k := lim S n. n + Dns ce cs, R n := S S n est ppelé reste de rng n de l série. Si S n n ps de limite finie (i.e. tend vers ou + ou n ps de limite du tout), on dit que l série diverge. Remrque Pr un bus d écriture cournt, on désigne l série (convergente ou divergente) pr l nottion «+ k= u k», mis on ne peut fire intervenir cette expression dns des clculs que si elle représente vriment un nombre, i.e. si l série converge. Remrque Si les u k sont complexes, posons x k := Re u k et y k := Im u k, S n := Re S n et S n := Im S n. L suite S n converge dns C vers S si et seulement si S n et S n convergent dns R vers respectivement S := Re S et S := Im S. On en déduit imméditement que l série de terme générl complexe u k = x k + iy k converge si et seulement si les séries de terme générl x k et y k convergent dns R et que dns ce cs + k= (x k + iy k ) = + k= x k + i Remrque L définition 1.42 se générlise imméditement u cs où les u k sont éléments d un espce vectoriel normé E, l convergence dns E de S n vers le vecteur S signifint lim n + S S n =. Proposition Si une série converge, son terme générl u n tend vers qund n tend vers l infini. Remrque L réciproque de l proposition 1.46 est fusse. Un contre exemple bien connu est l série hrmonique de terme générl u k = 1/k pour k 1 (et u = ). + k= y k. 24 Ch. Suquet, Cours I.P.É. 21

25 1.4. Rppels sur les séries Remrque L contrposée de l proposition 1.46 s énonce : si u n ne tend ps vers qund n tend vers l infini, lors l série diverge. On prle dns ce cs de divergence grossière de l série. Exemple 1.49 (séries géométriques). Soit q un nombre réel ou complexe. L série géométrique stndrd + k= qk converge si et seulement si q < 1. Dns ce cs, s somme est donnée pr + q k = 1 ( q < 1). 1 q k= Cette formule permet de clculer l somme de n importe quelle série géométrique convergente (donc de rison q vérifint q < 1). Il suffit de mettre en fcteur le premier terme. Si (u k ) k N est une suite géométrique de rison q (i.e. u k+1 = qu k pour tout k vec q ne dépendnt ps de k), vérifint q < 1, on pour tout j N, + k=j u k = + k=j + u j q k j = u j q l = l= u j 1 q. Théorème 1.5 (critère de Cuchy). L série à termes réels ou complexes + k= u k converge si et seulement si ε >, N N, n, m N, S n S m < ε. Ce théorème n est que l ppliction du critère de Cuchy à l suite des sommes prtielles S n = n k= u k. Il se générlise imméditement u cs où les termes u k sont des éléments d un espce vectoriel normé complet 1, en remplçnt S n S m < ε pr S n S m < ε. Corollire 1.51 (convergence bsolue). Si l série + k= u k converge, lors l série + k= u k converge ussi. On dit qu elle est bsolument convergente. Le résultt s étend imméditement ux séries à termes dns un espce vectoriel normé complet en remplçnt u k pr u k. On prle lors de convergence normle. Remrque L réciproque du corollire 1.51 est fusse. Un contre exemple bien connu est l série lternée de terme générl u k = ( 1) k /k (k 1) qui converge lors que l série des vleurs bsolues est l série hrmonique qui diverge Séries à termes positifs Si tous les u k sont positifs, (S n ) n N est une suite croissnte cr pour tout n 1, S n S n 1 = u n. Il n y lors que deux cs possibles : ou bien S n une limite finie S dns R +, l série converge et pour somme S ; 1. C est le cs en prticulier pour les séries à vleurs dns R d. Un espce vectoriel normé complet est ppelé espce de Bnch. Ch. Suquet, Cours I.P.É

26 Chpitre 1. Dénombrer et sommer ou bien S n tend vers + et l série diverge. L divergence d une série à termes positifs équivut donc à l convergence vers + de l suite de ses sommes prtielles. Il est commode dns ce cs de considérer que l série «converge dns R +» et que s somme vut +. Ainsi lorsque les u k sont tous positifs, l écriture + k= u k toujours un sens comme représentnt un élément S de R + : S étnt un réel positif si l série converge u sens de l définition 1.42, S = + sinon. Il importe de bien comprendre que ceci est prticulier ux séries à termes positifs. Une série à termes de signe quelconque 11 peut très bien diverger sns que l suite des sommes prtielles tende vers + ou. Un exemple évident est l série de terme générl u k = ( 1) k. Théorème 1.53 (comprison). On suppose qu il existe un k N tel que pour tout k k, u k v k. Alors ) l convergence 12 de + k= v k implique celle de + k= u k ; b) l divergence de + k= u k implique celle de + k= v k. Prmi les pplictions du théorème de comprison figure l comprison à une série géométrique qui donné nissnce ux règles dites de D Alembert et de Cuchy (bsées respectivement sur l étude du comportement symptotique de u n+1 /u n et de u 1/n n ). Ces règles n ont d utre utilité que de résoudre des exercices d hoc et on peut fcilement s en psser. Théorème 1.54 (règle des équivlents). On suppose que u k et v k sont équivlents 13 qund n tend vers l infini et qu à prtir d un rng k, v k. Alors les séries + k= u k et + k= v k sont de même nture (toutes deux convergentes ou toutes deux divergentes). Attention, l hypothèse d équivlence de u k et v k n implique ps à elle seule que les deux séries soient de même nture si le signe de v k n est ps constnt à prtir d un certin rng. Comme contre exemple on peut proposer u k = ( 1) k k 1/2 et v k = u k +1/k (exercice). Théorème 1.55 (comprison série-intégrle). Soit f continue sur [k, + [, décroissnte et positive sur cet intervlle. L série + k=k f(k) converge si et seulement si n k f(t) dt une limite finie qund n tend vers +. L démonstrtion repose sur l encdrement n > k, n 1 k=k f(k + 1) n k f(t) dt n 1 k=k f(k) illustré pr l figure 1.4. Cet encdrement son intérêt propre pour contrôler le reste d une série à l ide d une intégrle générlisée (ou vice vers). En ppliqunt le théorème 1.55 vec f(t) = t α, α > et k = 1, on obtient l crctéristion de l convergence des séries de Riemnn. 11. Plus précisément une série dont l suite des termes présente une infinité de chngements de signe. 12. L convergence et l divergence dns cet énoncé sont entendues u sens de l définition Ce qui signifie que l on peut écrire u k = c k v k vec lim k + c k = Ch. Suquet, Cours I.P.É. 21