Sous-évaluation des prix d options par le modèle de Black & Scholes.

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1 Sous-évaluaion des prix d opions par le modèle de Black & Scholes. Mise en évidence par une dynamique combinan mouvemen brownien e processus à saus. Marc Debersé ocobre 6 Résumé S il es bien connu que le modèle de F. Black e de M. Scholes es cerainemen l un des modèles d évaluaion les plus répandus en finance, les hypohèses qui éayen ce modèle son souven oubliées. aux d inérê sans risque consan quelle que soi l échéance, absence d opporunié d arbirage, ires parfaiemen divisibles, ransacions coninues sans impôs ni coûs de ransacion (marchés parfais, cours de l acif sousjacen suivan un mouvemen brownien géomérique, ne déachan aucun dividende, opions devan êre européennes, rendemen normal e volailié consane, elles son ces hypohèses. L hypohèse de normalié du rendemen de l acif sous-jacen, combinée à une volailié consane implique ouefois une sous évaluaion des opions en dehors de la monnaie. La modélisaion log-normale de l acif sous-jacen es égalemen un biais puisque les événemens à chocs ne son pas pris en compe. Si on ien compe de ces événemens rares, on peu alors monrer que le prix des opions incluan ces chocs on un prix supérieur aux prix des opions évaluées par le modèle de Black & Scholes. Les acifs coningens son donc sous évalués par le modèle de Black & Scholes. C es une simulaion du ype Mone-Carlo dans laquelle, les daes de saus son aléaoires, le nombre de saus varie e l ampliude du sau sui une loi de Bernouilli qui nous perme de mere en évidence ce consa. 1. Inroducion Dans un marché parfai, marché dans lequel il n exise ni coûs de ransacion, ni axes ec, e comple c es à dire que ou acif es dupliquable, s il n exise aucune possibilié d arbirage, i.e. que le aux d emprun es le même que le aux d épargne, considéré comme une consane, r, alors le prix d une opion doi êre égal à l espérance acualisée de ses gains fuurs. Dans le cas d une opion d acha de ype européen qui confère à son acquéreur le droi, mais non l obligaion, d acheer à l échéance une ceraine quanié d acif sous-jacen S à un prix déerminé K, la valeur d un call vau : [] ( S [ O ; ] [ Max( S K; F ] ( C = e EP / Où EP. es l espérance sous la mesure de probabilié hisorique e F es la filraion naurelle du processus. Page 1 sur 9

2 Une formule analyique ou forme fermée peu êre alors obenue, en supposan, comme dans le modèle de Black & Scholes (1973 I, que le prix de l acif sous-jacen sui une disribuion lognormale. Dans le modèle de Black & Scholes, nous éudions un marché dans lequel son échangés un acif sans risque e un acif risqué. Nous supposons que l acif sans risque a un aux de rendemen nul el que = 1, e que la dynamique de l acif risqué S es donnée par l équaion : S ( ds = S μ d + σ dw Où W = ( W, es un mouvemen brownien, μ eσ son des consanes, μ désigne le rendemen insanané de S, σ désigne l écar ype insanané de S, Principalemen fondé sur le modèle d A.O.A., Absence d Opporunié d Arbirage, le prix d une opion d acha européenne se calcule comme sui : ( + [ ( ] On calculec = E e S K / F P [ ] ( EP ( S K { S K } = e 1 puisque que r n es pas sochasique, ( ( [ S 1 ] e = e EP K EP 1 { S K} [ ] { S K} = e ( E P ( [ S 1 ] e K P[ S K] { S K} Le héorème de Girsanov nous perme d écrire dp dq e ( S = S e dw = dw * μ r σ d ( E donc C = S Q [ S K ] e K P[ S K ] II D où le résula du prix d un call : d C = = S ln ( ( d e K N( N 1 d ( S K + ( r σ ( σ d 1 = d σ I Black and Scholes Black F., Scholes M., "he Pricing of Opions and Corporae Liabiliies", Journal of Poliical Economy (May-June II Q désigne la probabilié risque neure Page sur 9

