UNIVERSITE D ANGERS Mathematiques L2. Devoir. Corrigé sur le web le 31/10/2014

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1 UNIVERSITE D ANGERS Mathematiques L. Devoir. Corrigé sur le web le 1/10/014 O traitera au choix l u des deux exercices ou. Exercice 1 : ci-dessous : Détermier la ature de chacue des 6 séries dot le terme gééral est doé 1) a cos 1 O a lim a 1. Comme le terme gééral e ted pas vers zéro, la série diverge ("grossièremet"). + b O a b 1. Par comparaiso à la série de Riema à termes positifs et divergete + 1 o e coclut que la série b diverge. c exp ( ( 1) ) 1 E utilisat le développemet limité e x 1 + x + x + o(x ), o trouve : c ( 1) et aisi c ( 1) + c avec c 1 + o( 1 ) o( 1 ), + Comme la série ( 1) coverge par le théorème des séries alterées et c coverge par comparaiso à ue série de Riema à termes positifs covergete, o e déduit que la série c coverge. ()! d.! O applique la règle de D Alembert ou règle du quotiet. Les cotributios de chacu des facteurs qui costituet d sot multipliées etre elles : d +1 ( + )( + 1) d ( + 1) et o obtiet que e l() (+1) d lim +1 + d 1 < 1, ce qui implique que la série d coverge. O a e l() l La suite e est doc borée par ue costate + M et l iégalité e M motre que la série e coverge. Remarque : O aura remarqué qu ue erreur de coupé-collé a abouti à proposer l étude d ue série f idetique à la précédete. L itetio de l auteur du problème était de placer ici ue série absolumet covergete du gere f 1 cos

2 Exercice : 1) Détermier les braches ifiies et préciser leur ature pour la courbe paramétrée x t t 1, y t t 1 Il y a quatre valeurs de t à predre e cosidératio :, 1, 1, +. E rassemblat les cas t et t +, cela doera e fait trois asymptotes avec les comportemets de part et d autre à regarder à chaque fois. Résumos das u tableau les limites de x et y pour chacue de ces valeurs : t ( 1) ( 1) x(t) y(t) Brache 1 : quad t, o trouve l asymptote verticale x 0 c est à dire l axe des ordoées. Comme x(t), la courbe est à gauche de so asymptote. 1 t t Brache 1 bis : de la même faço quad t +, la droite x 0 est ecore asymptote et la courbe est à droite de l axe des y pour t +. Brache : quad t 1 o trouve l asymptote horizotale y 1. Le sige de la limite de x à gauche et à droite de t 1 est justifié par De même l équivalet : x(t) y(t) + 1 t 1 t t t 1 t 1 t 1 t + 1 t + 1 (t + 1)(t 1) (t 1) t 1 (t + 1) 4 motre que la courbe est au dessus (resp. au dessous) de cette asymptote quad t ( 1) + (rep. t ( 1) ). Brache : quat t 1, o trouve que y(t) x(t) t(t + 1) ted vers. O a y(t) x(t) t (t + 1) t t 1 Doc e posat t 1 + h et e effectuat u DL facile : t(t 1)(t + ) t 1 t(t + ) t + 1 y(t) x(t) + 4h + h + h h + o(h) Ce qui établit l existece de l asymptote oblique d équatio y x+, la courbe état au dessus (resp. au dessous) de l asymptote quad t 1 par valeurs supérieures (resp. iférieures).

3 O idiquera sur u dessi l allure des braches ifiies et leur positio relative à ue asymptote évetuelle. Voir sur le dessi à la fi du corrigé de l exercice, et les commetaires qui suivet. ) Détermier le domaie de défiitio et étudier les variatios de x(t) et y(t) et termier le dessi e doat l allure complète de la courbe. Le domaie de défiitio de t (x(t), y(t)) est R \ 1, 1}. Calculos les dérivées : x (t) t 1 t t t (t 1) < 0 y (t) O e tire le tableau de variatios suivat : t(t 1) t (t 1) t(t ) (t 1) t x (t) y (t) x(t) y(t) ) (Facultatif). Trouver t 1 t, tels que (x(t 1 ), y(t 1 )) (x(t ), y(t )). Expliquer d abord à partir du dessi pourquoi o recherche ue telle paire de valeurs distictes de t. Le dessi met e évidece u poit de croisemet qui permet de soupçoer u poit double pour des valeurs du paramètres qui satisfot les iégalités t 1 < 1 < 0 < t < 1. O suppose ici que t 1 < t. Il s agit de résoudre le système : x(t 1 ) x(t ) c est à dire y(t 1 ) y(t ) t1 t t 1 1 t 1 t 1 t t 1 1 t 1 sous la coditio t 1 t qui permet de simplifier par t t 1. O trouve e chassat les déomiateurs, e simplifiat par t t 1 et e posat S t 1 + t, P t 1 t : t 1 (t 1) t (t 1 1) 0 t 1 t (t t 1 ) + t t 1 0 P t 1(t 1) t (t 1 1) 0 t 1 t (t 1 t ) + (t t 1 )(t + t 1 ) 0 P + S 0 Aisi P S 1, et il est bie cou que t 1, t sot les deux solutios de l équatio du secod degré X SX + P 0, doc ici X + X 1.

