Ecole Nationale d Ingénieurs de Brest. Analyse

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1 Notes de cours Ecole Nationale d Ingénieurs de Brest Mathématiques 1ère Année Analyse Cours proposé par M. Parenthoën année enib c mp

2 Analyse 1 & 2 / 1A Table des matières Analyse 1: savoir-faire techniques devoirs en C1 et C3 (coeff 2) + TD (coeff 1) fonctions usuelles le plan lc (coordonnées cartésiennes et polaires) dérivation et intégration formelles équations différentielles Analyse 2: savoir-faire mathématiques devoirs en C4 et C5 (coeff 2) + TD (coeff 1) fonctions numériques géométrie analytique suites et intégration de Riemann enib c mp

3 ANALYSE 1 : Emploi du Temps type des Savoir-Faire Savoir-Faire e 1 x+y = e x e y, ln(xy) = ln x + ln y, x b, a x, log a x dérivée, limites classiques, courbes cartésiennes, comparaisons (étude en échelle (Log,Log) des x kx n, k IR, n Z) 2 cercle trigo, e iθ = cos θ + i sin θ, hyperbolique et réciproque 3 sin(a + b) et cos(a + b) par coeur, résolution de sin(2x + 3) = cos(x 1) 4 lc, affixe, a + ib = ρe iθ 5 équations de cercles et de droites en coordonnées cartésiennes et polaires 6 ( lc, +, x) translations, rotations, homothéties 7 *** C1 *** règles de dérivations (f + g), (fg), (fog), notations df(x), calculs d entraînement sur des fonctions à valeurs 8 dx, f(x,y) x y z z x rélles ou complexes (notamment dei(ωt+φ) dt ), vérification de x y 9 tableaux de variations, dérivée nème (récurrence) = 1 sur exemples de f(x, y, z) = 0 non implicites primitives, x f(t) dt pour f usuelle, linéarité, changement de variable, par parties, b a f(x) dx = F (b) F (a), Chasles, notion d aire algébrique (rappels de terminale) f(x) dx pour f élément simple, trigonométrique, exp, a2 ± x 2... (formulaire) surface, volume: S f(s) ds, V f(v) dv pour S, V sans problème de paramétrage et d un point de vue technique uniquement 13 équations différentielles linéaires du premier ordre à coefficients constant avec second membre nul, ou en P (x)eλx, λ lc et P lc[x]. Le cas sin ou cos sera vu en prenant la partie imaginaire ou réelle d une équation complexe correspondante 14 *** C2 *** 15 équations différentielles linéaires du premier ordre à coefficients non constants 16 étude des solutions y de y + ay = x + bx lorsque x présente un saut fini enib c mp

4 ANALYSE 2 : Emploi du Temps type des Savoir-Faire Savoir-Faire 17 calculs de limites de fonctions par somme, produit et composition des fonctions usuelles, reconnaissance des formes indéterminées, comparaisons (petit o, équivalence) 18 calcul d un ensemble de définition, continuité (définie par lim x0 f = f(x 0 )), prolongement par continuité 19 *** C3 *** dérivabilité comme limite du taux de variation, dérivabilité et dérivation formelle, théorème des accroissements finis et 20 justification du tableau de variation, recherche des extréma parmi les zéros de f et aux bornes de D f, équation de la tangente, DL d ordre 1 21 formule de Taylor-Lagrange (signe du reste, approximation locale polynomiale d une fonction) ln cos x 22 DL d ordre n pour lever l indertermination d une FI (lim 0 x ), somme, produit, composition, quotient, inégration et 2 dérivation de DL reconnaitre l équation d une droite et d un cercle, études d exemples de courbes paramétrées en coordonnées 23 cartésiennes, échelles Log, Log-Log: qu est-ce qu une droite, deux droites parallèles 24 étude d un cas paramétré en polaire 25 *** C4 *** 26 suites classiques arithmétiques/algébriques/récurrentes à 2 ou 3 termes consécutifs (études de cas), convergence (sans la définition avec ε), monotone+bornée=convergente 27 approximations de f(x) = 0 (dichotomie, tangentes, sécantes) Riemann: comme limite de sommes de Darboux (pas 0), justification de l utilisation des primitives pour le calcul 28 des intégrales, notion d intégrale impropre par l étude de cas 0 xα dx, α IR 29 méthodes du point milieu, des trapèzes, de Simpson 30 problème de récapitulation: astronomie/géographie/navigation 31 problème de récapitulation: astronomie/géographie/navigation 32 *** C5 *** enib c mp

5 introduction Qui, Que, Quoi, Où, Comment? Coordonnées parth/index.html parenthoen@enib.fr, tél : ou bureau 304, aile du Li 2 Enseignement mathématiques du premier cycle : Analyse 1 & 2 modules AD et IA PFE : patates, cartes cognitives, barreur virtuel DEA : prédiction, imitation, mer virtuelle Recherche modélisation du comportement humain / implémentation d acteurs virtuels ergonomie cognitive et réalité virtuelle voilier virtuel pour l entraînement sportif enib c mp

6 introduction Langage Mathématique Hypothèses : Axiomes, Définitions Théories : Propriétés, Lemmes, Théorèmes, Corollaires Savoir-Faire : Démonstrations, Preuves (Logique + Calcul) enib c mp