3 . Modèle à saus L approche de Black e de Scholes es remarquable puisqu elle donne, sous forme analyique, une relaion die foncionnelle enre le prix de l opion e cinq paramères qui, excepée la volailié implicie de l acif sous-jacen, son observables, mais elle souffre de biais sysémaiques qui peuven se voir dans les prix observés sur le marché. En pariculier, la formule de Black & Scholes sous-évalue les opions en dehors de la monnaie e dans une moindre mesure, les opions dans la monnaie, du fai de l hypohèse de normalié du rendemen de l acif sous-jacen, combinée à l hypohèse de volailié consane. En effe, la disribuion des rendemens des acifs financiers se caracérise par un coefficien d asymérie différen de zéro, ce qui signifie que la disribuion des rendemens n es pas symérique, e par un coefficien d aplaissemen supérieur à 3, ce qui signifie que nore disribuion possède des queues épaisses. Or, la valeur des opions don le prix d exercice es éloigné du prix couran de l acif sous-jacen es pariculièremen sensible aux événemens rares e, si ces événemens son plus fréquens que ne le suppose une disribuion normale, alors le prix des opions en dehors de la monnaie e le prix des opions dans la monnaie sera plus élevé que ne le prévoi le modèle. En oure, la mauvaise spécificaion des momens d ordre 3 e 4 se manifese égalemen lorsqu on compare la volailié implicie. On parle alors de smile de volailié, forme croissane de la volailié en foncion du prix d exercice, voire aujourd hui d une forme décroissane de la volailié en foncion du srike, c es à dire de smirk (ricus, de sneer ou de grim (grimace, les opéraeurs redouan davanage la probabilié d une baisse bruale des cours depuis la crise boursière d ocobre 1987 e les aenas du 11 sepembre. La modélisaion log-normale es donc insuffisane e un raffinemen s avère nécessaire. Les événemens rares ou les chocs bruaux comme la publicaion d un chiffre économique ou une décision poliique qui peuven affecer les cours ou les aux de manière violene peuven êre modélisés par un processus de poisson. Dans un modèle à saus, l acif risqué sui une dynamique complexe où la saisique log-normale es préservée, mais à ceraines daes, qui son des emps d arrê, le processus es disconinu. Nous nous plaçons alors un marché dans lequel son échangés un acif sans risque e un acif risqué. Nous supposons que l acif sans risque a un aux de rendemen nul el que S = 1, e que la dynamique de l acif acif es donné par l équaion ds ( μ d + dw + Φ dm = S σ III Où W = ( W, es un mouvemen brownien e où M, es la maringale compensée d un processus de Poisson, M e W éan indépendans e où μ,σ, Φ son des consanes, Φ > 1 de sore que les prix soien posiifs. La disribuion de poisson es souven uilisée pour décrire le nombre de réalisaions d un événemen don la probabilié es faible, e c es d ailleurs pourquoi on parle de «loi des événemens rares». Le prix de nore opion es alors oujours donné par l expression : [ Max( S K; F ] ( C = e E P / III M es définie par la relaion M = N λ, où λ es l inensié d un processus de Poisson. Page 3 sur 9

4 [] Où E. es l espérance sous la mesure de probabilié risque-neure e F es la filraion associée au P N W brownien e au processus de poisson, F = F F. Il es alors nécessaire de connaîre l équaion de. Cee expression es bien connue dans la liéraure financière. C es une variane du lemme d Iô qui nous l expression de. Le lemme d Îo appliqué aux processus à saus donne, S S dy ' 1 = f ( S ds + σ S f ''( S d + + ' [ f ( S d f ( S ] dn f ( S ΔS En appliquan ce résula à dy = ln ( S on obien : S σ = S exp r λφ + σ W + N ln 1 ( + Φ Pour calculer la valeur d un call, el que défini précédemmen, on peu se référer à l aricle de Meron (1976 IV où la disribuion de l ampliude es supposée log-normale. Cee hypohèse impose ouefois que les saus aien oujours la même e unique direcion si bien qu ils ne peuven êre anô négaifs ou anô posiifs. Cee supposiion fore a le mérie de fournir une nouvelle formule fermée, mais nous allons quan à nous posuler que les saus auron une ampliude posiive ou négaive e que le nombre de saus négaifs es égal en moyenne au nombre de saus posiifs. C es par le biais de la simulaion numérique de Mone-Carlo que nous déerminons le prix du call. On monrera alors que le prix du call dans un modèle à saus es légèremen supérieur au prix d un call évalué par le modèle de Black e de Scholes. 3. Simulaion Déerminer le prix d un call par simulaion revien avan ou à simuler la rajecoire du sous-jacen, compe enu de sa dynamique. Ceres, nous devons simuler un mouvemen brownien e un processus de poisson mais on se heure égalemen à plusieurs problèmes : Nous devons connaîre la rajecoire du brownien W s, s, sa valeur erminale W, mais égalemen le nombre de saus N sur l inervalle [ ; ], les insans auxquels il surviennen, N s, s, ou comme la valeur erminale de V l acif sous-jacen, i.e. S. Enfin, comme nous l avons indiqué plus hau, les saus auron une ampliude posiive ou négaive e le nombre de saus négaifs sera égal en moyenne au nombre de saus posiifs, cela signifie que l ampliude sui une loi de Bernouilli. IV Meron, "Opion pricing when underlying sock reurns are disconinuous" Journal of Financial Economics, 1976 V Le leceur pourra se reporer à l aricle de R.J. Ellio e de M. Jeanblanc, Incomplee Makes and Informed Agens, 1998 Page 4 sur 9