4 Coclusio : puisque o a supposé que t 1 < t o trouve t 1 1 5, t Par u calcul élémetaire le poit double est e M( 1 5 ) M( ) ( 1, 1) Tracé de la courbe O recoaitra les trois asymptotes x 0 verticale, y 1 horizotale, et y x + oblique. L axe des x légèremet au dessus de l asymptote horizotale a pas été figuré. O remarque aussi que scilab a utilisé u repère o orthoormé. Aisi le dessi est "tassé" verticalemet à l image de l asymptote de pete. Pour suivre le tracé das le ses des t croissats, et cotroler la positio idiquée das la questio 1 de la courbe par rapport aux asymptotes il est coseillé de flécher le dessi e otat qu il part pour t veat de de l asymptote verticale e bas vers l asymptote horizotale, quad t ( 1). Il repart de la même asymptote coté droit pour rejoidre l asymptote oblique e bas à gauche quad t parcourt ] 1, +1[, etc... pour fiir à la verticale. N.B. Il serait judicieux de chercher aussi ( u poit d iflexio pour ue valeur de t das ] 1, 0[. C est laissé e exercice. Résoudre x y (t)) 0. O peut factoriser t 1 das le umérateur de l expressio obteu et o trouve pour le poit d iflexio ue valeur α ] 1, 0[ qui est l uique racie de l équatio t + t + 1. Exercice : O cosidère la courbe Γ défiie par les équatios paramétriques : x(t) t t, y(t) 1 + t 1 + t. 4

5 1) Étudier la courbe Γ et la tracer. O examiera e particulier la ature des braches ifiies ou des poits d arrêt, e particulier le comportemet de la pete au poit d arrêt lorsque t ted vers ±, et o doera la tagete au poit de paramètre t 1. Le domaie de défiitio est R\ 1} et pour établir les variatios de x(t) et y(t) o calcule : x (t) (1 + t ) t (t ) (1 t ) (1 + t ) (1 + t ) y (t) 6t (1 + t ) t (t ) t( t ) (1 + t ) (1 + t ) Aisi la dérivée de x s aule e t , et y (t) s aule e t 1 t Nous obteos le tableau de variatio suivat : t -1 0 t 1 t + x (t) y (t) t x(t) t 1 t 0 y(t) t 1 t 0 O observe que pour t ±, la courbe présete u poit d arrêt qui est e (0, 0), doc égal à M(0). O a doc aussi ue sorte de poit double atteit pour t 0 et aussi quad t ±. O a y(t) t ± ce qui sigifie ue tagete verticale au poit d arrêt. x(t) t ± Etude de la brache ifiie. O a y(t) t 1 et o cosidère doc, e posat t 1+h : x(t) t 1 y(t) + x(t) t(1 + t) 1 + t U DL au voisiage de h 0 doe : t + h 1 t + t h + h 1 + h 1 (h h /) y(t) + x(t) ( 1 + h)(1 + (h h /) + h + o(h ) 1 + h + o(h ) Il y a doc ue asymptote d équatio y x 1 et la courbe est au dessus de so asymptote des deux cotés. Au poit de paramètre t 1, situé etre t 1 et t et qui e figure pas sur le dessi o trouve : x(1) y(1), x (1) 4, y (1) 4, Le poit est situé sur la première diagoale avec ue tagete parallèle à le deuxième diagoale. So placemet aide à voir l allure du tracé de la courbe quit suit, coformémet au tableau 5

6 de variatio et aux élémets particuliers. Voir ce tracé à la fi du corrigé. Le dessi permet de devier la symétrie mise e évidece das la questio suivate. ) Pour s 1/t, exprimer x(s) et y(s) e foctio de x(t) et y(t). Quelle symétrie ce chagemet de paramètre met-il e évidece? O trouve x(s) /t 1 + 1/t t t(t + 1 y(t) y(s) /t 1 + 1/t t t (t + 1 x(t) Aisi M(1/t) (y(t), x(t)) est le symétrique de M(t) par rapport à la première bissectrice. Ce calcul est valable pour tout t 0, mais o retrouve aussi e faisat tedre t vers l ifii que le poit d arrêt est le symétrique de M(0), c est à dire M(0) lui-même. 6