5 Résumons ici les éapes qui conduisen à déerminer à chaque pas de emps la valeur du sousjacen : I. Nous devons simuler un mouvemen brownien II. Nous devons simuler un processus de poisson III. Nous devons simuler une loi de Bernouilli ( I. Un brownien W = W, es une variable qui sui une loi normale N( ;. Posons W = Ψ où Ψ ~ N(;1, simuler nore brownien revien à simuler un nombre aléaoire qui sui une loi normale N(;1. II. Dire que M,, sui un processus de poisson, c es dire que la plupar du emps il n y a pas de saus, dm = avec la probabilié ( 1 λd, e que quelquefois un sau d ampliude Φ survien, dm = Φ avec la probabilié λ d. En effe, la disribuion d une loi de poisson éan donnée par k λ λ P( X = k = e, k e λ >, il es aisé de calculer l espérance de la variable aléaoire X, k! E ( X = Var(X = λ. Ce résula perme d affirmer que le nombre de sau de saus moyen es égal à λ, e donc pour une période de emps Δ, le nombre de saus moyen sera λ Δ. L algorihme de simulaion d un processus de poisson es bien connu, e sa procédure peu êre rouvée dans un aricle de Dupire VI, dans la mesure où l inervalle de emps es pei de sore qu il ne puisse subvenir qu un e un seul sau dans ce inervalle. III. L ampliude Φ sui une loi de Bernouilli, qu il es aisé de simuler. Il suffi de irer un nombre au hasard de loi uniforme compris enre e 1, puis de prendre comme ampliude Φ si ce nombre es supérieur à,5 e de prendre comme ampliude Φ si ce nombre es inférieur à,5. -1< Φ <1. Puisque nous avons supposé que Φ > 1 de sore que les prix soien posiifs, on alors Nous discréisons au premier degré l équaion de emps la valeur du sous-jacen vau : S par la méhode d Euler. A chaque pas de S S ϕ exp r λφ Δ + ϕ Ψ Δ + 1 ( 1+ 1 Φ 1 Φ + Δ = < 5 1 ln { N < λ} { λ Δ > U } { ε >,5} { ε, } Δ représene une variaion finie, Ψ ~ N(;1, U e ε représenen des nombres aléaoires de loi uniforme, N es le nombre de saus cumulés depuis l insan =. VI Dupire, Mone Carlo oolki, 1998 Page 5 sur 9

6 Si le nombre de saus cumulés, N, es inférieur au nombre de saus moyens, λ,alors l acif sousjacen peu encore évoluer par saus, un sau inervenan si λ Δ > U. L ampliude du sau es alors Φ, si la variable aléaoireε es supérieure à.5, ou Φ si la variable aléaoireε es inférieure à.5. Nous effecuons cee simulaion en recouran au logiciel Excel. La méhode de Mone Carlo consise à générer des séries, ou scénarii de prix d acions en uilisan la formule du prix d une acion qui vien d êre dérivée. Un scénario es généré par ligne, sur une période de durée 1 par ranche, ou pas de,1 période. Chaque série ou scénario compore donc 1 périodes qui se rerouven en colonnes. Au bou de chacune de celles-ci, on reranche le prix final du sous-jacen au prix d exercice. Il ne rese plus qu à + calculer la moyenne acualisée de ( S K afin de déerminer le prix de nore call. Nous répéons cee opéraion 5 fois e nous générons donc 5 scénarii. Nous supposons que la call a les caracérisiques suivanes : - Le prix du sous-jacen à l insan =,, es 8, - Le aux d inérê sans risque, r, es de 5% - La volailié du sous-jacen,σ, es de % - Le prix d exercice, K, es de 85 - La maurié de l opion,, es d un an. S Dans le ableau qui sui, nous monrons commen se présene la simulaion de nore opion sous Excel e nous évaluons le call avec par exemple λ = 1e Φ = ±,. = =,1 =, =,3 =,4... =,96 =,97 =,98 =,99 = 1 S K Scénario ,37 79,85 8,63 79,74 66,59 64,75 63,79 6,13 6,8, Scénario 8 78,45 79,14 8,7 8,9 89,78 91,85 93,78 97,1 99,34 14,34 Scénario ,19 79,53 79,17 77,17 88,15 89,71 89,44 89,9 89,9 4,9 Scénario 4 8 8,5 8,47 8,34 8,15 81,6 79,16 81,88 8,13 83,11, Scénario ,98 76,71 76,96 77,65 1,36 11,17 99,97 11, 1,93 17,93 Scénario ,35 77,43 74,33 75,94 77,56 78,33 78,18 76,71 76,7, Scénario ,75 78,31 76,73 78,6 11,55 113,44 113,5 114,7 113,15 8,15 Scénario 8 8 8,5 81,53 8,3 8,97 63,85 6,75 64,4 61,68 61,75,... Scénario ,95 8, 8,31 79,84 57,71 58,58 58,9 59,19 58,81, Scénario ,35 8,3 8,41 76,84 9,3 89,3 88,6 86,61 86,91 1,91 Scénario ,3 81,1 77,79 75,31 11,56 15,8 13,5 13,47 16,11 1,11 Scénario ,75 8,97 8,14 79,19 79,4 8,81 8,49 8,69 83,45, Scénario ,78 81,39 8,79 85,9 19,4 14,77 17,43 16,35 16,7 1,7 Scénario ,6 79,8 78,55 79,79 87,68 86,8 89,16 86,88 86,44 1,44 Scénario ,68 8,7 8,63 81,54 89,48 87,16 87,45 86,16 84,9, Scénario 5 8 8,54 8,11 87,1 77,9 86,96 89,7 89,3 91,81 9,83 5,83 Moyenne 6,57 Moyenne acualisée 6,54 Page 6 sur 9

7 Dans la prochaine parie nous présenons l ensemble des résulas obenus pour un nombre de saus cumulé varian de 1 à 5. Il es déraisonnable de calculer le prix du call dans le cas où le nombre de saus es compris enre 5 e 1. En effe, il es économiquemen quasi impossible que plus de cinquane chocs puissen inervenir sur une période d un an. 4. Résulas Nous comparons donc le prix d un call calculé par le modèle de Black e Scholes e le prix d un call calculé quand des saus inerviennen aléaoiremen à l aide d un ableau comparaif. Dans la première colonne, figure le nombre de saus (λ =1, λ =, λ =3..., dans celle qui sui figure l ampliude du sau. La roisième donne la valeur du call valorisé par le modèle de Black e de Scholes qui es de 5,988. Enfin la quarième colonne donne la valeur du call pour un nombre de saus e une ampliude donnés. B&S Saus B&S Saus φ = 5,988 5,988 φ = 5,988 5,988 φ = ±,1 5,988 6,559 φ = ±,1 5,988 6,1 λ =1 φ = ±, 5,988 6,54 λ = φ = ±, 5,988 6,71 φ = ±,3 5,988 6,778 φ = ±,3 5,988 6,55 φ = ±,5 5,988 6,59 φ = ±,5 5,988 6,7 φ = 5,988 5,988 φ = 5,988 5,988 φ = ±,1 5,988 5,991 φ = ±,1 5,988 6,897 λ =3 φ = ±, 5,988 6,694 λ =5 φ = ±, 5,988 6,35 φ = ±,3 5,988 6,7 φ = ±,3 5,988 6,61 φ = ±,5 5,988 6,7 φ = ±,5 5,988 5,9863 φ = 5,988 5,988 φ = 5,988 5,988 φ = ±,1 5,988 6,1699 φ = ±,1 5,988 6,31 λ =8 φ = ±, 5,988 6,7 λ =1 φ = ±, 5,988 6,51 φ = ±,3 5,988 6,1616 φ = ±,3 5,988 6, φ = ±,5 5,988 6,15 φ = ±,5 5,988 6,384 φ = 5,988 5,988 φ = 5,988 5,988 φ = ±,1 5,988 6,361 φ = ±,1 5,988 6,1 λ =15 φ = ±, 5,988 6,383 λ = φ = ±, 5,988 6,11 φ = ±,3 5,988 6,66 φ = ±,3 5,988 6,1454 φ = ±,5 5,988 6,111 φ = ±,5 5,988 6,339 φ = 5,988 5,988 φ = 5,988 5,988 φ = ±,1 5,988 6,857 φ = ±,1 5,988 6,1919 λ =3 φ = ±, 5,988 6,5 λ =5 φ = ±, 5,988 6,853 φ = ±,3 5,988 6,1544 φ = ±,3 5,988 6,1544 φ = ±,5 5,988 6,171 φ = ±,5 5,988 6,53 ableau comparaif Page 7 sur 9

8 - La première remarque évidene que l on peu consaer es que, dans le cas où il n y a pas de saus, λ =, quelque soi l ampliude choisie, le prix du call donnés par le modèle de Black & Scholes e celui calculé par nore simulaion son les mêmes. En effe si λ =, alors ϕ l expression de S devien S = S exp r + ϕ W e nore simulaion donne bien le prix du call évalué par le modèle de Black e de Scholes. - Deuxièmemen, quelque soi le nombre de sau, pour une ampliude nulle, nore simulaion monre que le prix calculé es égal au prix du call calculé par Black & Scholes. - De plus, pour un nombre de saus donné, e pour une ampliude qui a endance à augmener en valeur absolue, le prix du call augmene égalemen. - Enfin, si les prix des deux calls son voisins, force es de consaer que le prix d un call évalué par un modèle à saus es oujours supérieur au prix d un call évalué par le modèle de Black e de Scholes. C es sur ce poin que nous meons l accen. En effe, l inérê de cee simulaion es effecivemen de monrer que le prix d un call européen calculé par un modèle à saus es supérieur au prix du même call calculé par le modèle de Black & scholes. En conséquence, le modèle de Black & Scholes sous-évalue le prix des opions européennes. - Si le prix du sous-jacen es proche de zéro, alors un sau d ampliude négaive ne jouera pas pleinemen son rôle puisque le prix du sous-jacen es minoré par. A conrario, le prix du sous-jacen n a pas de limie à la hausse, même si les arbres ne monen pas jusqu au ciel. Un call éan un acif confère à son acquéreur le droi, mais non l obligaion d acheer à l échéance une ceraine quanié d acif sous-jacen S à un prix déerminé K, il alors aisé de comprendre que les calls peuven êre plus sous-évalués que les pus. 5. Limies Nous avons supposé que l ampliude Φ sui une loi de Bernouilli, de sore que l ampliude soi Φ ou Φ ce qui implique que -1< Φ <1. Supposer que Φ >-1 n es pas une limie en soi puisque les prix ne chuen pas de 1% en une séance. Par conre supposer que Φ <1 es puremen une limie de nore modèle. Choisir que l ampliude Φ sui une loi de Bernouilli perme aux saus d êre posiifs ou négaifs e consans en valeur absolue, d où Φ <1. Quelle loi fau-il alors choisir pour l ampliude du sau? Si nous choisissons une aure loi, cela améliorera--il nore résula? Afin de simuler une variable de Poisson, nous avons dû choisir un inervalle de emps pei de sore qu il ne puisse subvenir qu un e un seul sau dans ce inervalle. Or, nous avons obenu le prix d un call de maurié 1 an avec un pas de emps Δ =, 1, soi en nombre de jours Δ = 3,65 jours. Peuon cerifier qu un choc ne peu arriver que ous les 3,65 jours, même s il s agi un événemen rare? Page 8 sur 9

9 6. Algorihme Nous donnons dans cee parie la parie logique e algorihme permean d obenir le prix d un call calculé quand des saus inerviennen aléaoiremen. A. Déclaraion des variables B. A chaque pas de emps : C. On déclare une variable elle que le sau es soi posiif, soi négaif D. Si elle es supérieure à,5 alors l ampliude du sau es Φ. Sinon, l ampliude du sau es Φ. E. Si λ Δ > U où U représene un nombres aléaoire de loi uniforme alors le nombre de saus augmene de 1 e si le nombre cumulé < nombre de saus oal iniialisé, c es à dire λ, alors l acif sous-jacen sui une dynamique à saus. Sinon l acif sous-jacen sui un processus d évoluion sochasique coninu de Gauss-Wiener. F. On répèe les opéraions B à E, a chaque pas de emps d. G. A l échéance on calcule ( K S H. On répèe les opéraions B à G 5 fois. + I. On acualise la moyenne de oues les valeurs obenues ( S K +, à l éape G. Page 9 sur 9